北师大版必修5高中数学1.1求数列的通项公式导学案(二)

本章概括●课程目标1.双基目标（ 1）经过平时生活中的实例，认识数列的看法和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），认识数列是一种特别的函数；（ 2）经过实例，理解等差数列、等比数列的看法；（ 3）研究并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式.在公式的推导过程中，经过察看、实验、猜想、归纳、类比、抽象、归纳等过程，经过反省、沟通，培育学生察看、剖析、研究、归纳的能力，领会由特别到一般，由一般到特别的思想方法；（ 4）领会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（ 5）能在详细问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.感情目标（ 1）经过本章学习提升察看、剖析、归纳、猜想的能力.（ 2）“兴趣是最好的老师” ，数列中的奇妙与兴趣定会激发你去学习，去思虑，去研究.（3）经过成立数列模型，以及应用数列模型解决实质问题的过程，培育学生提出、剖析、解决问题的能力，提升学生的基本数学修养，为后续的学习确立优秀的数学基础.●要点难点要点：等差数列与等比数列的通项公式.前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判断，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法研究1.联合实例，经过察看、剖析、归纳、猜想，让学生经历数列看法、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，领会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对照，领会数列是一种特别的函数. 经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对照等差数列研究等比数列，对照一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.指引学生采集有关资料，经历发现等差（等比）关系，成立等差数列和等比数列的模型的过程，研究它们的看法、通项公式、前n 项和公式及其性质，领会它们的宽泛应用.4.帮助学生不停发现、梳理和体验本章包含着的丰富的数学思想方法，设计适合的训练，进一步感觉“察看、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转变与化归、分类议论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等详细方法.本章注意问题：（1）多联合实例，经过实例去理解数列的有关看法 . 数列与函数亲密有关，多角度比较二者之间的异同，加深对双方面内容的理解 . 在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思虑和解决数列问题，特别是平等差数列或等比数列的问题 . 运用函数思想方法以及利用它所获得的很多结论，不单能够深入对数列知识的理解，并且可使这种问题的解答更加迅速、合理.（2）擅长对照学习 . 学习等差数列后，再学等比数列时，能够把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题下手，再研究出等比数列的相应问题，两相比较，能够发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相近似的语句和公式形式，但内容却不同样，之所以有这样的差别，原由在于“差”与“比”不同. 经过对照学习，加深了对两种特别数列实质的理解，会收到事半功倍的成效. （3）要重视数学思想方法的指导作用. 本章包含丰富的数学看法、数学思想和方法，学习时应赐予充足注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第 1 课时数列的看法知能目标解读1. 经过平时生活中的实例，认识数列的看法.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的看法，能划分项和项数，并能依据数列的前几项写出它的一个通项公式，能依据数列的递推公式写出数列的前几项.3.认识数列的分类 .4. 认识数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.要点难点点拨要点：认识数列的看法和简单表示方法，领会数列是反应自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、认识.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性. 两组完整同样的数，因为摆列的次序不同样，就构成了不同的数列. 所以用记号 { a n} 表示数列时，不可以把{ a n} 当作一个会合，这是因为：①数列{ a n} 中的项是有序的，而会合中的元素是无序的；②数列{ a n} 中的数是能够重复的，即数列{ a n} 中能够有相等的项，如1,1,2,2,，但会合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而会合中的元素还能够代表除数之外的其余事物 .(2) 数列中的项的表示往常用英文字母加右下角标来表示，如a n.此中的右下角标n 表示项的地点序号.(3){ a n} 与a n是不同的看法，{ a n} 表示数列a1, a2, a3,, a n, ，而a n仅表示数列的第n 项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的看法，数列的项是指出此刻这个数列中的某一个确立的数a n，因为数列{ a n} 的每一项的序号n与这一项a n的对应关系能够当作序号会合到项的会合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f ( n).而项数是指这个数在数列中的地点序号，它是这个函数值 f ( n)对应的自变量的值，即n 的会合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列仍是无量数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的因素是有限仍是无穷的 .4.通项公式(1)因为数列可看做是定义域为正整数集N+( 或它的有限子集 ) 的函数，数列中的各项为当自变量从小到大挨次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数分析式，项数n 是相应的自变量 .(2) 假如知道了数列的通项公式，那么挨次用1,2,3 去代替公式中的n 就能够求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也能够判断某数是不是某数列中的项，假如是的话，是第几项.(3) 如全部的函数关系不必定都有分析式同样，其实不是全部的数列都有通项公式.如 2 的近似值，精准到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式 .注意：(1) 一个数列的通项公式不独一，能够有不同的形式，如a n=(-1)n，能够写成a n=(-1)n+2，还-1 ( n为奇数 )能够写成a n=，这些通项公式固然形式上不同，但都表示同一数列.1( n为偶数 ),(2)有些数列，只给出它的前几项，并无给出它的构成规律，那么仅由前方几项归纳出的数列通项公式其实不独一 . 如数列 2,4,8, 依占有限项能够写成a n=2n，也能够写成a n=n2- n+2. 只需切合已知前几项的构成规律即可 .5. 数列的递推公式(1)递推公式：假如已知数列的第1 项 ( 或前几项 ) ，且从第二项（或第二项此后的某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)对于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的差别通项公式直接反应a n和 n 之间的关系，即 a n是 n 的函数，知道随意一个详细的n 值，经过通项公式就能够求出该项的值a n；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列随意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不可以由n 直接得出 a n.②怎样用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，一定给出①“基础” ——数列 { a n} 的第 1 项或前几项；②递推关系——数列{ a n} 的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系能够用一个公式来表示.注意： (1) 其实不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2) 此后学习或研究的数列常常以递推公式的方式给出定义或供给信息.(3) 依据数列的递推公式可求数列中的任一项.比如：设数列{ a n} 知足：a1=1，写出这个数的前 5 项 .1 ( n>1)a =1+na n 1由题意可知 a1=1, a2=1+1=1+1=2, a3=1+1=1+1=3， a4=1+1=1+2=5，a5=1+1=1+3=8. a1 a2 2 2 a3 3 3 a4 5 5∴此数列前 5 项分别为： 1，2，3，5，8.23 5本例显示，递推公式和通项公式是反应数列构成规律的两个不同形式. 递推公式反应的是相邻两项或几项之间的关系，它固然揭露了一些数列的性质，但要认识数列的全貌，还需要进行计算，它的计算其实不方便. 而通项公式更着重整体性和一致性，利用通项公式可求出数列中的随意一项.知能自主梳理1.数列的看法（ 1）数列：一般地，依据必定摆列的一列数叫做数列.（ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式能够写成a1, a2, a3, , a n, , 简记为： . 数列的第 1 项a1也称，a n是数列的第 n 项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无穷的数列叫作.3.数列的通项公式假如数列｛ a ｝的第n 项 a 与n 之间的函数关系能够用一个式子表示成 a = ( ) ，那么式子叫作数列 { a } n n n n的 .4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、、.［答案］ 1.(1)序次(2) 项(3) ｛a n｝首项通项2. 有穷数列无量数列3.通项公式4.列表法图像法分析法思路方法技巧命题方向数列的看法［例 1］以下各式哪些是数列？假如数列，哪些是有穷数列？哪些是无量数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1, -1,1,-1,1,-1 ;(5)6,6,6,6,6.［剖析］此类问题的解决，一定要对数列及其有关看法理解认识到位，联合有关看法及定义来解决. ［分析］（ 1）是会合，不是数列；（2）、（ 3）、（ 4）、（5）是数列 .此中（ 3）、（ 4）是无量数列，（2）、（ 5）是有穷数列 .变式应用 1 以下说法正确的选项是 ()A. 数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列B. 数列 1,2,3 与数列 1,2,3, 是同一数列C. 1,4,2, 1， 5不是数列3D. 数列 {2 n-3} 与 -1,1,3,5, 不必定是同一数列［答案］ D［分析］由数列的看法知 A 中的两个数列中的数固然同样，但摆列次序不同样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无量数列，故A、 B 均不正确， C中明显是数列， D 中数列 {2 n-3} 是确立数列，通项公式为a n=2n-3，但-1,1,3,5，前4项切合 a n=2n-3,但后边的项不必定切合此规律，故不必定是同一数列.命题方向数列的通项公式［例 2］写出下边各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33, ;(2)2，4，6，8， ；3153563(3) 1,2,9，8，25， ;222(4) 221， 322，423， 524， .135 7［剖析］ 经过察看，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.［分析］(1) 经过察看，发现各项分别减去1，变成 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n ，故原数列的一个通项公式为 a n =2n +1.(2) 经过察看，发现分子部分为正偶数数列{2 n } ，分母各项分解因式： 1· 3,3 · 5， 5·7 ，7· 9, 为相邻奇数的乘积，即 (2 n -1) · (2 n +1) ，故原数列的一个通项公式为2n.a =n(2n 1)(2n 1)(3) 因为在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都一致成分数，再察看，在数列1 , 4 ，2 29，16，25， 中，分母为 2，分子为 n 2，故 a n =n 2.2 2 22(4) 数列中每一项由三部分构成，分母是从1 开始的奇数列，其通项公式为2n -1 ；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为 ( n +1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n ，综合得原数列的一个通项公式为(n 1)2n n 2 n 1a == .n2n 12n 1［说明］在依据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意察看每一项的特色 . 解题的注意力应集中到追求数列的项与项数的关系上来，察看这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再研究各项中变化部分与对应的项数之间的关系，进而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数：（ 1） 1， 3， 7， 15，31， ;（ 2）1， 1， 1， 1， ；234第n 项有 n 个 9（ 3） 0.9 ，0.99 ， 0.999 ， ， 0. 99 9， .［分析］（ 1）注意察看各项发现各项分别加上1，变成 2,4,8,16,32,, 其通项公式为2n , 故原数列通项公式为 an∈ N +;=2 -1,n（ 2）调整为 1 ，1 ， 1 ， 1 ，它的前几项都是自然数的倒数，∴ 1 ；a =1 2 3 4nn（ 3） 0.9=1 － 0.1 ， 0.99=1 －0.01 ， 0.999=1 － 0.001 ，n 个9n 个 0∴第 n 项 a n =0. 999 =1－ 0. 00 0 1=1－1.10n命题方向数列通项公式的简单应用［例 3］在数列｛ a n ｝中通项公式是 a n ＝（ -1 ）n-1· n 2, 写出该数列的前 5 项，并判断 81 是(2n 1)(n1)170否是该数列中的项？假如是，是第几项，假如不是，请说明原由.［剖析］由通项公式写出数列的前5 项，令 a = 81, 判断能否有正整数解即可 .n170［分析］12 ＝ 1 ，a =(-1) 1 · 22＝－ 42·32＝ 9 .a =(-1) ·， a =(-1)11 2 223 3935 4204=(-1) 3·42＝－16， a 5=(-1) 4 · 52＝25.a7 5359 6 54∴该数列前 5 项分别为：1，－4，9 ，- 16, 25 .2920 35 54令 (-1) n-1 ·(2n n 21) =81得1)( n 170n >1 且为奇数8n 2-81 n +81=0.∴ n =9. 所以81是该数列中的第 9 项 .170［说明］ 已知数列的通项公式能够写出该数列中的随意一项，能够判断一个数（或代数式）能否为该数 列中的项 . 令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，不然不是 .变式应用 3以下四个数中，哪个是数列 { n （ n ＋ 1） } 中的项（）A. 380B. 39C. 32D. 23［剖析］ 数列 { a } 的通项公式 f ( n )= n · ( n +1) ，对于某个数 m ，若 m 是数列 { a } 中的项，则 n ·（ n +1） =mnn必有正整数解 . 若无正整数解，则 m 必定不是 { a } 中的项 .n［答案］ A［分析］ 挨次令 n ( n +1)=23 或 32 或 39 查验知无整数解 . 只有 n ·（ n +1） =380 有整数解 n =19.研究延拓创新命题方向 数列的递推公式［例 4］在数列 { a n } 中， a 1=2, a 2=1, 且 a n+2=3a n+1- a n , 求 a 6+a 4-3 a 5.［剖析］ 由 a 1=2， a 2=1 及递推公式 a n+2=3a n+1- a n , 挨次找出 a 3, a 4, a 5, a 6 即可 . ［分析］ 解法一：∵ a 1=2, a 2=1, a n+2 =3a n+1- a n ,∴ a 3=3a 2- a 1=3× 1-2=1,a 4 =3a 3- a 2=3× 1-1=2,a 5 =3a 4- a 3=3× 2-1=5,a 6 =3a 5- a 4=3× 5-2=13,∴ a 6+a 4-3 a 5=13+2-3 × 5=0.解法二：∵ a n+2 =3a n+1 - a n ,令 n =4, 则有 a 6=3a 5- a 4, ∴ a 6+a 4-3 a 5=0.［说明］递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式能够求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别仔细 .变式应用 4已知数列 { an }的首项1=1,an=2 n-1 +1( n ≥ 2) ，那么 a 5=.a a［答案］ 31［分析］由递推关系式 a n =2a n-1 +1 和 a 1=1 可得a 2 =2a 1+1=3, a 3=2a 2+1=7,a 4 =2a 3+1=15, a 5=2a 4+1=31.名师辨误做答［例 5］已知数列 { a } 的前 4 项为 1,0,1,0，则以下各式能够作为数列{ a } 的通项公式的有（）nn① a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ ; ② a =sin2 nπ， ( ∈ N +); ③ a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ +( -1)( n -2); ④ a1 cosn π===;n2n2n2n21 ( n 为偶数 )⑤ a n =0 ( n 为奇数 )A.4 个B. 3 个C.2 个D. 1 个［误会］ D［辨析］ 误会的原由是以为通项公式只有一个而致使错误.［正解］B 将 n =1,2,3,4 分别代入考证可知①②④均正确. 均能够作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.讲堂稳固训练一、选择题1. 数列 2 ， 5 ， 2 2 ， 11 ， ，则 2 5 是该数列的（）A.第6项B.第7项C.第10项D.第 11 项［答案］B［分析］数列 2， 5 ，2 2 ， 11 ， 的一个通项公式为 a n = 3n 1 ( n ∈ N ＋), 令 2 5 ＝ 3n 1 ,得 n =7. 应选 B.2. 数列 0， 1 ， 1 ， 3 ， 2， 的通项公式为（）32 53n 2B. a n 1C. a = n1D. a n2 A. a ===nnn nn1n2nn［答案］ C［分析］解法一：考证当 n =1 时， a 1=0, 清除 A 、D ；当 n =2 时， a 2= 1, 清除 B ，应选 C.3解法二：数列 0，1，1，3，2， 即数列0，1，2，3，4， ，3253 234 56∴该数列的一个通项公式为a n =n 1,应选 C.n 13. 数列 1，3， 6， 10， x ， 21， 中， x 的值是（） A.12B.13C.15D.16［答案］C［分析］∵ 3-1=2,6-3=3,10-6=4,x -10=5∴,∴x =15.21-x =6二、填空题4. 已知数列 {a n }的通项公式为n=2 +1, 则k +1=.a n a［答案］2k +3［分析］∵ a n =2n +1, ∴a k +1=2( k +1)+1=2 k +3.5. 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a n =1 ( n ∈ N +), 则1是这个数列的第项 .n(n 2) 120［答案］ 10［分析］令 a1 , 即11 ,==n120 n( n 2) 120解得 n =10 或 n =-12 （舍去） . 三、解答题6. 依据数列的前四项的规律，写出以下数列的一个通项公式 .(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3)3，1, 5，3;5211 7(4)2，4，6，8.315 35 63［分析］ (1) 各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n =(-1)n;(2) 各项绝对值能够写成 3×12 ,3 × 22,3 × 32,3 × 42, ，又因为奇数项为负， 偶数项为正， 故通项公式为 a n =(-1) n 3n 2;(3) 因为 1=4,3 =6，各项分母挨次为5,8,11,14 ，为序号 3n +2；分子挨次为3,4,5,6 为序号 n +2，故28 7 14通项公式为 a n = n 2 ;3n 2(4) 因为分母 3,15,35,63可看作2 22-1 ，2a =2n=2n.2 -1,4-1, 6 8 -1 ，故通项公式为n(2n) 2 1 4n 21课后加强作业一、选择题1. 已知数列 1 , 2 , 3 ,4, ,n , 则 0.96 是该数列的（）2 3 4 5n 1A.第 22 项B.第 24 项C.第 26 项D.第 28 项［答案］ B［分析］因为数列的通项公式为a n =n, 由n=0.96 得 n =24，应选 B.n 1n 12. 已知 a n =n 2+n , 那么（）A.0 是数列中的项B.20 是数列中的项C.3 是数列中的项D.930 不是数列中的项［答案］B［分析］∵ a n =n ( n +1), 且 n ∈N +,∴ a n 的值为正偶数，故清除A 、C ；令 n 2+n =20, 即 n 2+n -20=0, 解得 n =4 或 n =-5( 舍去 ).∴ a 4=20, 故 B 正确；令 n 2+n =930, 即（ n +31） ( n -30)=0.∴ n =30 或 n =-31( 舍去 )∴ a 30 =930, 故 D 错 .3. 下边四个结论：①数列能够看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1 ， 2， 3 ， n } ）上的函数 .②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.③数列的项数是无穷的.④数列通项的表示式是独一的.此中正确的选项是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②③④［答案］ A［分析］数列的项数能够是有限的也能够是无穷的 . 数列通项的表示式能够不独一 . 比如数列 1， 0， -1 ，0， 1， 0， -1 ， 0 的通项能够是 a n =sinn，也能够是 a n =cos(n 3)等等 .224. 数列 2，0， 4， 0， 6， 0， 的一个通项公式是（）A. a n = n［ 1+(-1) n ］B. a n =n 2 1［ 1+(-1) n +1］2n ［ 1+(-1) n+1 ］n 1 ［ 1+(-1) nC. a =D. a =］nn22［答案］ B［分析］经考证可知 B 切合要求 .3n +1( n 为奇数 )5. 已知数列 { a } 的通项公式是 a =,则2 3等于（）nn2n -2( n 为偶数 )A.70B.28C.20D.8［答案］ C［分析］由通项公式可得a 2=2, a 3=10, ∴ a 2 a 3=20.+45，则以下表达正确的选项是A.20 不是这个数列中的项B. 只有第5项是 20C. 只有第 9 项是 20D. 这个数列第 5 项、第9 项都是 20［答案］ D［分析］令 a n=20,得 n2-14 n+45=0,解得 n=5或 n=9,应选D.7. 已知数列5, 11 , 17 ， 23, 29 , ,则5 5 是它的第（）A.18 项B.19 项C.20 项D.21 项［答案］ D［分析］察看可得 { a } 的通项公式 : a = 6n 1 ,(n∈N ),5 5 = 125 = 6n 1 ,所以n=21.n n +8. 已知数列 { a } 对随意的p 、q∈N+知足 a = + a，且a 2=-6，那么a 10 等于（）n p+q p qA.-165B.-33C.-30D.-21［答案］ C［分析］∵对随意p 、q ∈N+都有a = + a.p+q p q∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.二、填空题9. 已知数列 3 ,3,15 ,21 ,3 3 ,,3(2n 1) ,, 则 9 是这个数列的第项.［答案］14［分析］数列可写为 3 , 3 3 ， 3 5 ， 3 7 ， 3 9 ，，3(2n 1) ,,所以 a n= 3(2n 1) , 令3( 2n 1) =9.∴n=14.10. 已知数列 { a } 中，a = 2a n 对随意正自然数n 都成立，且 a = 1 ，则 a =.n n+1a n 2 725［答案］ 1［分析］由已知 a = 2a6 = 1 27a6 2 2 6 3又∵a 6=2a5 =2, ∴5=1. a5 2 3a11. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n= n2 n 1, 则它的前4项为.n 1 ［答案］3，7，13， 21.2 3 4 5［分析］取 =1,2,3,4, 即可计算出结果 .n当 n=1时， a 1 1 1 3= = ,11 1 2当 n=2时， a 4 2 1 7= = ,22 1 311 / 12当 n =3 时， a 3=931 =13,3 14当 n =4 时， a 4=1641 =21.4 1512. 以下有四种说法，此中正确的说法是 .①数列 a,a,a , 是无量数列；②数列 0,-1,-2,-3,的各项不行能为正数；③数列｛ f ( n ) ｝可 以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛ 1， 2， ， n ｝的函数值；④已知数列｛ a n ｝，则数列｛ a n+1- a n ｝也是一个数列 .［答案］①④［分析］题中①④明显正确，对于②，数列只给出前四项，后边的项是不确立的，所以②不正确，对于③，数列能够看作是一个定义域为正整数 N +或它的有限子集｛ 1， 2, , n ｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.三、解答题13. 依据数列的通项公式，写出它的前4 项：（ 1） a = n;nn 2n （ 2） a n =( 1).n［分析］(1) 在通项公式中挨次取 n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a n ｝的前 4 项为 :a 1 = 1 , a 2= 2 = 1 , a 3= 3 , a 4= 4 = 2.3 4 2 5 6 3(2) 在通项公式中挨次取n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a ｝的前 4 项为： a =-1, a = 11 1, a =-, a= .n1 2 3442 314. 数列｛ a n ｝的通项公式是 a n =n 2-7 n +6.（ 1）这个数列的第 4 项是多少？（ 2） 150 是不是这个数列的项？假如这个数列的项，它是第几项？（ 3）该数列从第几项开始此后各项都是正数？［分析］（ 1）当 n =4 时， a 4=42-4 × 7+6＝－ 6.（ 2）令 a n =150, 即 n 2-7 n +6=150, 解得 n =16( n =-9 舍 ) ，即 150 是这个数列的第 16 项.(3) 令 a n =n 2-7 n +6>0，解得 n >6 或 n <1( 舍 ) ，∴从第 7 项起此后各项都是正数 .15. 已知数列｛ a n ｝中， a 1=2, a 17=66, 通项公式是项数n 的一次函数 .（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2） 88 是不是数列｛ a n ｝中的项？［分析］（ 1）设 a=,n∴ a 1=a+b =2,①a 17 =17a+b =66,②1112 / 12② - ①得 16a =64, ∴ a =4, b =-2,∴ a n =4n -2( n ∈ N +).(2) 令 4n -2=88 ，∴ 4n =90, n =45+舍去 )，2 N (∴ 88 不是数列｛ a n ｝中的项 .16. （ 1）在数列 1, 5 ,3, 13 , 17 , 中， 3 5 是数列的第几项？（ 2）已知无量数列： 1× 2,2 × 3,3 × 4, , n ( n +1), , 判断 420 与 421 能否为该数列的项？假如，应为第几项？［分析］(1) ∵ 1=1=1 ,a 2= 5 = 1 4,a 3= 1 4 2 ,4= 1 4 3 ,aa由此归纳得 a n = 1 4(n 1) = 4n 3 .令 a n = 4n3 =3 5 , ∴ n =12.故 3 5 是此数列的第 12 项.(2) 由 n = ( +1)=420, 解得 n =20 或 n =-21 （舍去），故 420 是此数列的第 20 项.a n n由 a n =n ( n +1)=421, 得 n 2+n -421=0 ，此方程无正整数解，故 421 不是该数列中的项 .［说明］数列 { a } 的通项公式为 a =f ( n ) ，对于一个数 m , 若 m 是此数列中的项，则方程 f ( n )= m 必有正整nn数解；反之，若 f ( n )= m 无正整数解，则 m 必定不是此数列中的项 .12。

《数列的概念》教学设计一.教学内容解析本节课为北师大版必修五第一章第一节内容，主要讲授数列的概念及数列的通项公式，这部分内容是后续学习等差数列、等比数列及数列应用的基础。

教材中通过大量的实例引入了数列的概念，将生活实际与数学有机地联系在一起。

这能让学生能够体会到数学就在身边，是符合学生的认知规律。

作为数列概念的第一节课，要着重于培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，营造一个良好的教学开端。

教学过程中从日常生活中的实例入切入，直观感受并掌握其中的一些基本关系，感受数列在日常生活中的广泛应用。

基于以上教材分析，我将本节课教学重点确定为：理解数列的概念，认识到数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的简单表示法。

二.学生学情分析数列对于学生来说虽然是一个全新的概念，但由于数列与函数有关内容有着密切的联系。

小初阶段有过找寻数字规律的训练，前期学习的函数相关知识也为他们学习数列奠定了基础。

但是在稍复杂的数列通项公式找寻过程中学生还是会遇到困难。

基于以上学情分析，我将本节课教学难点确定为：认识数列是一种特殊的函数，发现规律并找出数列可能的通项公式。

三.教学目标设置1.理解数列的基本知识，会用数列的通项公式表示数列。

2.通过类比函数学习数列，能够参悟转化与化归的数学基本思想。

在整个教学过程中渗透抽象概括、数学建模、数学运算的核心素养。

3.学习过程中通过大量生活中的实例导入、观察与思考，体验数学魅力，感受数学在解决实际问题中的作用。

四.教学策略分析数列是高中数学的重要内容，作为数列部分的起始内容，在整个教学过程中我将展示实际问题，借鉴生活规律，展现数学之美，从而营造不一样的课堂。

营造“生态课堂”、引导学生进行“动态学习”，让学生参与到整个课堂教学中来。

所以本节课对于教师角色的定位为引导教学者，成为学生学习条件的提供者、学习环境的营造者、学习动力的激励者。

五.教法与学法为了突出重点、突破难点实现教学目标，本节课我将采用直观教学法、讨论教学法、启发式教学、多媒体辅助教学法。

§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。

2.1.2数列的通项公式与递推公式
一、教学目标：
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
a的关系。

3.理解数列的前n项和与
n
二、教学重点难点：
教学重点：数列及其有关概念通项公式及其应用
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

设计流程如下:
四、教学过程：。

数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。

学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。

①3，3，3，3……②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 31、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33……⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……⑥1112,,,6323……四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ （1）数列{}n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。

高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页，让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示；2.利用数列的函数特征判断函数的增减性；3.会用函数方法处理数列问题．【学习重点、难点】重点：数列的函数特性，数列的增减性及最值项。

【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成， C等实验班学生完成【学习过程】（一）基础学习1、复习巩固：①什么是数列？②数列通项公式是什么？（Ａ） 3、认真观察下列数列，总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念？① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001，…③ 100,100,100,100，…（二）学习探究（B ）探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像，并判断数列的增减性。

（提示：依据数列函数特性完成本题）1、1n a n =-+；2、22153n a n n =-+（C ）例3结合例题2第2个小题，判断从第几项起，这个数列是递增的，并求出数列的最小项。

（三）当堂检测1．已知130n n a a +--= ，则数列{a n } 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-，则该数列的增减性为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列5．变式：第4题当一次项的系数变为5时，结果又是什么？请算一算（四）课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2.．完成教材第9页习题1—1第5题.（五）教与学后反思本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.总结反思。

用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( ) A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12+n解法1：121+=+n n a a)1(22211+=+=+∴+n n n a a a又211=+a2111=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时1221211222)()()(21112211-=--=++++=+-++-+-=-----n nn n n n n n n a a a a a a a a显然n=1时满足上式∴=n a 12-n小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。

解： 2132--+=n n n a a a)(3211---+=+∴n n n n a a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a 11)1(413347---+⨯=∴n n n a 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即a n+1<a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{a n}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算a n+1-a n，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列a n=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断a n+1-a n的符号，通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛a n｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1 (n=1)若数列｛a n｝的前n项和记为S n，即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)［答案］ 1.(1)递增递减摆动常（2）a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］(1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n}的图像，其中a n=3n-1.［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.(2)在直角坐标系下，描出点(n,a n).所以a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69.令3(4n+3)=153，解得n=12.故填充完整的表格为：(2)∵a n=3n-1，列表：在直角坐标系中图像如下：［说明］(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列a n=3n-1的图像是函数y=3x-1 (x>0)上的无穷多个孤立的点.变式应用1 已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,作出该数列的图像.［解析］分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.命题方向数列单调性的判断［例2］已知函数f(x)=2x-2-x，数列{a n}满足f(log2a n) =-2n.(1)求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}是递减数列.［分析］（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2a n-2-log2a n=-2n,解这个关于a n的方程即可；（2）只需证明a n +1-a n <0或1+n na a >1(a n >0)即可. ［解析］ （1）∵f (x )=2x-2-x,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n-2-log 2an=-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n .∵a n >0,∴a n =12+n -n .（2）n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有：①作差法：若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列；若a n +1-a n <0，则数列{a n }是递减数列.②作商法：若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列；若nn a a1+<1，则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性. ［解析］ 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 ［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.［分析］ 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］ 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件. 变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. ［解析］ （1）由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N ＋,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. （2）∵a n =n 2-5n +4=（n -25）2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N ＋,∴n =2或3时，a n 有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解. ［解析］ 设在A 公司月工资为a n ，在B 公司月工资为b n ，则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1(n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时，c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时，1.05n -2<2.3，得n <19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n -1<c n , 于是当n ≥20时，c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N +（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ ［解析］ 由题意知，实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2（n -415）2-8201，图像如图所示，由图像知n =4时，a 4最小，a 4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. ［误解］ ∵a n -a n -1=a （21）n -a （21）n -1=-a （21）n<0, ∴数列{a n }为递减数列.［辨析］ 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. ［正解］ ∵a n -a n -1=-a （21）n (n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时，a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时，a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列｛a n ｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.17［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)， ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32［解析］ a n =-n 2+11n =-（n -211）2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，则该函数的图像是（ ）［答案］ A［解析］ 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点（x ,y ）都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，所以A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . ［答案］89 ［解析］ ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1［解析］ ∵a 1=2,a 2=4,∴ , ∴ （舍去）或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］ 令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定［答案］ A［解析］ 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }的最大项为（ ）A.5B.11C.10或11D.36 ［答案］ D［解析］ ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时，a n 取最大值36.3.数列｛a n ｝中，a 1=0，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3+a 5等于（ ） A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531［答案］ C［解析］ ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3＝49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2，则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为（ ） A.11 B.13 C.15D.12［答案］D［解析］ lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=3，a n =a n -1+21 n a (n ≥3)，则a 5=（ ）A.1255 B. 313 C.4D.5［答案］A［解析］ a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中，a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n(n ≥2)，则53a a 的值是（ ） A.21 B. 32 C. 43 D. 54 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和，且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +)，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ［答案］ C［解析］ ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1， ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0， 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =（43）n -1［（43）n -1-1］，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在，最小项为a 3 D.最大项为a 1，最小项为a 4 ［答案］A［解析］ 令t =（43）n -1，则它在N +上递减且0<t ≤1，而a n =t 2-t ，在0<t ≤21时递减，在t ≥21时递增，且n =1时，t =1，n =2时，t =43，n =3时，t =169，n =4时，t =6427，且a 4>a 3，故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12（n ∈N +），则 （1）这个数列的第四项是 ； （2）65是这个数列的第 项；（3）这个数列从第 项起以后各项为正数. ［答案］ －12 11 7［解析］ (1)a 4=42-4×4-12＝-12. (2)令65＝n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. （3）令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n +1的大小关系是 .［答案］ a n +1>a n［解析］ ∵a,b,c 均为实数，f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数，故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列，∴a n <a n +1.11.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 . ［答案］ λ>-3［解析］ 由｛a n ｝为递增数列，得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立， 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立， 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）［答案］ (2)(4)［解析］ 令-2n 2+13n >0，得0<n <213，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项.当n =3时，数列{a n }取到最大值，而当x =3.25时函数f (x )取到最大值. 令-2n 2+13n =-70，得n =10，或n =-27（舍去）.即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1，2，37，25，513，…. （1）写出这个数列的一个通项公式a n ;（2）判断数列｛a n ｝的增减性.［解析］ （1）数列1，2，37，25，513，….可变为11，24，37，410，513，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2，a n =nn 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2,∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0,a n +1>a n .故数列｛a n ｝为递增数列.14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. ［解析］ (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列｛a n ｝,a 1=2,a n +1=2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ,并加以证明.［证明］ 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +). 证明如下：由a 1=2,a n +1=2a n ,得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2＝2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证：21≤a n <1.［解析］ 解法一：因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, an -21=122+n n -21＝)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1.解法二：a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0，即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。