人教版高中数学选修(2-1)-3.1《空间向量的数乘运算》第一课时参考学案

3.1.2 空间向量的数乘运算（一）【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【要点难点】向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【学习过程】一、自主预习（预习教材 P86~ P87，找出迷惑之处）复习 1：化简：⑴ 5（ 3a 2b ） +4（ 2b3a ）；⑵ 6 a 3b c a b c .复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量a, b ，若 b 是非零向量，则 a 与 b 平行的充要条件是二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的共线问题：空间随意两个向量有几种地点关系？怎样判断它们的地点关系？三、议论沟通点拨提高新知：空间向量的共线：1. 假如表示空间向量的所在的直线相互或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间随意两个向量a,b （ b 0 ），a // b 的充要条件是存在独一实数，使得推论：如图， l 为经过已知点在直线 l 上的充要条件是A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点O，点P试一试：已知 AB a 5b, BC2a 8b, CD 3 a b，求证: A,B,C三点共线.反省：充足理解两个向量a,b 共线向量的充要条件中的 b 0 ，注意零向量与任何向量共线.四、学能展现例 1 已知直线讲堂闯关AB，点 O 是直线AB外一点，若OP xOA yOB ，且x+y＝ 1，试判断A,B,P三点能否共线？变式：已知 A,B,P 三点共线，点O 是直线 AB 外一点，若 OP 1OA tOB ，那么 t＝2例 2 已知平行六面体ABCD A' B'C 'D '，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且 CG:GA ' =2:1,设 CD = a ， CB b, CC ' c ，试用向量 a, b, c 表示向量 CA,CA' ,CM ,CG .变式 1：已知长方体ABCD A 'B 'C ' D ' ， M 是对角线AC '中点，化简以下表达式：⑴AA' CB ;⑵AB' B'C' C'D'⑶ 1AD1AB1A' A 222变式 2：如图，已知A, B, C 不共线，从平面ABC 外任一点 O ，作出点 P,Q, R, S ,使得：⑴ OP OA 2 AB 2 AC⑵ OQ OA 3 AB 2 AC⑶OR OA 3AB 2AC⑷OS OA 2AB 3AC .小结：空间向量的化简与平面向量的化简同样，加法注意愿量的首尾相接，减法注意愿量要共起点，而且要注意愿量的方向.※ 着手试一试练 1. 以下说法正确的选项是（）A.向量 a 与非零向量 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；B.随意两个共线向量不必定是共线向量；C. 随意两个共线向量相等；D. 若向量 a 与 b 共线，则 a b .2. 已知 a 3m 2n ,b (x 1)m 8n ， a 0 ，若 a // b ，务实数x.五、学后反省※ 学习小结1.空间向量的数乘运算法例及它们的运算律；2.空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上全部点沿同样的方向挪动同样的长度” ，空间的平移包括平面的平移 .课后作业：。

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a． 其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-， ∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ①若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD . 三、巩固练习： 作业：OABC D。

空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 空间向量及其加减运算）【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

|【学前准备】：多媒体，预习例题b a AB OA OB+=+=；ba OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

}向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(—C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC…二..探究新知（25分钟）1．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

3．1.2 空间向量的数乘运算1.掌握空间向量的数乘运算．2.理解共线向量定理及推论．3.理解共面向量定理及推论．[学生用书P50]1．向量的数乘运算(1)非零向量a 与λa (λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(2)由于向量a ，b 可平移到同一个平面内，故a ±b ，λa ，λb ，λ(a ±b )也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．2．平行(共线)向量与共面向量判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )(3)若a ∥b ，则存在惟一的实数λ，使a ＝λb .( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 已知λ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．|λa |＝λ|a |B ．|λa |＝|λ|aC ．|λa |＝|λ||a | D.|λa |＞0答案：C若e1，e 2不共线，则下列各组中的两个向量a ，b 共线的是 ( ) A ．a ＝e 1－e 2，b ＝12e 1＋12e 2B ．a ＝12e 1－13e 2，b ＝2e 1－3e 2C ．a ＝13e 1－12e 2，b ＝2e 1－3e 2D ．a ＝e 1＋e 2，b ＝12e 1－12e 2答案：C空间的任意三个向量a ，b ，3a －2b ，它们一定是( ) A ．共线向量 B ．共面向量C ．不共面向量 D.既不共线也不共面向量 答案：B3a ＋2b －12(a －4b )＝________．答案：52a ＋4b探究点1 空间向量的数乘运算[学生用书P51]如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 【解】 (1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .1.[变条件]若将本例中“P 为C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何用a ，b ，c 表示AP →？解：因为C 1P PD 1＝12，所以C 1P →＝13C 1D 1→.所以AP →＝AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1P → ＝AB →＋AD →＋AA 1→＋13C 1D 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→－13AB →＝23AB →＋AD →＋AA 1→，即AP →＝a ＋23b ＋c . 2．[变条件]本例中若O 是B 1D 1的中点，其他条件不变，如何用a ，b ，c 表示AO →？ 解：因为O 为B 1D 1的中点． 所以AO →＝12AB 1→＋12AD 1→＝12(AA 1→＋AB →)＋12(AA 1→＋AD →) ＝AA 1→＋12AB →＋12AD →＝a ＋12b ＋12c .利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式．(1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)． 解：(1)因为G 是△BCD 的重心， 所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →.又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＝AG →＋GE →＝AE →，AE →＋12CA →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.探究点2 空间向量的共线问题[学生用书P52]如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．【解】 由已知可得，ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A → ＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC → ＝FN →＝－NF →. 所以ME →＝－NF →， 故ME →与NF →共线．[变条件]在本例中，若M 、N 分别为AD 1，BD 的中点，证明MN →与D 1C →共线．证明：连接AC ，则N ∈AC 且N 为AC 的中点， 所以AN →＝12AC →，由已知得AM →＝12AD 1→，所以MN →＝AN →－AM →＝12AC →－12AD 1→＝12D 1C →. 所以MN →与D 1C →共线．(1)判断向量共线的方法判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb (b ≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb (b ≠0)，从而得出a ∥b .(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立；②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．1.已知非零向量e 1、e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________．解析：若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1. 答案：±12.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E→＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c )． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB → ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．探究点3 空间向量的共面问题[学生用书P53]如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．【证明】 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：令AB →＝xAC →＋yAD →，则e 1＋e 2＝x (2e 1＋8e 2)＋y (3e 1－3e 2)＝(2x ＋3y )e 1＋(8x －3y )e 2. 因为e 1和e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，8x －3y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝15，y ＝15.所以AB →＝15AC →＋15AD →，所以A ，B ，C ，D 四点共面．1．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1、e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：选C.假设a 与e 1共线，则a ＝k e 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，则A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误．2．在平行六面体ABCD -EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76 B.23 C.56D.34解析：选C.由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1，3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.3．有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－e 2，b ＝－e 1＋14e 2，则a ∥b ；其中真命题是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，知若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①是假命题；若AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线，所以②是真命题；由于a ＝4e 1－e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋14e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故③是真命题． 答案：②③4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1C 1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的向量．(1)AB →＋BC →＋CC 1→； (2)AA 1→＋12AB →＋12AD →.解：(1)AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→.(2)AA 1→＋12AB →＋12AD →＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝AA 1→＋12(D 1C 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋A 1E→＝AE →.向量AC 1→，AE →如图所示．[学生用书P54][学生用书P129(单独成册)][A 基础达标]1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析：选A.AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×(2BG →)＝AB →＋BG →＝AG →.2．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R ，且λa ＋μb ＝0，则( ) A ．λ＝μ＝0 B ．a ＝b ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D.μ＝0，a ＝0解析：选A .因为a ，b 不共线，所以a ，b 均为非零向量，又因为λa ＋μb ＝0，所以λ＝μ＝0.3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD.A 、C 、D解析：选A.因为AB →＝a ＋2b .BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →， 所以AB →∥BD →，由于AB →与BD →有一个公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C .MA →＋MB →＋MC →＝0 D .OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：选C .因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＝－MB →－MC →，所以M 与A ，B ，C 必共面． 5．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.6．化简：12(a ＋2b －3c )＋5(23a －12b ＋23c )－3(a －2b ＋c )＝________．解析：原式＝(12＋5×23－3)a ＋(12×2－5×12＋3×2)b ＋(－3×12＋5×23－3)c ＝56a ＋92b －76c .答案：56a ＋92b －76c7．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则化简AB →＋12BC →－32DE →－AD →的结果为________．解析：如图，延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0. 答案：08．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在惟一实数k 使AB →＝kAC →， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， 所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0. 答案：0 9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解：因为AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，所以x ＝12，y ＝－32.10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别为A 1D 1，D 1C 1，AA 1，CC 1的中点，求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．证明：令D 1A 1→＝a ，D 1C 1→＝b ，D 1D →＝c . 因为M ，N ，P ，Q 均为棱的中点，所以MN →＝12b －12a ，MP →＝MA 1→＋A 1P →＝12a ＋12c ，MQ →＝MD 1→＋D 1C 1→＋C 1Q →＝－12a ＋b ＋12c .令MQ →＝λMN →＋μMP →，则－12a ＋b ＋12c ＝12(μ－λ)a ＋12λb ＋12μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12（μ－λ）＝－12，12λ＝1，12μ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以MQ →＝2MN →＋MP →， 所以向量MQ →，MN →，MP →共面，所以M ，N ，P ，Q 四点共面．[B 能力提升]11．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面解析：选B.由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →，故AP →，PB →，PC →共面，又它们有公共点P ， 因此，P ，A ，B ，C 四点共面．12．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC→确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________．解析：根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.答案：21513．已知A ，B ，C 三点不共线，另外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解：(1)因为OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →. 所以MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. 所以向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，所以M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内． 14.(选做题)如图，已知OE 是平行六面体OADB -CFEG 的体对角线，点M 是△ABC 的重心，求证：点M 在直线OE 上．证明：如图，连接AM 并延长交BC 于点H ， 因为M 是△ABC 的重心， 所以H 为BC 的中点，所以AH →＝12(AB →＋AC →)．所以AM →＝23AH →＝13(AB →＋AC →) ＝13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →－23OA →. 所以OM →＝OA →＋AM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．又因为OE →＝OA →＋AD →＋DE →＝OA →＋OB →＋OC →， 所以OM →＝13OE →，所以点M 在直线OE 上．。

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标知识与技能1．了解共线向量、方向向量；2．理解共面向量，并掌握判断三点共线与四点共面的充要条件；3．综合运用向量的线性运算及充要条件，进行简单的几何证明。

过程与方法从对直线及平面的认识出发，认识方向向量以及共线、共面的充要条件。

情感态度价值观体会运用向量解决几何问题的简便性。

重 点 共线向量、三点共线、四点共面难 点 三点共线、四点共面关 键 理解点在线上、点在面上的含义。

教学方法及课前准备 熟悉平面向量的共线、基本定理。

教学流程一、引入新课提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。

由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。

二 、新课讲解思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。

并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。

思考：1.空间中任意两个向量共面吗？2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？3.空间中三点共线上的充要条件是什么?1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r 的直线，那么对空间任一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式t +=①，其中向量a r叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB 的中点公式．（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A 、B 、P 共线。

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程： 一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义． 二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？ 提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能． 三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 2．共线向量如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP u u u r＝OA u u r＋ta ，①其中a 叫做直线l 的方向向量，如图所示. 若在l 上取AB u u u r＝a ，则①式可化为OP u u u r ＝OA u u r ＋tAB u u u r .如图，空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，或对空间任意一点O 来说，有OP u u u r ＝OM u u u r ＋x MA u u u r ＋y MB u u u r . 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b ≠0不可遗漏． 4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP u u u r ＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，且x＋y ＋z ＝1判断P ，A ，B ，C 四点共面． 四.例题分析及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AM u u u r ＝12MC u u ur ，1A N u u u r ＝2 ND u u u r .设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u r .[思路点拨] 先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN u u u r表示成其他向量，然后进一步用a ，b ，c 表示MN u u u r.[精解详析] 如图所示，连接AN ，则MN u u u r ＝AN u u u r －AM u u u r ＝1AA u u u r ＋1A N u u u r －13AC u u u r＝1AA u u u r ＋231A D u u u r －13(AB u u u r ＋BC u u ur )＝1AA u u u r ＋23(AD u u u r －1AA u u u r )－13(AB u u u r ＋AD u u u r)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MNu u u r表示为MN u u u r ＝MA u u u r ＋1AA u u ur ＋1A N u u u r .训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r＝b ，1A A u u u r ＝c ，则下列向量中与1B M u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M u u u u r ＝1B B u u u r ＋BM u u u r ＝1B B u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r )＝1B B u u u r ＋12AD u u u r －12AB u u u r ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1) OQ u u u r ＝PQ u u u r ＋x PC u u u r ＋y PA u u r；(2) PA u u r ＝x PO u u u r ＋y PQ u u u r ＋PD u u u r.解：(1)∵OQ u u u r ＝PQ u u u r －PO u u u r ＝PQ u u u r －12(PA u u r ＋PC u u ur )＝PQ u u u r －12PA u u r －12PC u u u r ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA u u r ＋PA u u r ＝2PO u u u r ，∴PA u u r＝2PO u u u r －PC u u u r .又∵PC u u u r ＋PD u u u r ＝2PQ u u u r ，∴PC u u u r ＝2PQ u u u r －PD u u u r .从而有PA u u r ＝2PO u u u r －(2PQ u u u r －PD u u u r )＝2PO u u u r －2PQ u u u r ＋PD u u u r.∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE u u u r 与MN u u u r是否共线．[思路点拨] 分析题意u u u r u u r u u u ru u u r →[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u r ＝MC u u u r ＋CB u u r ＋BN u u u r ＝12AC u u u r ＋CB u u r ＋12BF u u u r ＝12(BC u u u r －BA u u r )＋CB u u r ＋12(BA u u r ＋BE u u u r )＝12BC u u ur ＋CB u u r ＋12BE u u u r ＝12(CB u u r ＋BE u u u r )＝12CE u u u r . ∴CE u u u r ∥MN u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u r共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线． 训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB u u u r＝a ＋2b ，BC u u u r ＝－5a ＋6b ，CD u u u r ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：BD u u u r ＝BC u u ur ＋CD u u u r ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB u u u r，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF u u u r ＝23CB u u r ，CG u u u r ＝23CD u u u r.求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE u u u r ＝12AB u u u r ，AH u u u r ＝12AD u u u r ，EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r ＝12AD u u u r －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u ur ＝12(CD u u u r －CB u u r )＝12(32CG u u u r －32CF u u u r )＝34(CG u u u r －CF u u u r )＝34FG u u u r ，∴EH u u u r ∥FG u u u r 且|EH u u u r |＝34|FG u u u r |≠|FG u u u r |.又点F 不在EH u u u r上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．试证：EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，则EF u u u r ＝EA u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ，EF u u u r ＝EB u u r ＋BC u u ur ＋CF u u u r .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA u u r ＝－EB u u r ，DF u u u r＝－CF u u u r .②将②代入①中，两式相加得2 EF u u u r ＝AD u u u r ＋BC u u ur .所以EF u u u r ＝12AD u u u r ＋12BC u u u r ，即EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF u u u r ＝x AD u u u r＋y BC u u u r 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD u u u r ，BC u u u r 表示EF u u u r.训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM u u u r ＝3OA u u r －2OB u u u r －OC u u u r B ．OM u u u r ＋OA u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0C ．MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u ur ＝0D ．OM u u u r ＝14OB u u u r －OA u u r ＋12OC u u u r解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u ur ，∴M 与A ，B ，C 必共面．答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB u u u r ＝e 1＋e 2，AC u u u r ＝2e 1＋8e 2，AD u u u r＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB u u u r ＝λAC u u u r ＋μAD u u u r ，即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB u u u r ＝15AC u u u r ＋15AD u u u r.从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面． 五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP u u u r ＝αOA u u r ＋βOB u u u r ＋γOC u u u r(α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性． 六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1C ．2 D ．3①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D .14a ＋12b ＋14c 解析：OE u u u r ＝OA u u r ＋AE u u u r ＝OA u u r ＋12AD u u u r ＝OA u u r ＋12×12(AB uu u r ＋AC uuur )＝OA u u r ＋14(OB u u u r －OA u u r ＋OC u u u r －OA u u r )＝12OA u u r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确． 答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r ＝34OA u u r ＋18(OA u u r ＋AB u u u r )＋18(OA u u r ＋AC u u u r )＝OA u u r ＋18AB u u u r ＋18AC u u u r ， ∴OP u u u r －OA u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r ，∴AP u u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB u u u r ＋12BC u u u r －32BE u u u r －AD u u u r化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB u u u r ＋12BC u u u r ＝AF u u u r ，32DE u u u r ＋AD u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＝AF u u u r ，故AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB u u u r＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD u u u r ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＝AB u u u r －CB u u r ＋CD u u ur ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB u u u r ＝λAD u u u r，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴1AA u u u r ＝1BB u u u r ＝1CC u u u r ＝1DD u u u u r ，∴BE u u u r ＝131AA u u u r ，DF u u u r ＝231AA u u ur ，∴1AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋131AA u u ur ＋231AA u u u r＝(AB u u u r ＋131AA u u u r )＋(AD u u u r ＋231AA u u u r )＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ＝AE u u u r ＋AF u u u r.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E u u u r ＝21ED u u u r，F 在对角线A 1C上，且1A F u u u r ＝23FC u u ur .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c .∵1A E u u u r ＝21AA u u u r ，1A F u u u r ＝23FC u u u r ，∴1A E u u u r ＝2311A D u u u u r ，1A F u u u r ＝251AC u u u r ，∴1A E u u u r ＝23AD u u u r ＝23b ，1A F u u u r ＝25(AC u u u r －1AA u u u r )＝25(AB u u u r ＋AD u u u r －1AA u u ur )＝25a ＋25b －25c .∴EF u u u r ＝1A F u u u r －1A E u u u r ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB u u r ＝1EA u u u r ＋1A A u u u r ＋AB u u u r ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF u u u r ＝25EB u u r.所以E ，F ，B 三点共线．。

3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向□02相同λ＝0λa＝0，其方向是任意的λa的模是a的模的□04|λ|倍λ<0方向□03相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□06(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋t AB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝x AA1→＋y(AB→＋AD→)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12( BD→＋BC→)等于________．答案(1)－57(2)10相反(3)114(4)AG→解析(4)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ→＝PQ→＋y PC→＋z PA→；(2)PA→＝x PO→＋y PQ→＋PD→.[解] (1)如图，∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC 的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝x AB→＋y AD→＋z AA1→，试求实数x，y ，z 的值．解 (1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)连接AE ，则EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究2 共线向量例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 连接EF ，EB ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， ∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →. ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →，∴E ，F ，B 三点共线．[条件探究] 将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O→＝23A1C→，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．证明连接AO，AC1，A1C1.∵A1O→＝23A1C →，∴AO→＝AA1→＋A1O→＝AA1→＋23A1C→＝AA1→＋23(A1A→＋AC→)＝13AA1→＋23AC→.∵AC→＝2AM→，AA1→＝AC1→＋C1A1→＝AC1→－AC→＝AC1→－2AM→，∴AO→＝13(AC1→－2AM→)＋43AM→＝13AC1→＋23AM→.∵1 3＋23＝1，∴C1，O，M三点共线．拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋t AB→(t∈R)．(3)对空间任一点O ，有OP →＝x OA →＋y OB →(x ＋y ＝1)．【跟踪训练2】 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线．解 设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a ＝λb ，即a 与b 不共线． 探究3 共面向量例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ， 所以OE →＝k OA →，OF →＝k OB →，OG →＝k OC →，OH →＝k OD →. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，因此EG →＝OG →－OE →＝k OC →－k OA →＝k AC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面． 拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP→＝x MA→＋y MB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋x MA→＋y MB→；③对空间任一点O，OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案2 15解析∵点P与A，B，C三点共面，∴1 5＋23＋λ＝1，解得λ＝215.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解①∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)＝BM→＋CM→，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量MA→，MB→，MC→共面．②由①知向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝x OA→＋y OB→＋z OC→，且x＋y＋z＝1.2.OP→＝OA→＋x AB→＋y AC→称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→(或AB→＝λAC→)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC→＝t OA→＋(1－t)OB→”来证明A，B，C三点共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝x MA→＋y MB→，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．给出下列命题：①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a知CB→与l直线平行，又B在l上，所以C∈l，故④正确．故选C.2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D答案A解析由已知可得AB→＝a＋2b，BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b，所以BD→＝2AB→，即BD→，AB→是共线向量，所以A，B，D三点共线．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13 答案 D解析 ∵OM →＝x OA →＋12OB →＋16OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋12＋16＝1，x ＝13.4．在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝x AB →－2y BC →＋3z DH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56 D ．1 答案 C解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( ) ①平面内的任意两个向量都共线；②若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )； ③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； ④空间中的任意三个向量都共面． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A解析 ①显然不正确．②不正确，由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb .③正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/a ＝b .④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p ＝x a ＋y b 的三个向量共面． 2．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝m OA →＋n OB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对答案 A解析 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋n OB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝n AB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .3．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线 D ．m ，n ，p 共面 答案 D解析 由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c . 5．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，且平面ABC 中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC → 答案 C解析 连接AP ，∵A ，B ，C ，P 四点共面，∴可设AP →＝x AB →＋y AC →，即OP →＝OA →＋x AB →＋y AC →，由题图可知x ＝3，y ＝－2.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， 所以D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→.而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面． 二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.答案 －13i ＋2j ＋7k解析 4a －3b ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －j ＋k －3(5i －2j －k )＝2i －4j ＋4k －15i ＋6j ＋3k ＝－13i ＋2j ＋7k .8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.三、解答题9．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．解∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE→＝1BE→.3又1AC→＝12(DC→－DA→)＝12DC→－12DA→＝DE→－DF→＝FE→，2∴AG→＋1BE→－12AC→＝AG→＋GE→－FE→＝AF→(如图所示)．3B级：能力提升练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD 的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．证明∵M是PD的中点，∴PM→＝MD→.又∵PB→＝PM→＋MA→＋AB→＝PM→＋MA→＋AC→＋CB→＝PM→＋MA→＋AC→＋DA→＝PM→＋MA→＋AC→＋MA→－MD→.∴PB→＝2MA→＋AC→.∴PB→，MA→，AC→共面．又∵PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.。

第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．掌握解空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 了解共线向量定理及它们的推论；3. 能用两个空间向量共线的充要条件判断两个空间向量共线；4. 能用共线向量定理解决简单的立体几何中的问题．________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请你试试化简以下式子: (1) 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-r r r r r r .问题2. 在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是什么？问题3. 空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 【思维导航】（1）类比共线的两个平面向量对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是什么？ （2）两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中需要注意些什么?【技能提炼】 1. 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？【变式】1.已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝*2．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →；(2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →；(3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →.【变式１】已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB -u u u r u u u r ; ⑵ '''''AB B C C D ++u u u u r u u u u r u u u u r ；⑶ '111222AD AB A A +-u u u r u u u r u u u r【变式2】如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⑵32OQ OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ⑶32OR OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ⑷23OS OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r .【思考】类比空间向量与平面向量,你能得到在空间向量的化简运算中的异同点吗?在空间向量中的化简运算中要注意些什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列说法正确的是（ ） A. 向量a r 与非零向量b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r 共线；B. 任意两个相等向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a r 与b r 共线，则a b λ=r r .*2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3*3. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++r r r r r r ，0a ≠r r ，若//a b r r ，求实数.x4. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r r u u u r r r ，则与'B M u u u u r 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++r r r ；B. 1122a b c ++r r r ；C. 1122a b c -+r r r ；D. 1122a b c --+r r r。

3.1.2 空间向量的数乘运算预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)平面向量中，实数λ与向量a的乘积λa仍是一个向量，在空间向量中成立吗？a与λa的方向、模之间有什么关系？(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?(3)对于空间任意两个不共线向量a，b，如果p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么关系时，p＝x a＋y b?(4)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？2．归纳总结，核心必记(1)空间向量的数乘运算①定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个，称为向量的数乘运算．②向量λa与a的关系：(ⅰ)分配律：λ(a＋b)＝，(λ＋μ)a＝λa＋μ a；(ⅱ)结合律：λ(μ a)＝(λμ)a.(2)共线向量与直线的方向向量①共线向量的定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相，则这些向量叫做共线向量或．②两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________．③直线的方向向量：如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量a叫做直线l的．(3)共面向量①共面向量的定义：平行于的向量，叫做共面向量．②三个向量共面的充要条件(又称共面向量定理)：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．问题思考(1)在向量a与向量b共线的充要条件a＝λb中，为什么要限制b≠0?(2)P、A、B三点共线的充要条件是存在实数t，使.那么是否存在唯一的有序实数对(x，y)，使呢？若存在，x，y有什么关系？(3)若对任意一点O和不共线的三点A、B、C，且，则x＋y＋z ＝1是四点P、A、B、C共面的充要条件吗？课堂互动区知识点1 空间向量的线性运算讲一讲1．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：类题·通法利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．练一练1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：(2)设E是棱DD1上的点，且＋z试求实数x，y，z的值．知识点2 向量共线问题思考1两向量共线时，它们的方向有什么关系？思考2若直线AB与直线CD平行，则有什么关系？反之，成立吗？思考3若A，B，C三点共线，则有什么关系？反之，成立吗？讲一讲2．如图所示，已知四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF 的中点，判断是否共线．类题·通法判断两个向量是否共线，就是判断是否存在一个实数x，使a＝x b，求解时要充分运用空间向量的运算法则，结合图形寻找a，b的关系，而证明空间三点共线可转化为证明空间两向量共线．练一练2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C 上，且.求证：E，F，B三点共线．知识点3 向量共面问题思考点P与点A，B，C共面的充要条件是什么？讲一讲3.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量共面．类题·通法(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．(2)向量共面，向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时，向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面) 练一练3．如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H四点共面．—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————1．本节课的重点是向量的线性运算、共线向量定理及共面向量定理，难点是共线向量定理和共面向量定理的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间向量的线性运算，见讲1；(2)利用共线向量定理证明平行或三点共线问题，见讲2；(3)利用共面向量定理证明四点共面问题，见讲3.——★参考答案★——预习导引区核心必知1．(1)提示：λa仍是一个向量．当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa方向是任意的．|λa|＝|λ||a|.(2)提示：a与b共线．(3)提示：p与a，b共面．(4)提示：共面．2．(1)①Λa 向量③(ⅰ)λa＋λb(2)①平行或重合平行向量②a＝λb③方向向量(3)①同一个平面②p＝x a＋y b问题思考(1)提示：当b＝0，a≠0时，a∥b，但不存在实数λ，使a＝λb，故应限制b≠0．(2)(3)课堂互动区知识点1 空间向量的线性运算讲一讲1．练一练1．解：知识点2 向量共线问题思考1名师指津：若两个非零向量a，b共线，则a与b的方向相同或相反．思考2名师指津：，则直线AB与直线CD平行或重合．思考3名师指津：若A，B，C三点共线，则共线，反之，也成立．讲一讲2．解：∵M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，练一练2．知识点3 向量共面问题思考 名师指津：存在实数λ，μ，使_或对空间任意一点O ，有(x ＋y ＋z ＝1)成立．讲一讲3.解：因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，练一练 3．。

3.1.2空间向量的数乘运算学习目标1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．学习重点：能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习难点：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；学习过程知识梳理1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．(3)方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．例题[解析]课堂检测 一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A. AB →＋BC →＝AC → B. AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D.|AB →|＝|BC →|3.如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG =2GN ，.,OE OF OG OHk OA OB OC OD====ABCD AC O OA OB OC OD E F G H E F G H 例1　如，已知平行四形，平面外一作射，，，，在四射上分取，，，，并且使求：　，，，四共面. 图边过点线条线别点证点则=xOA →＋y ＋zOC →，则( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝134．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. ＝2OA →－－OC →B. ＝15OA →＋13＋12OC →C. ＋MB →＋MC →＝0D. ＋OA →＋＋OC →＝05.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量，D 1C →，A 1C 1→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 6．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB →,CD →，满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D.若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →二、填空题7.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________． 8.在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．OG u u u r OB uuu r OM u u u u r OB uuur OM u u u u r OB uuu r MA u u u r OM u u u u r OB uuu r 1D A u u u u r OB uuu r9.已知P 和不共线三点A,B,C ,四点共面且对于空间任意一点O ，都有＝2OA →＝2OA →＋＋λOC →，则λ＝________.三、解答题10．已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体． (1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C′ B ′对角线B C ′上的分点，设＝αAB→＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．11．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 13.如图所示，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任OP uuu r OB uuu r 34MN u u u u r 11A B u u u ur意一点.试探求＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→与PO →的关系．课堂小结1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a ，b 所在的直线平行． (2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．——★ 参 考 答 案 ★——PA u u ur知识梳理1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb λ(μa )＝(λμ)a 2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a ＝λb (3) OP →＝OA →＋t a 3．(1)同一个平面(2)p ＝x a ＋y b AP →＝xAB →＋yAC →OP →＝OA →＋xAB →＋yAC → 例题[解析] 例1证明：课堂检测 1．C[解析]A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ. 2．C[解析]由AB →＝BC 知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线． 3．D[解析]∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋MG →，①OG →＝OC →＋CN →＋NG →，② OG →＝OB →＋BN →＋NG →，③ 又BN →＝－CN →，MG →＝－2NG →，,,,,.()(OE OF OG OHk OA OB OC OD OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ABCD AC AB AD EG OG OE kOC kOA k ACk AB AD k OB =========+=-=-=+= . =u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u ：因所以由于四形是平行四形，所以因此)OA OD OA OF OE OH OE EF EHE F G H -+-=-+-=+u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由向量共面的充要件知,,,四共面.∴①＋②＋③，得3OG →＝12OA →＋OB →＋OC →，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.4．C[解析]∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →. ∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合． 5．C [解析]如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， ∴D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→， 即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→，而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面． 6．D[解析]A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB →>CD →这种写法．D 对．∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →正确． 7．0 [解析]如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF →＝32DE →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.8.12a ＋14b ＋14c[解析]如图，OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 9．－2[解析] P 与不共线三点A ，B ，C 共面， 且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )， 则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件． 10．解 (1)方法一 取AA ′的中点为E ， 则12AA'→＝EA'→.又BC →＝A'D'→，AB →＝D'C'→，取F 为D ′C ′的一个三等分点 (D ′F ＝23D ′C ′)，则D'F →＝23AB →.∴12AA'→＋BC →＋23AB → ＝EA'→＋A'D'→＋D'F →＝EF →.方法二 取AB 的三等分点P 使得PB →＝23AB →，取CC ′的中点Q ，则12AA'→＋BC →＋23AB →＝12CC'→＋BC →＋23AB →＝CQ →＋BC →＋PB →＝PB →＋BC →＋CQ →＝PQ →.(2)连结BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC'→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC'→) ＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA'→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA'→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.11．证明 ∵NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→，∴BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →. 又∵P Q →＝PB →＋BC →＋C Q → ＝12BB 1→＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(B 1C 1→＋CB →)＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(BC →＋B 1C 1→)，① 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线， ∴BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →. 代入①式，得P Q →＝12(2λNM →＋2ωNP →)＝λNM →＋ωNP →.∴P Q →，NM →，NP →共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面． 12．A[解析]B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝c ＋12(BA →＋BC →)＝－12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋c＝－12a ＋12b ＋c .]13．解 设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心， 于是有P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝(P A →＋PC →)＋(PB →＋PD →) ＝2PE →＋2PE →＝4PE →，同理可证：P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE 1→，又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以PE →＋PE 1＝2PO →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE →＋4PE 1→＝4(PE →＋PE 1→)＝8PO →.。