2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(一)文科数学

2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}2B x x =>，则A B =（ ）A ．()5,+∞B ．()1,2C ．()2,5-D ．()2,5【答案】D【解析】本题先求出()1,5A =-，再求出()(),22,B =-∞-⋃+∞，最后求A B 即可. 【详解】解：因为{}2450A x x x =--<，所以()1,5A =-因为{}2B x x =>，所以()(),22,B =-∞-⋃+∞所以()2,5A B ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数112z z z +的虚部为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．2【答案】B【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可． 【详解】由图可得，112z i =+，22z i =-，则()()()()112122+1251212+=12+13222+5i i z ii z i i i i z i i i +++=++=++=+--，所以复数112z z z +的虚部为3. 故选：B 【点睛】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题． 3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（ ）（注：古代一斤是十六两） A ．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B ．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C ．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D ．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了 【答案】B【解析】先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可. 【详解】九斤十二两等于9.75斤， 五斤四两等于5.25斤， 所以按张昌9.7510870.29.75 5.25⨯=+尺，李德5.2510837.89.75 5.25⨯=+尺，分配就合理了. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了合情推理，考查数据处理与运算求解能力.属于较易题. 4．已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 充分性：直线m ⊥平面α，m ∴垂直于平面α内所有直线，又直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，充分性成立；必要性：若m l ⊥且直线m ⊂平面α，则直线m ⊥平面α不成立，必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且cos cos b a C ac A =+，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】A【解析】本题先求出3A π=，再求出1a =，接着求ABC 外接圆的半径，最后求ABC外接圆的面积即可. 【详解】因为B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+，则3A π=，由正弦定理可知，sin sin cos sin cos B A C a C A =+， 解得：1a =.所以ABC 外接圆的半径为sin 2a A =，从而ABC 外接圆的面积为233ππ⎛= ⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题. 6．若函数()2x mf x e -=，且()()2112f x f x -=-，则()()ln3ln3f f +-=（ ）A ．0B ．99e e+C ．12D ．18【解析】由()()2112f x f x -=-可知()f x 关于y 轴对称，可求出m ，即可求出函数值. 【详解】由()()2112f x f x -=-，可知函数()2x mf x e -=的图象关于y 轴对称，则02m=，得0m =，故()2x f x e =， ()()()2ln3ln3ln32ln3218f f f e +-===.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想. 7．曲线1x y e x +=+在1x =-处的切线与曲线2y x m =+相切，则m =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先求出切线方程是22y x =+，再求切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) ，最后求出3m =即可. 【详解】解：因为曲线1x y e x +=+，所以11x y e +'=+，1'1+12x y =-==，所以曲线1x y ex +=+在1x =-处的切线方程是22y x =+，因为曲线2y x m =+，所以2y x '=，令22y x '==，解得：1x =，将1x =代入22y x =+得：4y =，所以切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) 将(1,4)代入2y x m =+得3m =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.8．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为19，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比A ．49B ．19C ．925D ．125【答案】C【解析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出219cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35r R =，最后求出球2O 与球1O 的表面积之比即可. 【详解】如图，取ABC 的外心O ，连接PO ，AO ， 则PO 必过1O ，2O ，且PO ⊥平面ABC ， 可知PAO ∠为侧棱与底面所成的角，即219cos 19PAO =∠. 取AB 的中点M ，连接PM ，MC .设圆1O ，2O 的半径分别为R ，r ， 令2OA =，则19PA =，23AB =，3AM =，1OM =，所以214r OM PO PM ==，即24PO r =，从而145PO r r R r R =++=+， 所以1154R R PO r R ==+，则35r R =， 所以球2O 与球1O 的表面积之比为925.故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.二、多选题9．下图为某城市2017年~2019年劳动力市场供求变化统计图.倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率=需求人数÷求职人数.它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定.根据统计图可知，该城市在2017年~2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善【答案】AD【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.【详解】通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；2017年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故B错误；2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度，故C错误；通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0.65上升到最高0.90，并且自2018年第四季度至2019年第四季度求职倍率非常稳定，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为162（O 为坐标原点） 【答案】ACD【解析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，162QNF S =△即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==， 故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，18241622QNF S =⨯⨯=△.故选：ACD. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11．设x ，y 为实数，满足12x -≤≤，01y <≤，则（ ） A ．x y +的取值范围是(]1,3- B ．x y -的取值范围是[)2,2-C ．xy 的取值范围是[]1,2-D ．2x y的取值范围是[)1,+∞【答案】ABC【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 【详解】对于D 选项，当0x =时，20x y=，所以D 选项错误. 由于12x -≤≤，01y <≤，所以13x y -<+≤，所以A 选项正确. 由于12x -≤≤，10y -≤-<，所以22x y -≤-<，所以B 选项正确.当10x -≤<、01y <≤时，10y -≤-<，则01xy <-≤，则10xy -≤<，所以xy 的取值范围是[)1,0-； 当0x =时，0xy =；当02x <≤、01y <≤时，xy 的取值范围是(]0,2. 综上，xy 的取值范围是[]1,2-，所以C 选项正确. 故选：ABC 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.12．定义：1M 表示函数()y f x =在I 上的最大值，已知奇函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()f x x =，正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则（ ） A ．[]0,2a M =B ．[]0,4a M =C ．a 的取值范围为[]4,9D ．a 的取值范围为[]6,9【答案】BD【解析】先结合题中条件得出()f x 的最小正周期，然后再画出函数()f x 的图象，然后结合图象进行分析即可得解 【详解】因为()()44f x f x +=-，所以有()()8f x f x +=-， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()8f x f x +=-，所以有()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期为16， 画出函数()f x 的图象，如图所示：当4a <时，[]0,a M a =，显然正数a 不满足[][]0,,22a a a M M ≥， 所以4a ≥，故[]0,4a M =，因为[][]0,,22a a a M M ≥，所以[],22a a M ≥， 即()y f x =在[],2a a 上的最大值不大于2，故6218a a ≥⎧⎨≤⎩，所以69a ≤≤.故选：BD . 【点睛】本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于常考题.三、填空题13．已知向量()1,a m =，()1,2b =-，()()-a b a b +⊥，则m =______. 【答案】4【解析】由()()-a b a b +⊥可得a b =，由向量的模长公式计算即可得到答案. 【详解】因为()()-a b a b +⊥，所以()()-=0a b a b +⋅，则a b =，即114m +=+， 所以4m =. 故答案为：4 【点睛】本题考查平面向量的数量积公式，考查两个向量垂直条件得应用，考查运算求解能力，属于基础题.14．将函数()()()sin 40f x x ϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则ϕ的最大值是______.【答案】3π-【解析】本题先建立方程()43k k πϕπ+=∈Z ，再求()43k k πϕπ=-+∈Z ，最后求ϕ的最大值即可.【详解】解：由题意有：()4sin 4sin 433g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦奇函数， 所以()43k k πϕπ+=∈Z ， 所以()43k k πϕπ=-+∈Z ， 则ϕ的最大值是3π-.故答案为：3π-【点睛】本题考查三角函数图象的变换以及性质，考查数形结合的数学思想及逻辑推理能力，是基础题.15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 【答案】16【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】农场主在中间共有4424A =种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有222228A A ⋅=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.【解析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AM OA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =. 又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率e =97. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.四、解答题17．在①22cos b c a C +=，②三角形ABC 的面积为)22234a b c --，③sin 3sin c A a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ab ，1c =，______？【答案】选条件①：存在，23；选条件②：存在，23；选条件③：不存在，答案见解析.【解析】方案一：选条件①：先求出cos A 以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案二：选条件②：先求出tan 3A =-A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案三：选条件③：先求出13b =以及33a =3133a b c +=+<，最后判断三角形不存在. 【详解】解：方案一：选条件①因为22cos b c a C +=，所以2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，整理得()sin 2cos 10C A +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-，解得23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案二：选条件②因为)222sin 124ABCa b c bc SA --==△，所以)212cos n 4si bc bc A A -=，即tan A =， 因为()0,A π∈，所以23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案三：选条件③sin 3sin c A a B =，则3ac ab =，得133c b ==，因为3ab，所以3a =.又因为13a b c +=+<，则问题中的三角形不存在. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题. 18．已知数列{}n a 满足112a =，且对于任意m ，*t N ∈，都有m t m t a a a +=⋅. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()111n nn n b a a -+-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a =，*n N ∈；（2）()2382155n n +--⋅. 【解析】（1）先求出112n n a a +=，*n ∈N ，再判断数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，最后求n a 即可； （2）先求出()12112n n n b -+⋅=-，再判断数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，最后求n T 即可. 【详解】解：（1）∵对于任意m ，*t ∈N ，都有m t m t a a a +=⋅成立， ∴令m n =，1t =，得11n n a a a +=⋅，即112n n a a +=，*n ∈N ， ∴数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列， ∴1111222n n na -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，*n ∈N . （2）∵()()()1111211112212n n n n n n nn n b a a ---+++-==-⋅⋅⋅=-，∴数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，∴()()()()3223135792122128222221215512n n n n n nT +-+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-+-++-⋅==--⋅--. 【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和，是基础题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点.（1）证明：//OM 平面11CB A .（2）若四边形11BB C C 为正方形，求平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，先证明1ONA M 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）连接OA ，利用已知条件得出OA ，OB ，ON 互相垂直，建立空间坐标系，分别求出平面1MOB 和面11CB A 的法向量，根据空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ， 则N 为1CB 的中点. 因为O 为BC 的中点， 所以1//ON BB ，且112ON BB =， 又11//MA BB ，1112MA BB =， 所以1ONA M 为平行四边形， 即1//OM A N .因为OM ⊄平面11CB A ， 所以//OM 平面11CB A .（2）解：连接OA ，令2BC =， 因为AB AC =，O 为BC 的中点， 所以AO BC ⊥.又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1//ON BB ， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB ，ON ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为AB AC ==12BC AA ==，所以()0,0,0O，()11,2,0B ，()0,1,1M ，()1,0,0C -，所以()10,1,1OM NA ==，()11,2,0OB =，()12,2,0CB =. 设平面1MOB 的法向量为(),,m x y z =，则100OM m OB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =，可得1y =-，2x =，所以平面1MOB 的一个法向量为()2,1,1m =-. 设平面11CB A 的法向量为(),,n a b c =， 则1100NA n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220b c a b +=⎧⎨+=⎩，令1c =，可得1b =-，1a =，所以平面11CB A 的一个法向量为()1,1,1n =-，2211111,cos 3m n ⨯-⨯-+⨯===， 所以平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值为13. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及空间向量的应用和二面角.属于中档题. 20．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率. 【答案】（1）答案见解析，32；（2）14.【解析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=， 当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=， 当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，斜率为k （0k ≠）的直线l 交E 于A ，B 两点，当k =时，AB =OAB 的面积为2ab（O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MA MO =，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）4k =-或4k =. 【解析】（1）先判断B 为椭圆的下顶点，再建立方程求出24a =，23b =，最后求椭圆E 的方程；（2）先联立方程()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，表示出228643B k x k -=+和21243B k y k -=+，再表示出点M 的坐标和点H 的坐标，最后表示出FH 、BF 建立方程2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭求直线l 的斜率即可. 【详解】解：（1）因为A 是椭圆的右顶点，OAB 的面积为2ab，所以B 为椭圆的下顶点.所以2b k a ==，AB ==24a =，23b =， 所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）设(),B B Bx y ，直线l 的方程为()2y k x =-，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =或228643k x k -=+. 由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+. 因为MA MO =，所以M 的坐标为()1,k -，因此直线MH 的方程为11y x k k k =-+-，则H 的坐标为10,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=.由（1）知()1,0F ，则11,FH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，所以2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭，解得k =k =，所以直线l 的斜率k =k =. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系求参数，是中档题 22．已知函数()()()()22543ln 132f x x x x x a x =+++-+-. （1）当8a =-时，求()f x 的单调性；（2）如果对任意0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）在()21,1e --上单调递减，在()21,e -+∞上单调递增；（2）[)0,+∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域为()1,-+∞，再求导函数，解不等式()0f x '<和()0f x '>求()f x 的单调性即可；（2）先建立新函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+并求导，再建立新函数()()22ln 11xh x x x =+-+，[)0,x ∈+∞并求导，接着判断当0a ≥时符合题意；当0a <时，不符合题意即可得到答案. 【详解】解：（1）当8a =-时，()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()24ln 14824ln 12x x x x x f x =++--=++-'⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，解得21x e =-，当211x e -<<-时，()0f x '<，则()f x 在()21,1e --上单调递减；当21x e >-时，()0f x '>，则()f x 在()21,e -+∞上单调递增.（2）当0x ≥时，()()()24ln 14f x x x x a '=++-+.设函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+，则()()22ln 11xg x x x '=+-+. 设函数()()22ln 11x h x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，则()()2201x h x x '=≥+，又()()00h x h ≥=，从而()0g x '≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.当0a ≥时，()()00f x f a ''≥=≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，又()00f =，符合题意.当0a <时，设()f x 在()0,∞+上的唯一零点为0x ，当[)00,x x ∈时，()0f x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000f x f <=，不符合题意.综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查利用导函数求函数的单调性，利用导函数研究不等式恒成立问题，是偏难题.。

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（文科数学）（一）一、单选题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|，x∈R}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．命题∃x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（）A．∀x∈R，1＜f（x）≤2B．∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2C．∃x∈R，1＜f（x）≤2D．∃x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞23．已知f（x）＝﹣x，x∈（0，+∞），且∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（﹣∞，e2]D．（e，+∞）4．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．（625，+∞）B．（4，64）C．（9，625）D．（9，64）5．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若，且满足关系式，则a+c的取值范围是（）A．B．C．D．6．面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是（）A．B．2C．D．27．设函数f（x）＝（x2﹣3）e x，则（）A．f（x）有极大值，且有最大值B．f（x）有极小值，但无最小值C．若方程f（x）＝a恰有一个实根，则D．若方程f（x）＝a恰有三个实根，则8．函数f（x）＝x2+x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知，，且，则＝（）A．﹣1B．1C．D．10．设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R 上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]12．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y+ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为．14．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则向量，的夹角的余弦值为．15．已知，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17．已知正项数列{a n}的首项a1＝1，前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB两个试验区，部分数据如列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由．A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝2，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．21．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N 两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求的值．23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（文科数学）（一）参考答案一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|，x∈R}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}解：A＝{x|，x∈R}＝{x|x≥1或x＜﹣2}，则∁R A＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：B．2．命题∃x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（）A．∀x∈R，1＜f（x）≤2B．∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2C．∃x∈R，1＜f（x）≤2D．∃x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，1＜f（x0）≤2”的否定形式是∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2．故选：B．3．已知f（x）＝﹣x，x∈（0，+∞），且∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（﹣∞，e2]D．（e，+∞）解：∵∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＝＜0恒成立，∴x1f（x1）＜x2f（x2）对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2恒成立，令g（x）＝xf（x）＝＝ae x﹣x2，则g'（x）＝ae x﹣2x≥0，对∀x∈（0，+∞）恒成立，即，对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴只需，令，则，∴当0＜x＜1时，t'（x）＞0；当x＞1时，t'（x）＜0，∴t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴，∴，∴a的取值范围为．故选：B．4．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．（625，+∞）B．（4，64）C．（9，625）D．（9，64）解：函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），此时函数的可知周期为2，但是函数的最大值是依次减半，当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；函数f（x）图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数f（x）在（﹣∞，0]的图象，画出关于原点对称的图象，则函数f（x）＝log a x的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得a∈（9，625）．故选：C．5．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若，且满足关系式，则a+c的取值范围是（）A．B．C．D．解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．cos B+sin B＝2，∴2sin（B+30°）＝2，∴B＝60°，∵，∴+＝＝，解得b＝，∴由＝2，∴a+c＝2sin A+2sin C＝2sin A+2sin（120°﹣A）＝3sin A+cos A＝2sin（A+30°），∵锐角三角形中A∈（30°，90°），A+30°∈（60°，120°），sin（A+30°）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+30°）∈（3，2]．故选：D．6．面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是（）A．B．2C．D．2解：如图，取BC的中点D，连接PD，则•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝||2﹣||2，不妨设△ABC在BC边上的高为h，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以||≥，当且仅当PD⊥BC时取等号，故•≥﹣||2，所以≥+||2≥2＝（h•||）＝S△ABC＝2，当且仅当＝||2，即h＝||且PD⊥BC时取等号．故选：D．7．设函数f（x）＝（x2﹣3）e x，则（）A．f（x）有极大值，且有最大值B．f（x）有极小值，但无最小值C．若方程f（x）＝a恰有一个实根，则D．若方程f（x）＝a恰有三个实根，则解：∵f（x）＝（x2﹣3）e x，∴f′（x）＝（x2+2x﹣3）e x，令f′（x）＝0，解得x＝﹣3或x＝1，当x∈（﹣∞，﹣3），（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x→﹣∞时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴当x＝1时，函数取得极小值，且为最小值﹣2e，当x＝﹣3时，函数取得极大值，无最大值，故AB错误，若方程f（x）＝a恰有一个是根，可得a＝﹣2e或a＞，故C错误，若方程f（x）＝a恰有三个实根，可得0＜a＜，故D正确，故选：D．8．函数f（x）＝x2+x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x2+x sin x是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）＝x+sin x，∴g′（x）＝1+cos x≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增，∵g（0）＝0，∴f（x）＝xg（x）≥0，故排除D，当x＞0时，f（x）＝xg（x）单调递增，故当x＜0时，f（x）＝xg（x）单调递减，故排除C．故选：A．9．已知，，且，则＝（）A．﹣1B．1C．D．解：设α∈（0，），β∈（0，），由，可得：＝＝，可得：sinβ+sinαsinβ＝cosαcosβ，即cos（α+β）＝sinβ，可得：α+β＝﹣β，可得：α+2β＝，则tan（α+2β+）＝tan（+）＝﹣1，故选：A．10．设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．11．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R 上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．12．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y+ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．解：不等式的可行域，如图所示令z＝ax+y，则可得y＝﹣ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y＝﹣ax将a 变化，结合图象得到当﹣a＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大∴a＜﹣1故答案为（﹣∞，﹣1）14．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则向量，的夹角的余弦值为．解：，且，∴，解得λ＝﹣3，∴，∴．故答案为：．15．已知，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是．解：函数，可得y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x ＝2e对称，因为方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，即y＝f（x）与y＝mx的图象有2个不同的交点，函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切于点P（a，b），又，所以切线方程为y＝lna＝，又切线过点（0，0），解得a＝e，故切线方程为，由图可知，当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围为．故答案为：．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17．已知正项数列{a n}的首项a1＝1，前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当n≥2时，，∴，即，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，故，＝（n≥2），因此．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当n≥2时，，∴，又∵，∴12≤a2﹣a，解得a≤﹣3或a≥4．即所求实数a的范围是a≤﹣3或a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB两个试验区，部分数据如列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由．A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由频率分布直方图知，（a+2a+0.1+0.2+0.1+a）×2＝1，解得a＝0.025，估计这批树苗高度的中位数为t，则2×（0.025+0.050+0.10）+（t﹣25）×0.20＝0.5，解得t＝25.75．计算＝20×0.05+22×0.1+24×0.2+26×0.4+28×0.2+30×0.05＝25.5，估计这批树苗的中位数为25.75，平均数为25.5；（2）优质树苗有120×0.25＝30，根据题意填写列2×2联表：A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120计算观测值K2＝＝≈10.29＜10.828，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝2，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：AC∩BD＝O，连结MO，∵A1M＝MA，AO＝OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD…（Ⅱ）解：设C1H为C1到平面BDD1B1的距离，∵BD⊥A1A，BD⊥AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1O，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴AO＝AC＝，∵AA1＝2，∠A1AC＝60°，∴A1O⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴A1O⊥平面ABCD，…∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O＝3 …∵A1O••2＝•C1H••2•2，∴C1H＝…20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且f′（x）＝（ax+a﹣1）e x．当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，此时f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣，由f′（x）＜0，得x＜﹣．此时f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），单调增区间为（，+∞）；当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣．此时f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（﹣∞，﹣）．（Ⅱ）证明：要证me n+n＜ne m+m，即证me n﹣m＜ne m﹣n，也就是证m（e n﹣1）＜n（e m﹣1）．也就是证＜，令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，再令h（x）＝xe x﹣e x+1，h′（x）＝e x+xe x﹣e x＝xe x＞0，可得h（x）在x＞0递增，即有h（x）＞h（0）＝0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，由m＞n＞0，可得＜，故原不等式成立．21．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，设椭圆的焦距为2c，所以2b＝2c，即b＝c，由a2＝b2+c2，解得b2＝2，所以椭圆M的方程为；（2）为定值2，理由如下：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设l：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，得y＝2k，即C（0，2k），又易知A（﹣2，0），所以，由，得，即，所以．因为BC∥RQ，所以直线RQ的方程为y＝kx，由得，所以．由|RQ|＝2|OR|，得，所以．故为定值2．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N 两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求的值．解：（1）∵曲线C：ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4，∵直线l的参数方程为：（t为参数），∴直线l的普通方程为：x﹣2y﹣5＝0（2）∵直线l的参数方程为：（t为参数），∴，代入x2+y2＝4x，得t2+＝﹣2，∴．23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝，∵f（x）≤5，∴或或，∴或x∈[0.2）或x∈∅，∴，∴不等式的解集为．（2）∵，∴当x＝2时，f（x）取得最小值3．∴函数y＝f（x）的图象的最低点为（2，3），即m＝2，n＝3．∵ma+nb＝6，∴2a+3b＝6，∴，∴，当且仅当，即a＝1，时取等号，∴．。

2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷一）本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题：1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 2.若z （1+i ）=2i ，则z=（ ）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sin x−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.已知F 是双曲线C ： x 24−y 25=1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF| ，则 △OPF 的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 9211.记不等式组 {x +y ⩾6,2x −y ≥0表示的平面区域为D .命题 p:∃(x,y)∈D,2x +y ⩾9 ；命题 q:∀(x,y)∈D,2x +y ⩽12 .下面给出了四个命题（ ）① p ∨q ② ¬p ∨q ③ p ∧¬q ④ ¬p ∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④ 12.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14）D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log3 14）二、填空题：13.已知向量a→=(2,2),b→=(−8,6)，则cos<a→,b→>=________.14.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.15.设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。

2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，(){}20,B x x x x =-≥∈Z ，则A B =（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}0,2C ．{}3,4D ．{}0,1,22．复数4i1+3i的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．已知函数()π2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为()3,0，为了得到函数()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知函数()22cos sin x xx xf x e e--=+，则函数()f x 的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π3=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ） A ．55B ．50C ．45D ．409．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1810．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，则（ ） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．()()+⊥-a e a e11．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -，则该四棱锥的表面积为（ ） A．B．C．D．12．已知函数()()221ln 202x aa xf x e ex a x a --=++-->，若()f x 有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．(B ．()20,eC．)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =________． 14．已知圆222)1)5:((C x y -+-=及点(0,2)A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，则||||PA PQ +的最小值为___________．15．设函数()212221xx f x x--=++，若对x ∀∈R ，不等式()()24f mx f x ≥+成立，则实数m 的取值范围是_________．16．在ABC △中，a ，b ，c ，分别为角A ，B ，C 的对边，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭．若ABC △的内切圆面积为4π，则ABC △面积S 的最小值_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n kn =-+(*k ∈N )，且n S 的最大值为25．（1）求k 的值及通项公式n a ； （2）求数列{}112n a n -⋅的前n 项和nT ．18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628i ii x yxy =-=∑)．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点． （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若12AA AB =，求点1B 到平面1BC D 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △3 （2）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数()1xf x e ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|31|2|3|f x x x =-+-．（1）若关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的实数根，求a 的取值范围； （2）如果不等式()f x bx ≤的解集非空，求b 的取值范围．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由集合()(){}150,A x x x x =+-<∈Z ，得{}0,1,2,3,4A =，(){}20,{|0B x x x x x x =-≥∈=≤Z 或2,}x x ≥∈Z ，所以{}0,2,3,4AB =，故选A ．2．【答案】A()4i 1i 4==，所以虚部为1，故选A ． 3．【答案】B【解析】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，因为478<<，所以2222log 4log 7log 83=<<=，所以23a <<， 因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，389<<， 所以3331log 3log 8log 92=<<=，所以12b <<， 因为0.3xy =在R 上单调递减，0.20>， 所以0.2000.30.31<<=，即01c <<， 所以c b a <<，故选B ． 4．【答案】C 【解析】命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立， 设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0，所以3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，所以3ππ4k ϕ=-，k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()πππππ2cos2sin 2sin 144244g x x x x ⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以为了得到()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度，故选A ． 6．【答案】B【解析】函数()22cos sin x xx xf x e e--=+的定义域为R ，且()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 排除选项A ，D ； 因为()1012f =<，所以排除选项C ， 故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ， 其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸， 则1351512d =+，解得10d =（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ，首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A 正确； 春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=，秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，故春分和秋分两个节气的晷长相同， 所以B 正确；小雪的晷长为11a ，1111015100115a a d ∴=+=+=，115寸即一丈一尺五寸， 故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D 正确， 故选C ． 8．【答案】C【解析】17=，设三角形内切圆的半径为r ，面积为S ， 利用等面积法可知()118158151722S r =⨯⨯=⨯++，解得3r =， 向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x ，则利用几何概型可知2π311008152x ⨯=⨯⨯，解得2π31004518152x ⨯⨯==⨯⨯颗， 所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C ． 9．【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为60°，故直线AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得240x --=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=124x x =-，则16AB ==，故选C ．10．【答案】C【解析】对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，22t ∴-≥-a e a e ，即2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，即()22210t t -⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立，则()()()222421410Δ=⋅-⋅-=⋅-≤a e a e a e ，1∴⋅=a e ，故a 和e 不垂直，故A 错误；≠a e ，1=e ，22()10∴⋅-=-⋅=-≠a a e a a e a ，故B 错误；2()110⋅-=⋅-=-=e a e a e e ，()∴⊥-e a e ，故C 正确； 222()()10+⋅-=-=-≠a e a e a e a ，故D 错误，故选C ． 11．【答案】B【解析】设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，过O 作底面ABCD 的垂线，垂足为M ， 因为四边形ABCD 是长方形，所以M 为底面中心，即对角线AC BD 、的交点， 过O 作三角形APD 的垂线，垂足为N ，所以N 是正三角形APD 外心，设外接球半径为r ，外接球的体积为34π33r=，所以r =OA = 过N 作NE AD ⊥，则E 是AD 的中点，连接EM ，所以112EM AB ==，EM AD ⊥， 因为平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，所以NE ⊥平面ABCD ，所以//NE OM ，所以EM ⊥平面APD ，所以//EM ON ， 所以四边形MENO 是平行四边形，即OM NE =，设2AD x =，则AM ==，113323NE PE AD x ==⨯=，所以OM NE x ==，由勾股定理得222OA OM AM =+，即221213x x =++，解得x =所以AD =21sin 602PAD S AD =︒=△，因为////CD AB OM ，所以AB ⊥平面APD ，CD ⊥平面APD ， 所以PA AB ⊥，PD CD ⊥，132PAB PCD S S AB AP ==⨯⨯=△△， 因为227PB PC PA AB ==+=，3BC =，作PH BC ⊥于H ，所以H 为BC 的中点，所以221357242PH PB BC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以1532PBC S PH BC =⨯⨯=△，23ABCD S =矩形， 所以63PAD PAB PCD ABCD S S S S S =+++=△△△表矩形，故选B ．12．【答案】C【解析】()0f x =可转化为2212ln 2x a a xe x a x e --+-=-+． 设()2x aa x g x ee --=+-，由基本不等式得2220x a a x x a a x e e e e ----+-≥⋅=， 当且仅当x a =时，()g x 取到最小值0．设()()221ln 02h x x a x a =-+>，则()222a a x h x x x x-'=-+=， 当0x a <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当x a >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x a =时，()h x 取到最大值221ln 2a a a -+．若()f x 有2个零点，则()g x 与()h x 有两个交点，此时221ln 02a a a -+>，解得a e >，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】13【解析】0x >，0y >，21x y +=，()2121222225525249y x y x x y x y x y x y x y∴+=++=++≥+⋅=+⎛⎫ ⎝⎭=⎪， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立． 故答案为13． 14．【答案】25 【解析】如图所示：设点A 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),A x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2A '--， 因为PA PA '=，所以PA PQ+的最小值为()()22422155A C r '-=--+--=故答案为 15．【答案】[]4,4- 【解析】函数()212221xx f x x--=++的定义域为R ， ()()()()221122222211xxx x f x f x xx -------=+=+=++-，所以，函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时，()()2122312321121x x x f x x x--+=+=+-++， 由于函数122x y =为减函数，2231y x =+在[)0,+∞上为减函数， 所以，函数()212221xx f x x--=++在[)0,+∞上单调递减， 由()()24f mx f x ≥+可得()()24fmx f x≥+，可得24mx x ≤+，所以，240x m x -⋅+≥对任意的x ∈R 恒成立， 设0t x =≥，则240t m t -+≥对任意的0t ≥恒成立， 由于二次函数24y t m t =-+的对称轴为直线02mt =≥， 2160Δm ∴=-≤，解得44m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,4-，故答案为[]4,4-．16．【答案】【解析】cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，即()sin B C A +=sin A A =，即tan A =π3A ∴=， 由题意知ABC △内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则4AI =，AM AN ==从而43a b c =+-(22243b c b c bc +-=+-，整理得)34883163bc b c bc +=+≥，解得48≥bc 或163≤bc （舍去）， 从而113sin 4812322S bc A =≥⨯=， 即ABC △面积S 的最小值为123123三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）10k =，211n a n =-+(*n ∈N )；（2）434993n n n T +=-⋅． 【解析】（1）由题可得2224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭，*k ∈Z ， 所以当k 为偶数时，()2max2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 21254n k k S S +-===，此时k 无整数解，综上可得：10k =，210n S n n =-+．①1n =时，119a S ==．②当2n ≥时，()()()()221101101211n n n n n n n n a S S -=-+---+-=-+=-，当1n =时也成立． 综上可得211n a n =-+，所以10k =，211n a n =-+(*n ∈N )． （2）112224n a n n n n n --⋅=⋅=，1212444n n n T =++⋅⋅⋅+① 231112144444n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++② 两式相减得21311144444n n n nT +=++⋅⋅⋅+-，1111131144144334414n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅-， 则14199434n n n n T -=--⋅⋅，则434993n n n T +=-⋅． 18．【答案】（1） 1.664.4y x =+；（2）75． 【解析】（1）由题意，123456 3.56x +++++==，666770717274706y +++++==，()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，()171277281.617.5i i i iix x x y x yb ==--∴===∑∑，70 1.6 3.564.4a y bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 1.664.4y x =+．（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x =，此时 1.6764.475.6y =⨯+=， 保留整数为75人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人． 19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）设11B CBC E =，连接DE ，由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，因为1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ． （2）连接1AC ，由（1）知1//AB 平面1BC D ，所以点1B 到平面1BC D 的距离等于点A 到平面1BC D 的距离， 因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为2AB =，所以1AD =，则3BD =， 从而ABD △的面积为13132⨯⨯=， 故三棱锥1C ABD -的体积为132343⨯⨯=， 由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ， 因为1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥， 又221117C D CC CD =+=，所以1BC D △的面积为1513172⨯⨯=， 设点A 到平面1BC D 的距离为h ，则151233h ⨯=，解得417h =， 故点1B 到平面1BC D 的距离为41717．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时，12PF F △的面积最大，此时1232b ⨯⨯=3b = 由222a bc =+，得2314a =+=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430Δm k km=-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+．()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()22222234431640343434m k m mkk k k--∴+++=+++， 整理可得2271640m km k ++=， 解得12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）(,2]e -∞-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e x =--，所以()1x f x e =-'．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值．（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立． 当0x =时，00≥恒成立，此时a ∈R ；当0x >时，1()x e a x x x≤-+在(0,)+∞上恒成立．令1()()x e g x x x x =-+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x ----+'=-=． 由（1）知0x >时，()0f x >，即(1)0xe x -+>．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，min ()2g x e =-，所以2a e ≤-， 综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e -∞-．22．【答案】（1）2112:y x C =-，()230,0C y x +=≥；（2）25324y x =-+． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以2sin 12sin x y αα=⎧⎨=-⎩，消去α，得212y x =-． 因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos ρθθρθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即3y x =-()30,0y x +=≥． （2）设切线方程为33yx b，由212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得2210x x b +-=，所以()238103Δb ⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2524b =， 所以切线方程是325324y x =-+． 23．【答案】（1）16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{5b b <-∣或83b ⎫≥⎬⎭． 【解析】（1）57,31()31235,33157,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩， 当3x ≥时，函数()f x 单调递增，并且()8f x ≥； 当133x ≤<时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x ≥； 当13x <时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x >， 综上：当13x >时，函数()f x 单调递增，当13x <时，函数()f x 单调递减，且16()3f x ≥．作出()f x 的图象如图所示：要使关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的根， 则a 的取值范围16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）因为(3)8f =，记点(3,8)M ，坐标原点为(0,0)O ，则直线OM 的斜率为83k =． 当直线y bx =与57y x =-+平行时，无交点， 所以当5b <-或83b ≥时，该直线与函数()|31|2|3|f x x x =-+-的图象相交． 因为不等式()f x bx ≤的解集非空， 所以b 的取值范围是{5b b <-或83b ⎫≥⎬⎭．。

UAB2021年高三高考模拟统一考试（一）数学（文）试题 含答案数 学 (文史类) 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2－i2＋i＝( )A ． 35－45IB ． 35＋45iC ．1－45iD ．1＋35i 2．已知全集U=R ,集合A={x| 0<x<9, x ∈R}和B={x| -4<x<4, x ∈Z} 关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 3．是“直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )A ．－45B ．－1225C ．2425D ．－24255．右图是一个算法框图，则输出的k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．97. 已知圆C ：的圆心为抛物线 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．8．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（ ）A ． B.C ． D.10．已知函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．11.设F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点M 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. 2 D..12．若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．设在的边上,, 若 (为实数),则的值为__________.14．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为__________.15．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC 的距离为 , 则球O 的表面积为_________. 16.中,,则的最小值为__________.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.18.(本小题满分12分)已知四棱锥底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1， E ．F 分别是线段AB ，BC 的中点，（Ⅰ）在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；．（Ⅱ）若PB 与平面所成的角为，求三棱锥D--EFG 的体积．19．(本小题满分12分)为预防H 7N 9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定xx 个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33．（I ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？ （II ）已知b≥465，c ≥30，求通过测试的概率．20（本小题满分12分）已知函数f （x ）=，x ∈[1，3]， （I ）求f （x ）的最大值与最小值；（II ）若f （x ）＜4﹣a t 于任意的x ∈[1，3]，t ∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为A ，以为圆心为半径的圆恰好经过点A 且与直线相切（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过右焦点作斜率为K 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。

2021年高三第一次模拟考试数学文试卷含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）~（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设为实数，若复数，则（ C ）A. B. C. D.3．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值是 ( D )A ．B ．C ．D ．4．如右图，若执行该程序，输出结果为48，则输入值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．已知函数和，曲线有交点且在交点处有相同的切线，则a= （ B ） A ． B ． C ． D ． 6.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体表面积为（ C ） A ．14 B ． C ． D ．167.已知函数)2,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期是且满足，则 ( C)A ．在上单调递增B ．在上单调递减C ．在上单调递减D ．在上单调递增8.. 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P 的坐标满足不等式的概率为（ D ）A ．B ．C ．D ．9..已知直线与圆交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，若，则实数k=B A ．1B ．C ．D ． 210.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（ B ） A ． B ． C ． D ．11．已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若（O 为坐标原点），则|AB|= ( A) A ． B ． C ． D ．412、已知函数有两个极值点，且，则（ D ） A ． B ． C ． D ．正视俯视侧视第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求只选择一题做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，…，第十组，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 3714．在直角梯形中，，，，，梯形所在平面内一点满足，则 -115．设函数是奇函数，则使的的取值范围是（-1，0）16．已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，，若四面体P - ABC的体积为，则该球的体积为______．三、解答题(本大题共6个小题，共70分.要求解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列中，，且点在函数的图象上,数列是各项都为正数的等比数列，且.（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，记数列的前n项和为,求的值.（Ⅱ）,01299100(1234100)(2222)T =-+-+-++++++[]01299(12)(34)99100)(2222)=-++-+++-++++++（ ……12分18. (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，．⑴求图3中的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果；⑶从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．⑴依题意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）输出的……8分（列式、结果各1分）⑶记质量指标在的4件产品为，，，，质量指标在的1件产品为，则从5件产品中任取2件产品的结果为：，，，，，，，，，，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：，，，共4种∴……11分答：从质量指标……，……的概率为……12分19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，是的中点，且，．求证：平面；求证：平面平面；当三棱锥的体积等于时，求的长．20．（本小题满分12分）已知椭圆：（）过点（2,0），且椭圆C的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.求直线是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

2021届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0A =-，{}220B x x x =∈--<Z ，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{0} C ．{1,0}- D ．{1,0,1}-2．若复数z 满足()12i 34i z ⋅+=+，则z =（ ）A ．12i + B ．12i - C ．510i + D ．510i - 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A ．8岁B ．11岁C ．20岁D ．35岁4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）A ．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B ．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C ．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D ．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降 5．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3=a ，1=b ，则+=a b （ ） A ．2 B ．23 C ．7 D ．4 6．已知点(2,1)P 为圆22:80C x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ） A ．250x y +-= B ．240x y +-= C ．230x y --= D ．20x y -= 7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值为（ ） A ．914 B ．1115 C ．1316 D ．1517 8．观察下面数阵， 1 35 791113 1517192123252729 … 则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545 B ．547 C ．549 D ．551 9．已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若0BF AC ⋅=，且14AF AC =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．52 B ．23 C ．103 D ．102 10．函数()()sin 22cos 0πf x x x x =+≤≤，则()f x （ ） A ．在0,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B ．在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 C ．在π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 11．已知函数()f x 在R 上是增函数，设1e a e =，1ln 2ln 33b =-，1ππc =，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >> 12．定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；④函数()f x 的图象关于直线()2kx k =∈Z 对称．其中所有的正确命题的序号为（ ）A ．①③B ．②③C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数()sin 2π2cos(π)2f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为________．14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．15．已知a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin sin 33sin A C B +=，33b =，当角B 最大时ABC △的面积为________．16．已知2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()f x a =有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，且数列{}1n a +是以为2公比的等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的通项公式为1(1)n b n n ，设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10．2%下降至2018年的1．7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）； （2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码x ） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的13，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的45，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；①可能用到的数据：619310i i i x y ==∑；②参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，61622166ˆi i i i i x xyxy b x ===-=∑∑，ˆˆa y bx =-．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ABP ∠=∠=︒． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ； （2）若点E 是棱PD 的中点，且1AB BC BP ===，求三棱锥E PBC -的体积． 20．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ． （1）求椭圆E 的方程； （2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．21．（12分）已知函数()()2122x f x x e x x =-+-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442aaf x x a x ⎛⎫≥+-++ ⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,π)ϕ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π4cos()3ρθ=-． （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知,,a b c 为正数，且2a b c ++=，证明：（1）43ab bc ac ++≤； （2）2228a b c b c a---⋅⋅≥．2021届高三第一次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解：易知{}{}120,1B x x =∈-<<=Z ， 又{}1,0A =-，所以{}1,0,1A B =-，故选D ．2．答案：B解：由()()()()34i512i 512i 12i 12i 12i 12i 5z +--====-++-，故选B ．3．答案：B解：由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为1a ，则9198932072S a ⨯=+⨯=，解得111a =，故选B ．4．答案：C解：A ．由城乡居民储蓄存款年底余额条形图可知，正确；B ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民的存款年底余额所占比重20,7.3%,26.5%,36.1%逐年上升，正确；C ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民存款年底总余额36.1%1523549.80⨯=，城镇居民存款年底总余额63.9%1523973.20⨯=，没有超过，错误；D ．由城乡储蓄构成百分比可知，城镇居民存款年底余额所占的比重从79.3%，73.5%，63.9%逐年下降，正确，故选C ．5．答案：C解：因为()1,3=a ，所以132=+=a ，所以cos601a b a b ⋅=⋅︒=．()22224217+=+=+⋅+=++=a b a b a b b a ，故选C ．6．答案：C解：圆22:80C x y x +-=的标准方程为()22416x y -+=，则圆心为()4,0C ，直线PC 的斜率101242PC k -==--，又PC MN ⊥，所以1PC MN k k ⋅=，所以2MN k =， 故弦MN 所在直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=，故选C ． 7．答案：C 解：等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列， 所以有3129a a a =⋅，即2111(2)(8)a d a a d ⋅+=+，解得1d a =， 所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13(2410)16a a a d a a a d ++++==++++，故选C ． 8．答案：C 解：由题意，可得该数阵中第m 行有12m -个数， 所以前m 行共有1(12)2112m m ⨯-=--个数， 当8m =时，可得前8行共255个数， 因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列， 所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=，故选C ． 9．答案：D 解：如图，因为对角线互相平分且BF AC ⊥，所以四边形1AFBF 为矩形， 设||AF m =，则1||2AF a m =+， 又由14AF AC =，可得3||||AF CF =，所以||3FC m =，12||3CF m a =+， 在1ACF Rt △中，()()()2222432a m m m a ++=+， 得m a =，所以1||||3BF AF a ==， 又因为在1AFF Rt △中，22211||||||AF AF FF +=，即()()22232a a c +=， 所以得离心率10e =，故选D ． 10．答案：C 解：()()()()22cos22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故1π5π1sin 0,,π266x x ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5π,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，即在π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，故选C ．11．答案：D解：令()ln xg x x =，则()21ln xg x x -'=，当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,e 上为增函数，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上为减函数，故πln ln πee >，即11ππe e >，故0a c ，又1ln 2ln 3ln 4ln 3ln 2ln 3=032343--=-<，a c b ∴>>， 综上，()()()f a f c f b >>，故选D ．12．答案：B解：∵①中，显然(){}f x x x =-的定义域为R ，由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到11(){}(,]22f x x x =-∈-，故①错误；②中，由题意知：(1)(1){1}1{}1{}()f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=，所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+，则得(){}f x x x =-为分段函数，且在11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦，13,22⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故命题③正确；④中，由题意得()(){}()(}()){f f k x k x k x x x x f x -=---=--≠-=-，所以函数()y f x =的图象关于直线()2x kk =∈Z 不对称，故命题④错误，由此可选择②③，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：32解：22133()2cos 2cos 12cos 222f x x x x ⎛⎫=--+=-++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1cos 2x =-时等号成立． 故答案为32． 14．答案：22π 解：由三视图得三棱锥直观图如下所示： 其中,,SA AB AC 两两互相垂直， 将三棱锥补成以,,SA AB AC 为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 22233222++= 所以外接球的表面积为2224π22π2⨯=， 故答案为22π． 15．答案：92 解：已知等式利用正弦定理化简得33a c b +=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可知2222222222(3)2341399cos 222933a c a c ac a c a c a c b a c B ac ac ac c a +++++-====⋅+⋅-+角B 最大时，则cos B 最小， 由基本不等式可得4134333cos 93a c B c a =⋅+⋅≥=， 当且仅当4193a c c a ⋅=⋅，即32a c =时，取等号． 代入33a c b +=，可得::332a b c =， 因为33b =33a =，6c =， 在等腰ABC △中，求得底边上的高为32h =1326922ABC =⨯=△S 故答案为92．16．答案：10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 解：作出2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，根据二次函数的对称性可得122x x +=-，由对数函数的性质可得34ln ln x x =-，341x x =，若()f x a =有4个根，由图可知10a -<<，从而易知311x e <<，于是3433112,x x x e x e ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭，因为1234342x x x x x x +++=-++，所以123410,2e x e x x x +⎛⎫+- ⎪⎝+∈⎭+．故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．答案：（1）21nn a =-；（2）11211n n n +---+．解：（1）11a =，112a ∴+=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，11222n n n a -∴+=⨯=，21n n a ∴=-．（2）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，则()12312(12)22222212nnn n S n n n +-=++++-=-=---，111(1)1n b n n n n ，111111111+12233411n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭，所以数列{}n c 的前n 项和为11112212111n n n n S T n n n n +++=--+-=---++．18．答案：（1）频率分布直方图见解析，中位数5．133千元，平均数5．16千元；（2）ˆ40270y x =+，该家庭2020年能达到小康标准． 解：（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6，7)的频率为0．18， 所以频率分布直方图如下： 中位数为0.50.040.100.32255 5.1330.3015---+=+=（千元）， （或：设中位数为x ，则0.0450.266x x -=-，解得 5.133x =） 平均数 2.50.04 3.50.10 4.50.32 5.50.30 6.50.187.50.06 5.16x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）． （2）解：由题意得123456 3.56x +++++==，275365415450470485246041066y +++++===， 62114916253691i i x ==+++++=∑，2266 3.573.5x ⨯=⨯=， 所以616221693106 3.541093108610700ˆ409173.59173.517.56i i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯-=====---∑∑， ˆˆ41040 3.5270a y bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为ˆ40270y x =+， 设y 为2020年该家庭人均月纯收入，则13,14,15x =时，1(40270)3y x =+， 即2020年前三月总收入为1(790830870)8303++=元； 当16,17,,24x =时，4(40270)322165y x x =+=+， 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，…，984， 构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为()972898477042+=，所以2020年该家庭总收入为：830770485348000+=>， 所以该家庭2020年能达到小康标准．19．答案：（1）证明见解析；（2）112．解：（1）证明：因为//AD BC ，AD AB ⊥，所以BC AB ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．（2）由（1）知AB BC ⊥．又AB PB ⊥，PB BC B =，,PB BC ⊂平面PBC ，∴AB ⊥平面PBC ，设PA 的中点为F ，连接EF ，则//EF AD 且12EF AD =，又//BC AD 且12BC AD =，所以//EF BC ．所以点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离， 而点F 到平面PBC 的距离等于点A 到平面PBC 的距离的12，所以点E 到平面PBC 的距离1122h AB ==， 故1111111332212E PBC PBC V S h -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△．20．答案：（1）2212x y +=；（2）证明见解析．解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =，由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以2222112a b c =+=+故椭圆E 的方程为2212xy +=．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210t y ty ++-=， 由题意，得Δ>0，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 设()0,D u ，由CD AB ⊥，得2212122t u t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u +=， 故线段CD 的中点在x 轴上． 21．答案：（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 解：（1）依题意()()()()()1111x x f x e x x x e '=-+-=-+， 当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞． （2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++ ⎪⎝⎭恒成立， 即()()22214422x a a a x e x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭， 即()()222442x a x e x x x --+=-≥， 即2x x a e -≥恒成立，即max 2x x a e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 令()()22x x h x x e -=>，则()()123x x x x h x e e ---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减， 所以()()3max 13h x h e ==，所以31a e ≥． 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．答案：（1）22230x y x +--=；（2）4．解：（1）圆C 的极坐标方程为π4cos()3ρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+，由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以2220x y x +--=． （2）将线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=．所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=，设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-，则1212||||(PA PB t t t t -=-=+=，当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4．23．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．解：（1）将2a b c ++=平方得：2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知：222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 三式相加得：222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a bc ab bc ac ab bc ac =+++++≥++，所以43ab bc ac ++≤，当且仅当23a b c ===时等号成立 （2）由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥， 则2228a b c b c a b c a---⋅⋅≥⋅=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥，当且仅当23a b c ===时等号成立．。

2021届高考全国一卷文科数学全真模拟(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ， ）1. （5分） 复数z 1=2−i ，z 2=3+i ，则|z 1⋅z 2|=（ ） A.5 B.6 C.7 D.5√22. （5分） 已知集合A ={x|12<2x ≤2}，B ={x|ln (x −12)≤0}，则A ∩(∁R B)=（ ）A.⌀B.(−1,12] C.[12,1)D.(−1,1]3. （5分） 已知 x =1.10.1，y =0.91.1， z =log 2343， 则( )A.x >y >zB.y >x >zC.y >z >xD.x >z >y4. （5分） 经验表明：当人的下肢部分之长与身高总长度的比为0.618时是最美的，如果某人的这个比例与0.618相差较大，则可以通过穿适当高度的高跟鞋来调节，从而达到美的标准.若某女性的身高170厘米，下肢部分之长为103厘米，为了让自己变得更美，该女性选择高跟鞋的高度最适合的为( ) A.5.4厘米 B.5.8厘米 C.4.9厘米 D.4.5厘米5. （5分） 函数y =√x 2−1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6. （5分） 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.77. （5分） 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，且tan (α+β)=13，则tan β的值为（ ） A.−7 B.7 C.1 D.−18. （5分） 已知向量a →，b →满足a →=(1,−1)，且向量a →与向量a →−3b →相互垂直，则a →⋅b →=（ ） A.32 B.23C.12D.29. （5分） 某程序框图如图所示，若输入x 的值为2，则输出的y 的值是( )A.2B.3C.4D.510. （5分） “在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数y ＝x +4x 是双曲线，它到两渐近线距离的积是2√2，根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝0与y ＝x B.x ＝0与y ＝2x C.x ＝0与y ＝0 D.y ＝x 与y ＝2x11. （5分） 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，a =3，b =2，且ac ⋅cos B −√74bc =a 2−b 2，则B =（ ）A.π3 B.π6C.2π3D.5π612. （5分） 已知椭圆C:x 2+y 22=1，直线l:y ＝x +m ，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是（ ） A.(−√23,√23) B.(−√24,√24) C.(−√33,√33) D.(−√34,√34)13. （5分） 已知两点M(−3, 0)，N(3, 0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|⋅|MP →|+MN →⋅NP →=0，则动点P(x, y)到点A(−3, 0)的距离的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.614. （5分）已知f(x)=sin (2019x +π6)+cos (2019x −π3)的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1−x 2|的最小值为( ) A.π2019B.2π2019C.4π2019D.π4038卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）15. 已知P(x 0, y 0)是抛物线y 2=2px(p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2=2px 两边同时对x 求导，得2yy′=2p ，则y′=py ，所以过P 的切线的斜率：k =p y 0.类比上述方法，求出双曲线x 2−y 22=1在点(2，√6)处的切线方程为________．16. 设{a n }是等比数列，公比q =√2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n =17S n −S 2n a n+1,n ∈N ∗．设T n 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________．17. 已知函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω∈N )在[0,π]上仅有2个零点，设g (x )=√2f (x 2)+f (x −π8)，则g (x ) 在区间[0,π] 上的取值范围为________.18. 已知直线l 垂直于平面α，垂足为O ，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，若点A 在直线l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，C 两点间的最大距离为________．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ） 19.某调研机构调取了当地2014年10月∼2015年3月每月的雾霾天数与严重交通事故案例数资料进行统计分析，以备下一年如何预防严重交通事故作参考．部分资料如下：该机构的研究方案是：先从这六组数中剔除2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被剔除的2组数据进行检验，若由线性回归方程得到的估计数据与所剔除的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是合情的．(1)求剔除的2组数据不是相邻2个月数据的概率；(2)若剔除的是2014年10月与2015年2月这两组数据，请你根据其它4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(3)①根据(2)求的回归方程，求2014年10月与2015年2月的严重交通事故案例数；②判断(2)所求的线性回归方程是否是合情的． 附：b ̂=∑x i n i=1y i −nxy¯∑x i 2n i=1−nx¯2=∑(n i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(n i=1x i −x ¯)2 ，a ̂=y ¯−bx ¯．20. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足________．（从①S 10=5(a 10+1)；②a 1，a 2，a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）． (1)求a n ；(2)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n21. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求证：AP // 平面EBD；(2)求证：BE⊥PC．22. 已知函数f(x)=e x−ax+b，其中a，b∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)函数f(x)在x=0处存在极值−1，且x∈(−1,+∞)时，f(x)+2>k(x+1)恒成立，求实数k的最大整数.23. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：3，得到x3+1+1≥3x，例：求x3−3x，x∈[0, +∞)的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3√abc于是x3−3x=x3+1+1−3x−2≥3x−3x−2=−2，当且仅当x=1时，取到最小值−2（1）老师请你模仿例题，研究x4−4x，x∈[0, +∞)上的最小值；4）（提示：a+b+c+d≥4√abcdx3−3x，x∈[0, +∞)上的最小值；（2）研究19（3）求出当a>0时，x3−ax，x∈[0, +∞)的最小值．参考答案与试题解析 2020年7月10日高中数学一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ） 1.【解答】 此题暂无解答 2.【解答】 此题暂无解答 3.【解答】解：x =1.10.1>1.10=1， 0<y =0.91.1<0.90=1， z =log 2343<log 231=0，所以x >y >z . 故选A . 4.【解答】解：设该女性选择高跟鞋高度为x 厘米， 由题意得：x+103x+107=0.618，解得x ≈5.4厘米. 故选A ． 5.【解答】解:由题，当x =3时，y =√x 2−13=√32−13=32,当x =−3时，y =√32−13=−32,可排除C,D ,当0<x <1时，−1<x 2−1<0， 此时 √x 2−13<0，可排除B . 故选:A . 6.【解答】解：共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取15， 故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6． 故选C . 7.【解答】解：∵ 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，即 sin α=−2cos α，即 tan α=−2．又∵ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=−2+tan β1+2tan β=13，则tan β=7， 故选B. 8.【解答】解：因为a →⋅(a →−3b →)=0，且|a →|=√2，则a →⋅b →=13|a →|2． 故选B ． 9.【解答】解：由框图知当x =2时，y =22−2+3=5. 故选D .10.【解答】对勾函数y ＝x +4x 是双曲线，当y ＝x 是渐近线时，x ＝x +4x没有解，说明y ＝x 是一条渐近线方程；y ＝2x 与y ＝x +4x 有交点，x ＝±2，所以y ＝2x 不是渐近线方程；排除选项B ，D ； 因为对勾函数y ＝x +4x 中的点(1, 5)不在y ＝0与y ＝x 的区域内，所以C 不正确； 11.【解答】解：根据题意，得ac cos B =a 2−b 2+√74bc ， 则有ac ×a 2+c 2−b 22ac=a 2−b 2+√74bc ， 变形可得：a 2+c 2−b 2=2a 2−2b 2+√72bc ， 则有b 2+c 2−a 22bc=√74， 即cos A =√74， 则sin A =√1−cos 2A =34， 又由a sin A =b sin B ，则sin B =b×sin A a，又由a =3，b =2， 则sin B =2×343=12，又由a >b ，则B <π2， 则B =π6． 故选B ．12.【解答】 设椭圆x 2+y 22=1上存在关于直线y ＝x +m 对称的两点为M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)，根据对称性可知线段MN 被直线y ＝x +m 垂直平分，且MN 的中点T(x 0, y 0)在直线y ＝x +m 上，且k MN ＝−1，故可设直线MN 的方程为y ＝−x +n ，联立{x 2+y 22=1y =−x +n，整理可得：3x 2−2nx +n 2−2＝0，所以x 1+x 2=2n3，y 1+y 2＝2n −(x 1+x 2)＝2n −2n 3=4n 3，由△＝4n 2−12(n 2−1)>0，可得−√3<n <√3， 所以x 0=x 1+x 22=n3，y 0=y 1+y 22=2n 3，因为MN 的中点T(x 0, y 0)在直线y ＝x +m 上， 所以2n3=n3+m ，m =n3， −√33<m <√33， 13.【解答】解：设P(x, y)，因为M(−3, 0)，N(3, 0)， 所以|MN →|=6MP →=(x +3,y)，NP →=(x −3,y)由|MN →|⋅|MP →|+MN →⋅NP →=0，则6√(x +3)2+y 2+6(x −3)=0， 化简整理得y 2=−12x ，所以点A 是抛物线y 2=−12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A(−3, 0)的距离，所以d =3． 故选B ． 14.【解答】解：∵ f(x)=sin (2019x +π6)+cos (2019x −π3)=sin 2019x cos π6+cos 2019x sin π6+cos 2019x cos π3+sin 2019x sin π3=√32sin 2019x +12cos 2019x + 12cos 2019x +√32sin 2019x =√3sin 2019x +cos 2019x =2sin (2019x +π6)， ∴ f(x)的最大值为A =2；由题意，得|x 1−x 2|的最小值为T2=π2019,∴A|x1−x2|的最小值为2π2019.故选B.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）15.【解答】解：双曲线方程可化为y2=2(x2−1)，两边同时对x求导，得2yy‘=4x，则y‘=2xy，则过点(2，√6)的切线的斜率k=√6=2√63，因此切线方程为y−√6=2√63(x−2)，整理得2√6x−3y−√6=0．故答案为：2√6x−3y−√6=0．16.【解答】T n=1√2)n1−√21√2)2n1−√2a1(√2)n=1−√2⋅√2)2n√2)n(√2)n=1−√2⋅[(√2)n(√2)n17]因为(√2)n(√2)n≧8，当且仅当(√2)n=4，即n＝4时取等号，所以当n0＝4时T n有最大值．17.【解答】解：∵ f(x)在[0,π]仅有2个零点，∴π4≤ωx+π4≤ωπ+π4，∴ 2π≤ωπ+π4<3π，∴74≤ω<π4，又∵ ω∈N，∴ ω=2，∴ f(x)=sin(2x+π4)，∴ g(x)=√2sin(x+π4)+sin2x=sin x+cos x+2sin x cos x，设sin x+cos x=t=√2sin(x+π4)，sin2x=t2−1，∵ 0≤x≤π，∴−1≤t≤√2，∴ g (x )=y =t +t 2−1=(t +12)2−54， ∴ 当t =−12时，y min =−54， 当t =√2时，y max =1+√2． ∴ g (x )值域为[−54,1+√2]． 故答案为：[−54,1+√2]． 18.【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，AB =4，BC =2， 以O 为原点，OA 为y 轴，OB 为x 轴建立直角坐标系，如图，设∠ABO =θ，则∠BCE =θ，设C(x ，y)，则有： x =OB +BE =4cos θ+2sin θ， y =2cos θ，∴ OC 2=x 2+y 2=(4cos θ+2sin θ)2+(2cos θ)2 =12+8√2sin (2θ+π4)，当sin (2θ+π4)=1时，x 2+y 2最大，为12+8√2，则O ，C 两点间的最大距离为2√2+2． 故答案为：2√2+2．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ） 19.【解答】解：(1)剔除的2组数据不是相邻2个月的数据概率为P =1−5C 62=23．(2)x ¯=11+13+12+84=11，y ¯=25+29+26+164=24．∴ b ̂=(11×25+13×29+12×26+8×16)−4×11×24112+132+122+82−4×112=187， a ̂=24−187×11=−307．∴ x 的线性回归方程y ̂=187x −307．(3)①当x =7时，y ̂=967，当x =10时，y ̂=1507． ②当x =7时，|967−14|=27<2； 当x =10时，|1507−22|=47<2．∴ 线性回归方程是合情的．20.【解答】解：(1)①由S 10=5(a 10+1)，得10a 1+10×92d =5(a 1+9d +1)，即a 1=1；②由a 1，a 2，a 6成等比数列，得a 22=a 1a 6，a 12=2a 1d +d 2=a 12+5a 1d ，即d =3a 1； ③由S 5=35，得5(a 1+a 5)2=5a 3=35，即a 3=a 1+2d =7；选择①②，①③，②③条件组合，均得a 1=1，d =3，即a n =3n −2；(2)若b n =12n ，则a n b n =3n−22n ， T n =12+422+723+1024+⋯+3n−22n ， 12T n =122+423+724+1025+⋯+3n−52n +3n−22n+1， 两式相减得：12T n =12+3(122+123+124+⋯+12n )−3n−22n+1，T n =1+3(12+122+123+⋯+12n−1)−3n −22n=1+3(1−12n−1)−3n −22n =4−3n+42n ．21.【解答】证明：(1)连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC∩BD=O，∴O为AC的中点，又∵在△PAC中，E为PC的中点，∴AP // EO．∵EO⊂平面EBD，AP⊄平面EBD，∴AP // 平面EBD.(2)∵平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=DC，BD⊥DC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD为等边三角形，且E为PC的中点，∴DE⊥PC，又∵BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，∴PC⊥平面BDE，∵BE⊂平面BDE，∴BE⊥PC．22.【解答】解：(1)f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a>0时，f′(x)=e x−a=0，x=ln a，则x∈(−∞,ln a)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,ln a)上单调递减，x∈(ln a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(ln a,+∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,ln a)上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增.(2)函数f(x)在x=0处存在极值−1，由(1)知a>0，且f′(0)=e0−a=0，f(0)=1+b=−1，所以a=1，b=−2，则f(x)=e x−x−2.因为f′(x)=e x−1=0，x=0，所以x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，则f(x)在x=0处存在极值f(0)=−1满足题意.由题意f(x)+2>k(x+1)恒成立，即e x−x>k(x+1)对x∈(−1,+∞)恒成立，即k<e x−xx+1，设ℎ(x)=ex−xx+1，只需k<ℎ(x)min，因为ℎ′(x)=(e x−1)(x+1)−e x+x(x+1)2=xe x−1x+1，又令t(x)=xe x−1，t′(x)=e x+xe x=(1+x)e x，所以t(x)在(−1,+∞)上单调递增，因为t(0)=−1<0，t(1)=e−1>0，知存在x0∈(0,1)使得t(x0)=x0e x0−1=0，即e x0=1x0，且在(−1,x0)上，t(x)<0，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，在(x0,+∞)上，t(x)>0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−x0x0+1=1x0−x0x0+1=1x0−1，即x0∈(0,1)，所以ℎ(x)min=1x0−1>0，又ℎ(0)=1，知ℎ(x)min∈(0,1)，所以k的最大整数为0.23.【解答】解：（1）x4−4x=x4+1+1+1−4x−3≥4x−4x−3=−3，当且仅当x=1时，取到最小值−3，（2）19x3−3x=19x3+3+3−3x−6≥3x−3x−6=−6，当且仅当x=3时，取到最小值−6，（3）x3−ax=x3√a3√3√a3√3−ax−2a√3a9≥ax−ax−2a√3a9=−2a√3a9，当且仅当x=√a3√3时，取到最小值−2a√3a9。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（一）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R AC B =（ ） A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]- 【答案】C【解析】 集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =<则()()2,2R A C B ⋂=-.故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D【解析】【分析】 把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件【答案】A【解析】【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±， 所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题. 4.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天【答案】C【解析】【分析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S-==- ， 解得1531a = ， ()512315012nn S -=≥- ， 解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 5.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. 23a πB. 26a πC. 212a πD. 224a π 【答案】B【解析】【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.a 、，=，又长方体的顶点都在一个球面上，所求的球半径R =， 所以表面积为2246R a ππ=.故选：B .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题. 6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D【解析】【分析】 根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解.【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题. 7.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 35 B. 310 C. 34 D. 310 【答案】A【解析】【分析】 由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果． 【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-=======⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．8.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）A. 2B. 12C. 212+D. 122+【答案】B【解析】【分析】先求得圆心到直线2x y -=的距离为d =1d +，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆222210x y x y +--+=，可得圆心坐标(1,1)O ，半径为1r =，则圆心(1,1)O 到直线2x y -=的距离为d == 所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是11d +=.故选：B . 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，则sin x 的值介于12-与12之间的概率为 ( ) A. 2π B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】【分析】 求解正弦不等式sin 1122x <-<在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的解集，结合几何概型的概率计算公式即可容易求得. 【详解】因为11ππππsin ,[,][,]222266x x x -<<∈-⇒∈-， 所以满足题意的概率P =ππ()166ππ3()22--=-- . 故选：B .【点睛】本题考查几何概型长度型问题的概率计算，涉及正弦不等式的求解，属综合基础题.10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A. 若//l α，l β//，则//αβB. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】 根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误.故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.12.已M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ，则||||MP MF +的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ， 可得||||MN MF =，转化为求||||MP MN +的最小值，数形结合即可求解.【详解】抛物线24y x =准线方程为1x =-，过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为N ，由抛物线的定义可得||||MN MF =， ||||||||||4MP MF MP MN PN ∴+=+≥=，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设变量x,y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则目标函数5z x y =+的最大值为 .【答案】5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数5z x y =+，可整理为5y x z =-+，与直线5y x =-平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点()1,0A 时取得最大值.则5105max z =⨯+=.故答案为：5.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____.【答案】300【解析】【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=. 故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题.15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg 432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案为：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.【答案】2-.【解析】【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值 【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17.已知函数()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）在坐标系上作出()f x 在[]0,π上的图像，要求标出关键点的坐标.【答案】（1）1a =-，T π=；（2）图像和关键点的坐标见详解.【解析】【分析】（1）先根据两角和公式对函数进行化简整理得()f x ═2sin 214x a π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，再根据最大值确定a 值，结合正弦函数的性质求得函数的最小正周期；（2）依据图表，分别求得0，6π，512π，3π，23π，1112ππ，时的函数值，进而描点画出图象． 【详解】（1）()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2314cos cos 3sin22cos 22x x x a x x a ⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭, 3sin2cos212sin 261x x a x a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭, ∵()f x 的最大值为2，即212a ++=，∴1a =-，最小正周期22T ππ== （2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故可得其图像上关键点的坐标分别为：()0,1，,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭，(),1π 其图像如下所示：.【点睛】作函数()()sin f x A x ωϕ=+图象的方法（1）作三角函数图象的基本方法就是把x ωϕ+看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；（2）变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x x ϕωϕωω⎛⎫+=+⎪⎝⎭来确定平移单位． 18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查，若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析. （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.【答案】（1）抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.（2）15【解析】 【分析】（1）根据分层抽样每个个体抽取的概率相等，即可求出各层的抽取的个数；（2）将抽取的6所学校按所在组进行编号，列出从6所学校任取2所学校的所有情况，确定出2所学校均为小学的抽取个数，按照古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为共有学校2114742++=（所） 所以抽取学校的比例是61427=所以抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所. （2）设抽取的小学为123,,a a a ，中学为12,b b ，大学为c ，则基本事件有：()()1213,,,a a a a ，()()()()()()()111212321222,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a a a b a b a c ，()()()()()()313231212,,,,,,,,,,,a b a b a c b b b c b c ，共15种.其中是2所小学的事件有：()()()121323,,,,,a a a a a a ，共3种. 所以抽取6所学校中的2所学校均为小学的概率31155P ==. 【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，古典概型的概率的计算方法，属于基础题. 19.已知椭圆的两焦点为()10,1-F 、()20,1F ，离心率为12. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在椭圆上，且121PF PF -=，求12cos F PF ∠的值【答案】（1）24y +23x 1=；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标以及离心率，即可求得,,a b c 方程，求解方程，即可得到椭圆方程； （2）根据椭圆定义，结合已知条件，利用余弦定理解三角形即可.【详解】（1）设椭圆方程为22221y x a b+= (0)a b >>由题设知1c =,12c a = ∴2a =,2223b a c =-=∴所求椭圆方程为24y +23x 1=.（2）由椭圆定义知1224PF PF a +==，又121PF PF -= ∴152PF =，232PF =，又1222F F c == 由余弦定理222121212122594344cos 5325222PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⨯⨯.故12cos F PF ∠35=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ABE △为等腰三角形，2AE BE ==，平面ABCD ⊥平面ABE .（1）求证：平面ADE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥D ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）根据已知可证AD ⊥平面ABE ，得到AD BE ⊥，再由,,AE BE AB 长度关系，得到AE BE ⊥，进而有BE ⊥平面ADE ，即可证明结论；（2）取AB 中点O ，连接OE ，根据已知可证OE ⊥平面ABCD ，利用D ACE E ACD V V --=，即可求解.【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，而BE ⊂平面ABE .∴AD BE ⊥.又2,AE BE ==2AB =，222,AB AE BE AE BE ∴=+∴⊥而AD AE A ⋂=，AD AE ⊂、平面ADE ，BE ∴⊥平面ADE ，而BE ⊂平面BCE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）如图，取AB 中点O ，连接OE .ABE 是等腰三角形，OE AB ∴⊥.又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，OE ⊂平面ABEOE ∴⊥平面ABCD ，即OE 是三棱锥D ACE -的高.又2,2AE BE AB ===1OE ∴=1233D ACE E ACD ACDV V OE S--∴==⋅⋅=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关系的相互转化是解题的关键，属于中档题. 21.设a实数，函数3211()(1)()32f x x a x ax x R =---∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在R 上的极大值与极小值.【答案】（1）单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-；（2）当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --，极小值是1126a +；当1a =-时，()f x 无极值；当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --.【解析】 【分析】（1）当1a =时，求出(),f x f x '()，求解0f x f x '()>0,'()<，即可得出结论；（2）求出()f x '，进而得到()0f x '=的根，按照根的大小对a 分类讨论，求出单调区间，即可求解. 【详解】（1）当1a =时，31()3f x x x =- 2101f x x x =-'=)∴(=±当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.所以()f x 的单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-； （2）2(1)(1)()0x a x f x a x x a '()=---=+-=1x ∴=-或x a =，当1a =-时，2(1)0x f x =+'()所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在R 上无极值.当1a <-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极大值是321()612f a a a -=-， 极小值是11(1)26f a -=+； 当1a >-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极小值是321()612f a a a -=-， 极大值是11(1)26f a -=+. 综上，当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --， 极小值是1126a +； 当1a =-时，()f x 无极值； 当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a 外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)； （Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值． 【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）1a = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得2)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ=所以曲线L 的普通方程为22yax由tan 2θ=，θ为锐角，得sinθθ==所以)A 的直角坐标为)2,)4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A --因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒- 所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22yax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{242x t y =-+=-+ (t 为参数),代入22y ax 得到22(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅ 即22(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦ 解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题． 23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -. 【解析】 【分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解． 【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示， 结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞， 函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-， 又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。

【组卷说明】本卷以江西、陕西各地名校模拟考试和各校的联合考试为主题、以课标卷为模板、以“高考考试大纲〞为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2021年全国新课标试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考。

本套试题有如下的鲜明特点：1.注重根底知识的考查：选择题的1-4-题，重在根底知识的把握,5题考查学的空间想象能力；8题，考查学生数形结合的数学思想，是高考中必要的得分点。

2.注重新颖试题的筛选和组合：如填空11题，注意转化思想的运用，13题表达在知识的交汇点出题的原那么，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.3.大题难度和新课标高考根本一致，其中20和21表达拔高功能，锻炼学习解题能力：第17题—考察数列求和中的裂项方法；第18题——立体几何问题，考查学生空间想象能力和计算分析能力；第19题——概率和期望，以新颖的背景为依托，考查学生转化分析能力和阅读能力；第20题——以椭圆为背景考查轨迹问题和直线与曲线相交问题，考查逻辑思维能力；第21题——函数与导数，着重考查导数在研究函数最值及单调性中的综合应用。

【名校、考点一览表】第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.【江西省新余一中、宜春中学2021届高三年级联考数学〔文〕试卷】设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，那么A B ⋂的子集的个数是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．12.【陕西省宝鸡市2021届高三数学质量检测〔一〕数学〔文〕试题】复数,1i z -=那么=+z z1〔 〕A ．i 2123- B ． i 2321- C ．i 2323- D ． i 2321+ 4.【江西省赣县中学北校区2021-2021学年上学期八月考高三数学文科试题】命题“存在R x ∈0，使得020≤x 〞的否认是 〔 〕A ．不存在R x ∈0，使得02>x 〞 B ．存在R x ∈0，使得020≥x 〞C ．对任意的x R ∈，有2x ≤0D ．对任意的x R ∈，使得2x 0>5.【江西师大附中2021届高三年级开学考试数学〔文〕试卷】假设几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕 A ．23π B ．22．43πD ．2π 6.【江西省昌江一中2021届高三第一次月考数学试卷〔文科〕】设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f (32)＝( )A.1B.23 C. 12 D. 327.【2021年普通高等学校招生全国统一考试〔陕西卷〕文科数学】点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 那么直线1ax by +=与圆O 的位置关系是(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定9.【2021年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文】以下选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是〔 〕A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ． (0,1)D ．(1,)+∞10.【江西省新余一中、宜春中学2021届高三年级联考数学〔文〕试卷】抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF与x 轴垂直，那么椭圆的离心率为〔 〕 A. 23- B ．21- C ．21D ．22 第二卷〔共100分〕二、填空题〔每题5分，总分值25分，将答案填在答题纸上〕11.【江西省宜春中学、新余一中2021届高三〔上〕12月联考数学试卷〔文科〕】线段AB 的长度为2，它的两个端点在圆0〔0为圆心〕的圆周上运动，那么．12. 【江西省赣县中学北校区2021-2021学年上学期八月考高三数学文科试题】如下图,程序据图(算法流程图)的输出结果为__________.13.【2021-2021学年江西省宜春市上高二中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔文科〕】假设关于x 的不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立，那么实常数λ的取值范围是 ．14.【江西省昌江一中2021届高三第一次月考数学试卷〔文科〕】函数cos (0)()(1)1(0)xx f x f x x π⎧=⎨-+>⎩≤，那么44()()33f f +-= ．15. (考生请注意:请在以下三题中任选一题作答, 如果多做, 那么按所做的第一题计分)A. 〔不等式选讲〕【陕西省渭南市2021届高三第二次模拟数学〔文〕试题】不等式a x x <++-12对于任意]6,0[∈x 恒成立的实数a 的集合为 .B. (几何证明选做题)【2021年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学】如图, AB 与CD 相交于点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P. A C ∠=∠, PD = 2DA =2, 那么PE = .DBCEPAC ．〔标系与参数方程选做题〕【陕西省宝鸡市金台区2021届高三11月质量检测数学试卷〔文科〕】在极坐标系中，ρ〔2，〕的直角坐标是 ..三、解答题 〔本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕16.【江西省南昌市第二中学2021-2021学年高三上学期第一次月考文数试卷】〔总分值12分〕,552sin -=α且0tan <α 〔1〕求αtan 的值； 〔2〕求)23sin()2cos()2cos()sin(2αππααππα+---++的值；18.【江西师大附中2021届高三年级开学考试数学〔文〕试卷】〔本小题总分值12分〕 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==.四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.ECPAF〔1〕求证：平面AFD ⊥平面PAB ；〔2〕是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？假设存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；假设不存在，请说明理由．20.【江西省新余一中、宜春中学2021届高三年级联考数学〔文〕试卷】〔此题总分值13分〕椭圆()222210+=>>x y a b a b的左右焦点为F 1，F 22,以线段F 1 F 2为直径的圆的面积为π， (1)求椭圆的方程；(2) 设直线l 过椭圆的右焦点F 2〔l 不垂直坐标轴〕，且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M 〔m,0〕，试求m 的取值范围。