XX年中考数学一轮复习行四边形讲学案

平行四边形【考点梳理】：1．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S==⨯底高ah；（5）平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：平行四边形的性质【例题赏析】（2015•本溪，第8题3分）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A． 10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．【考点二】：平行四边形的判定【例题赏析】（2015•乌鲁木齐,第19题10分）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E 在F左侧），BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF得结论；（2）根据矩形的性质计算即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA．在△BEC与△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE=DF．又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，∴AC=6，∴AO=3，∴Rt△BAO中，BO=5，∵四边形BEDF是矩形，∴OE=OB=5，∴点E在OA的延长线上，且AE=2．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、选择方法．【考点三】：三角形的中位线【例题赏析】（2015•怀化，第17题8分）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC 位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．考点：全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS 答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE案．解答：证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，（1形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．【考点四】：平行四边形的探索题【例题赏析】（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC 由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE= ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：理，综合运用各种定理是解答此题的关键．【真题专练】1.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°2.（2015•四川成都,第14题4分）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为．3．（2015•湖北, 第17题3分）在▱ABCD中，AD=BD，BE是ADA的度数为．4.（2015·江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．(1）求证；∠EDB=∠EBD；(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．5.(2015年四川省广元市中考，18,7分)题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．6.（2015•通辽,第21题5分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC 分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．7.（2015•山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90 BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．8.（2015•四川遂宁第19题9分）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF 证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．9.（2015•桂林）（第21题）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．10.（2015•四川凉山州第24题8分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD（1）求证：EF=AC；（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．【真题演练参考答案】1.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．2.（2015•四川成都,第14题4分）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 3 ．考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．.分析：由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．解答：解：∵翻折后点B恰好与点C重合，∴AE⊥BC，BE=CE，∵BC=AD=4，∴BE=2，∴AE===3．故答案为：3．点评：本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．3．（2015•湖北, 第17题3分）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．考点：平行四边形的性质．分析：首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A 的度数．解答：解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD==55°．情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠BDE=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=∠BDE=70°=35°．故答案为：55°或35°．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．4.（2015·江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．(1）求证；∠EDB=∠EBD；(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．分析：（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；(2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．解答：解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；(2）AF∥DB；∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：DC=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．点评：本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键．5.(2015年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．解答：已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：OA=OC，OB=OD证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA=OC，OB=OD．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．6.（2015•通辽,第21题5分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．∵AB∥DC，∴∠1=∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，∴DF=BF﹣DC=10﹣6=4．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．7.（2015•山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.专题：证明题．分析：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．解答：证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．8.（2015•四川遂宁第19题9分）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE=CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9.（2015•桂林）（第21题）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形；（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，，∴△ABN≌△CDM （ASA）．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．10.（2015•四川凉山州第24题8分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°（1）求证：EF=AC；（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．考点：四边形综合题．.分析：（1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明；（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∴AC=OA+OC=（AD+BC），∵EF=（AD+BC），∴AC=EF；（2）解：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∵OD=3，OC=5，∴OA=3，∵AD∥EF，∴∠ADO=∠OMN=30°，∴ON=MN，∵AN=AC=（OA+OC）=4，∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，∴MN=2ON=2．点评：此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析．。

九年级数学四边形问题的探究复习导学案主备：肖静审核：九年级数学组20XX年3月复习目标：1、通过复习回忆平行四边形的性质定理和判定定理，提高推理论证能力。

2、体会证明过程中所运用的归纳、概括及转化等数学思想方法。

复习重点、难点：性质及判定的灵活应用复习方法：读---考---改----考复习过程：一、板题示标二、复习指导认真阅读详解p53的内容，熟记相关概念。

5分钟后完成测试一。

三、考----测试一(15分钟，1-9每题3分，10-11每题10分，12题12分)1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.∠A＝∠C，∠B＝∠DB.AB＝DC，AD＝BCC.AB∥DC，AD＝BCD.OA＝OC，OD＝OB3．(2013·龙岩)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝() A. 2 B．2 2 C．2 D．14．(2013·曲靖)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.则四边形AECF 是() A．梯形 B.矩形C．菱形D．正方形5．(2013·陕西)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于()A. 38 B.23 C.35你 D.456.如图23－1，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为________．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点P.已知A(2,3)，B(1,1)，D(4,3)，则点P的坐标为．8．(2013·十堰)如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是. 9．(2013·临沂)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF ⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是.10.如图24－1，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A 点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．11.如图24－2，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数；(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长.12.如图24－5，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P 是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．四．（改）教师公布答案，学生互改。

2012中考，烟台） 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点. 已知两底差是6， 12，则△EFG 的周长是（ ） B.9 C.10 D.12 B
A E C
D
F
④ B
例2 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝6，BC ＝12.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．
(1)梯形ABCD 的面积等于________；
(2)当PQ ∥AB 时，P 点离开D 点的时间等于______秒；
(3)当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多长时间？
二、 题组训练
1、等腰梯形ABCD 中，两底的长分别是6cm 和16cm,有一个底角是60°，求梯形的周长.
2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD=CD,∠BDC=90°，AD=3,BC=8求AB 的长.
C
B A D
例2 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝6，BC ＝12.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． (1)梯形ABCD 的面积等于________； (2)当PQ ∥AB 时，P 点离开D 点的时间等于______秒； (3)当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多长时间？。

反比例函数班级：姓名：执教人签名：【学习目标】1．掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定。

2．运用矩形、菱形、正方形性质与判定解题.【学习重难点】理解矩形、菱形、正方形的性质与判定，并用它们解决问题。

【知识梳理】1.矩形的性质与判定性质（1）矩形具有的一切性质；（2）矩形的四个角都是（3）矩形的对角线；判定（1）有三个角是的四边形是矩形；（2）有一个角是的平行四边形是矩形；（3）的平行四边形是矩形；2、菱形的性质：（1）具有的一切性质；（2）菱形的四条边，对角线不仅，而且每条对角线一组对角；（3）菱形的面积等于。

3、菱形的判定：(1) 的平行四边形是菱形。

(2) 的四边形是菱形。

(3) 的是菱形。

4.正方形：有一个角是、有一组的平行四边形；【例题教学】例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．（1）求证：BF⊥DF；（2）若AB=8，AD=6，求DF的长F EDC BA例2 、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．例3 如图，点E是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个正方形AEFG，线段GB与线段ED，AD分别交于点H，M．（1）求证：ED=GB；（2）判断ED与GB的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AE=2，求GB的长．【课堂检测】1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF= ；（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，∠EAD：∠BAE=1：2，且AC=10，则DE的长度是；3. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC= ；4. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为；5、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是。

多边形与平行四边形
认真看课本八年级上册98—107，125--134页，九年级上册82—94页的内容，完成课后习题，什么样的图形是平行四边形？它的性质有哪些？画出图形进行说明，图中有全等三角形吗？
他决定把这块土地平均分给他的四个
一位饱经沧桑的老人经一辈子的
引领。

鼓励每个学生都能发表自己的见解，使自己
小组交流中，二组、五组、六组全员参与，氛围热烈，交流效果好，各加向他们学习。

课下继续学习。

结合文本、导读单及前后黑板上的问深入到讨论氛围不够热烈的组进行督促和指导，中点，则四边形
图6
图7。

八、四边形(4课时)教学目标：1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能. 2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3． 通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学时间：4课时【课时分布】四边形部分在第一轮复习时大约需要4个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排:课时数 内 容1 平行四边形2 特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形） 1 梯形四边形单元测试与评析教学过程： 【知识回顾】 1、知识脉络2、基础知识（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征． （2）平行四边形的识别方法有：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，菱 形 梯 形 等腰梯形直角梯形 四边形矩 形正方形平行四边形还具有以下性质：矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点． （5）矩形、菱形、正方形的识别方法有：①有三个角是直角的四边形是矩形； ②有一个角是直角的平行四边形是矩形； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形； ④有四条边相等的四边形是菱形；⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形； ⑦有一组邻边相等的矩形是正方形； ⑧有一个角是直角的菱形是正方形．（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征：①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等． （8）等腰梯形的识别方法有：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形． 3、能力要求例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（ ） A ．260° B ．1980° C ．600° D ．2180°【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n 边形的一个顶点出发可以连结（n －3）条对角线，可将n 边形分割成（n －2）个三角形，内角和为(2)180n -⋅︒，因此，n 边形的内角和必为180°的整数倍．（2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n 边形的每个外角为n ︒360，其每个内角即为)360180(n︒-︒． 【解】1980°是180°的整数倍，故选B ．【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．例2 如图（8-1）ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．（1）试说明：AE ⊥BF ；（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 【分析】要证AE ⊥BF ，可探求△ABM 中∠BAE 与∠ABF 和的度数，8-1MF E D C BA通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF 与CE 的大小关系时，先探求DE 与CF 的大小关系，可在△ADE 、△BCF 中寻求相等的数量关系，再依据ABCD 对边相等的性质过渡求证．【解】（1）方法一：如图（8-2），∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°， ∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ， ∴∠DAB ＝2∠BAE ，∠ABC ＝2∠ABF ．∴2∠BAE ＋2∠ABF ＝180°，即∠BAE ＋∠ABF ＝90°． ∴∠ABM ＝90°． ∴AE ⊥BF ．方法二：如图（8-3），延长BC 、AE 相交于点P ， ∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAP ＝∠APB ． ∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠PAB ． ∴∠APB ＝∠PAB ． ∴AB ＝BP ．. ∵BF 平分∠ABC ， ∴AP ⊥BF ，即AE ⊥BF ．（2）线段DF 与CE 是相等关系，即DF ＝CE ， ∵在ABCD 中，CD ∥A B ，∴∠DEA ＝∠EAB ．又AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE ＝∠EAB ． ∴∠DEA ＝∠DAE ． ∴DE ＝AD ．同理可得 ∴CF ＝BC ． 又∴在ABCD 中，AD ＝BC ，∴DE ＝CF ． ∴DE －EF ＝CF －EF ，即DF ＝CE ．【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题． 例3 已知如图（8-4），在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．（1）猜想AE 与BF 有何关系？说明理由； （2）若△ABC 面积为3cm 2，求四边形ABFE 的面积；（3）当∠ACB 为多少度时，四边形ABFE 为矩形？说明理由．【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE ≌△FCB ，其实旋转变换后，△ABC 与△FEC 关于点C 成中心对称；欲判断ABFE 为矩形，可考虑证明对角线AF ＝BE ，再探求∠ACB 的度数．【解】（1）旋转可知，AC ＝CF ，BC ＝CE ，∠ACE ＝∠BCF ， ∴△ACE ≌△FCB ， ∴AE ＝BF ，∠EAF ＝∠BFA ． ∴AE ∥BF ． 即AE 与BF 的关系为平行且相等． （2）由（1）知：ACEBCFS S=．又∵BC ＝CE ，∴ABCACESS=．同理，CEFBCFSS=．∴23412()ABFE S cm =⨯=四边形．（3）当∠ACB ＝60°时，四边形ABFE 为矩形．理由：∵BC ＝CE ，AC ＝CF ，∴四边形ABFE 为平行四边形．当∠ACB ＝60°时，△ABC 为等边三角形．∴BC ＝AC ，∴AF ＝BE ，∴四边形ABFE 为矩形．【说明】《新课标》在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系．本题以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断进行考查．教师在复习时要加强几何变换中识图能力的训练．例4 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图（8-5）所示的四边形ABCD ．8-4180°F E CB A 8-3A B C E F M D P 8-2D A BC E F M（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果两张纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．【分析】第（1）题寻求AD 、AB 的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第（2）题，动手实验操作寻求两矩形纸片的特殊位置关系．①互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD 周长的最大值、最小值．【解】（1）如图（8-6），∵AD ∥BC ，∴AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．分别过点B 、D 作BF ⊥AD ，DE ⊥AB ，垂足为点F 、E ，则DE ＝BF ．∵∠DAE ＝∠BAF ，∴Rt △DAE ≌Rt △BAF ，∴AD ＝AB ．∴四边形ABCD 是菱形． （2）存在最大值和最小值．①当∠DAB ＝90°时，菱形ABCD 为正方形，周长最小值为8；②当AC 为矩形纸片的对角线时，设AB ＝x ，如图（8-7），在Rt △BCG 中，222(8)2x x =-+，174x =．∴周长最大值为17． 【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力． 例5 如图（8-8），已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC 于点E ，DE ＝a ，∠DBC ＝45°，∠ACB ＝30°．求梯形ABCD 的面积． 【分析】梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和特殊的三角形问题解决． 【解】方法一：过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ． 易知：ABDDCFSS=，即BDFABCD S S=梯形．∵∠DBC ＝45°，∴∠DBE ＝45°，∴BE ＝DE ＝a ．又DE ＝EF ·tan ∠F ，∴3EF a =．∴211()(13)22BDFABCD S SBE EF DE a ==+=+梯形． 方法二：如图（8-9），过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则AH ＝DE ＝a ，3HC a =，∵∠DBC ＝45°，∴∠DBE ＝45°，∴BE ＝DE ＝a ．8-5D B AC8-7GDCB A8-6CAB D E F8-8FE C A B D8-9HDB ACE[]21()21()211()(13)22ABCD S AD BC DEHE BH HE EC DE BE HC DE a =+⋅=⋅+++⋅=+⋅=+∴梯形 【说明】方法一：平移腰是研究梯形问题常用方法；方法二：通过作梯形高转化已知条件求解；上述两种解法同样运用了梯形中常见的辅助线的添加方法，渗透了转化的思想． 例6 已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＜CD ，AB ＝10，BC ＝3．（1）如果M 为AB 上一点，如图（8-10），且满足∠DMC ＝∠A ，求AM 的长．（2）如果点M 在AB 边上移动（点M 与A ，B 不重合），且满足∠DMN ＝∠A ，MN 交BC 延长线于点N ，如图（8-11），设AM ＝x ，CN ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围（写x 的取值范围时，不写推理过程）．8-118-10A DNBCMM DC BA321【分析】点M 在AB 边上移动，运动变化中寻求基本图形，探究出蕴含不变的关系：△ADM ∽△BMC 、△ADM ∽△BMN ，通过相似比的转化找出y 与x 的数量关系．解题应注意点M 在AB 上的两个特殊位置与自变量取值范围的联系．【解】（1）在等腰梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠B ， 又∵∠A ＝∠DMC ，∠1+∠A +∠2＝∠2+∠DMC +∠3＝180°， ∴∠1＝∠3，∴△ADM ∽△BMC ．设AM ＝x ，则3310x x=-，∴21090x x -+=． ∴1x =或9x =，经检验都是原分式方程的根．∴AM 的长为1或9．（2）同理可证△ADM ∽△BMN ．可得3310x y x=+-， ∴2110333y x x =-+-（1＜x ＜9）． 【说明】这是一道集等腰梯形、方程、函数、相似形于一体的综合性试题，三角形相似的性质、方程的思想方法是解决该类问题的重要途经．．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。