样本容量的确定

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样本容量的确定分类:

在参数区间估计的讨论中,估计值和总体的参数之间存在着一定的差异,这种差异是由样本的随机性产生的。在样本容量不变的情况下,若要增加估计的可靠度,置信区间就会扩大,估计的精度就降低了。若要在不降低可靠性的前提下,增加估计的精确度,就只有扩大样本容量。当然,增大样本容量要受到人力、物力和时间等条件的限制,所以需要在满足一定精确度的条件下,尽可能恰当地确定样本容量。

一、影响样本容量的因素

(一)总体的变异程度(总体方差)

在其它条件相同的情况下,有较大方差的总体,样本的容量应该大一些,反之则应

该小一些。例如:在正态总体均值的估计中,抽样平均误差为它反映了样本均值相对于总体均值的离散程度。所以,当总体方差较大时,样本的容量也相应要

大,这样才会使较小,以保证估计的精确度。

(二)允许误差的大小

允许误差指允许的抽样误差,记为,例如,样本均值与总体均值之间的

允许误差可以表示为,允许误差以绝对值的形式表现了抽样误差的可能范围,所以又称为误差。

允许误差说明了估计的精度,所以,在其他条件不变的情况下,如果要求估计的精度高,允许误差就小,那么样本容量就要大一些;如要求的精确度不高,允许误差可以大些,则样本容量可以小一些。

(三)概率保证度1-α的大小

概率保证度说明了估计的可靠程度。所以,在其他条件不变的情况下,如果要求较高的可靠度,就要增大样本容量;反之,可以相应减少样本容量。

(四)抽样方法不同

在相同的条件下,重复抽样的抽样平均误差比不重复抽样的抽样平均误差大,所需要的样本容量也就不同。重复抽样需要更大的样本容量,而不重复抽样的样本容量则可小一些。

此外,必要的抽样数目还要受抽样组织方式的影响,这也是因为不同的抽样组织方式有不同的抽样平均误差。

二、样本容量的确定

(一) 估计总体均值的样本容量

在总体均值的区间估计里,置信区间是由下式确定的:

例如,对于正态总体以及非正态总体大样本时,都是以它为置信区间。

从图6–1中可以看到,从估计量x的取值到点的距离实际上为置信区间长

度的。这段距离表示在一定置信水平1-α下,用样本均值估计总体均值时所允许的最大绝对误差即允许误差Δ。显然,若以x的取值为原点,则允许误差Δ可以表示为:

(6–15)

x=0

图6–1 允许误差示意图

公式(6–15)反映了允许误差Δ、可靠性系数、总体标准差与样本容量之间的相互制约关系。只要这四个因素中的任意三个因素确定后,另一个因素也就确定了。

在重复抽样条件下,把允许误差Δ的计算公式变形整理,则得到样本容量的计算公式:

(6–16)

在不重复抽样的条件下,抽样允许误差为 , 因此变

形后得到不重复抽样条件下的样本容量公式为

n=(6–17)

例6–14 某食品厂要检验本月生产的10 000袋某产品的重量,根据以往的资料,这

种产品每袋重量的标准差为25克。如果要求在95.45%的置信度下,平均每袋重量

的误差不超过5克,应抽查多少袋产品?

解由题意可知N=10 000(原作者误为20 000),=25克,=5克,根据置信度

1–α=95.45%,有=2。在重复抽样的条件下

n=(袋)

注:Excel中的计算方法:

利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2;

题中要求平均每袋重量的误差不超过5,即表明SD*z小于或者等于5;

那么倒推标准偏差应该不超过2.5;在总体标准差为25克的前提下,那么取样量应该为99.96,当然,取样量应该是整数,即100。

在不重复抽样条件下

n==99(袋)

由计算结果可知:在其它条件相同的情况下,重复抽样所需要的样本容量大于不重复抽样所需要的样本容量。

在计算样本容量时,必须知道总体的方差,而在实际抽样调查前,往往总体的方

差是未知的。在实际操作时,可以用过去的资料,若过去曾有若干个方差,应该

选择最大的,以保证抽样估计的精确度;也可以进行一次小规模的调查,用调查所得的样本方差来替代总体的方差。

(二)估计总体成数时的样本容量

估计总体成数时样本容量的确定方法与估计总体均值是一样的,设为允许误差,在1—a的置信度下,重复抽样条件下有

解上面的方程可得重复抽样条件下样本容量的公式为

同理可得不重复抽样条件下的样本容量公式为

(6–19)

在估计成数时,计算样本容量时需要总体的成数,但是总体的成数通常是未知的,在实际的抽样调查时,可先进行小规模的试调查求得样本的成数来代替。也可用历史的资料,如果有若干个成数可供选择,则应选择最靠近50%的成数,使样本成数的方差最大,以保证估计的精确度。

例6–15 为了检查某企业生产的10 000个显像管的合格率,需要确定样本的容量。根据以往经验合格率为90%、91.7%。如果要求估计的允许误差不超过0.0275,置信水平为95.45%。求应该取多少只显像管?

解根据资料,我们应该选择P=0.9计算样本容量,根据置信水平0.9545,有

=2,

重复抽样条件下,样本容量

不重复抽样条件样本容量

从计算的结果可以看出,重复抽样应该抽477件件检验,而不重复抽样应该抽455件,可见,在相同条件下,重复抽样需要的样本容量更大。

注:Excel中的计算方法:

利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2.