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三角形内角平分线与陪位中线的一个不等式

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１ 口ｂｃ， 应边 上 的 中线 与 内 角平分 线 分别 为 ｍ ， ｍ 和 ， ，ｃ ￣１ ． ，， 相 ｍ ， ｗ ．３ ［ｘ 锐 ］－ Ｊ
角三角形证明了以下不等式：
注意到陪位 中线（ 设为 ｋ， ， ） ａ ｋ 的计算公式： ｃ
首先， 我们给出陪位中线平方和的计算公式．
引理 １在 Ａ Ｂ Ａ Ｃ中有
＋ ＋ 七 ＝里
，
（） ５
其 中
Ｐ ｆ （Ｒ ， ＋４ ８ 一 一４＋） ＝ 一１ 一） （ Ｒ＋ｒ ，， （Ｒ，， ２ ０ Ｒ ） Ｊ
ｑ＝ Ｈ一 ２ Ｒ一 ｒｒ ＋ （６ ｒ ｒ） Ｓ （０ ８ ４ ８Ｒ ＋ ６ ５ ， Ｓ （８ ５） ９３ Ｒ 一８Ｒ＋ ２， ｍ一 ２ ４ Ｒ 一 ４ ｒ ３ ｒＲ一 ｒ） Ｓ ｓ ＋７ ４ Ｒ 一 ７ｒ ６ ０ ６ ５ ，Ｓ 一 ４ ｒ（８０ ５ ２Ｒ （０ ０ ５ ６Ｒ 一 ８ ｒＲ ＋１ｒＲ一 ｒ、 （Ｒ＋ ） ４ Ｒ ＋ １ｒ ３
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第 ２ 卷 第 ４期 Ｏ ２０ 年 ｌ ０７ ２月
湖南理 工学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｜ ｆ ｕ ａ ｓｔｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｍａ ｏ Ｈ ｎ ｎＩ ｔｕｅ ｆ ｃ ｎ ｅａｄＴ ｃ ｎ ｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｅ） ｎｉ ｅ ｎ
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第 ４期
刘
健 ：三 侈内角平 分线 陪位 －绂的 一个 不等式 ｌ Ｉ
２ 定理的证 明
以下 用通 常的 符号 Ｒ， 别表 示 Ａ Ｂ ，，分 Ａ Ｃ的半 周 长 、外 接 圆半 径 与 内切圆半 径 ．∑， 分别 表示循 环 兀 和与循环 积．
—
（） ６
由于
Ｈｂ ｃ ＝ 一 ｂ （ ＋ ∑口 ｃ （ｃ， ） ∑６ ａ ）
以已知恒等式：
ａ ｃ＝ ４Ｒ ｓ， ｂ ｒ
口 ＝２ｓ 一 Ｒ — ２ （ ４ ｒ ｒ） ，
．
文 献 标 识 码： Ａ 文 章编 号 ： １７ ．２ ８２ ０ ）４０ ２ ．４ ６ ２５ ９ （０ ７０ ０４０
＜一
／，●
了三个猜想不等式． 关键词：三 角形 ；内角平分线 ；陪位 中线 ；Ｅ ｌ 不等式；Ｇｅ ｅ ｅ ｕｅ ｒ ｒ ｔ ｎ不等式 ｒｓ
中 图分 类 号 ：Ｏｌ８ ７
Ｖ Ｉ ０ Ｎｏ ４ ｂ ． ． ２
Ｄｅ ． ｃ姗
三 角形 内角平分线与陪位 中线 的一个不等式
刘 健
（ 华东交通大学 ，江西 南 昌 ３０ １ ３０ ３）
摘
要：采 用三 角形不等式的 ． 方法， 给 出了有关 内角平分线与陪位 中线的一 个不等式 ，并应用计算机验证提 出 ｒ －
（ａｔ ｈｎ ａｔｎ ｎｖｒｉ， ｎ ｈｎ ３ ０ ３Ｃ ｉａ Ｅ ｓＣ ｉ Ｊ ｏｏ ｇＵ ｉ ｓｙＮａ ｃａ ｇ ０ １， ｈｎ ） ａｉ ｅ ｔ ３
＼ 、 ●●
Ｃ 一 ６
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｒｓ ｍｅｈ ｄ ｉ ｕ ｅ ｏ ｅ ｔ ｂ ｉｈ ａ ｎ ｑ ａｉ ｏ ｈ ｎ ｅｎ ｌａ ｇ ｅ ｂｓ ｃｏ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｓ ｅ Ｒ－－ ｔ ｏ ｓ ｓ ｄ ｔ ｓａ ｌ ｎ ｉ ｅ ｕ ｌ ｙ ｆ ｒｔ ｅ ｉｔ ｒ ａ ｎ ｌ－ ｉｅ ｔ ｒ ｎ ｈ ｙ ｍｍｅ ｉｎ ｆａ ｓ ｔ ｄａ ｓｏ
ｔａｇｅｔｒｅｃｎｅｔｒ ｅｉｅ ｙａ ｏ ｐ ｔｒ ｒ ｐｏ ｏｅ 、 ｒ ｌ ｈｅ ｊｃ ｅ ｖ ｒ ｄ ｃ ｍ ｕｅ ａｅ ｒｐ ｓｄ ｉ ｎ ， ｏ ｕｓ ｆ ｂ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｇ ｅ ｉ ｔｒ ａ ａ ｇｅ ｂ ｓ ｃｏ ： ｓ ｍｍｅ ｉｎ： Ｅ ｌｒ ｅ ｕ ｌｙ： Ｇｅｒ ｔｅ ｉｅ ｕ ｌ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｎ ｌ ： ｎ ｅ ｎ ｌ ｎ ｌ－ ｉｅ ｔ ｒ ｙ ｉ ｄａ ｕ ｅ ｉ ｑ ａｉ Ｓｎ ｔ ｒｅｓ ｎ Ｓ ｎ ｑ ａｉ
＝
．
可知不等式（ 等价于 ｋ ｗ ， １ ） ｏ 这表明锐角三角形的陪位 中线长不小于相应的内角平分线之长． 这个结论
启发刘保乾对任意三角形猜测成立不等式 ：
＋ ＋
褚小 光证 明了较 上式更 精细 的不等式 链 ：
ｋ＋ ． ： 七＋ ｋ＋ 七 ： 鬈＋ｌ
＋ ＋
一
３４ ９ ，Ｓ ＋ １０ ８Ｒ一 ｒ） Ｊ＋ ） （Ｒ＋ ），． ０ ｒＲ ＋ ｒ） （０ Ｒ ＋ ｒ ５ （ Ｒ ， Ｓ 一 ４ ，’’ ４ ，
证明 Ｆ公式（ 与中线公式 ４ ２ ２ 口 易得 ｈ ２ ） ｍ ＝ ｂ ＋ ｃ一
ｃ ∑ ＝ ２（ｂ ＋ ａ（＋ ） ２ｂ２ —ｂ２２］２ ＿ ）厂２ ａ ２ ２ ｃ ２ａ２ 一 ） ￣２ ｃ — ＋ （
本文 中， 们将 证明 下述不等 式： 我 定理 在 Ａ Ｂ Ａ Ｃ中有
＋
七＋ ｂ ＋ Ｗｋ ｂ
＋
＋
＋
，
等式成立当且仅当Ａ Ｂ Ａ Ｃ为正三角形．
显然 ， 等式 （延拓 了不 等式链（） 不 ４ ） ３ ．
收稿 日期：２０ ．９２ ０ ７ ．ｌ ０ 作者简 介：刘 健 （９ ３） １６ ．，男 ，｝： 国人 主要研 究方 向：儿 何不等式 １ 西兴
一
一 ２
＼
Ａｎ ｉ ｅ ｎ ｑｕａ ｉｙ ｆ ｒｔ ｉ ｅ ｎ ｌａ ｇ ｅ ｂｉｅ ｔ ｒ ｎｄ ｔ６ 一Ｃ ｌｔ ｏ ｈｅ ｎｔ ｒ ａ ｎ ｌ — ｓ ｃ ｏ ｓａ ｈｅ
、
＋
ｓ ｍ ｍ ｅ ｉ ｎｓｏ ｒ ａ ｌ ｙ ｄ ａ ｆａ ｔ ｉ ｎｇ ｅ
ＬＩ Ｊａ Ｕ ｉｎ

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三角常用不等式

三角常用不等式

三角常用不等式
三角常用不等式是指在三角形中，角度和边长之间存在的一些关系。

1. 三角不等式：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。

即对于三角形的三边 a、b、c，满足 a + b > c、a + c > b、b + c > a。

2. 角度不等式：在一个三角形中，任意两角之和大于第三角。

即对于三角形的三角 abc，满足∠A + ∠B > ∠C、∠A + ∠C > ∠B、∠B + ∠C > ∠A。

3. 等腰三角形的边长关系：在一个等腰三角形中，两边的边长相等。

即对于等腰三角形的两边 a、b，满足 a = b。

4. 等边三角形的角度关系：在一个等边三角形中，三个角度均为 60 度。

即对于等边三角形的三个角 A、B、C，满足∠A = ∠B = ∠C = 60°。

5. 三角形内角和：在一个三角形中，三个内角之和为 180 度。

即对于三角形的三个内角 A、B、C，满足∠A + ∠B + ∠C = 180°。

以上是三角常用不等式的几个例子，它们在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

探讨中位线与角平分线的性质

探讨中位线与角平分线的性质

探讨中位线与角平分线的性质中位线和角平分线是几何中常见的概念，它们在三角形中具有一些特殊的性质。

本文将探讨中位线和角平分线的性质，从而加深对这两个概念的理解。

一、中位线的性质中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的直线。

下面分别讨论中位线的性质。

1. 中位线的长度在任意三角形中，三条中位线的长度相等。

即对于三角形ABC来说，连接顶点A和边BC中点的线段AD是三角形ABC的中位线，连接顶点B和边AC中点的线段BE是三角形ABC的中位线，连接顶点C和边AB中点的线段CF是三角形ABC的中位线。

三条中位线AD、BE和CF的长度相等。

2. 中位线的交点三条中位线的交点称为三角形的重心，记为G。

重心G是一个特殊的点，它在任意三角形中都存在且位置唯一。

3. 重心到顶点的距离比重心G到三角形三个顶点的距离满足以下关系：AG : BG : CG = 2 : 2 : 2，即AG = BG = CG。

二、角平分线的性质角平分线是一个角的两个相邻边的夹角平分线，将这个角平分为两个相等的角。

下面分别讨论角平分线的性质。

1. 角平分线的交点一个三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心，记为I。

内心I是一个特殊的点，它在任意三角形中都存在且位置唯一。

2. 角平分线长度比一条角平分线将一个角分成两个相等的角。

在三角形中，三条角平分线将一个角分成六个相等的角。

记角ABC的角平分线为AD，其中D是边BC上的一点。

则有：∠BAD = ∠DAC = ∠EAD = ∠FAD = ∠IAD = ∠HAD，其中∠BAD = ∠CAD = ∠DAB，∠EAD = ∠DAF = ∠DAE，∠IAD =∠IAE = ∠IAF，∠HAD = ∠HAF = ∠HAE。

通过以上性质，我们可以推导出许多与中位线和角平分线有关的结论。

例如，可以证明中位线和角平分线的交点重心G和内心I距离的比为3:1，即GI : IG = 3:1。

总结起来，中位线和角平分线是三角形中常见的概念，它们具有许多重要的性质。

解三角形之中线角分线高线问题+课件-2023届高三数学一轮复习

解三角形之中线角分线高线问题+课件-2023届高三数学一轮复习


3
，因为
C
0,
，所以
C
3
.
（2）不妨令
AC
3，因为 C
3
，可得
AB
3
3， BC 6 ，又因为CE 为 ACB 的角平分线，
（3）所以 AE
3 ， BE CE 2 3 ，得 DE 2 3 ，所以在△ACD 中，由余弦定理可得 AD2 CA2 CD2 2CACD cos 21，
（2） AD 是 BC 边上的中线，若 AD AB ， AB 2 ，求 AC 的长.
【解析】（1）在 ABC 中， 3acosB bsinA ，
由正弦定理得 3sinAcosB sinBsinA ，
∵ A0, ，∴sinA 0 ，∴ 3cosB sinB ，即 tanB 3 ，
∵
B 0,
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
典例精讲
三角形的中线问题
【例 1】在
ABC 中， AD 是 BC
边的中线， BAC
120
，且 AB AC
15 ．
2
（1）求 ABC 的面积；
（2）若 AB 5，求 AD 的长．
【解析】（1）
AB AC
AB
AC
cos120
×（b2 ＋c2）＝
9 4
，当且仅当
b＝c＝
3
时，中线
AM
的长度取得最大值
3 2
.
典例精讲
三角形的角平分线问题
【例 1】已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 ABC 的面积为 3 a2 b2 c2 ． 4
（1）求 C ；
（2）若