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1第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．i (1i)(2i)
=++（）A ．3i
10-B ．3i
10+C ．3i
10-+D ．
3i
10--2．已知集合{}ln A x y x ==，{}3B x x =∈≤N ，则（
）A ．B A ⊆B ．{}0A B x x => C ．A B
⊆D ．{}1,2,3A B = 3．“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（
）A ．10B ．9C ．8
D ．74．若向量(1,2)AC = ，(1,4)AB BC -=- ，则AB = （
）A ．(1,1)
-B ．(0,6)C ．(2,2)-D ．(0,3)
5．已知圆221:1C x y +=，222:(2)1C x y -+=，223:(1)1C x y +-=，224:4C x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（）
高三数学试卷（文科）。
2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十七）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷1.已知集合{}{2,xP y y Q x y ====，则P Q =I （ ）A. []1,1-B. [)0,+∞C. (][),11,-∞+∞UD. (]0,1 2.计算21ii-（i 为虚数单位）等于（ ） A.1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -3.已知一组数据点11223377(,),(,),(,),,(,),x y x y x y x y ⋅⋅⋅用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1237,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则71i i y ==∑（ ）A ．2B ．11C ．12D ．144.经过原点且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程为( )A.22(1)(1)2x y -++= B.22(1)(1)2x y ++-= C.22(1)(1)4x y -++= D.22(1)(1)4x y ++-=5. 已知向量(1,3),(3,)a b m ==．若向量a b ⊥，则实数m 等于( )A ．3 3B ．-3 3C ． 3D ．－ 36.如图，在程序框图中，若输入6n =，则输出k 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.如图，正三棱柱111ABC A B C -中， E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E8. 赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．413B C ．926D 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3711a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是( ).A. 7SB. 8SC. 13SD. 15S10. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则在区间[0,6]上函数()y f x =的图像与x 轴的交点的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．911.已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D12.函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．(,0]-∞第II 卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数3log ,0()41,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则((2))f f -=_______．14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次。
2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可. 【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ).A ．B ．2CD ．8【答案】A【解析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a . 【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =， 所以()2,2a =-，可得()22a =-=故选：A . 【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A .本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16【解析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】D【解析】由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】B【解析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<.【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<.故选：B . 【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 【答案】C【解析】根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】 ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A ．29B ．35C 41D ．13【答案】C【解析】由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B【解析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos x xf x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】由题意可得切点()0,1，对()cos x xf x e=求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程. 【详解】 由()0cos00=1f e =，可得切点()0,1， ()sin cos xx xf x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题. 15．函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________.【答案】43【解析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+.∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43.【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题.16．若函数()2121x x f x -=+则不等式()719f x +<的解集为__________.【答案】{}42x x -<<【解析】方法一：可判断()2121x x f x -=+为奇函数，且为R 上的增函数，又()739f =，()739f -=-，结合函数图象及性质可得不等式求解；方法二：直接带入建立不等式1172179219x x ++--<<+，求解即可. 【详解】方法一：()()21122112x xx xf x f x -----===-++， ()2121x x f x -=+为奇函数，()21212121x x xf x -==-++为R 上的增函数. 又()739f =，()739f -=-， 结合函数图象及性质可得：313x -<+<，即42x -<<.方法二：()1121121x x f x ++-+=+，()719f x +<，即1172179219x x ++--<<+，解得11288x +<<，即42x -<<. 故答案为：{}42x x -<<. 【点睛】本题为函数与不等式的综合题，可依据函数的单调性建立不等式求解，考查计算求解能力及函数的基本性质，属于中等题.三、解答题17．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b 满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a 通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程的求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=. 解得：11a =，1d =. ∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：n b ==∵0n b >，∴n b =∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==.【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）12e -+=；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形. 【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =.由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =或e =又01e <<，则e =. （2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF AB b k k ac⋅=-=-，∴1AF AB ⊥，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，221F A b c a =+=，1F B c a =+，22AB a b =+.222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+，∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题． 20．如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可. 【详解】（1）在菱形ABEF 中，ABEF ，AB ⊄平面CEF ，平面CEF .∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒，BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=. 在Rt EBC 中，2225EC EB BC =+=.在Rt FBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=， ∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF . ∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OEBE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥. 在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长. 在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题. 21．已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a . （1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断． 【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >， 可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数， ∴()()11max x a f f ==-=； (2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1， ∴|x −lnx |≥1， 又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x-'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ， ∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解.本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.2t -3y -∴22312x yx y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。
2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分. 考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( )A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <-2. 已知正方形ABCD 的边长为1, 则AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（ ）A. 0B. 2C.2 D. 223. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km , 灯塔A 在观察站C 的北偏东20o, 灯塔B 在观察站C 的南偏东40o，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )km A. a B.a 2 C. a 2 D. a 34. 曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为（ ）A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y5. 设函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是 ( )A. 2B. 16C. 2或16D. 2-或166. 设向量311(sin ,),(,cos ),432a xb x ==r r 且//a b r r , 则锐角x 为（ ） A. 6π B. 4π C. 3πD. π125 7. 已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ ）A. 18B. 18-C. 15D. 128. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是４, 最小值是0, 最小正周期是2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A. 4sin(4)6y x π=+ B. 2sin(2)23y x π=++ C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++ 9. 若函数)(x f y =的图象如右下图所示, 则函数)1(x f y -=的图象大致为 ( )10. 已知0a >且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x < , 则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0YB. (]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C. (]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D. [)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0Y 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____ ________.12. 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N , 如: 因为2141197,19717+=++=, 所以(14)17f =. 记1()()f n f n =,21()(())f n f f n =, …,1()(())k k f n f f n += (k *∈N ), 则2008(8)f = .13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ _____块木块堆成.14. 对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列四个命题:① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ; 俯视图侧视图正视图D.C.A. B.② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点)0,43(π对称;⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()f x ∈. 其中正确命题的序号是 .2020年文科数学答题卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 12.13. 14.第Ⅱ卷(解答题共80分)三、解答题（共6小题，满分80分） 15. (本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )=r a αα, (cos ,sin )=rb ββ, -=r r a b .(Ⅰ) 求cos()αβ-的值; (Ⅱ) 若0πα<<, 0πβ-<<, 且5sin β=-, 求sin α.班 姓 学号 考16. (本小题满分12分)已知函数32()(4)3(6)f x x m x mx n =+--+-在定义域内是奇函数. (1) 求m , n 的值;(2) 求()f x 在区间[3,2]-上的极值和最值.17. (本小题满分14分)已知点集{}(,)L x y y ==⋅u u r r m n , 其中(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n 为向量, 点列(,)n n n P a b 在点集L 中, 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 已知数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, *N n ∈.(1) 求数列{}n a , {}n b 的通项公式;(2) 求1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r 的最小值;(3) 设1(2)n n n n c n n a P P +=≥⋅u u u u u u r , 求234n c c c c ++++L 的值.18. (本小题满分14分)(1) 如图1, 在三棱锥A BCD -中, ,M N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心, 求证://MN BD .(2) 如图2, 在三棱锥S ABC -的侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点, 使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比. 学号 考室19. (本小题满分12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x 万元, 可获得纯利润100)40(16012+--=x P 万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x 万元, 可获纯利润)60(2119)60(1601592x x Q -+--=万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?20.（本小题满分14分）已知函数()22xx af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()yg x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;(3) 设1()()(),F x f x h x a=+ 设()F x 的最小值为m . 是否存在实数a , 使2m >若存在, 求出a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.室2020年联考文科数学答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDDCC BCDAC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. {x |45x x ≥≠且} 12. 11 13. 5 14. ①③④⑤ 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )=r Q a αα, (cos ,sin )=rb ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--r rαβαβa b . ………………………………………………… (2)5-=r r Q a b ,5=, …………………… (4) 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5αβ∴-=. (7)（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q , (8)()3cos 5αβ-=Q ,()4sin .5αβ∴-= (9)5sin 13β=-Q ,12cos 13β∴=, (10)()sin sin ∴=-+⎡⎤⎣⎦ααββ ……………………………………………………………… (12)()()sin cos cos sin =-+-αββαββ ………………………………………………… (13)412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………………………… (14) 16. 解: (1) 依题意得()()f x f x -=-, (1)即3232()(4)()3()(6)(4)3(6)x m x m x n x m x mx n -+----+-=---+--, ……………… (2)∴22(4)2(6)0m x n -+-=, ……………………………………………………………………… (3) 故4m =,6n =. ……………………………………………………………………………………(4)(2)由(1)得3()12f x x x =-, ………………………………………………………………………(5)∴2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+, …………………………………………………… (6)当(3,2)x ∈--时, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 当(2,2)x ∈-时, ()0f x '<, ()f x 单调递减;……………………………………………………………………………………………… (8)所以当2x =-时,()f x 有极大值16. (9)(3)9f -=Q , (2)16f =-, ……………………………………………………………………… (10) max ()(2)16f x f ∴=-=,min ()(2)16f x f ∴==-. (12)17.解:(1)由y =⋅u u r r m n,(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n , 得:12+=x y (2)即 :L 12+=x y Q 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 1(0,1)P ∴ 则 110,1a b == (3)Q数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, 1 (N )n a n n *∴=-∈, ………………………………… (4) 代入12+=x y , 得:2 1 (N )n b n n *=-∈ (5)(2) (1,21)n P n n --Q , 1(,21)n P n n +∴+,221121(1,21)(,21)515()1020n n OP OP n n n n n n n +∴⋅=--⋅+=--=--u u u r u u u u u r (8)Nn *∈Q , 所以当1n =时,1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r有最小值, 为3. (9)(3) 当2≥n 时, )12,1(--n n P n ,得:11),n n n a P P n +⋅=-u u u u u u r…………………………………(10)111(1)1n C n n n n===---, (12)23111111(1)()()12231n C C C n n n∴+++=-+-++-=--L L L . …………………… (14)18. 解: (1) 连结AM , 延长交BC 于P ; 连结AN , 延长交CD 于Q , 连结PQ . (1),M N Q 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心,23AM AN AP AQ ∴==. ...................................................... (3) //MN PQ ∴, 且,P Q 分别是,BC CD 的中点. ..................... (5) ∴//PQ BD , (6)由公理4知: //MN BD . (7)(2) 解:sin 1sin 12SB C SBC S SB SC B SC S SB SC B SC ''∆∆''''⋅∠==''⋅∠, ……………………… (10) 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h .12SA SA '=Q , 12h h '∴=. …………………………………………… (12) 1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅. .................................... (13) 故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23. (14)19. 解: 在实施规划前, 由题设100)40(16012+--=x P (万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）. …………………………………………… (3) 实施规划后的前5年中, 由题设100)40(16012+--=x P 知, 每年投入30万元时, 有最大利润8795max =P (万元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 前5年的利润和为8397558795=⨯(万元). (6)设在公路通车的后5年中, 每年用x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资, ………………………………………………………………………………………………………… (7) 则其总利润为5)2119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x . ……………………………… (9) 当x =30时，W 2|max =4950（万元）. (10)AB CD M NQPSC'B'A'CBA从而10年的总利润为495083975+（万元）. (11)1000495083975>+Θ,∴该规划方案有极大实施价值. …………………………………………… (12) 20. 解: (1) 由题设,()g x (2)f x =-2222x x a--=-. (2)(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点11(,)x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1y =对称, 则112x xy y=⎧⎨=-⎩, (4)2(),2()y g x y g x ∴-=∴=-, 即22()222x x ah x --=-+. (6)(3)由题设,21()2xx F x a =-+22222x x a ---+＝111()2(41)242x x a a -+-+ ………………… (7) 0a ≠Q① 当0a <时, 有114a -0<, 410a -<, 而2x0>, 12x 0>,()2F x ∴<, 这与()F x 的最小值2m >+矛盾; …………………………………………… (8) ② 当104a <≤时, 有114a -0>, 410a -≤, 此时()F x 在R 上是增函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当4a ≥时, 有114a -0≤, 410a ->, 此时()F x 在R 上是减函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当144a <<时, 有114a -0>,410a ->,()2F x ≥, (11)当且仅当2x=时取得等号,()F x 取最小值m=2. (12)又2m >+及144a <<, 得(4)(41)744144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ …………………………………………… (13) 1212,21244a a a ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<<⎪⎩. (14)。
2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C可用列举法列出所有真子集即可. 解：由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 点评：本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+答案：C由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 解：由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C .点评：本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-r 与向量()1,1b =-r平行，则a =r ( ).A ．B ．2CD ．8答案：A由a b r rP ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-r ，即可求得a r .解：由a b r rP ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =，所以()2,2a =-r，可得a ==r 故选：A . 点评：本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0答案：A方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 解：方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x xa a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++，解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A . 点评：本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 解：由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 点评：本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案：D分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 解：抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 点评：本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 解：函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B .故选：C . 点评：本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2答案：D由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 解：由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 点评：本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<答案：B由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<. 解：∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<. 故选：B . 点评：本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC V 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 答案：C根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 解： ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 点评：本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A 29B ．35C 41D ．213答案：C由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 解：由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 点评：本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1答案：B方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =.解：方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 点评：本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.答案：2数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 解：数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 点评：本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos xxf x e =在点()()0,0f 处的切线方程为__________.。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各式中，不是同类项的是（）A. 2x^2y^3B. 3x^2y^3C. 4x^2y^3D. 5x^2y^32. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 + 6x + 4D. 3x^2 + 6x - 43. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = -3x + 2C. y = x^2 - 3x + 2D. y = 3x - 14. 已知等差数列{an}，首项为a1，公差为d，若a1 = 3，d = 2，则第10项an = （）A. 19B. 20C. 21D. 225. 若复数z满足|z + 1| = |z - 1|，则z在复平面内的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限6. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则|a| <|b| D. 若a > b，则a^2 < b^27. 已知等比数列{an}，首项为a1，公比为q，若a1 = 2，q = 3，则第6项an = （）A. 162B. 198C. 234D. 2708. 下列函数中，不是指数函数的是（）A. y = 2^xB. y = 3^xC. y = x^2D. y = (1/2)^x9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f(2) = （）A. 4B. 8C. 12D. 1610. 下列各式中，不是三角函数的是（）A. sin xB. cos xC. tan xD. x^211. 已知等差数列{an}，首项为a1，公差为d，若a1 = 3，d = 2，则第10项an = （）A. 19B. 20C. 21D. 2212. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则|a| <|b| D. 若a > b，则a^2 < b^2二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = __________2. 若复数z满足|z + 1| = |z - 1|，则z在复平面内的对应点位于 __________3. 已知等差数列{an}，首项为a1，公差为d，若a1 = 3，d = 2，则第10项an = __________4. 下列函数中，不是一次函数的是 __________5. 已知等比数列{an}，首项为a1，公比为q，若a1 = 2，q = 3，则第6项an = __________6. 下列命题中，正确的是 __________7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f(2) = __________8. 下列各式中，不是三角函数的是 __________三、解答题（本大题共4小题，共100分）1. （20分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求f'(x)和f''(x)。
2020届全国金太阳联考新高考原创精准预测考试（二）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合{|A x y ==，(){}22|log B x y x x ==-，则A B ⋂=A. {|01}x x <<B. }1|{≥x xC. {|0}x x >D. }1|{>x x2.命题“，”的否定是A. B.C.D.3.等比数列{}n a 中，若0n a >，241a a =，7321=++a a a ，则公比q = A.14B.12C. 2D. 44.下列函数中，即是奇函数又是增函数的为A.B.C.D.5.已知21sin ,cos 643x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则值为A ．14B ．34C ．1516D ．1166.若变量满足约束条件则的最小值为 .A.B.C.D.7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A. B. C.165D.8.在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λμ和，使得,=BM AB AC λμλμ=++则A ．2B ．2-C ．12D ．12-9.若，则等于A.B.C. 2D.10.已知，，，则下列选项正确的是A.B.C.D.11.设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为A.B.C. D.12.已知函数，若正实数满，则的最小值是A. 1B. C. 9D. 18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知，，成等比数列，且，则_______．14．已知奇函数()f x 为R 上的减函数，若()()23210f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是____________． 15.若正数满足，则的最小值为__________．16.四棱锥中，底面为矩形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分） 已知数列满足，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求的取值范围.18.（本大题满分12分）某iphone 手机专卖店对某市市民进行iphone 手机认可度的调查，在已购买iphone 手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：（I）求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；（II）在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iphone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部6iphone s手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率.19.（本大题满分12分）如图，几何体是由半个圆柱及14个圆柱拼接而成，其中G，H分别为CD与AB的中点，四边形ABCD为正方形.（I）证明：平面DFB⊥平面GCBH.（II）若22=AB，求三棱锥E ABG-的体积.20.（本大题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点.（Ⅰ）当的斜率为时，求的面积；（Ⅱ）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.21.（本大题满分12分）设函数()()ln 1f x a x =+， ()1xg x e =-，其中a ∈R ， 2.718e =…为自然对数的底数．（Ⅰ）当0x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）求证： 1095200010001791<< (参考数据： ln1.10.095≈)．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点是曲线上的动点，点在的延长线上，且，点的轨迹为．（Ⅰ）求直线及曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与直线交于点，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.23.设的最小值为.（10分）（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的最小值.文科数学试题答案1.D2.B3.B4.C5.D6.C7.D8.D9.B 10.D 11.A 12.A 13.4 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,115.2 16.17.（1）由知数列是等比数列，且公比为.成等差数列，（2）易知单调递减，当时，的取值范围为18.（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，535101000.045100x y x ++++=⎧⎨⨯⨯=⎩，解得2030x y =⎧⎨=⎩.频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30人，对应的频率组距为0.30.065=， 所以补全的频率分布直方图如下：（2）由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为55125⨯=， 记为1A ，年龄在[30,35)内的市民的人数为205425⨯=，分别记为1B ，2B ，3B ，4B . 从这5人中任取2人的所有基本事件为：{}11,A B ，{}12,A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，12{,}B B ，13{,}B B ，14{,}B B ，23{,}B B ，24{,}B B ，34{,}B B ，共10种不同的取法.记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M ，则M 所包含的基本事件有4个：{}11,A B ，{}12,A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，共有4种不同的取法，所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为42()105P M ==.19.（1）由题知4ABF π∠=，又因为H 为AB 的中点，所以4ABH π∠=，故2HBF π∠=，即BF BH ⊥，又因为BC ⊥平面ABH ，BF ⊂平面ABH ，所以BC BF ⊥，又因为BCBH B =，所以BF ⊥平面GCBH ，因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH . （2）连接AE ，BE ，EG ，FH ，如图所示， 由图可得几何体的体积满足E ABG A EFHG B EFHGF ABE H ABG V V V V V -----=+--A EFHG A EFHG E ABF G ABH V V V V ----=+--，因为22=AB ，所以4BF =，2BH =，由（1）知BF BH ⊥，所以FH == 过点A ，B 分别作FH 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，所以13sin 45AF AH AA FHπ⋅==，1BH BF BB FH ⋅==所以13A EFHG B EFHG V V --+=⨯=31132E ABF V -=⨯⨯=112232G ABH V -=⨯⨯⨯⨯=所以33E ABG V -=-=20.解：（1）依题意，因，又，得，所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：将直线与椭圆方程联立，消去得，，解得，，，所以.（2）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，，设线段的中点，设线段的中点， 则，，设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.，整理得：，，等号成立时.故当截距最小为时，，此时直线的方程为.21.解：(Ⅰ)令()()()()()1ln 10x H x g x f x e a x x =-=--+≥，则()()01x aH x e x x =-≥+' ①若1a ≤，则11x ae x ≤≤+， ()0H x '≥， ()H x 在[)0,+∞递增， ()()00H x H ≥=， 即()()f xg x ≤在 [)0,+∞恒成立，满足，所以1a ≤； ②若1a >， ()1xaH x e x =-+'在[)0,+∞递增， ()()01H x H a ''≥=-且10a -< 且x →+∞时， ()H x '→+∞，则()00x ∃∈+∞，使()00H x '=， 则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增， 所以当()00x x ∈，时()()00H x H <=，即当()00x x ∈，时， ()()f x g x > ， 不满足题意，舍去；综合①，②知a 的取值范围为(],1-∞. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当1a =时， ()1ln 1xe x >++对0x >恒成立，令110x =，则11010951ln1.1 1.0951000e >+≈> 即10951000>；由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增， 则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001x ae x =+， 令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<<. 22.（1）消去直线l 参数方程中的t ，得，由，得直线l 的极坐标方程为，故．由点Q 在OP 的延长线上，且，得，设，则， 由点P 是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为．（2）因为直线l 及曲线的极坐标方程分别为，，所以，，所以，所以当时，取得最大值，为．23.解：（Ⅰ）当时，当时，当时，当时，取得最小值（Ⅱ）由题意知当且仅当时，即等号成立，的最小值为.- 11 -。
