解三角不等式,复合函数单调区间练习

三角函数例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos625sinπππππππ-----+-++tg 的值解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。

分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：tan α=tan[(α-β)+β]=31171217121=⋅+-，∴α∈（0，4π） tan β=-71 ∴β∈（,2ππ），∴2α-β∈（-π，0） tan2(α-β)=341141=-∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=713471341⋅+-=1 所以2α-β=-43π例3：已知tan2θ=-22，θ∈（24,ππ），求：)sin()sin(31sin cos 23322θθθππθ-⋅+--的值。

解：原式=43232cos sin cos +-θθθ∵tan2θ=-22,2θ∈(2π,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=22,x=1,则r=3∴cos2θ=31-,sin θ=33sin , 3622cos 1==-θθ所以原式=)21(443633633-=+--例4：化简：)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+⋅--+解：∵tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)ββααβαβαβααβαβαβαβααβαβαtan )tan(tan tan tan )tan()tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(=+⋅⋅⋅+=+-+-+=+⋅--+∴说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+变形，把tan α+tan β用α+β的正切及tan α²tan β来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)²tan2α+tan(75°-α) ²tan2α的值等等。

高中三角函数练习题含答案一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．若,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，a ∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=______（提示：sin y x =在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上严格增函数） 5．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____． 6．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）7．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.9．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x a f x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<14．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C ．105D ．25515．已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．函数()f x 的最大值为33216．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin 3B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3217．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π18．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A ．21B 3C ．31D ．219．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18520．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 23．已知函数()()()()223sin cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合.24．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围. 25．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.26．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由. 27．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.28．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.29．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；(2)若6,BC AB AD ==b ．30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．3π2．73．1008或1009 4．1 5．③④ 6．①②③7．0 8．9[,4]4-9．2510二、单选题 11．D 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D 17．C 18．D 19．A 20．D 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难. 22．（12）104ω<≤ 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >-又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤ 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.23．（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可.【详解】解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.24．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ（2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ=所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)] 【点睛】本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.25．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 26．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减，∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.27．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.28．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6-【解析】 【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos )αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.29．（1）13； （2【解析】 【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B , 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B ⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=,(2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =, 在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=,()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==.BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦.【解析】 【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值； （2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围． 【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =； 即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ） 即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]． 【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。

高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.3．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．4．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________. 6．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．9．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,213．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27π B ．25π C ．2π D ．23π14．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥15．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦16．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞17．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）A 2B ．33C 5D ．218．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,419．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．920．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，5()5f αβ+=-， 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.25．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.26．已知向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知数列()2*11224n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求{}n a 的前2n 项和2n S .27．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 28．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．29．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 30．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，2．②④3．20π4．③④ 5．46．28π7．①③8． 3 21,32⎡⎢⎣⎦9．π3##60°10．⎡⎢⎣⎦ 二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．B 15．A 16．D 17．B 18．C 19．A 20．C 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案.【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 24．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 25．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题26．（1）单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）)22n n +【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；（2）由题意可得()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦，又()()2221241n n n --=-+，则)2442434n S n n =--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，再利用等差数列求和公式即可得解.【详解】解：（1）向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-≤+≤+，可得71212k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 解得()f x 的单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为22112sin 2244n n a n f n n ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦， 又()()2221241n n n --=-+，)2442434n S n n --⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，所以())2234122n n n S n n --+==+．【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题. 27．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =（2，2cos2（ωx +φ）），b =（22，22-），∴f （x ）222222a b =⋅=⨯-⨯cos2（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．28．（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围. 【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f xg t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.29．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1-【解析】 【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+．（2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=-时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 30．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[2]-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。

高考数学三角函数与解三角形多选题练习题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324312S a bc ⎛≤-⨯-= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得33c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以23c =，33b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，33c =，33b =，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以ABC的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.3．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABCD ．ABC 的中线CD的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()70c t t =>， 因为63ABCS =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =， 故ABC 的周长为1027+，A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确； C 项：因为π3C =，所以3sin 2C =， 由正弦定理得274212sin 33c R C ===，2213R =，C 错误； D 项：由余弦定理得2227cos 22427a c b B ac +-===⨯⨯， 在BCD △中4BC =，7BD =，由余弦定理得27cos 247B ==⨯⨯，解得19CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.4．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积最大值为32+D ．四边形ABCD 3 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin 2B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S SSθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(32πθπθ∈∴-∈-，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】 本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列” C ．若(),2n r a n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误.【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦， 当n 是奇数时，()211k n k n a a k +=---+，则存在1k 时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<.又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确.【详解】由69S S =得，960S S -=，即7890a a a ++=，又7982a a a +=， 830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确； 由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列， ()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误. 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.。

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。

【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。

【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．3．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.4．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）5．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.6．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ）A B C D 12．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=13．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π； ③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④14．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >15．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,216．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．317．已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．函数()f x 3318．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,64A π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 22．已知函数()()()()223sin cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合.23．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.24．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.25．已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =. （1）当5a =时，求不等式2(())0f g x ≥的解集； （2）求函数4(())y f g x =的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为()g x ，()g x 满足条件：存在实数a ，使得关于x 的不等式(())0f g x ≤的解集为[,]s t ，其中常数s ，t R ∈，且0s >.对选择的()g x 和任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.26．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围. 27．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.28．已知函数21()sin 24f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．②④ 2．103．564．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭5．⎫⎪⎪⎣⎭6．80π7．258．1或2##2或19．10．6二、单选题 11．D 12．C 13．B 14．A 15．A 16．B 17．B 18．B 19．A 20．C 三、解答题21．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭212sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．22．（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可.【详解】解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.23．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，故()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.24．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12t x x -=- 【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.25．（1）[31log 2,)++∞；（2）2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩；（3）1a ≥-. 【解析】（1）令()2u g x =，则()0f u ≥的解为1u ≤-或6u ≥，由后者可得2(())0f g x ≥的解. （2）令()4t g x =，则[1,1]t ∈-，分类讨论后可求26y t at =--，[1,1]t ∈-的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取()32()log g x g x x ==，可以证明()g x 满足条件，再利用换元法考虑任意[2,4]x ∈，不等式(())0f g x ≤恒成立可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，()256f x x x =--.令()2u g x =，因为2560u u --≥的解为1u ≤-或6u ≥， 所以31x ≤-（舍）或36x ≥，故31log 2x ≥+， 所以2(())0f g x ≥的解集为[31log 2,)++∞. （2）令()4cos ,t g x x x R ==∈，则[1,1]t ∈-，函数4(())y f g x =的最小值即为()26h t t at =--，[1,1]t ∈-的最小值.当()1,12a ∈-即22a -<<时， ()2min 64a h t =--. 当12a≤-即2a ≤-时，()min 5h t a =-； 当12a>即2a >时， ()min –5h t a =-. 故2min–5,26,2245,2a a ay a a a -≥⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≤-⎪⎩. （3）取()32()log g x g x x ==，令2log u x =，设260u au --≤的解集为闭区间[]12,u u ，由12u u u ≤≤得1222u u x ≤≤，故(())0f g x ≤的解集为122,2u u ⎡⎤⎣⎦，取12u s =，则0s >，故()g x 满足条件.当[2,4]x ∈时，2[]1,u ∈，故()0f u ≤在[1,2]上恒成立，故2211602260a a ⎧-⨯-≤⎨--≤⎩，解得1a ≥-， 所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题. 26．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ； （2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.27．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ）当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩ （3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 28．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) ∅ 【解析】 【分析】（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算周期和单调区间.（2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案. 【详解】解：（1）函数21()sin 24f x x x =11cos 2sin 242x x +=11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ==． 由题意可知：222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零． 当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m 当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <- 综上所述，m 的范围为∅. 【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.29．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果. 【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知：c a =ABC ∆∴为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+2222b b ac a ∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦.【解析】 【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值； （2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围． 【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =； 即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ） 即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩m≤2故得m的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。

专题07 三角函数的图像与性质【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 最小正周期为224332T πππω===，故选：C 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．的【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=.故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 【命题意图】（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等）. （3）能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】（一）函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 【好题训练】1．【2020广西南宁高三调研】如图，直线 2230x y +-=经过函数() sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则A ．2πω=，4πω=B ．ωπ=， 0ϕ=C ．2πω=，4πϕ=-D ．ωπ=， 2ϕπ=【答案】A【解析】由M ，N 分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和1-，代入直线2230x y +-=得其横坐标分别为12和52，故1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得51 2222T =-=，故24T πω==，故2πω=，M代入()f x 得11sin 22πϕ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭，故12222k ππϕπ⨯+=+，所以24k k Z πϕπ=+∈，因为||ϕπ<，所以4πϕ=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.2．【2020福建三明高三三模】函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为 A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意得22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选D.【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及性质，考查二次函数值域，考查运算求解能力，是中档题.3．【2020安徽阜阳高三模拟】已知函数()()2sin 0,0y x ωθωθπ=+><<为偶函数，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，若12x x -的最小值为π，则 A ．=2=2πωθ， B ．1==22πωθ， C ．1==24πωθ，D ．=2=4πωθ，【答案】A【解析】因为函数与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，且12x x -的最小值为π，所以周期T π=，,所以2==2πωπ，又函数为偶函数且0θπ<<，所以=2πθ，故选A. 【名师点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.4．【2020河南洛阳高三联考】将函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()g x 的最大值为2，可知A 错误；()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误；当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,62x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.5．【2020湖南邵阳高三质检】已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π，若()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，则正数ϕ的最小值为A ．6πB ．56π C ．3π D ．4π 【答案】B【解析】∵函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π， ∴1224ππω⋅=，∴4ω=，∴()sin(4)f x x ϕ=+， 又∵()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，∴6x π=是()f x 的一条对称轴，∴462k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ ，∴6，k k Z πϕπ=-∈.∵0ϕ>，故令1k =，得56πϕ=为最小值.故选：B. 【名师点睛】本题为考查“()sin()f x A x b ωϕ=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型. 6．【2020广东省韶高三调研】已知函数ππ()sin cos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是 A ．()f x 的图象关于π=4x 对称 B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 的一个对称中心是(π,0)【答案】D【解析】ππ1π1()sin cos sin 2|cos2|44222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由()f x 的图象知，()f x 的图象关于π4x =对称，故A 正确；()f x 的最小正周期为π2，故B 正确； ()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故C 正确；点(π,0)不是()f x 的一个对称中心，故D 错误.选：D【名师点睛】本小题考查三角函数的图象，考查余弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调区间等基本知识，考查了运算能力，逻辑推理能力，函数与方程思想，属于中档题.7．【2020江西赣州高三诊断】已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.8．【2020广东佛山高三模拟】已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为A ．1B ．3C ．6D ．7【答案】D【解析】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称.令()cos g x x π=，则()g x 的图像如图所示，由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点且实数解的和为2317⨯+=,故选D.【名师点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨论. 9．【2020湖北襄阳高三模拟】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③.【名师点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020河南郑州高三质检】已知函数()1cos 2c 4os f x x b x c =++，若对任意1x ，2x R ∈，都有12()()4f x f x -≤，则b 的最大值为 . 【答案】2 【解析】2111()cos 2cos cos cos 424f x x b x c x b x c =++=++-，令[]cos 1,1t x =∈-，问题等价于211()24g t t bt c =++-， 对任意1t ∀，[]21,1t ∈-，都有()()124g t g t -≤，即max min ()()4g t g t -≤， 欲使满足题意的b 最大，所以考虑0b >，21()2g t t bt c =++对称轴为x b =-，当01b <<时，2max min 11()(1),()()22g t g b c g t g b b c ==++=-=-+m max 22in ()()4111(1)2222g t g t b b b =-=++<≤+，01b ∴<<；当1b ≥时，max min ()()(1)(1)24g t g t g g b -=--=≤，2b ≤，12b <≤，综上，02b <≤,b 的最大值为2，故选：C.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，属于较难题．。

专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。