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一．基本观点数列的通 公式：假如数列 { a n } 的第 n a n 与n 之 的关系能够用一个公式来表示， 个公式就叫做 个数列的通 公式．二 .数列的通 公式的求法型一：已知数列的前几 ，求数列的通 公式．例 1 依据数列的前几 ，写出以下个数列的一个通 公式：（ 1）4,1, 4,2, ;52 11 7（ 2） 0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯；（ 3） 1,0, 1,0,1,0,⋯．型二：已知数列的前 nS n ，或 S n 与 a n 的关系，求数列的通 公式。
a n =例 2.（1）已知数列a n 的前 n 和 S n 足 S n n 2 n 1，求数列a n 的通 公式．（ 2） 数列 { a n } 的前 n 和上 ,求数列 { a n } 的通 公式。
S n ，点(n,S n n)(nN ) 均在函数y ＝3x － 2 的 像（ 3）已知在正 数列 {a n 中 其前 n和 n2 snan1 , 求 n} , S ,且 足 :a型三：已知 推公式，求特别数列的通 公式． 1、累加法 : 形如 a n+1=a n +f(n) 的 推关系（ 1）若 f(n) 常数 ,即： a n 1a n d ,此 数列 等差数列，a n =a 1 (n 1)d .（ 2）若 f(n) n 的函数 ，用累加法 .例 3:已知数列 {a n } 足 a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2).(1)求a2, a3(2)求数列 {a n} 的通项公式2、累乘法 : 形如 a n+1=f(n)a n的递推关系（ 1）当 f(n) 为常数，即：an 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此时数列为等比a n数列， a n = a1 q n 1 .（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 ,用累乘法 .例 4.已知数列 {a n} 知足 a1=1,2n-1a n=a n-1 (n≥2)(1)求数列 {a n} 的通项公式 .(2)这个数列从第几项起及后来面的项均小1? 10003、待定系数法 (结构新数列 )：例 5.已知数列 { a n} 知足 a1=1, a n+1=2a n+1, 求数列 {a n} 的通项公式(2) 形如a n 1pa n q n型等式两边同除以 q n 1转变为 (1)形再求解 .例 6 已知数列 {a n} 知足 ,a1=1,a n+1=2a n+3n, 求数列 {a n} 的通项公式pa n型4、取倒数法形如a n 1ra n s例 7. 已知数列 a n中， a1 2 ， a n a n1(n 2)，求通项公式 a n2a n 115.相除法例 8.已知： a12, a n0 ，且 a n 1a n = 2a n 1a n，求 a n三、学习小结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：察看法．2．已知递推公式，求特别数列的通项公式的方法：转变为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法。
2.1.2数列的通项公式与递推公式导学案【学习目标】1．体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前n项．2．掌握由简单递推公式求通项公式的方法．【自主预习】1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的公式．2．数列递推公式与通项公式之间的关系3.仅由数列{a n}的递推公式a n＝f(a n－1)(n≥2，n∈N*)能否确定一个数列？提示：不能．由递推公式确定一个数列，必须满足：①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．二者必须同时具备才能确定一个数列．【互动探究】1.已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由公式a n＋1＝2a na n＋2给出，试写出这个数列的前5项．2.(1)对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝2，求a n；(2)若数列{a n}中各项均不为零，则有a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝a n(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n a n－1＝n－1n(n≥2，n∈N*)，求a n．【课堂练习】1．符合递推公式a n＝2a n－1(n≥2)的数列是( )A．1,2,3,4，… B．1，2，2,22，…C．2，2，2，2，… D．0，2，2,22，…答案：B2．已知数列{a n}的首项a1＝2，a n＋1＝2a n＋1(n≥1，n∈N*)，则a5为( )A．7 B．15C．30 D．47答案：D3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A．a n＋1＝a n＋n(n∈N*)B．a n＝a n－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1C．a n＋1＝a n＋(n－1)(n∈N*)D．a n＝a n－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1答案：B4．数列{a n}中，a1＝2，a n＝a n＋1－3，则14是数列{a n}的第________项．答案：55．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋a nn＋1．(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．。
重庆市綦江县高中数学第二章数列数列通项公式的求法教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市綦江县高中数学第二章数列数列通项公式的求法教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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数列通项公式的求法一、教学目标：1．由数列的前几项求数列的通项． 2．由n a 与n S 的关系求通项n a ． 二、教学重点:由n a 与n S 的关系求通项n a ． 三、教学难点：由n a 与n S 的关系求通项n a ． 四、教学过程：（一）考 点 知 识 梳 理（教师引导学生完成) 1．观察法求数列的通项观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式。
注：关键是找出各项与项数n 的关系. 2．由n a 与n S 的关系求通项n a若已知数列｛an}前n 项和为Sn ，则该数列的通项公式为)1(,1==n S a n ,)2(,1≥-=-n S S a n n n 。
注意：要先分n =1和n ≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
(二）典例分析考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: （1)－1，7，－13，19,…；(2)错误!，错误!，错误!,错误!，错误!，…； （3）错误!，2,错误!,8，错误!,…； （4)5，55，555，5 555，…。
解 （1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝（－1）n(6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5，5×7，7×9,9×11，…,每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝错误!。
【学习目标】掌握数列通项公式的各种求法。
【重点难点】根据不同条件，选择合理的方法求通项公式。
数列通项公式的求法一、直接法例1、根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 1、 ,31,15,7,3,12、 ,31,52,21,32,1,2 3、 ,25,16,9,4,1---二、公式法（等差数列、等比数列通项公式可直接用公式） 例2、等差数列{}n a 是递增数列，且931,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。
三、知n S 求n a ，利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 例3、已知数列n a 的前n 项和n S 22-+=n n ，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：若数列{}n a 满足522121212133221+=++++n a a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
四、累加法：形如)(1n f a a n n =-+型 例4、在数列{}n a 中，n a a a n n +==+11,3，求数列{}n a 的通项公式。
练习：若数列{}n a 满足n n n a a a 2,111+==+，求数列{}n a 的通项公式。
五、叠乘法：形如)(1n f a a nn =+型 例5、若数列{}n a 满足n n a n n a a 21,111++==+，求n a六、知n n S a 与关系 例6、数列{}n a 的前n 和n S ，)1(31-=n n a S ，求n a练习：已知数列{}n a 中，1),2(12212=≥-=a n S S a n n （1） 求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。
七、构造法：已知递推公式求通项公式（1）待定系数法：形如)0,(1≠+=+q p q pa a n n 例7、已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求n a方法规律：（2）取倒数例8、已知数列{}n a 中，,22,111+==+n n n a a a a 求通项n a变式练习：已知数列{}n a 中，,23,111+==+n n n a a a a 求通项n a【课后作业与练习】基础达标1、已知数列{}n a 的通项公式是⎩⎨⎧-+=为偶数）为奇数）（n n n a n (22n 13，则=32a a （ ）A 、70B 、28C 、20D 、82、已知数列{}n a 的前n 项和n S n n 92-=，第k 项满足85<<k a ，则k 等于（ ）A 、 9B 、8C 、7D 、63、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且)1(2-=n n a S ，则2a 等于（ ）A 、7B 、30C 、15D 、314、数列{}n a 中，)2(1,111≥-==-n a a a n n ，则2008a （ ）A 、1-B 、5C 、1D 、45、 已知数列{}n a 中，n a a a n n n -=-=+2,111求通项n a6、已知数列{}n a 满足073,111=-+=-n n a a a ，求数列{}n a 的通项。
数列的通项公式与递推公式一、教学目标：1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系。
3.理解数列的前n项和与n二、教学重点难点：教学重点：数列及其有关概念通项公式及其应用教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学策略及设计“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
设计流程如下:四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1、复习引入：（1）数列及有关定义（2）数列的表示方法通项公式法如数列0，1，2，3，4，5，…的通项公式为na=n－1(∈n*N)；列表法图象法学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
2、分析归纳，形成数列概念。
问题1. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用na表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=nan≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
高中数学第二章数列2.1.2 数列的通项公式与递推公式说课稿新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章数列2.1.2 数列的通项公式与递推公式说课稿新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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《数列的概念与简单的表示法》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用“数列数列的概念”这节课的教学内容是高一数学教学模块⑤第二章《数列》的第一节，是本章的开启课。
数列是高中数学的重要内容之一,它的地位作用可以从三个方面来看:（1)数列有着广泛的实际应用。
如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理;再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。
（2）数列起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备.因此就有必要研究数列。
（3）数列是培养学生数学能力的良好题材。
学习数列,要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。
2、教学重点与难点教学重点：数列的概念及理解数列是一种特殊的函数教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式由于这是《数列》这一章的开启课,以后所学的等差数列、等比数列都是本节所学数列的特殊情况，故如何根据数列的前几项推导出数列的一个通项公式是本节课要突破的一个教学难点。
数列通项公式的求法教案教学目标(1)使学生熟练掌握数列通项公式几种类型的求法； (2)培养学生观察、分析、提出问题和解决问题的能力． 教学重点、难点：数列通项公式的求解中，对条件的转化和推理。
教学过程：引入新课：通过前几节课的学习，我们看到表示数列的方法是多种多样的．例如，用通项公式a n =f(n)表示；用数列的前n 项之和S n 与通项a n 的关系式表示；用初始项和递推关系式表示．今天，我们来研究数列的通项公式的几种类型求法． 类型一 观察法：已知前几项，写通项公式类型二、公式法对于等差、等比数列可直接利用通项公式 等差数列：a n=a 1+(n -1)d 等比数列：a n=a 1q n-1注：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差1 41111 1 - -2342 2 0 2 0例写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（），，，（），，，11(1) 1 (2) (1)1n n n n a n a ++-==-+解：（）或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
例2.已知{log2 a n}是以2为公差的等差数列,且a 1=1,求a n 类型三、前n 项和法 已知前n 项和，求通项公式[例3]设﹛a n ﹜的前n 项和为Sn ,且满足sn =n 2+2n -1, 求﹛a n ﹜的通项公式类型四、累加法 累乘法[例4]在﹛a n ﹜中，已知a 1=1,a n=a n-1+n (n ≥2),求通项a n.1()n na f n a +=⋅11 (1) (2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩211212 21 1 22 21 [(1)2(1)1] 212 12n n n n n s n n n a s n a s s n n n n n n a -=+-∴===∴≥=-=+---+--=+=∴= 解：当时当时1 2n n ⎧⎨+≥⎩1()n n a a f n +=+11223343221 1 2 3 .......3 2 n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a a a -------=+=+-=+-=+-=+=+ 解：以上各式相加n 1 a (234)(n+2)(n-1)=1+2a n =+++++ 得[例5]练：类型五、形如 的递推式[例6]分析：配凑法构造辅助数列(待定系数）练：{}111311,3(2)2n n n n n a a a a n a ---==+≥=n 已知中,证明：{}12,3,.n n n n na a a a a +==⋅1已知中，求通项123412312342322123211 3, 3, 3, 3 ....... 3, 333333 23n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------------=======⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323n n n n n n a +++⋅⋅⋅+=⋅=⋅{}122,2,.n n n n a a a a a n +⎛⎫==+⋅ ⎪⎝⎭1已知中，求通项1n n a pa q+=+{}111,2 1 .n n n n a a a a a +==+数列满足,求{}()11-1111 2 1 12 1 12(1) 12 11121122n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a ----=+∴+=++=++∴=∴+++=+= 解：是以为首项，以为公比的等比数列类型六、形如的递推式课时小结：例8：{}{}111,,21nn n n n a a a a a a +==+数列满足:求通项公式1nn n pa a qa p+=+例7：1112,0,2.n n n n n n a a a a a a a ++=≠-=已知且,求11n nn na a p a a ++-=11111112 211-211545-1(-2)-222245n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n a a a n +++-=∴-=⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭-+∴=+=+=∴=-+ 解：是以为首项，以为公差的等差数列（）111n 11n 12111221a 11 2a a n n n n n n a a a a a a -----+===++⎧⎫⎨⎬⎩⎭解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22 1 21n n n n a a a n =+-=+∴=+以上各题用到的求通项公式的方法有：观察法、公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差或等比数列，其中用到待定系数法）及⎩⎨⎧≥-==-)2n (S S )1n (S a 1n n 1n .请同学们认真体会、总结其中的规律。
第2课时数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：已知a n＋1＝2a n，a1＝2，a5的值是什么？[提示]a5＝32.2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列{a n}的关系式a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是()A.1，2，3，4，…B．1, 2，2，22，…C.2，2, 2，2，…D．0, 2，2，22，…[答案]B2．数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2－a n，a1＝2，a2＝5，则a5＝() A.－3B．－11 C．－5D．19D[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]3．已知a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a5＝．85[a2＝1＋1a1＝1＋1＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.]4．数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 022－a2 021＝________．2 021[由a n＋1－a n＝n，得a2 022－a2 021＝2 021.]由递推关系写出数列的项【例1】已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n＝a na n＋1构造一个新的数列{b n}，写出数列{b n}的前4项．[解](1)∵a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[跟进训练]1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1011n，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．思路探究：①a n＋1－a n等于多少？②n为何值时，a n＋1－a n>0？a n＋1－a n<0?[解]法一：(单调性法)∵a n＋1－a n＝(n＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1011n＋1－(n＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝⎛⎭⎪⎫1011 n·（9－n）11，当n<9时，a n＋1－a n>0，即a n<a n＋1；当n＝9时，a n＋1－a n＝0，即a n＝a n＋1；当n>9时，a n＋1－a n<0，即a n>a n＋1；故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝1010119.法二：(最大项法)设a k是数列{a n}的最大项．则⎩⎨⎧a k≥a k－1，a k≥a k＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧（k＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k⎝⎛⎭⎪⎫1011k－1，（k＋1）⎝⎛⎭⎪⎫1011k≥（k＋2）⎝⎛⎭⎪⎫1011k＋1，整理得⎩⎨⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为 a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N *且k ≥2都成立，解不等式组即可．[跟进训练]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2，3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎨⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4， 解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2或3，∴a 2＝a 3且最小． ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.由递推公式求数列的通项公式 [探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？[提示] 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22， a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…， 由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30).2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？[提示] 对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？[提示] 等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2.则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *).【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ；(2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .思路探究：(1)先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1），∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ， ∴a n ＝－1n (n ≥2).又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n (n ∈N *).(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n (n ∈N *).1．(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得： a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2， …，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3.因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3.将上面的n －1个式子相乘可得 a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.2．将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”求数列{a n }的通项公式．[解]∵a n a n－1＝a n－1－a n，∴1a n－1a n－1＝1.∴1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a1＋(1a3－1a2)＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n－1＝＝n＋1.∴1a n＝n＋1，∴a n＝1n＋1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n＋1＝a n＋f(n)或a n＋1＝g(n)·a n，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n＝a n－1＋f(n)时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当a na n－1＝g(n)时，常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1求通项公式．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列a n与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.1．判断正误(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． ( ) (2)有些数列可能不存在最大项． ( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法． ( ) (4)所有的数列都有递推公式． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式． 2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2) C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．]3．数列{a n }中，a n ＝n － 2 021n － 2 022，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50C [a n ＝n － 2 021n － 2 022＝1＋2 022－ 2 021n － 2 022.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝ 2 022－ 2 021x － 2 022的图象(图略)，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min＝a 44.]4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] 由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n－1－a n－2＝ln n－1 n－2，…，a2－a1＝ln 2 1.∴当n≥2时，a n－a1＝ln (nn－1·n－1n－2·…·21)＝ln n，∴a n＝2＋ln n(n≥2).当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n＝2＋ln n(n∈N*).- 11 -。
