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专题3.1 导数的概念及运算、定积分（精讲）【考情分析】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。
【重点知识梳理】 知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0ΔyΔx＝li mΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx。
【特别提醒】函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。
(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)。
【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。
(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数。
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第38讲导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
第38讲用导数的方法研究指数、对数问题与指、对数函数有关的问题历来是高考的难点，旨在考查思维的灵活性和创造性．在很多时候，若函数表达式中存在指数和对数的形式，则会出现求解不了导数方程的根的情况，导致好多考生望而却步．本专题旨在通过对几类常见的问题的研究，弄清楚指、对数函数的相关性质，从而解决函数恒成立、零点等问题，达到提升能力的目的.题型一形如f (x )e x ＋g (x )的函数问题1.已知e x ≥1＋ax 对任意x ∈[0，＋∞)成立，求实数a 的取值范围．法1：原不等式等价于e x －ax －1≥0，令f (x )＝e x －ax －1，则f ′(x )＝e x －a .当a ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (0)＝0，满足题意；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0得x ＝ln a ，当0＜x ＜ln a 时f ′(x )＜0，f (x )在(0，ln a )上单调递减，而f (0)＝0，从而f (x )＜0，不合题意．综上所述，a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．法2：根据常用不等式e x ≥x ＋1，且y ＝x ＋1与y ＝e x 相切于(0,1)，又y ＝ax ＋1也过点(0,1)，观察图象可知，要使e x ≥1＋ax 对任意x ∈[0，＋∞)成立，则a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1].变式1：已知x ＋e x 2x ＋1≥t 对一切正实数x 恒成立，则实数t 的最大值为________．解：因为e x ≥x ＋1，所以x ＋e x 2x ＋1≥x ＋x ＋12x ＋1＝1.则t ≤1，所以t 的最大值为1.变式2：已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2，当x ≥0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．法1：由f ′(x )＝e x －1－2ax ，又e x ≥x ＋1，所以f ′(x )＝e x －1－2ax ≥x －2ax ＝(1－2a )x ，所以当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0，满足题意；又x ≠0时，e x ＞x ＋1，所以可得e －x ＞1－x ，从而当a ＞12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ≤e x －e x ·e －x ＋2a (e －x －1)＝(1－e －x )·(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0，综上所述，实数a ，12.法2：因为e x ≥x ＋1，所以当a ≤0时，e x ≥ax 2＋x ＋1恒成立，故只需讨论a ＞0的情形．令F (x )＝e －x (1＋x ＋ax 2)－1，问题等价于F (x )≤0，由F ′(x )＝e －x [－ax 2＋(2a －1)x ]＝0得x 1＝0，x 2＝2a －1a .①当0＜a ≤12时，F (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以F (x )≤F (0)＝0恒成立；②当a ＞12时，因为F (x )在[0，x 2]上单调递增，所以F (x 2)≥F (0)＝0恒成立，此时F (x )≤0不恒成立．综上所述，实数a ，12.2.若不等式e x (x －a )＋(x ＋a )＞0对任意x ∈(0，＋∞)成立，求正实数a 的取值范围．法1：令f (x )＝e x (x －a )＋(x ＋a )，则f ′(x )＝e x (x －a ＋1)＋1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x (x －a ＋2)．当0＜a ≤2时，∵g ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)成立，∴y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＞f ′(0)＝2－a ≥0，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )＞f (0)＝0，满足题意；当a ＞2时，由g ′(x )＝0得x ＝a －2＞0，∴y ＝g (x )在(0，a －2)上单调递减，在(a －2，＋∞)上单调递增，又∵f ′(0)＝2－a ＜0，∴f ′(x )＜0在(0，a －2)上恒成立，∴y ＝f (x )在(0，a －2)上单调递减，∴当x ∈(0，a －2)时，f (x )＜f (0)＝0，不合题意．综上所述，正实数a 的取值范围是(0,2]．法2：原不等式等价变形为x －1＜0，令f (x )x －1，则f ′(x )＝－x 2－(a 2－2a )(a ＋x )2e x ，当a 2－2a ≤0，即0＜a ≤2时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)＝0，满足题意；当a 2－2a ＞0，即a ＞2时，由f ′(x )＝0得x ＝a 2－2a ，∴y ＝f (x )在(0，a 2－2a )上单调递增，在(a 2－2a ，＋∞)上单调递减，∴当x ∈(0，a 2－2a )时，f (x )＞f (0)＝0，不合题意．综上所述，正实数a 的取值范围是(0,2]．题型二形如f(x)lnx ＋g(x)型的函数3.若不等式x ln x ≥a (x －1)对所有x ≥1都成立，求实数a 的取值范围．法1：设f (x )＝x ln x －a (x －1)，则f ′(x )＝ln x ＋1－a ，令f ′(x )＝0，解得x ＝e a －1.当a ≤1时，对所有x >1，都有f ′(x )>0，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，因此对x ≥1，有f (x )≥f (1)＝0，即a ≤1时，对所有x ≥1，都有x ln x ≥a (x －1)，满足题意；当a >1时，当x ∈(1，e a －1)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，e a －1)上单调递减，又f (1)＝0，所以f (x )<f (1)＝0，即x ln x <a (x －1)，不合题意．故a 的取值范围是(－∞，1]．法2：原问题等价于ln x －a (x －1)x ≥0对所有x ≥1都成立，令f (x )＝ln x －a (x －1)x ，则f ′(x )＝x －a x 2，当a ≤1时，f ′(x )＝x －a x2≥0恒成立，即f (x )在[1，＋∞)上单调递增，因而f (x )≥f (1)＝0恒成立；当a ＞1时，令f ′(x )＝0，则x ＝a ，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝ln a －a ＋1＜0，不合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．法3：根据常用不等式1－1x ≤ln x ，且y ＝1－1x 与y ＝ln x 相切于(1,0)，又y ＝a (1,0)，所以要使ln x ≥a (x －1)x对所有x ≥1都成立，只能a ≤1.因此a 的取值范围是(－∞，1].4.已知当x ≥1时，x 2ln x －x ＋1≥m (x －1)2恒成立，求实数m 的取值范围．解：原不等式等价于ln x －m (x －1)2＋(x －1)x 2≥0，令f (x )＝ln x －m (x －1)2＋(x －1)x 2，则f ′(x )＝(x －1)[x －(2m －2)]x 3，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝2m －2.当2m －2≤1时，即m ≤32时，f ′(x )＞0在[1，＋∞)上恒成立，f (x )递增，f (x )≥f (1)＝0，满足题意；当2m －2＞1时，即m ＞32时，f (x )在(1,2m －2)上单调递减，f (2m －2)＜f (1)＝0，不合题意；综上所述，m ，32.变式：已知关于x 的不等式(x －3)ln x ≤2λ有解，求整数λ的最小值．法1：令h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0，所以存在唯一x 0使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h min (x )＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－(x 0－3)2x 0＝60记函数r (x )＝6则r (x )，所以h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)－32，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以不等式2λ≥h (x )有解时的λ的最小整数为0.法2：令h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立．显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立，只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立，即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3，所以m ′(x )＝1x －2(x －3)2＝x 2－8x ＋9x (x －3)2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1，4－7)，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)，m ′(x )＜0；所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0.所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，不等式2λ≥h (x )有解时的λ的最小整数为0.。
新课标高三数学第一轮复习单元讲座（讲座38）—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2007年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测07年高考呈现以下几个特点：（1）新课标第1年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定积分 （1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f1＝(ξi )△x（其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m ＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba b abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
四．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=221gt ，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量； .3059.03211.321)3()1.3(22=-=-=∆g g s s s s ∆指时间改变量。
059.313059.0==∆∆=t s v 。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，ts∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，ts∆∆的极限， V=0lim→∆x t s∆∆=0lim →∆x =∆-∆+ts t s )3()3(0lim→∆x t g t g ∆-∆+22321)3(21 =g 21lim →∆x （6+)t ∆=3g=29.4(米/秒)。
例2．求函数y=24x的导数。
解析：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆-=-∆+=∆，22)(24x x x xx x y ∆+∆+⋅-=∆∆，∴00limlim→∆→∆=∆∆x x x y⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-22)(24x x x x x =-38x 。
