1_6极限存在准则

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高等数学1.6极限存在准则两个重要极限公式教学内容.ppt

2024年9月27日星期五
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
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内容小结
1. 极限存在的两个准则夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
2024年9月27日星期五
15
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作业
习题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6）
思考与练习
3（3）（4）
1. 填空题 ( 1～4 )

1-6 两个重要极限

n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午 12时31 分35秒上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢谢大家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10

同济大学高等数学第六版作者答案详解1-6

25　１畅计算下列极限：（１）lim x →０sin ωx x ；（２）lim x →０tan ３xx；（３）lim x →０sin ２x sin ５x；（４）lim x →０x cot x ；（５）lim x →０１－cos ２xx sin x；（６）lim n →∞２nsin x２n （x 为不等于零的常数）．解　（１）当ω≠０时，lim x →０sin ωx x＝lim x →０ω·sin ωx ωx ＝ωlim x →０sin ωx ωx ＝ω；当ω＝０时，lim x →０sin ωxx＝０＝ω，故不论ω为何值，均有lim x →０sin ωxx＝ω．（２）lim x →０tan ３x x ＝lim x →０３·tan ３x ３x ＝３lim x →０tan ３x３x＝３．（３）lim x →０sin ２xsin ５x ＝limx →０sin ２x ２x ·５x sin ５x ·２５＝２５lim x →０sin ２x ２x ·lim x →０５x sin ５x ＝２５．（４）lim x →０x cot x ＝lim x →０x sin x ·cos x ＝lim x →０xsin x ·lim x →０cos x ＝１．（５）lim x →０１－cos ２x x sin x ＝lim x →０２sin ２x x sin x ＝２lim x →０sin xx ＝２．（６）lim n →∞２nsin x２n ＝lim n →∞sinx ２n x２n ·x ＝x ．２畅计算下列极限：（１）lim x →０（１－x ）１x ；（２）lim x →０（１＋２x ）１x ；（３）lim x →∞１＋x x２x ；（４）lim x →∞１－１xkx（k 为正整数）．解　（１）lim x →０（１－x ）１x ＝lim x →０［１＋（－x ）］１（－x ）（－１）＝e－１．（２）lim x →０（１＋２x ）１x ＝lim x →０（１＋２x ）１２x ２＝e ２．（３）lim x →∞１＋xx２x ＝lim x →∞１＋１xx２＝e ２．26　（４）lim x →∞１－１xkx＝lim x →∞１＋１（－x ）（－x ）（－k ）＝e－k．倡３畅根据函数极限的定义，证明极限存在的准则Ⅰ′．准则I ′　如果（１）g （x ）≤f （x ）≤h （x ），x ∈U 。

1-6 极限的运算法则

4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
由无穷小与无穷大的关系,得由无穷小与无穷大的关系得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分分母,以分出无穷小然后再求极限. 子,分母以分出无穷小然后再求极限分母以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限. 先变形再求极限
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0

高等数学课件同济六版上册1-6

法2 找两个趋于
n
, 使的不同数列 xn 及 xn
n
) lim f ( xn ) lim f ( xn
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2 有
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n ) 1 2 n n xn
x
x lim (1 1 ) e x
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
从而有
t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] e lim [(1 1 ) ( 1 t t t
定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
Note: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x

e 1
例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos xx x x 2x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
m 7. lim 1 _____ x x

1-6极限准则两重要极限

例8 求极限解令
arcsin x lim x 0 x
则
arcsin x t
x sin t
t 1 原式= lim t 0 sin t
思考
arctan x lim ? x 0 x arccos x lim ? x 0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
1 1 1 1 1 1 n 1 xn 1 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n
0 ( )型 0
tan x sin x 例4 求极限 lim 3 x 0 x
0 ( )型 0
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 1 sin x cos x lim x 0 x x2
sin x 1 cos x 1 lim 2 x 0 x x cos x
2
sin x 即 cos x 1, x
2
lim cos x 1,
x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
0 ( )型 0
例2 求极限解
tan x lim x 0 x
0 ( )型 0
tan x lim x 0 x
sin x 1 lim x 0 x cos x
1 2
cos x cos 3 x 例5 求极限 lim x 0 x2 cos x cos 3 x 解 lim x 0 x2
2 sin(2 x ) sin x lim 2 x 0 x

高等数学1-6 同济第六版

2π
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
n
2π sin n 证: lim An lim πR 2 n 2π n n
证明:
R
注: 计算中注意利用
( x ) 0 重要 !
三、单调有界数列的收敛准则
准则II ：单调有界数列必有极限。
若数列{xn}满足 x1 x2 x3 xn xn1
t 1 t t
x
e
x 1 x 1 x 故 lim (1 1 ) e ( 因 lim ( 1 ) lim ( 1 x x x) e )
x
x
例5.
解: 令 t x , 则
1 t lim (1 ) t t 1 lim
t
几何平均值算术平均值
n
a1 a2 an a1 a2 an n
Cauchy不等式
第二步, 证明数列{xn}有界.
1 1 1 n 1 1 1 1 1 xn (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 4 4 n 2 2 n n n
( 形如1 的情形要注意用此极限并 “凑”成标准型 )
课堂练习
求极限:
作业
P56-57
1/(2)(3)(4)(6)
2
4/(2)(3)
提示：利用单调有界数列有极限证明。先用归纳法证明有界，再证明单调。
下页有思考题.
思考题
(中科院2001硕士入学考题)
（研1996 ）
ε 0, 正整数 N 1 , 当n N 1 时, | yn a | ε. ε 0, 正整数 N 2 , 当n N 2 时, | zn a | ε.

1-6极限运算法则

二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2
x3 1 3x5
limx3 lim1
x2
x2
lim(x2 3x5)
x0
x
6、xl im excoexsx ______. ____
7、lx i0m 4x34x22x22xx______. ____ 8、lim (2x3)20(3x2)30_____._____
x (2x1)50
二、求下列各极限:
1、 li(m 111.. .1)
n 2 4
2n
2、lim (xh)2x2
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 求lx i m 27xx33 34xx22 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用去除分 ,分子出分 ,再无母求穷 . 极小限
2x3 3x2 lx im 7x3 4x2
5lim23xx53 1 x74xx13
limsinx0. x x
y sin x x
例7
设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,
x0 ,求 lif m (x ). x0 x 0
解 x0是函数的 ,两分个段单点侧极限
lim f(x )li(m 1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x)li(m x21 ) 1,
思考题

1.6 极限存在准则

9
例4 证明：(1) lim(1 1 )n e; (2) lim(1 1 )x e
n
n
x
x
证 (1) 设
xn

1
1 n
n
,
yn

1
1 n
n1
a1a2
an1

a1

a2 n
1

an1
n1
(ai 0)

xn

1
1 2

n2
1 n
1 n2
2 n
2
L
n2
n n
n
所以
1 2 L n n (n 1) / 2 n2 n 1 n 2 n 1
lim
n

n
2
1 n
1 n2
2 n
L 2
4
定理1.6.2(函数的两边夹准则) 设函数f(x),g(x),h(x)满足条件
Table[N[(1 + 1/n)^n, 20], {n, 1000, 10000, 1000}] 运行得：
{2.7169239322358924574,2.7176025693231394203,
2.7178289198746224552, 2.7179421210793585709,
2.7180100501018540468, 2.7180553395755901871,
（1）g( x) f ( x) h( x)，x U 0( x0 ) (或 x X ) (2)lim g( x) A，lim h( x) A 则函数f (x)的极限存在，且有 lim f (x) A。其中极限趣向，可以是任何情形。

A1-6极限存在准则

limh(x) A, lim g(x) A.
h(x) A , g(x) A . 其中 0, 0.
f (x) A [A (A )].
A ( ).
C
两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
证 1.若a≥1
1 n a an2 n
证明 lim n n 1,. n
例2：求证
lim n 1 3 5 (2n 1) n 2 4 6 2n
1
证：123456 (2（n2n1)) 1
n 1 3 5 (2n 1) 1
2 4 6 2n
又
1 3 5 (2n 1) 2 4 6（2n)
2
)2
2 x0 x
1 2
12
1. 2
2
又 2) lim x , 3) lim arcsin x
x0 tan 5x
x0 x
2) 原式 lim x cos5x 1 lim 5x lim cos5x 1
x0 sin 5x
5 x0 sin 5 x x0
5
3) 设 u=arcsinx x→0时u→0,
x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
lim
x0
(1
x
)
2 x
2
2
1 2
1
e2
1
e2
e
例. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x

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1 2 n! (1 1 ) (1 n ) (1 n1) n n
xn 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 3! n 2! n n
1 2 n! (1 1 ) (1 n ) (1 n1) n n 1 1 xn1 1 1 2! (1 n1 1) 3! (1 n1 1)(1 n2 1)
例6. 求解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
例7. 求
解: 原式 =
2 x 2 sin 2 lim 2 x0
x
sin 1 lim x 2 x 0 2
x 2
1 2 2 1
（已知 lim (1 1 ) n e ） n
n
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则

1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
n n
lim (1 n1 1) n lim
(1 n1 1) n 1
n
1 n1 1
1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n
1 1 1 lim n 2 1 2 2 n n n 2 n n
函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x) f (x) h( x) , 且
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x

e 1
例10. 求
解: 原式 =
lim [(sin 1 cos 1 ) 2 ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
x1 x2 xn xn 1 M
n
lim xn a ( M )
x1 x2
xn xn 1 a
M
n
lim xn b ( m )
b
( 证明略 )
1 a 例3.设 xn 1 ( xn ) ( n 1 , 2 , ) , 且 x1 0 , 2 xn a 0 , 求 lim xn . （利用单调有界准则）
n
例4. 设
极限存在 . (P52～P54) 证: 利用二项式公式 , 有
证明数列
xn (1 1 ) n n
n1 1 1! n
n ( n1) 1 2! 2 n n ( n1)( n2) 1 3 3! n
n( n1)( nn1) 1 n! nn
1 1 2 1 1 2! (1 1 ) 3! (1 1 ) (1 n ) n n
lim [(1 1)t (1 1)] e t t
t
故
x
lim (1 1 ) x e x
z 0
说明: 此极限也可写为
lim (1 z ) e
1 z
例9. 求
解: 令 t x , 则
t
lim (1 1) t t
1
l 则说明：若利用
证: “必要性”.设 lim xn a , 则
n
使当
时, 有
因此
xn a , 2 xn xm
xm a
2
xn a xm a “充分性” 证明从略 .
二、两个重要极限及其应用
sin x 1) lim 1. x 0 x
例5. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
不存在 .
故知

( x X 0)
x x0 ( x )
lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
(证明略 )
例2. 证明
sin x lim 1. x 0 x
BD
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
a y n xn z n a 即 xn a , 故 lim xn a .
由条件 (1)
n
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n2 1 1 1 n2 n 2 2 2 2 2 n n n n n n n 2 1 n2 lim 1 lim 2 且 n 1 n n n n
第六节极限存在准则及两个重要极限
一、极限存在准则
第一章
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西收敛准则*
二、两个重要极限
sin x lim 1, x 0 x
x
lim (1
1 x ) x
e
一、极限存在准则
1. 夹逼准则 (准则1) (P49)
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
n
1 a a 解： xn1 (xn ) xn a 2 xn xn xn 2 1 1 a a ( 1 2 ) (1 ) 1 x n 1 2 a xn 1 2
∴数列单调递减有下界，设故极限存在， lim xn A n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
作业
P55 1 (1)，(3)，(5) ; 2 (2)，(4) ; 4 (2) , (3)
备用题
1. 设证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即 (1 ) 1
单调增, 又
1 (1 a1 )(1 ak )
存在
“拆项相消” 法
2. 证明
不存在 .
1 x A o C
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积即故有亦即显然有
1 sin x 2

1 tan x 2
x 1 1 x x tan x (0 x ) sin 2 sin x cos x sin x cos x 1 (0 x ) 2 x
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n
lim (1 1 ) n e n
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列极限存在的充要条件是:
0 , 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时, xn xm 有
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 , 当时, 当 n N 2 时, z n a 令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
大大
1 ( n1)! (1 n1 1)(1 n2 1)(1 nn 1)
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
xn (1 1 ) n 1 1 n
又
1 )n xn (1 n
11
11
3 1 2
n 1
2
例8. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R 2 sin cos n n
证明: 证:

n
R
cos n
n
lim An lim R
n
sin 2 n

n
说明: 计算中注意利用
2) lim (1 1 ) x e. x
x
1 )n (1 n 1
e
内容小结
1. 极限存在准则及其应用
(1) 两边夹准则 (2)单调有界准则
2. 两个重要极限
或注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 ) sin x 0 1. lim _____ ; x x 1 0 3. lim x sin ____ ; x 0 x
1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 1 n e 4. lim (1 ) ____ ; n n
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2 有
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n ) 1 2 n xn n
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n
x
lim (1 1 ) x e x
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
从而有
t lim ( t 1) (t 1) lim (1 1)t 1 t t t