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第一轮复习数列通项公式求法
数列通项公式是指可以用一个公式来表示数列中任意一项的公式。
数列通项公式的求法主要有以下几种方法：
1.通过找规律：观察数列中项之间的关系，找出数列中的规律，然后推断出通项公式。
常见的数列规律包括等差数列的公差、等比数列的比率等。
2. 直接计算：对于一些简单的数列，可以通过直接计算数列中的一些项来推断出通项公式。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以通过计算数列的前几项得到通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种证明数列性质的方法，也可以用来求解数列通项公式。
首先证明数列的第一项满足通项公式，然后假设数列的前n项满足通项公式，再证明数列的第n+1项也满足通项公式。
4.利用递推关系：对于一些递推数列，可以通过递推关系来求解数列通项公式。
例如，斐波那契数列的通项公式可以表示为
Fn=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n。
需要注意的是，求解数列通项公式时，并不是所有的数列都能找到通项公式。
有些数列可能只能通过递归或者递推的方式来计算。
此外，还需要注意计算过程中的精度问题，避免舍入误差对计算结果的影响。
总的来说，求解数列通项公式需要观察数列规律、进行数学推理和采用适当的数学方法。
不同的数列可能需要不同的方法来求解其通项公式。
通过掌握以上方法，我们可以更好地理解和分析数列，从而应用数列的性质解决数学问题。
能源个人辅导中心（数学辅导）内部专用讲义高三一轮复习专用(数列通项公式求法)一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
三、累乘法例4 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
答案 例 1.解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
例2.解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
求数列通项的方法数列通项是指数列中每一项与其索引之间的关系，通过通项公式可以求得任意位置上的项。
求数列通项的方法有多种，下面将详细介绍其中的几种常见方法。
一、等差数列的通项1. 直接法：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数，我们可以根据已知条件将其表示为an = a1 + (n-1)d，这就是等差数列的通项公式。
2. 差分法：如果一个数列满足an+1 - an = d，其中d为常数，则称该数列为等差数列。
我们可以通过观察数列的差分结果，如果差分结果是一个常数序列，则可以得出原数列的通项公式，具体过程为反复进行差分操作，直到得到一个常数序列为止。
3. 递推法：递推法是通过数列中的递推关系推导出通项公式。
对于等差数列来说，通常可以通过考虑数列的前一项和后一项之间的关系，建立递推方程，由此可得到数列的通项公式。
二、等比数列的通项1. 直接法：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
这是等比数列通项较为常见的表示方法。
2. 对数法：如果一个数列满足an+1 / an = r，其中r为常数，则称该数列为等比数列。
对于等比数列，我们可以通过取对数的方式将其转化为等差数列，然后再应用等差数列通项公式。
具体过程为对数变换，将等比数列转化为以项数为自变量的函数，然后应用等差数列通项公式。
三、斐波那契数列的通项斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和，其通项公式为an = a(n-1) + a(n-2)，其中a1 = 1，a2 = 1。
可以看出，斐波那契数列的通项公式涉及到前两项的值，因此需要通过递推的方式来计算数列的每一项。
四、其他方法除了上述常见的数列通项求解方法外，还有一些其他特殊数列的求解方法，例如：1. 常数数列的通项为an = a（常数）。
2. 等差几何数列的通项可以通过等差数列和等比数列通项的组合来求解。
数列通项公式的常见求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、累加法（()n f a a n n +=+1型） 2、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得 )1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=-nn a n 1231121-=-+=∴3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则4、已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列的通项技巧有哪些方法
数列的通项技巧有几种常用的方法：
1. 公式法：当数列的通项满足某种规律时，可以通过观察数列的一般形式，找到通项的公式。
例如等差数列的通项公式是An = A1 + (n-1) * d，等比数列的通项公式是An = A1 * r^(n-1)，其中A1是首项，d是公差（等差数列）或公比（等比数列），n是项数。
2. 递推法：当数列的通项与前一项或前几项之间存在递推关系时，可以通过推导出递推关系式，得到通项的表示方式。
例如斐波那契数列的通项可以表示为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n项。
3. 同底数列法：当数列的通项满足同一个底数的幂次关系时，可以利用对数的性质将通项转化为一个等差数列或等比数列的通项。
例如等比数列An = ab^n 可以转化为对数数列log(aAn) = log(a) + n * log(b)，其中log(aAn)表示以a 为底的对数。
4. 差分法：当数列的通项之间存在某种差分关系时，可以通过对数列的通项进行差分，得到一个新的数列，然后再找到新数列的通项。
例如等差数列的差分数列是一个常数数列。
这些方法是数列中常用的技巧，可以帮助快速找到数列的通项。
需要根据具体数
列的特点选择合适的方法。
数列通项公式常见求法1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
对于等差数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等差数列已知首项a1和公差d时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
-递推法：对于等差数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等差数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 + (n-1)d，联立已知条件求解未知数。
2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
对于等比数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等比数列已知首项a1和公比q时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
-递推法：对于等比数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等比数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 * q^(n-1)，联立已知条件求解未知数。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过以下方法求得：- 通项公式法：斐波那契数列有一个特殊的通项公式，即an = φ^n - (1-φ)^n / √5，其中φ为黄金分割比(约等于1.618)。
这个公式可以通过矩阵求解、特征方程、黄金分割法等方法推导得到。
4.幂方数列：幂方数列是指数列中每一项都是公比为一个固定值k的幂函数的数列。
幂方数列的通项公式可以通过以下方法求得：-递推法：对于幂方数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
数列通项的七种方法一、递推公式法递推公式法是一种常见的求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以找到递推公式，从而求得数列的通项。
例如，我们考虑一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，我们可以得到递推公式an = an-1 + d。
其中，an 表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项。
利用递推公式，我们可以通过已知的首项和公差，依次求得数列的每一项。
这种方法简单直观，适用于求解各种类型的数列。
二、通项公式法通项公式法是一种通过数学公式来表示数列通项的方法。
对于某些特殊的数列，可以通过观察数列中的规律，建立通项公式，从而直接求得数列的任意项。
例如，斐波那契数列就可以通过通项公式来表示。
斐波那契数列的通项公式为Fn = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。
其中，Fn表示数列的第n项。
通项公式法适用于某些特殊的数列，可以直接求得数列的任意项，省去了逐项求解的步骤，提高了求解效率。
三、递归关系法递归关系法是一种通过递归关系来求解数列通项的方法。
通过观察数列中相邻两项的关系，可以建立递归关系式，从而求得数列的通项。
例如，斐波那契数列就可以通过递归关系来表示。
斐波那契数列的递归关系式为Fn = Fn-1 + Fn-2。
其中，Fn表示数列的第n项，Fn-1表示数列的第n-1项，Fn-2表示数列的第n-2项。
利用递归关系，我们可以通过已知的前两项，依次求得数列的每一项。
递归关系法适用于一些特殊的数列，可以通过递归的方式来求解。
四、等差数列通项公式对于等差数列，我们可以通过等差数列的通项公式来求解数列的任意项。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
利用等差数列的通项公式，我们可以直接求解数列的任意项，无需逐项计算，提高了求解效率。
求数列通项公式的13种方法在数学中，数列是一组按照一定规律依次排列的数字集合。
求数列的通项公式是对该数列的每一项都能找到一个通用的公式来描述。
这篇文档将介绍13种求解数列通项公式的方法。
1. 模式观察法通过观察数列中数字的变化模式，尝试找出递推关系，并通过推测整理出数列的通项公式。
2. 公式转化法通过对数列进行一系列数学运算，如加减乘除、取幂次等，将数列转化成已知的常见数列，再推导出通项公式。
3. 递推法通过已知的前几项数值，推导出当前项和下一项之间的关系，进而获得数列的通项公式。
4. 二项展开法借助二项展开公式，将数列展开成多项式形式，从而得到数列的通项公式。
5. 求解差分方程法将数列转化为差分方程，通过求解差分方程得到数列的通项公式。
6. 系数法利用多项式系数之间的关系，通过观察系数之间的规律，推导出数列的通项公式。
7. 利用等差数列和等比数列性质对于满足等差数列或等比数列性质的部分数列，可以直接应用等差数列或等比数列的通项公式。
8. 利用级数展开对于部分数列，可以将其展开成级数形式，从而得到数列的通项公式。
9. 奇偶性分析法通过分析数列中数字的奇偶性规律，推导出数列的通项公式。
10. 利用生成函数通过构造数列的生成函数，将数列转化成幂级数形式，再求解得到数列的通项公式。
11. 递归关系法对于一些特殊的数列，可以通过递归关系推导出数列的通项公式。
12. 利用数学归纳法利用数学归纳法证明数列的通项公式的正确性。
13. 利用数值计算方法拟合通过计算机软件等数值计算方法，根据数列的前几项数值进行拟合，得到数列的通项公式。
以上是13种常用的求解数列通项公式的方法。
根据具体的数列情况和求解需要，选择合适的方法进行计算和推导。
> 注意：此文档中的内容仅供参考。
在确定数列的通项公式时，请务必进行独立决策，不要直接引用未经验证的内容。
---以上是对「求数列通项公式的13种方法」的介绍文档。
求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
几种常见数列通项的求法【基础题过关】1．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，而且11a =，求通项n a .2．若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=（*n N ∈），求12n a a a +++ ．3．已知数列{}n a 中，11a =，11113n n a a +=+，则50a =__________________．一、利用数列的“周期性”求通项: 【例题分析】1．已知数列{}n a 满足10a =，1)n a n *+=∈N ，求20a【巩固练习】数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-，（2n ≥且n N ∈），求2003a 。
二、“叠加”法求通项：对形如1()n n a a f n +-=的数列的通项，可用累加法。
【例题分析】2．在数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1n =，2，3，…），且1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【巩固练习】1．已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
2．已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，则数列{}n a 的通项公式为，na n的最小值为3．已知数列{}n a 满足12n n n a a +=+，13a =，求n a ．4．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++三、“叠乘”法求通项：对形如1()n na f n a +=的数列的通项，可用累乘法。
【例题分析】3．已知数列{}n a 满足113a =，123(2)21n n n a a n n --=≥+，求n a .【巩固练习】 1．已知{}n a 中，12n n na a n +=+且12a =，求数列{}n a 的通项公式。
2．已知数列{}n a 满足12n n a n a n++=*()n N ∈，且11a =，则n a =_________．四、“倒数”法求通项:【例题分析】4．数列{}n a 中，若21=a ，nnn a a a 311+=+，则=4a【巩固练习】1． 已知数列{}n a 中，11a =，121nn n a a a +=+，则它的通项公式n a =_________．2．已知数列{}n a 中，其中11a =，且当2n ≥时，1121n n n a a a --=+，求通项公式n a 。
3．已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}na -是等比数列．4．数列}{n a 满足31=a ，115++⋅=-n n n n a a a a ，求通项n a .五、已知数列的和求通项： 【例题分析】5．已知数列}{n a 满足211233333n n na a a a -++++=，n N +∈，求数列}{n a 的通项；【巩固练习】1．数列{}n a 中，123232n n a a a na ++++= ，求n a ．2．已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- （2n ≥），求{}n a 的通项。
六、“待定系数法”求通项: 【例题分析】6．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则n a =【巩固练习】1． 在数列{}n a 中，若11a =，123n n a a +=+，则该数列的通项n a =___________.2．在数列{}n a 中，1a =1,当2≥n 时，有132n n a a -=+，求n a .3．已知数列{}n a 满足135n n a a -=+，11a =，求数列{}n a 的通项公式几种常见数列通项的求法答案【基础题过关】1．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，而且11a =，求通项n a .21n a n =-2．若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=（*n N ∈），求12n a a a +++ ．21n n S =-3．已知数列{}n a 中，11a =，11113n n a a +=+，则50a =__________________． 32n a n =+，50352a =一、利用数列的“周期性”求通项: 【例题分析】1．（05年高考湖南卷试题）已知数列{}n a 满足10a =，1)n a n *+∈N ，则20a 等于A ．0B． CD解析：令1n =，则2a ==； 令2n =，则3a ==；令3n =，则40a ==． 由此发现41a a =，可猜想此数列具有周期性，202a a ==∴点评：由1a 及递推关系先求出前几项，再归纳、猜想出n a ，这一方法比较适用于选择、填空题．对于解答题，猜想出n a 后，还应进一步证明（比如用数学归纳法）．【巩固练习】（02年希望杯）数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-，（2n ≥且n N ∈），求2003a 。
解：11,2a =令2,3,4,n = ，则有23411,2,,2a a a =-== ,3,T ∴=则 20032 1.a a ==-二、“叠加”法求通项：对形如1()n n a a f n +-=的数列的通项，可用累加法。
【例题分析】2．（2007北京文16理15）在数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1n =，2，3，…），且1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式． 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，． 当1n =时，上式也成立， 所以22(12)n a n n n =-+= ，，．【巩固练习】1．已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+[2(1)1][2(2)1](221)(211)1n n =-++-+++⋅++⋅++ 2[(1)(2)21](1)1n n n =-+-++++-+(1)2(1)12n nn -=⋅+-+， 所以数列{}n a 的通项公式为：2n a n =2． (石景山文14)已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，则数列{}n a 的通项公式为，na n的最小值为．222n a n n =-+，54255a =3．已知数列{}n a 满足12n n n a a +=+，13a =，求n a ．122n n a a =-+=21n+4．（08江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++三、“叠乘”法求通项：对形如1()n naf n a +=的数列的通项，可用累乘法。
【例题分析】3．已知数列{}n a 满足113a =，12321n n n a a n --=+（2n ≥），求n a . 解：当2≥n 时，23121a a a a a a n ⋅= (1)-n n a a ，1412-=∴n a n ；当1=n 时，311=a 也满足，1412-=∴n a n ．【巩固练习】1．已知{}n a 中，12n n na a n +=+且12a =，求数列{}n a 的通项公式。
4(1)n a n n =+2．（2007东城一模）已知数列{}n a 满足12n n a n a n++=*()n N ∈，且11a =，则n a =_________． (1)2n n n a +=四、“倒数”法求通项: 【例题分析】4．数列{}n a 中，若21=a ，nnn a a a 311+=+，则=4aA ．192B ．1516C ．58D ．43解：31311,3111+=+=∴+=++nn n n n n n a a a a a a a又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=n a a 1,2111是首项为21公差3的等差数列。
562,2562533)1(211-=∴-=-=⋅-+=n a n n n a n n 19254624=-⨯=∴a 所以选A【巩固练习】1．已知数列{}n a 中，11a =，121nn n a a a +=+，则它的通项公式n a =_________．121n a n =- 2．已知数列{}n a 中，其中，且当n ≥2时，，求通项公式。
解: 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，,11=a 1211+=--n n n a a a n a 1211+=--n n n a a a 2111=--n n a a }1{n a 111=a公差为2，所以，即.3．已知数列{}n a 的首项123a =，121nn n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；4．数列}{n a 满足31=a ，115++⋅=-n n n n a a a a ，求通项n a .31514n a n =-五、已知数列的和求通项： 【例题分析】5．已知数列}{n a 满足211233333n n na a a a -++++=，n N +∈，求数列}{n a 的通项 13n n a =【巩固练习】1．数列{}n a 中，123232nn a a a na ++++= ，求n a ．12,(1)2,(2)n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩2．已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- （2n ≥），求{}n a 的通项。
