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杨辉三角解题公式(二)杨辉三角解题公式什么是杨辉三角？杨辉三角是中国古代数学家杨辉发现的一种特殊数列排列方式。
它的特点是，每一行的端点和每一行的中间数都是1，其他位置上的数是上一行两个相邻数的和。
杨辉三角解题公式第n行第k个数的计算公式第n行第k个数的计算公式可以表示为：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1。
例子我们来计算一下杨辉三角的第5行：第1个数：C(5,1)=5!1!(5−1)!=5!1!×4!=5×4×3×2×11×4×3×2×1=5第2个数：C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!=5×4×3×2×12×1×3×2×1=10第3个数：C(5,3)=5!3!(5−3)!=5!3!×2!=5×4×3×2×13×2×1×2×1=10第4个数：C(5,4)=5!4!(5−4)!=5!4!×1!=5×4×3×2×14×3×2×1×1=5第5个数：C(5,5)=5!5!(5−5)!=5!5!×0!=5×4×3×2×15×4×3×2×1×1=1所以，第5行的数列为：1, 5, 10, 10, 5, 1。
这就是杨辉三角的特性：每一行的数都可以通过计算上一行的两个相邻数得到，并且每一行的端点和中间数都是1。
初中《杨辉三角》专题教学设计作者：傅越超王加奇来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第21期【摘要】借助一道中考题的解法思路引出“杨辉三角”，通过小组合作等形式探究杨辉三角，结合最短路径数问题来巩固杨辉三角，将抽象的数字结合数学历史，回归生活情境，把握数学问题本质，对初一学生的学习与提高有一定的启发与帮助。
【关键词】杨辉三角；西尔平斯基衬垫；最短路径数【中图分类号】G633 【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018）21-0030-02在中学数学教学中挖掘和融入数学史中的数学思想方法，对学生们解题大有裨益，可使问题解决更巧妙。
在初中数学的学习中，杨辉三角虽然是《分式的整除》之后的阅读材料，但是杨辉三角却被广泛应用于很多的数学难题当中。
因此，开展《杨辉三角》专题课程有一定的必要性。
一、营造问题情境，发现特殊数阵先给出一道度等级属于“跳一跳，摘得到”的蕴含找规律思想的中考题，需要学生挖掘数据之间的联系，找到规律，巧妙转化并简化数阵，得出答案。
最后的化简数阵与杨辉三角相同，由此特殊的数阵来引出对杨辉三角的探索。
问题：观察下列数阵，根据前5行的规律，可知第6行的数依次是：.（2006年山东中考卷17题）[1]分析：该题所有分数的分子为1，因此可将每个数转化为其倒数，得到的新数阵D2，一些规律显而易见：①每一行的第一个数依次递增，且等于行数；②每一行的数字有对称的特性；③每一行的数字都是该行首个数的倍数……但并不能直接猜测出第6行的数字。
引导学生思考：将这个数阵的每一行提出他们的公因数，到新数阵D3，再次观察。
此时启发学生，进行再发现：从第2行开始，每个数字都是上一行的左、右两数之和。
由此可得到第6行的数：1、5、10、10、5、1。
倒推回D2、D1，得到最终的第6行数：16、130、160、160、130、16。
二、探究新数阵，走进杨辉三角通过例题中遗留的数阵D3，引出杨辉三角。
初中数学常见杨辉三角规律（ 1 ）——利用横行规律解题杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。
因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。
在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。
人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。
今天结合初中命题中会用到的情况进行分析，结合具体的题目利用杨辉三角的横行规律解题。
在初中数学上，杨辉三角的介绍和二项式展开式有关：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……二项式系数是二项式定理中各项的系数。
而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。
如何直接写出各项系数？如图，在最上面一行的中央写下数字 1；第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形；随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。
一．利用杨辉三角的构建过程解题例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15.【解析】根据杨辉三角的构建：把第6行写出来：得到：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5再借助规律写出第7行：1 5 15 20 15 6 1，故第三个数是二、杨辉三角的横行个数及数字和规律①横着每一行都有对应数字个数，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……②横着每一行数字相加得到：a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，…，an=2n-1.例2．我们知道(a+b)n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，如图给出了“杨辉三角”的前7行，请你按照这个规律，直接写出展开式共有______项，展开式的系数和是_______．【答案】2021；22020.【解析】由于第一行对应的是(a+b)0，所以(a+b)2020对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为22020.三、巧设未知数的值求展开式系数和当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。
杨辉三角应用（回家的路有多少条）小明生活的城市规划得非常规则，街区都是矩形，他的家和学校相隔了好几个街道。
有一天，小明在回家的路上正在为走哪条路发愁。
忽然，他想起这段时间数学课正在学“排列组合”这一章，“我何不用刚学到的知识来计算一下我回家可有多少条路供选择？”于是，他边走边思考这个问题，他发现这个问题还真不简单，需要静下心来好好想一想。
同学们，你们会算吗？小明这样想：“我肯定不会走回头路的，所以我只能向右和向上走，一共应该向右走5条街道，向上走5条街道。
”小明想起老师经常告诉他：“在遇到困难的时候，要学会将问题转化！”。
于是，小明用a表示横向的一条街道，用b表示纵向的一条街道，那么“abbaaabba”就表示如图的一条路线。
这样，小明就可以用a,b的字符串来表示每一条路线了，而路线的条数就等于a,b 的字符串个数。
问题就转化成为求“5个a和5个b组成多少个不同的字符串？”。
这一问题的解答就很简单了：将10个位置种选出5个位置用来放置a，有C 10 5 种方法；余下的位置自然就用来放置。
所以，一共有C 10 5=252个不同的字符串。
小明终于明白了，从家到学校竟然有252条路可以供选择，怪不得平时很少走重复的路线。
小明对自己的解法很是得意！他一到学校，就把这个题目告诉了好朋友小刚，却不告诉小刚答案，他想考考小刚。
小刚也是一个爱思考的同学，但是一时还真没做上来。
不过，小刚没有气馁，他觉得这个问题中由于街道太多，导致问题比较复杂，所以他决定将问题简化，先做几个数学实验，然后从中找规律，最后才解决这个问题。
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区，图中顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有一条路线。
小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区，图中顶点处的数字表示从这个顶点到达学校的路线条数。
这时小刚发现了规律：若顶点位于最上面或最左面，则它到H的路线只有1条；若顶点位于其他位置，则它到H的路线条数等于它上面和左面的顶点到H的路线条数之和！小刚根据这个规律一口气将所有顶点的路线条数都写了出来，发现从学校S到家H的路线正好是252条。
杨辉三角与路径问题探究内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：杨辉三角是一种数学结构，由于其独特的规律和性质，一直以来都在数学领域内备受关注。
它的发现可以追溯到公元四世纪的中国，由数学家杨辉所发现，故而得名为“杨辉三角”。
杨辉三角是一种由一列数字组成的三角形，每个数字是上一行相邻两个数字的和。
这个神奇的数学三角形在数学内部有着许多应用，其中之一就是路径问题的探究。
路径问题是指在一个网格或者图形中，通过某种特定规则，从起点出发，沿着边缘或者其他限定条件，到达终点的问题。
在实际应用中，路径问题常常出现在交通规划、游戏设计、网络通信等方面。
而杨辉三角与路径问题的关系，正是在探究不同规则下路径的数量、路径的方式以及路径的可能性。
我们来看杨辉三角中的数值规律对路径问题的应用。
在杨辉三角中，每个数字都是上一行相邻两个数字的和，这一规律可以帮助我们求解路径问题中的路径条数。
在一个网格中，从左上角到右下角的路径，我们可以将网格中纵向和横向的路径数进行求和，就可以得到总路径数。
这个求解过程的本质，就是利用了杨辉三角中数值的累加特性，从而得到路径数量的结果。
这种方法可以帮助我们快速得到路径问题的答案，是一种有效的计算路径数量的手段。
杨辉三角中的对称性和规则性也可以为路径问题的解决提供思路。
在杨辉三角中，每个数字都有其特定的位置和规律，而且整个三角形是对称的。
这种对称性和规则性可以帮助我们在路径问题中找到一定的规律，从而更好地解决问题。
在某些网格路径问题中，我们可以利用杨辉三角的对称性，将问题简化成对称的结构，从而减少计算量或者找到更加简便的解法。
这种思维方式可以为我们解决路径问题提供新的角度和方法，使得问题更容易解决。
第二篇示例：杨辉三角是中国古代数学家杨辉创造的一种数学结构，由数字排列组成的三角形。
这种数学结构在数学上有着非常广泛的应用，特别是在组合数学和概率论领域。
除了在数学理论上的应用，杨辉三角还可以用来解决实际生活中的问题，比如路径问题。
杨辉三角初中专题一、单选题1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是()A．赵爽弦图B．笛卡尔心形图C．斐波那契螺旋线D．杨辉三角图二、填空题2．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详细九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角.请你根据杨辉三角的规律补全表中第五行空缺的数字是.3．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《解：九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是.4．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《解：九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为.5．“杨辉三角”又称贾宪三角，是(a+b)n（n是非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数．请你观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则(a+b)9展开式中各项系数的和为．6．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源图”，还说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．探索杨辉三角中每一行的所有数字之和的规律，可求出第7行中所有数字之和为．7．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了(a+b)n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请你观察，并根据此规律写出：(a+b)5=．8．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是．9．如图，我们知道（a+b）n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n+1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，照此规律，计算：26+6×25+15×24+20×23+15×22+6×2+1=；10．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数．(a+b)4= a4+4a3b+a2b2+4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期11．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：（1）根据前面各式的规律，则(a+b)6=．（2）请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数是．12．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+2b)20的展开式中第二项的系数为．13．请看杨辉三角(1)，并观察等式(2)根据前面各式的规律，则你猜想(a+b)6的展开式中含a2b4项的系数是．14．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4＝a4+4a3b+a2b2+4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期．15．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列（在欧洲也称为帕斯卡三角形），它是中国古代数学的杰出研究成果之一，是一种离散型的数形结合.如图，是杨辉三角的一部分，则图中第五行中的所有数字之和为.16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将右表称为“杨辉三角”．则①(a+b)20中，第三项系数为；②(a−b)6展开式为.17．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，据“杨辉三角”，设(a+b)6的展开式中第三项的系数为m，(a+b)11的展开式中第三项的系数n，则m+n=．(a+b)0 (1)(a+b)1………………………..1 1(a+b)2……………………1 2 1(a+b)3……………………1 3 3 1(a+b)4……………………1 4 6 4 1……18．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，此图揭示了(a+b)n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可知，(a+b)4的展开式中各项的系数之和为．19．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，后人称它为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…第n个数记为a n，则a n=．20．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为．21．如图所示，南宋数学家杨辉在《解：九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形”，该三角形中的数据排列有着一定的规律，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是.22．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数112，则（9，2）表示的分数是．23．南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，请观察如图所示的数字排列规律，则abc=11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 a b c 15 6 124．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）；表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数112，则（9，2）表示的分数是．25．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出(a+b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出(a+b)4的展开式中所有的系数的和为.(a+b)1＝a+b；(a+b)2＝a2+2ab+b2；(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3；.......26．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书上，用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，请计算(a+b)8的展开式中从左起第三项的系数为．27．请看杨辉三角(1)，并观察等式(2)：根据前面各式的规律，则(a+b)5的展开式为.28．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)根据前面各式的规律，则(a+b)6=。
杨辉三角解题公式
杨辉三角（也被称为帕斯卡三角）是一个数字三角形，它的第n行（从1开始计数）包含n 个数，其生成规则如下：
1. 第一行只包含一个数字：1。
2. 从第二行开始，每一行的首尾数字都是1。
3. 从第二行开始，每个内部数字都是上一行中与其相邻的两个数字之和。
杨辉三角的前几行如下所示：
```
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
```
为了计算杨辉三角中的特定行和位置的数字，你可以使用组合公式（组合数）来计算。
第n 行的第k个数字可以表示为组合数C(n-1, k-1)，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数C(n, k)的计算公式为：
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
其中，n表示总共的元素数，k表示要选择的元素数，"!"表示阶乘。
例如，如果你想要计算杨辉三角的第5行（从0开始计数）的第2个数字，你可以使用组合数公式：
C(4, 1) = 4! / (1! * (4 - 1)!) = 4! / (1! * 3!) = (4 * 3 * 2 * 1) / (1 * 3 * 2 * 1) = 4
因此，第5行的第2个数字为4。
这个方法可以用来计算杨辉三角中的任何数字，只需替换n和k为你想要的行数和位置即可。
对杨辉三角的研究看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于开掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角〞。
什么是杨辉三角杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角〞进展高次开方运算。
杨辉，字谦光，南宋时期XX人。
在他1261年所著的?详解九章算法?一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法根源〞图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的?释锁算术?，并绘画了“古法七乘方图〞。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角〞。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角〞。
=================================================== ==================1）初步认识杨辉三角二项式〔a+b〕n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一X表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．2）杨辉三角所蕴含的数量关系〔用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式〕=================================================== ==================1〕二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最严密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)^2的展开式来探讨。
由上式得出： (a+b)^2＝a^2+2ab+b^2 此代数式的系数为： 1 2 1那么(a+b)^3的展开式是什么呢？答案为：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3由此可发现，此代数的系数为： 1 3 3 1但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)^4的展开式。
展开式为：a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11^0)1 1 (11^1)1 2 1 (11^2)1 3 3 1 (11^31 4 6 4 1 (11^4)1 5 10 10 5 1 (11^5)1 6 15 20 15 6 1 (11^6)所以，可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
