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2014高考数学人教A 版课后作业1.(2011·山东烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R)的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 [答案] C[解析] ∵直线2t (x －1)－(y ＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评] 直线方程中含参数t ，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t (x －1)－(y ＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6[答案] C[解析] x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N两点，则线段MN 的长为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．6[答案] C[解析] l 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝2，则弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2 3.4．(文)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．4x －4y ＋1＝0B ．x －4＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y －2＝0[答案] D[解析] 两圆方程相减得4x －4y ＋1＝9， 即x －y －2＝0，选D.[点评] 直线l 为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a 、b ∈R)，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 [答案] C[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O 1O 2|＝5<3，所以两圆相交． 5．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 [答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →·OB →＝2，则实数a 的值等于________．[答案] ± 6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝R 2·cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB →|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝± 6. 8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32，∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22， 即r 2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2，解出m ＝2，n ＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条[答案] C[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. (－33，33) B. (－33，0)∪(0, 33) C. [－33 ，33] D ．( －∞， －33 )∪( 33，＋∞) [答案] B[解析] 曲线C 1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C 2：y (y －mx －m )＝0表示直线y ＝0与y －mx －m ＝0，若有四个不同的交点，则直线y －mx －m ＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m |1＋m2<1得，－33<m <33，且m ≠0，故选B. 3．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25B ．(x ＋1)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋1)2＝25 D ．(x －1)2＋y 2＝5 [答案] B[解析] 设P (x ，y )，由题意可知|PC |2＝|PA |2＋|AC |2＝12＋22＝5，所以P 点轨迹为圆，圆心为C (－1,0)，半径为 5.∴方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A.π2B ．πC ．3πD ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y ＝22x ，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为r ＝32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．7．已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0. ∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4.∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则( )A ．m ∥n 且n 与圆O 相离B ．m ∥n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 [答案] A[解析] 由点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点得，a 2＋b 2<|r |，即a 2＋b 2<r 2，直线OP 的斜率为k 1＝b a，故直线m 的斜率k m ＝－1k 1＝－a b，其方程为ax ＋by ＝a 2＋b 2，又直线n ：ax ＋by ＝r 2，故m ∥n ；另一方面，圆心O 到直线n ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|－r 2|a 2＋b 2>r 2|r |＝|r |，故直线n 与圆O 相离．2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 [答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条 [答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 [答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|2sin α2＋2cos α2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 6．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．7．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为( )A.38B.516C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴|a－2b|a2＋b2<1，化简得3b －4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E⎝⎛⎭⎪⎫34，1，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝⎝⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P＝582＝516.8．(2011·苏州市调研)已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有OM→＝OA→＋OB→(O为坐标原点)，则实数k＝________.[答案]0[解析] 画图分析可知(图略)，当A，B，M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为1.所以d＝1k2＋1＝1，解得k＝0.。
双基限时练(五)1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1:1B ．1:2C ．1:4D ．4:1解析 当以矩形边长为1的边为轴时，所得柱体的侧面积为4π；当以边长为2的边为轴时，所得旋转体的侧面积为4π，所以侧面积之比为1:1.答案 A2．已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为( ) A ．10π B ．12π C ．15πD ．36π解析 设圆锥底面半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 棱锥的高h ＝52－32＝4， ∴V ＝13·π·32·4＝12π.答案 B3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9π解析 设圆锥的母线长为l ，则由12·l ·32l ＝3，得l ＝2.且圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的全面积S ＝π×12＋12×2π×2＝3π.答案 A4．若正方体的全面积为72，则它的对角线的长为( ) A ．2 3 B ．12 C. 6D ．6解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝72.∴a ＝2 3.所以对角线长为a 2＋a 2＋a 2＝3a ＝6.答案 D5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3解析 依题意知圆锥侧面展开图的弧长为2π3l ，∴S 侧＝12×l ×2π3l ＝π3l 2.S 表＝π3l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13l 2·π＝4π9l 2.∴S 表:S 侧＝4:3. 答案 C6．等边三角形ABC 的边长为a ，直线l 过A 且与BC 垂直，将△ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体的表面积是________．解析 依题意知圆锥的母线长为a ，底面半径为a2，底面周长为a π.∴圆锥的表面积S ＝12×a ·a π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22π＝34πa 2.答案 34πa 27．一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.解析 设圆锥筒的底面半径为r ，高为h ，则 2πr ＝14·2π·4，∴r ＝1，h ＝42－12＝15.故圆锥筒的容积V ＝13·π×12×15＝153π.答案153π 8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm ，高为2 cm ，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm.(结果保留根式)解析 将圆柱表面沿AD 展开铺平得一矩形，如图所示．则小虫沿圆柱面爬行从A 到C 的最短路线的长度是矩形ABCD 的对角线AC . 又AB ＝2·2π·π×12＝2 (cm)，BC ＝2 (cm)，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22(cm)． 答案 2 29．圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，求这个圆台的体积． 解 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h ，轴截面如图所示．由题意可得πr 2＝π，∴r ＝1， πR 2＝4π ，∴R ＝2， 由(rl ＋Rl )π＝6π，∴l ＝2.∴h ＝l 2－ R －r 2＝ 3.∴V 圆台＝13(π＋4π＋π·4π)3＝733π.10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．∴(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h 1＝ 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.。
必修Ⅱ达标练习（11）直线与圆、圆与圆的位置关系空间直角坐标系1．直线x－y+3=0被圆（x+2）2+（y－2）2=2截得的弦长等于（）A．B． C．2 D．2．圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0的位置关系是（）A．相交 B．相外切 C．相离D．相内切3．过点P（2，1）作圆C：x2+y2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（）A．a＞－3 B．a＜－3C．－3＜a＜－ D．－3＜a＜－或a＞24．两圆，的公切线有且仅有A．1条B．2条C．3条D．4条5．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A．4 B．2 C．4 D．37．已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，―1，―1），则（）A．> B．<C．≤ D．≥8..A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则（）A． B． C．D．9..角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A． B．C． D．10..点到坐标平面的距离是（）A． B．C．D．11．已知两圆.求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．12．过点M（0，4）、被圆截得的线段长为的直线方程为 _ ．13. .点O（0，0，0），P（x，y，z），且，则表示的图形是 _ _．14．已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为15．在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为．16.已知圆C:及直线.（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.1 直线与圆的位置关系课时训练新人教版必修2一、选择题1．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】 C2．(2013·长沙高一检测)以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9【解析】根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝|6＋4＋5|32＋－2＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.【答案】 C3．(2012·湛江高二检测)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( ) A．相交B．相离C．相交或相切D．相切【解析】直线x－ky＋1＝0过定点(－1,0)，而点(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．【答案】 C4．(2012·衢州高二检测)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0C．x－3y＋4＝0 D．x＋3y－4＝0【解析】∵12＋(3)2－4×1＝0，∴点P(1，3)在圆上．又圆x2＋y2－4x＝0的圆心A(2,0)，又题意可知切线与直线PA垂直．又k PA＝31－2＝－3，∴所求切线的斜率k＝33.由点斜式得y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.【答案】 B5．(思维拓展题)在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意． 【答案】 C 二、填空题6．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．【解析】 将x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为(1,0)．直线2x ＋3y ＋1＝0的斜率k ＝－23，∴AB 的垂直平分线的斜率为32，∴AB 的垂直平分线为y －0＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0. 【答案】 3x －2y －3＝07．(2013·开封高一检测)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________．【解析】 圆的方程化为标准式得(x －2)2＋(y －2)2＝18. 圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|2＝52，直线与圆相离， 从而圆上点到直线的最小距离为52－r ＝52－32＝22，最大距离为52＋32＝82，故最大距离与最小距离的差是6 2.【答案】 6 28．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．【解析】 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2＝ 1－222，解得k ＝1或177.【答案】 1或177三、解答题9．已知圆x 2＋y 2＝2和直线y ＝x ＋b ，当b 为何值时，直线与圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离？【解】 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离d ＝|b |2，圆的半径为r ＝ 2.(1)当d <r ，即－2<b <2时，直线与圆相交； (2)当d ＝r ，即b ＝±2时，直线与圆相切； (3)当d >r ，即b <－2或b >2时，直线与圆相离．10．(2013·济宁高一检测)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程． 【解】 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43，故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．【解】 (1)证明：因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1)．因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)， 所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点． (2)由题意可知弦长最小时，l ⊥AC . 因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2.又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.。
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离一、单选题（本大题共5小题，共25分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则点M到直线NF的距离为( )A. B. C. D.2.点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A. B.C. 或D. 或3.过点，且与点，的距离相等的直线的方程是( )A. B.C. 或D. 或4.点到直线的距离是( )A. 3B.C. 1D.5.直线与直线的距离为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）6.点到直线的距离为__________.7.已知点到直线的距离为，则__________.已知点到直线的距离不大于3，则a的取值范围是__________.8.若点到直线的距离等于4，则a的值为__________.9.直线与直线的距离为，则c的值为__________.10.已知动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则的最小值为__________.11.两直线和平行，则它们之间的距离为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.本小题12分求点到直线的距离的最大值.13.本小题12分已知的顶点为，AB边上的中线CM所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为求顶点B，C的坐标;求的面积.14.本小题12分已知直线恒过定点若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.15.本小题12分已知两条平行直线与直线，求与间的距离.16.本小题12分已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线l的距离为，求直线l的方程.17.本小题12分如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为求折痕EF所在直线的方程;若点P为BC的中点，求的面积.18.本小题12分已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，求点D的坐标及AD所在直线的方程;求平行四边形ABCD的面积.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，先求出N，F所在直线方程，属于基础题【解答】解析易知直线NF的斜率，故直线NF的方程为，即，所以点M到直线NF的距离为，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，列不等式求解即可，属于基础题【解答】根据题意得，即，解得或，故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式；根据题意分析直线斜率存在，设出直线方程，结合点到直线的距离公式，进而得到结果。
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 模块综合串讲课后练习二 新人教A 版必修4题1：已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255 C ．±255 D.52题2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3题3：若α是第二象限角，sin(π－α)＝1010.求2sin 2α2＋8sin α2cos α2＋8cos 2α2－52sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值．题4：若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )互相垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6题5：下列命题正确的是( )A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ²b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ²b ＝1题6：求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.题7：如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为 AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →²OQ →的最大值为________．题8：已知向量OA →－－＝(1，－3)，OB →－－＝(2，－1)，OC →－－＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．题9：若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.课后练习详解题1：答案：B.详解：sin(π－α)＝sin α＝log 8 14＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得 cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 题2：答案：D.详解：由已知得12bc sin A ＝12³1³c ³sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2³2³1³cos π3＝3⇒a ＝ 3. 题3：答案：－54. 详解：由sin(π－α)＝1010可得sin α＝1010，又α是第二象限角， ∴tan α＝－13， 2sin 2α2＋8sin α2cos α2＋8cos 2α2－52sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.题4：答案：D.详解：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ³3y ＝232x ＋y ＝232＝6， 当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D.题5：答案：C.详解：对于选项A ，单位向量方向任意，大小相等，故选项A 错误；对于选项B ，若b 为零向量，则a ，c 不一定共线，故选项B 错误；对于选项C ，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以a ²b ＝0，故选项C 正确；对于选项D ，单位向量可能有夹角，所以不一定是a ²b ＝1，故选项D 错误．题6：答案：2.详解：原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°²cos 210°＋cos 300°²(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45° ＝32³32＋12³12＋1＝2.题7：答案：4.详解：∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →，∴BP →＝tBA →，又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动．∵Q 为 AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →²OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2³2＝4，即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →²OQ →取最大值4.题8：答案：k ≠1详解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →－，AC →－－不共线．∵AB OB OA =-→→→－－－－－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC OC OA =-→→→－－－－－＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1³(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.题9：答案：43.详解：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan(β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2(－2)1＋ (－2)³2＝43.。
圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点 两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案 不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.( √ )一、两圆位置关系的判断例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案 4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 二、两圆的公共弦问题例2 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. ∴|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝－4－02＋0－22＝2 5.即公共弦长为2 5.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2 (1)两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦的长为( ) A ．5 B ．5 2 C ．10 2 D ．10 答案 D(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22， 设圆C 3的半径为r ，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.圆系方程的应用典例 (1)求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－x －1，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为3－32＋[3－－1]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.(2)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程． 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析 化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)，|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5<r 1＋r 2，又r 2－r 1<5，所以两圆相交．2．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定答案 C解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3， 圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2. 依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝2或m ＝－5.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ， 圆心距为d ＝4－02＋－3－02＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a＝22－32＝1，所以a ＝1.1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦．2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞121 C ．1≤m ≤121 D ．1＜m ＜121答案 C解析 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤－3－02＋4－02≤m ＋6，∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r >0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切答案 CD解析 两圆的圆心距为d ＝1－02＋－3－02＝10，两圆的半径之和为r ＋4， 因为10<r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 C解析 圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8， ∴|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13，∴r －R ＜|O 1O 2|＜R ＋r ， ∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是_____________． 答案 a 2＋b 2>3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a ，0)，2和(0，b )，1. 因为两圆外离，所以a 2＋b 2>2＋1， 即a 2＋b 2>3＋2 2.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是_______． 答案 x ＋3y ＝0解析 圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10. 又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5， 解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案 4解析 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt△OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.15．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是____________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2， 所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1， 所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t≤3.所以，实数t的取值范围是[]－3＋23，3.。
【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)， 故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小． 于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0， 即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。
1.1.2 简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的( )3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( ) A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥组合体 D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是( )13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2 简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A 2．A 3．D 4．D 5．A6．D [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B13．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x．因为△VA1C1∽△VMN，解得2x2r＝h－xh，所以2hx＝2rh－2rx，解得x＝2rh2r＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
