浙江省杭州市高二第二学期期末统考试卷

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

浙江省杭州市08-09学年高二数学下学期期末考试（理）doc2022年杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷（理科）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。

4．考试结束，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

）1．设a,bR，若(ab)i10abi(i为虚数单位），则(ab)2等于A．12B．8C．8D．102．(某1)10的展开式中的第六项是A．210某B．252某2C．210某D．2103．“平面内的两条直线l、m都平行于平面”是“//”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35．下列图形中，可能是方程a某by0和a某by222456a01(且b0)图形的是6．在平面内，设半径分别为r1,r2的两个圆相离且圆心距为d，若点M,N分别在两个圆的圆周上运动，则|MN|的最大、最小值分别为dr1r2和dr1r2，在空间中，设半径分别为R1,R2的两个球相离且球心距为d，若点M,N分别在两个球面上运动，则|MN|的最大、最小值分别为A．dR1R2和dR1R2B．dR1R2和dR1R2C．dR1R2和dR1R2D．R1R2d和07．已知三角形的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，则任取一个三角形是锐角三角形的概率是53B．9421C．D．32A．8．给出下列命题：（1）某(0,),恒有log2某222某成立；（2）某(0,),使得log2某2某2某成立；（3）(a,b){(某,y)|y2}，必有(b,a){(某,y)|ylog2某}；（4）某(0,)，使得log2某2某。

浙江省杭州市杭州第二中学2024学年高二生物第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：（共6小题，每小题6分，共36分。

每小题只有一个选项符合题目要求）1．细胞凋亡又称细胞编程性死亡，其大致过程如图所示。

下列有关叙述不正确的是A．细胞凋亡是细胞在特定条件下的被动死亡过程B．细胞凋亡过程中以小泡形式形成凋亡小体，需要消耗能量C．细胞凋亡发生过程中，细胞内容物不释放出来D．细胞凋亡过程中有新蛋白质合成，体现了基因的选择性表达2．下如图为人体内苯丙氨酸的部分代谢途径，如图为甲、乙两个家庭（非近亲）的系谱图，相关分析正确的是A．苯丙酮尿症、尿黑酸症的病因分别是缺乏酶⑥和酶③B．家系乙中Ⅱ-4携带尿黑酸症致病基因的概率是1/2C．家系甲中Ⅱ-3可通过减少苯丙氨酸的摄入来减缓症状D．两家系中6号个体婚配，孕期内应进行相关的基因检测3．酶具有极强的催化功能，其原因是()A．增加了反应物之间的接触面B．降低了反应物分子的活化能C．提高了反应物分子的活化能D．酶提供使反应开始所必需的活化能4．某一种细菌的变异菌不需要从环境中摄取现成的亮氨酸就能生长，此菌株对链霉素敏感。

要想筛选出该变异菌株，选用的培养基类型是A．不加亮氨酸，不加链霉素B．不加亮氨酸，加链霉素C．加亮氨酸，加链霉素D．加亮氨酸，不加链霉素5．下列与细胞中能量代谢有关的叙述，正确的是A．白化玉米苗缺少光合色素，不能进行能量代谢B．人体成熟的红细胞不能产生酶，无法进行能量代谢C．高能磷酸键的形成可能伴随着放能反应的进行D．人剧烈运动时细胞呼吸消耗的氧气量小于产生的二氧化碳量6．下图所示为来自同一人体的4 种细胞，下列叙述正确的是A．图中各细胞的染色体数目相同B．各细胞的基因不同导致形态、功能不同C．各细胞中的RNA 和蛋白质种类相同D．产生上述细胞的分化过程是不可逆的二、综合题：本大题共4小题7．（9分）阅读下列材料，完成相关问题。

浙江省杭州市2021-2022高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分 1.设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =（ ）A. {}4B. {}1,4C. {}2,3D.{}1,2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算律可得出集合AB 。

【详解】由题意可得{}4A B ⋂=，故选：A 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。

2.直线340x y ++=的斜率为（ ） A. 13- B.13C. 3-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。

【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选：A 。

【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法： （1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-.3.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A. {}1x x > B. {}1x x <C. {}1x x ≠D. R【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于x 的不等式，解出可得出函数的定义域。

【详解】由题意可得()210x ->，解得1x ≠，因此，函数()22log 1y x =-的定义域为{}1x x ≠，故选：C 。

【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题。

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a,b，若（其中i为虚数单位），则（）A . a=1,b=1B . a=1,b=-1C . a=-1,b=1D . a=-1,b=-13. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg4. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A .B .C .D .5. （2分）已知函数f(x)=x2+bx+c的导函数y=f'(x)的图象如图所示，且f(x)满足b2-4c>0，那么f(x）的顶点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2019高二下·荆门期末) “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M的概率都是 .现在李某单独研究项目M ，且这个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） 2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .8. （2分）若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·烟台期中) 曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A .B .C . 1D . 210. （2分）函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A . 1，－1B . 3，-17C . 1，－17D . 9，－1911. （2分）有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译．要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A . 900B . 800C . 600D . 50012. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若,则常数T的值为 ________14. （1分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=________15. （1分） (2015高二下·张掖期中) 函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是________．16. （1分）(2016·诸暨模拟) 已知等比数列{an}的首项a1=1，且a2、a4、a3成等差，则数列{an}的公比q=________，数列{an}的前4项和S4=________．三、解答题 (共5题；共25分)17. （5分） (2015高二下·淮安期中) 已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18. （5分）求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？19. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设则a0,a1,...,a8中奇数的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）且n<55,则乘积(55-n)(56-n)...(69-n)等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·河南模拟) 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。

若，则称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·太原期中) 关于残差和残差图，下列说法正确的是（）⑴残差就是随机误差⑵残差图的纵坐标是残差⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．A . （1）（2）B . （3）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）6. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .7. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或8. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________11. （1分）(2017·内江模拟) （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为________（用数字填写答案）12. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．13. （1分） (2017高二下·赣州期中) 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为________．三、解答题 (共4题；共40分)14. （5分）证明：若n∈N + ，则3 2n+3﹣24n+37能被64整除．15. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （10分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为 = x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234≥5下一年的保费倍率0.851 1.25 1.5 1.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：一年中的出险次数01234≥5频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）17. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、16-2、17-1、。

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测语文参考答案一、现代文阅读1.B2.C3.D4.①对把握中国古代美学的文化基因和美学思维特点有重要意义。

②使人们意识到中国古代艺术创造对于美学理论建构的重要性，将中国美学理论观念的研究与中国古代艺术审美实践紧密结合起来。

③为人们认识和把握中国美学史面貌提供方法论的启示。

（4分。

一点1分，两点2分，三点4分）5.这一联描绘了春日葱翠绿草映着石阶，繁密树叶中黄鹂啼叫的景象，充满画面感；美好的春天景象无人欣赏，“自”“空”两字隐含着诗人内心的落寞与感伤；此联写景状物，引发读者去思考诸葛亮的一生，去体验杜甫复杂的情感。

（6分。

一点2分，基本符合即可）6.C7.B8.①突出秦腔唱词粗犷、恣肆的特点，富有鲜明浓郁的地域特色；②让读者更具体、直观地感受秦腔的魅力；③舒缓叙述节奏，使行文具有变化。

（4分。

一点2分，两点4分）9.示例一：同意。

《主角》：①忆秦娥为生活放下尊严，迎合市场去茶社演出，表明了秦腔艺术的衰落；②米兰放弃对秦腔的坚持，移居海外，这暗示了秦腔前景的黯淡；③秦腔艺术尊严不再，很少有正式的舞台，观众也缺了谦卑恭敬之心，显现了秦腔艺术的衰微。

《秦腔》（节选）：虽然写了三秦土地农民对秦腔的热爱，但全文均以回忆的视角来写，表明了秦腔文化的逐渐逝去；秦腔的基础是农民，但乡土社会逐渐瓦解，都市兴起，秦腔也失去了生存的根基。

示例二：不同意。

《主角》：①以忆秦娥为代表的艺人依然在锤炼技艺，坚守秦腔艺术；②米兰虽移居海外，仍对秦腔念念不忘，并充满信心地认为它会走向世界；③“西京到处都在唱秦腔”，也有外国人观看忆秦娥的演出，说明秦腔仍有广泛的群众基础。

《秦腔》（节选）：写了秦地、秦人、秦腔之间的血肉联系，表明秦腔是秦地人民的精神寄托。

（6分。

《主角》4分，每点2点；《秦腔》2分）二、古代诗文阅读10.B E G（3分） 11.B 12.C13.（1）梁末帝又多次派人催促刘鄩，刘鄩率领万人逼近晋军营地，俘虏了很多晋兵。

2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测语文试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间150分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写考生相关信息，并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

一、现代文阅读（33分）（一）现代文阅读I（本题共4小题，15分）阅读下面的文字，完成下面小题。

近年来我写了一系列的“古诗新铸”的创新作品，冠以总题“唐诗解构”，乃我个人从事诗歌创作以来另一项突破性的实验工程，一种谋求对古典诗中神韵之释放的企图。

我不是恋旧，更无意复古，而是希望从旧的东西里寻找新的美，发掘所谓“意在言外”的“意”中潜在的诗质。

无疑的，这是一种对旧体诗的重新诠释和再创造，一种试以现代语言表述方式、全新的意象与节奏，来唤醒、擦亮、激活那曾被蔑视、摧毁、埋葬的旧传统，并赋予新的艺术生命。

这种思考与做法也很可能被视为一种徒劳，不过我相信，这是翻新传统、建构中华新文化的一项值得一试的工作。

幼年启蒙之初，我曾读过三年私塾，无非《三字经》《幼学琼林》《唐诗三百首》之类，入新式小学、初中时开始读《西游记》《七侠五义》《水浒传》《三国演义》等章回小说，从此奠定了我初浅的传统文化的根基。

念高中时心智日渐成熟，对新文学产生了兴趣，并学写新诗，但仍未忘情于古典文学中那种内敛蕴藉、简洁练达之美。

后来受到西潮影响，开始全方位地向西方现代主义倾斜，初期不自觉与当时一般年轻诗人一样高分贝地叫喊反传统，乃至多年后，自小潜伏在血脉中的古典文学因素，似乎在一夜之间突然苏醒，并清楚意识到，文学的正常生长与茁壮，不仅需要外来新兴美学思潮的挹注，同时也需要重新评估传统文化的价值，并发掘、摄取古典文学中那种万古常新、不可取代的优质元素。

感叹之余，我想利用诗体解构这一招，希望能引起年轻诗人的注意而逐渐接近唐诗、喜爱唐诗。

中国诗史数千年，为何我独钟于唐呢？我毕其一生以追求诗的现代化，创造现代化的中国诗为职志，多年前我在《建立大中国诗观的沉思》一文中曾说：“我们要创造的现代诗不只是新文学史上一个阶段性的名词，而是以现代为貌，以中国为神的诗。

杭州市高二下学期语文期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共5题；共10分)1. （2分）下列词语中划线字读音全都正确的一项是（）A . 愧疚（jiù）绛紫（jiàng）执拗（niù）睡眼惺忪（xīng）B . 窒息（zhì）百舸(kě)忤逆（wǔ)运筹帷幄（chóu）C . 戍守（shù）遒劲（jìn）漂泊(bó)妄自菲薄（fěi）D . 偏袒（tǎn）潸然（shān）荇菜（xìng）载人飞行（zǎi）2. （2分） (2019高二下·嘉兴期末) 下列各句中，没有错别字且加下划线字注音全部正确的一项是（）A . 青年工作，抓住的是当下，传承的是根脉，面向的是未来，攸关党和国家前途命运，习总书记的殷（yīn）殷期盼、谆谆嘱托，赋予我们沉甸甸的责任。

B . 让广大球迷计日以俟（sì）的2019男篮世界杯分组抽签揭晓，中国男篮将坐阵北京主场，与委内瑞拉、波兰和科特迪瓦捉对厮杀，争夺出线机会。

C . 叱咤（chà）风云也罢，潦倒一生也罢，富贵荣华也罢，困苦穷愁也罢，终有一天都会变成幽微的烛火，最终湮没消融在无垠的黑暗里。

D . 最难承受的还是，不管我的心情如何，挂在墙上的壁钟总是在除夕夜的十二点猛力敲响，那样无情，又那样凄怆（chuànɡ），让我急首痛心。

3. （2分）下列各句中，划线的词语使用恰当的一句是（）A . 为配合新版校园一卡通的启用，后勤集团在生活区新开辟三个业务办理窗口，申领手续也将更加简洁。

B . 眉山苏氏一门才俊当然不错，而“苏小妹兰难新郎”的故事纯属虚构，然而这个浪漫故事却流传至今。

C . 随着耐间推移，警方的包围圈越来越小，这群罪恶极大的歹徒已成了瓮中捉鳖，难逃法网。

D . 他是这种新文学体裁的始作俑者，应当在当代文学中占有一定的地位，这是毋庸置疑的。

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=17．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．3√28．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．34D ．√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若函数f （x ）导函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．x 1是f （x ）的一个极大值点B ．x 2是f （x ）的一个极小值点C ．x 3是f （x ）的一个极大值点D ．x 4是f （x ）的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A ：“两次向上的点数之和大于7”，事件B ：“两次向上的点数之积大于20”，事件C ：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥 B ．P(AB)=572C ．P(B|A)=25D ．事件A 与事件C 相互独立11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1eC ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 ． 16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝2． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）已知点P （1，0），直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D ． ①求证：直线CD 过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ．2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c → D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：−b →−c →=−(b →+c →)，则b →+c →，b →，−b →−c →共面，故b →+c →，b →，−b →−c →不能构成基底，故A 错误；a →=12[(a →+b →)+(a →−b →)]，因此向量a →，a →+b →，a →−b →共面，故不能构成基底，故B 错误； 假设c →=λ(a →+b →)+μ(a →−b →)，即c →=(λ+μ)a →+(λ−μ)b →，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；(a →+b →)+c →=a →+b →+c →，因此向量a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，故不能构成基底，故D 错误． 故选：C ．3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为√212的等比数列{a n }， 第四个单音的频率为a 4=f ×(√212)3=214f ．故选：B ．4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：①若点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外，则a 2+b 2＞1， ∵圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +2＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b ，∴d 与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，∴充分性不成立， ②若直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，则圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +1＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b 1，即a 2+b 2＞4，点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外．∴点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外是直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交的必要不充分条件． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C 31C 32A 22=18种．故选：C ．6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=1解：由统计学知识可知，R 2越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数R 2＝0.8732，B 小组的决定系数R 2＝0.9375， ∴B 小组的拟合效果好，则回归方程为v =−0.5006u +0.4922，又u ＝x 2，v ＝y 2，∴y 2＝﹣0.5006x 2+0.4922，即0.5006x 20.4922+y 20.4922=1．故选：C ．7．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3B ．72C ．4D ．3√2解：因为AD →+BD →+CD →=（OD →−OA →）+（OD →−OB →）+（OD →−OC →）＝3OD →−（OA →+OB →+OC →）＝3OD →， 且|OD →|＝1，所以|AD →+BD →+CD →|＝3，而|AD →+BD →+CD →|≤|AD →|+|BD →|+|CD →|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD →，BD →，CD →同时时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即AD →，BD →，CD →不同向， 所以|AD |+|BD |+|CD |＞|AD →+BD →+CD →|＝3，且|AD |，|BD |，|CD |均小于直径长2，即|AD |+|BD |+|CD |＜6， 综上，3＜|AD |+|BD |+|CD |＜6， 根据选项可知A 不符合． 故选：A ． 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．34D ．√32解：不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为△PF 1F 2的内心，所以P A 为∠F 1PF 2的角平分线， 所以PF 1PF 2=F 1A AF 2，因为|OA →|=14c ，所以|PF 1||PF 2|=|F 1A||AF 2|=53，设|PF 1|＝5t ，则|PF 2|＝3t ，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|＝8t ＝2a ， 可得t =a 4，所以|PF 1|=5a 4，|PF 2|=3a4，又因为PF 1→⋅PF 2→=|PF 1→|⋅|PF 2→|cos∠F 1PF 2=54a ×34a ⋅cos∠F 1PF 2=116a 2， 所以cos ∠F 1PF 2=115，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28−4c215a28=115，所以a2＝2c2，则e=√c2a2=√22．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=572C．P(B|A)=25D．事件A与事件C相互独立解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、 （5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种， 事件B 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 事件C 包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、 （2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、 （3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、 （6，1）、（6，2）、（6，3），共30种， 对于A ，事件B 与事件C 互斥，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 所以，P(AB)=636=16，故B 错误； 对于C ，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C 正确； 对于D ，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、 （6，2）、（6，3），共9种， 所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D 错误． 故选：AC ．11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 解：由题意可得e 2=a 2+4a =a +4a，因为a ＞0， 所以e 2=a 2+4a =a +4a ≥2√m ⋅4m =4，即e ≥2，当且仅当a =4a，即a ＝2 时，等号成立． 此时双曲线方程是x 22−y 26=1，渐近线方程是√3x ±y =0．故A 错误，B 正确；设直线为x ＝my +n 代入双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)， 可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）﹣a （a 2﹣a +4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x 2a−y 2a 2−a+4=0，直线方程代入可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）＝0， ∵直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间， ∴AB 、CD 的中点重合，∴|AC |＝|BD |，故C 正确．当a ＝1，双曲线的方程为x 2−y 24=1，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A （m ，n ），故双曲线在A （m ，n ）的切线方程为mx −14ny ＝1， 与y ＝2x 联立可得E 的横坐标为44m−2n， 与y ＝﹣2x 联立可得E 的横坐标为44m+2n，∴S △EOF =12|OE |•|OF |•sin ∠EOF =12×√1+22×44m−2n ×√1+22×44m+2n ×sin ∠EOF =52×1616m 2−4n 2×sin ∠EOF =52×1616×sin ∠EOF =52sin ∠EOF 为定值，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e C ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22解：对于A 选项：f （0）＝0，f ′(x)=x′⋅e x −x⋅(e x )′(e x )2=1−xe x ，f ′（0）＝1，所以曲线f （x ）在x ＝0处的切线为：y ＝x ； 同理g （1）＝0，g ′(x)=1−lnxx 2，g ′（1）＝1，曲线g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝x ﹣1， 即曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行，正确； 对于B 选项：f ′(x)=1−xe x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1， 所以曲线f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e ， 又当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→0，若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e 或a ≤0，错误； 对于C 选项：曲线g （x ）的定义域为：（0，+∞），g ′(x)=1−lnxx 2，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e， 所以曲线f （x ）与曲线g （x ）的大致图像为：易知当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（0，1）上无交点； 当x ∈[1，e ]时，f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，f （e ）＝e 1﹣e ＜g （e ）＝e ﹣1，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（1，e ）上有一个交点；当x ∈（e ，+∞）时，记h （x ）＝x ﹣lnx ，ℎ′(x)=1−1x，当x ＞e 时h ′（x ）＞0恒成立， 即h （x ）在（e ，+∞）上单调递增，即h （x ）＞h （e ）＝e ﹣1＞0，即x ＞lnx ＞1， 又曲线f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （lnx ），即x ex＜lnx e lnx=lnx x，即f （x ）＜g （x ）恒成立，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（e ，+∞）上没有交点； 所以曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点，正确；对于D 选项：当直线y ＝a 经过曲线f （x ）与g （x ）的交点时，恰好有3个公共点， 且0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，x 1e x 1=x 2e x 2=lnx 2x 2=lnx 3x 3，由f （x 1）＝f （x 2）＝f （lnx 2），所以x 1＝lnx 2， 由g(x 2)=g(x 3)=g(e x 2)，所以x 3=e x 2， 即x 1⋅x 3=lnx 2⋅e x 2=x 22，正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ﹣28 ．解：（x ﹣y ）（x +y ）8＝x （x +y ）8﹣y （x +y ）8，二项展开式x （x +y ）8的通项为xC 8r x 8−r y r =C 8r x 9−r y r，二项展开式y （x +y ）8的通项为yC 8k x 8−k y k =C 8k x 8−k y k+1，令{r =6k +1=6，解得{r =6k =5，因此，x 3y 6项的系数为C 86−C 85=28−56=−28， 故答案为：﹣28．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 0 ． 解：因为f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ， 所以f ′(x)=−sin(x −1)−1x，f ″(x)=1x 2−cos(x −1)， 则f ′(1)=−11−sin0=−1，f ″(1)=11−cos0=0， 所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=|0|[1+(−1)2]32=0．故答案为：0．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 63 ． 解：因为a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 2＝8＞0， 所以a n ＞0，a na n−1=2(−1)n +n ， 所以b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1）=log 2(a 2n+2⋅a 2n−1a 2n ⋅a 2n+1)=log 2(a 2n+2a 2n+1)−log 2(a2na 2n−1) =log 2(2(−1)2n+2+2n +2)−log 2(2(−1)2n+2n)＝log 2（2n +4）﹣log 2（2n +2）所以S n =log 26−log 24+log 28−log 26+⋯+log 2(2n +4)−log 2(2n +2)=log 22n+44， 因为S n ﹣5＞0，所以log 22n+44＞5=log 232，即n+22＞32，解得n ＞62， 因为n ∈N *，所以正整数n 的最小值为63． 故答案为：63．16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 (−53，1) ． 解：由f(x)=2|x+2|+cos(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(π2x −π)=2|x|−cos(π2x)为偶函数，所以g （x ）关于y 轴对称， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称，当x ≥0时，g ′(x)=2x ln2+π2sin(π2x)，当x ∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g ′（x ）＞0， 当x ∈（2，+∞）时，g ′(x)＞22ln2−π2＞0，所以g （x ）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f （x +1）＞f （2x ）得|x +1+2|＞|2x +2|，即（x +3）2＞（2x +2）2，解得−53＜x ＜1， 所以使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是(−53，1)． 故答案为：(−53，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．（1）证明：因为EH →=AH →−AE →=λAD →−λAB →=λBD →， FG →=CG →−CF →=(1−λ)CD →−(1−λ)CB →=(1−λ)BD →， 所以EH →=λ1−λFG →，则EH →∥FG →，因此E 、F 、G 、H 四点共面． （2）解：由（1）知，EH →=13BD →，FG →=23BD →，因此EH →=12FG →，EH 、FG 不在同一条直线上， EH ∥FG ，则EM MG =EH FG =12，则EM →=12MG →，即OM →−OE →=12(OG →−OM →)， 当λ=13时，AE →=13AB →，即OE →−OA →=13(OB →−OA →)，可得OE →=23OA →+13OB →，因为CG →=23CD →，即OG →−OC →=23(OD →−OC →)，可得OG →=13OC →+23OD →，所以，OM →=23OE →+13OG →=23(23OA →+13OB →)+13(13OC →+23OD →)=49OA →+29OB →+19OC →+29OD →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，则由S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)可得{4a 1+6d =8a 1+4d a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1，解得{a 1=1d =2，因此a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）由a n ＝2n ﹣1，得a b n =2b n −1，又由{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，得a b n +1=2n ，因此2b n =2n ， 所以b n =2n−1，所以T n =1−2n1−2=2n −1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ； （2）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值．（1）证明：取AC 中点M ，连接A 1M ，BM ，则BM ⊥AC ． ∵AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60°，∴△A 1AC 为等边三角形， ∴A 1M ⊥AC ，∵A 1M =BM =√3，A 1B =√6， ∴A 1M 2+BM 2=A 1B 2，∴A 1M ⊥BM ， ∵AC ∩BM ＝M ，∴A 1M ⊥平面ABC ，∵A 1M ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：由题可知二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值与二面角A 1﹣AB ﹣C 正弦值相等． ∵A 1M ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AB 于点N ，连接A 1N ， ∴∠A 1NM 即为所求二面角A 1﹣AB ﹣C 的平面角， ∵A 1M =√3，MN =A 1M ⋅cos60°=√32，∴A 1N =√3+34=√152， ∴sin∠A 1NM =A 1MA 1N =2√55．故二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值为2√55．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成M （M ∈N *）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）列联表如下：零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为p n，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为p n﹣1，不坐地铁的概率为1﹣p n﹣1，则p n=p n−1⋅0+(1−p n−1)⋅13=−13p n−1+13，从而p n−14=−13(p n−1−14)，又p1−14=34，所以{p n−14}是首项为34，公比为−13的等比数列；②由①可知p n=34(−13)n−1+14，则p5=34(−13)4+14＞14，又q5=13(1−p5)＜14，故p5＞q5．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．解：（1）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，x 1=p2，代入抛物线方程得y 1＝±p ， 则|AB |＝2p ，所以2p ＝2，即p ＝1， 所以抛物线C ：y 2＝2x ．（2）①设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB ：x =my +12，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2my ﹣1＝0，因此y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣1． 设直线AC ：x ＝ny +1，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2ny ﹣2＝0， 因此y 1+y 3＝2n ，y 1y 3＝﹣2，则y 3=−2y 1．同理可得y 4=−2y 2．所以k CD =y 3−y4x 3−x 4=y 3−y 4y 322−y 422=2y 3+y 4=2−2y 1+−2y 2=−y 1y2y 1+y 2=12m ，因此直线CD ：x ＝2m （y ﹣y 3）+x 3，由对称性知，定点在x 轴上， 令y ＝0得，x =−2my 3+x 3=−2my 3+y 322=−2m −2y 1+12(−2y 1)2=4m y 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y 2y 1+1y 12)=2+2⋅y 1y 2+1y 12=2， 所以直线CD 过定点Q （2，0）．②因为S △PAB =12|PF|⋅|y 1−y 2|=14|y 1−y 2|， S △PCD =12|PQ|⋅|y 3−y 4|=12|−2y 1−−2y 2|=|1y 1−1y 2|=|y 1−y 2y 1y 2|=|y 1−y 2|， 所以S △PAB +S △PCD =54|y 1−y 2|=54√4m 2+4=52√m 2+1≥52， 当且仅当m ＝0时取到最小值52．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ． 解：（1）由题意可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣a ， 由切线方程可知其斜率为﹣2， 所以{f ′(0)=−2，f(0)=b ，，解得{a =1b =1．（2）证明：由f （x ）＝0可得（x ﹣1）2e x ﹣x ＝0，所以(x −1)2−xe x =0； 函数f （x ）有两个零点即函数g(x)=(x −1)2−xe x有两个零点． g ′(x)=(x −1)(2+1e x )，当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增． 又g （0）＝1＞0，g(1)=−1e ＜0，g(2)=1−2e 2＞0， 所以g （0）g （1）＜0，g （1）g （2）＜0， 由零点存在定理可得∃x 1∈（0，1）使得g （x 1）＝0， ∃x 2∈（1，2）使得g （x 2）＝0， 所以函数f （x ）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣x ， 可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣1且0＜x 1＜1＜x 2＜2．要证明f ′(x 1+x 22)＞−a ，即证明((x 1+x 22)2−1)e x 1+x 22−1＞−1，即证明x 1+x 2＞2．令h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ）（0＜x ＜1）， 则ℎ′(x)=g ′(x)+g ′(2−x)=(x −1)(2+1e x )+(1−x)(2+1e 2−x )=(1−x)(e x −e 2−x )e 2＜0， 因此h （x ）单调递减，则h （x ）＞h （1）＝0．因此h （x 1）＞0， 即g （x 1）＞g （2﹣x 1），又0＜x 1＜1＜x 2＜2，又g （x 2）＝g （x 1）；所以g （x 2）＞g （2﹣x 1），又x 2，2﹣x 1∈（1，2），且g （x ）在（1，2）上单调递增， 因此x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2．命题得证．。

2023-2024学年浙江省杭州市高二下学期7月期末联考数学模拟试题选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．函数的定义域为（ ）()f x =A ．B ．C ．D ．[)1,+∞[)1,-+∞(],1-∞(],1-∞-2．已知集合，则（ ）{}{}21,2,3,4,20A B x x x ==--=A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}1,1,2,3,4-{}1,2,3,4{}1,0,1,2,3,4-{}2,1,2,3,4-3．在中，为边的中点，则（ ）ABC D AB A ．B ．C ．D ．0AD BD -=0AD DB += CB CD BD -= 2CA CB CD+= 4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．从数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为1,2,3,4,5,6,7,7（ ）A ．B ．C ．D ．143812586．已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ）αβl ⊂α//l β//αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．不等式的解集是（ ）1101x +≤-A ．B ．C ．D ．[)0,1(]0,1[]1,2(]1,28．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭L G 则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）lg20.301≈A ．16B ．72C ．74D ．909．在中，已知角所对的边分别是，已知，则等ABC ,,A B C ,,a b c 45,75a B C ===b 于（ ）A ．2B ．CD ．10．已知函数，则其图象一定不过（ ）()222xx f x =-A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知为锐角，且，则的值为（ ）α2π2πsin cos cos sin 55αα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2αA ．B ．C ．D ．45513242591612．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不1111ABCD A B C D -M 1B C N 11B D 含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关MN AC αMN 1ACB β于的取值可能正确的是（ ）,αβA ．B ．C ．D ．30α=︒45α=︒60β=︒75β=︒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．样本数据落在区间内的频率为0.45[)300,500B ．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小55%型民营企业能享受到减免税政策C ．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家D ．估计样本的中位数为480万元14．已知复数，则下列结论正确的有（ ）12,z z A ．B ．2211z z =1212z z z z +=+C ．D ．1212z z z z =⋅1212z z z z +=+15．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正21,e e π3121e e == 12122,a e e b e e =-=+ 确的是（ ）A ．B a b ⊥C ．D ．在上的投影向量为a b a+= a b 12b -16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对()y f x =()y f x =(),P a b称图形的充要条件是函数为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，()y f x a b=+-则下列结论正确的是（ ）A ．函数的图象关于点成中心对称图形()211x f x x +=-()1,2B ．若定义在上的函数对任意的都有，则函数图象的对称R ()f x x ()()22f x f x ++-=()f x 中心为()2,2C ．若是偶函数，则的图象关于直线成轴对称()y f x a =+()f x x a =D ．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024()f x ()11y f x =+-()422x g x =+个交点，记为，则()(),1,2,,2024i i i A x y i = ()202414048iii x y =+=∑非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为；体积为．18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，ABC AD BC 3,4AB AC ==ABD △AD AB D 'V 使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为AB CD '19．设是一个随机试验中的两个事件，且，则,A B ()()()121,,234P A P B P AB === ．()P A B =20．若函数的值域为，则的最小值为．()2(1)f x x ax b a =++>[)0,∞+11a b a ++-四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．已知函数．()πsin2sin 23f x x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期；()f x(2)已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若ABC ,,A B C ,,a b c 2,3b c ==()f A =的面积．ABC22．如图，在三棱台中，平面111ABC A B C -1111124,AA AC ACBC CC AA =====⊥为的中点．,,ABC AB BC D ⊥AB(1)证明：．111A B DC ⊥(2)过的平面把三棱台分成两部分，体积分别是和，求11,,A D C 111ABC A B C -1V ()212V V V <的值．12V V (3)求平面和平面所成锐二面角的正切值．1CC D 11ABB A 23．已知函数．()()21,0,2,0,x x f x g x x x ⎧-≥==⎨-<⎩(1)若，求的取值范围．()()f xg x ≤x (2)记已知函数有个不同的零点．{}(),max ,(),a a b a b b a b ⎧≥=⎨<⎩()(){}max ,2y f x g x ax =--k ①若，求的取值范围；2k =a ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．3k =,αβ11αβ+1．C【分析】根据函数的定义域的求法求解；【详解】要使函数有意义，则，得，所以函数的定义域为．10x -≥1x ≤(],1-∞故选：C ．2．A【分析】计算方程的根得出集合，再利用集合的并集进行计算得出结果{}1,2B =-【详解】因为，所以．{}{}1,2,3,4,1,2A B ==-{}1,1,2,3,4A B =- 故选：A ．3．D【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断.【详解】，故A 、B 错误；AD BD D DB A AB -==+，故C 错误；D C C B D B B D -=-=由平行四边形法则可知，故D 正确；2CA CB CE CD +==故选：D ．4．B【分析】根据题意结合百分位数的定义分析求解.【详解】因为数据共有8项，且，825%2⨯=所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选：B ．5．D【分析】找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，利用古典概型概率的计算即可求解.【详解】样本空间的样本点总数为8，设事件：“这个数平方的个位数是6或9”，A 中的样本点为共5个，所以概率．A 3,4,6,7,7()58P A =故选：D ．6．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当时，与可能相交也可能平行，故不能推出，即充分性不成立；//l βαβ//l β//αβ由可以推出，即必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．//αβ//l β//l β//αβ故选：B ．7．A【分析】将不等式整理为，解不等式组，即可得到答案.01x x ≤-()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩【详解】不等式可化为，等价于解得，11011x x x +=≤--()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩01x ≤<所以不等式的解集为．[)0,1故选：A ．8．C【分析】由题可知题目相当于解不等式，然后由对数运算性质结合参考数据可18141255G⎛⎫⨯≤⎪⎝⎭得答案.【详解】由题意知，只要解不等式，化简得．因为，所以18141255G⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭42lg lg 1855G ≤4lg 05<，()()2lglg 21lg 2lg2lg52lg215 4.1418lg4lg52lg 21lg 23lg21lg 5G ----≥===≈----所以．18 4.173.8G ≥⨯=故选：C ．9．A【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】由三角形内角和定理得，解得．60A =sin 45b=2b =故选：A 10．B【分析】计算出，，，判断出图象过第一，第四，第三象限，()22f =102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()10f -<得到答案.【详解】因为，取，得，所以在第一象限有图象，1x ≠2x =()22f =()f x取，得，所以在第四象限有图象，12x =102f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()f x 取，得，所以在第三象限有图象．=1x -()21(1)1022f ---=<-()f x 由排除法知图象不过第二象限．故选：B ．11．D【分析】根据是锐角，得到，故，两边平方后，结合α2ππ2πcos sin 525αα=-5cos sin 4αα+=同角三角函数关系和正弦二倍角公式求出答案.【详解】因为是锐角，所以，α2π2ππ2π2ππ0cos ,0sin 552552αα<<<<<<所以，化简得，2ππ2πcos sin 525αα=-5cos sin 4αα+=平方得，2225sin 2sin cos cos 1sin216ααααα++=+=所以．9sin216α=故选：D ．12．C【分析】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z求出平面和平面的法向量，然后求出直线与平面所成的角，平面11B D C 1ACB AC 11B D C 与平面所成的角，结合最小角定理和最大角定理分析判断.11B D C 1ACB 【详解】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 设正方体的棱长为1，则，11(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,0,1)A C B D 所以，111(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,1,1)AC AB CB CD =-===-设平面的法向量为，则11B D C 111(,,)n x y z =，令，则，11111100n CB x z n CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 11x =(1,1,1)n =--r 对于AB ，设直线与平面所成的角为，则AC 11B D C 1θ，1sin cos ,AC θ==u u u r 因为，所以1π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos θ=由最小角定理得，11,cos cos αθαθ><当时，A 错误，30α=︒1cos30cosθ︒=>=当时，，所以B 错误，45α=︒1cos 45cos θ︒=>=对于CD ，设平面的法向量为，1ACB (,,)m x y z =则，令，则，100m AC x y m AB y z ⋅=-+=⎧⎨⋅=+=⎩1x =(1,1,1)m =- 设平面与平面所成的角为，则11B D C 1ACB 2θ，21cos cos ,3m n m n m n θ⋅===由最大角定理得，22,cos cos θβθβ><当时，，所以C 正确，60β=︒21cos cos60213θ=<︒=当时，，所以D 错误，75β=︒2cos cos7513θ>=︒=故选：C ．13．ABD【分析】根据频率分布直方图中，概率等于小长方形的面积，概率之和等于1，即所有小长方形面积之和等于1，中位数公式进行计算判断各个选项.【详解】对于A ，由，得，()0.0010.00150.0020.000521001a ++++⨯=0.0025a =所以数据落在区间内的频率为，A 正确；[)300,500()0.0020.00251000.45+⨯=对于B,数据落在区间内的频率为，B 正确；[)200,500()0.0010.0020.00251000.55++⨯=对于C,，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是100n =，所以符合条件的民营企业有家，C()1000.00250.00250.00150.00050.7⨯+++=0.710070⨯=错误；对于D,数据落在区间内的频率为0.3，数据落在区间内[)200,400()0.0010.002100+⨯=[)200,500的频率为，()0.0010.0020.00251000.55++⨯=估计中位数为，D 正确．0.50.34001004800.25-+⨯=故选:ABD ．14．BC【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，若，则，故A 错误；1i z =22111,1z z =-=对于B ，设，则12i,i z a b z c d =+=+，故B 正确；()()()()1212i,i i iz z a c b d z z a b c d a c b d +=+-++=-+-=+-+对于C ，设，则12i,iz a b z c d =+=+()()12i z z acbd ad bc =-++==，，故C 正确；2212z z ⋅==对于D ，若，则，故D 错误．121i,i z z =+=121z z +=+故选：BC ．15．BCD【分析】对于A ：判断是否等于0即可；对于B 、C ：利用数量积的运算律计算即可；对a b ⋅于D ：先计算，再利用投影向量公式计算即可； b【详解】由题意得，22121211,2e e e e ==⋅=对于A ：，故A 错误；()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=--=-≠对于B ：，故B正确；a ====对于C ：，故C 正确；a b a+=====对于D ：，则在上的投影向量为b ==== a b ，故D 正确．31232a b b b bb b⋅⋅=-⋅=-故选：BCD 16．ACD【分析】利用题中推广的结论进行验证A,B ；利用偶函数的定义判断B ；根据对称性变化简判断D ；【详解】对于A ，因为为奇函数，所以的图象关于点()2(1)131211x f x x x +++-==+-()f x成中心对称图形，故A 正确；()1,2对于B ，设，若是奇函数，则()()g x f x a b=+-()g x ，所以，因为()()()()0g x g x f x a b f x a b +-=+-+-+-=()()2f x a f x a b++-+=，所以1为奇函数，所以图象的()()()()22112f x f x f x f x ++-=⇒++-=()1f x +-()f x 对称中心为，故B 错误；()1,1对于C ，设，因为是偶函数，所以，则()()g x f x a =+()g x ()()g x g x =-，所以的图象关于直线成轴对称，故C 正确；()()f x a f x a +=-+()f x x a =对于D ，显然的图象关于点成中心对称图形，再考虑的对称性，()f x ()1,1()422x g x =+可化为为奇函数，()422x g x =+()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+-=-+则即即，()()()00,11,h h h ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩1140,2244,2222a a a b b b -+⎧-=⎪⎪+⎨⎪-=-+⎪++⎩11448222222a a a -++=+++令，则，即，解得或（舍去），2a t =2124222t t t +=+++220t t -=2t =0=t 所以，则，因为为奇函数，所以图象的对称中心为．22a =1,1a b ==()h x ()422x g x =+()1,1与有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点中心对称，()f x ()g x ()1,1，故D 正确．()()()202412202412202414048iii x y x xx y y y =+=+++++++=∑ 故选：ACD ．17．2π【分析】根据题意，利用勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的侧面积公式和体积公式可求解.【详解】由题意得圆锥的高，所以．h ==21π2π,π3S rl V r h ====侧故2π18．16π【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】由题设，都是直角三角形，只需面即可，,B CD AB C '' B C '⊥AB D '所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，CD B CD '而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，ACD AC ,,A C D 所以的中点是外接球的球心，所以．AC 212,4π16π2R AC S R ====故答案为.16π19．712【分析】由题意结合概率运算性质可得答案.【详解】由概率的性质得，()()()P A P AB P AB =+所以，()()()111244P AB P A P AB =-=-=所以．()()()()111723412P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=故答案为.71220．3【分析】根据函数的值域为得到所以，代入到利用均值不()f x [)0,∞+Δ0=24a b =11a b a ++-等式即可求得最小值.【详解】由题意得，得2Δ40a b =-=24a b =所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++===----，()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a -+-+-+⎡⎤=⋅=⋅=-++≥=⎢⎥---⎣⎦当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3．4a=11a b a ++-故3.21．(1)π【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得，再利用正弦函数的周期()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭公式计算周期；（2）代入计算角，在利用三角形面积公式计算的出结果；()f A =A 【详解】（1）()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin333f x x x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，1πsin 2sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以．2ππ2T ==（2）因为，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 23f A A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去），A ππ233A -=π2π233-=A 所以．又，π3A =2,3b c ==所以的面积．ABC 1π23sin 23S =⨯⨯⨯=22．(1)证明见解析(2)34【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再结合，得到平面，1AA BC ⊥BC AB ⊥BC ⊥11ABB A 进而得到，由直角梯形中的边长关系得到是等腰三角形，从而1BC BB ⊥11BCC B 1ABC ，再结合得到结论；1AB DC ⊥11AB A B ∥（2）取的中点，利用平行找到过的平面，从而两部分分别为斜棱柱BC E 11,,A D C 和几何体，由即二者的体积关111DBE A B C -11ADECC A 11111111-ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V =-几何体棱台棱柱系 即可得到的值；12V V （3）取的中点，找到两个平面的交线，利用垂直找到所求角，再根据三角形相似求11A B F 得边长，进而求得所成锐二面角的正切值.【详解】（1）如图1，连接，得．1AC 1=AC 1BC 因为平面，平面，所以．1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1AA BC ⊥又，，平面，所以平面，BC AB ⊥1AB AA A ⋂=1,AB AA ⊂11ABB A BC ⊥11ABB A 又因为平面，所以，1BB ⊂11ABB A 1BC BB ⊥所以在直角梯形中，11BCC B 1111BC B C BB A D ====所以，所以是以为底边的等腰三11BC AC ===1ABC AB 角形，又因为是的中点，所以．D AB 1AB DC ⊥又因为，所以．11AB A B ∥111A B DC ⊥（2）如图2，取的中点，连接，可得．BC E 1,DE C E 11////A C AC DE所以过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体，11,,A C D 111DBE A B C -11ADECC A 由题意得，．()111128414233ABCA B C V =⨯⨯++=棱台111-1442DBE A B C V =⨯=棱柱因为，11111111-28164433ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V -=-=>=几何体棱台棱柱所以，故．12164,3V V ==12431643V V ==（3），如图3，取的中点，连接，则是平面和平面所成二面角的棱，11A B F 1,C F DF DF 1DCC 11ABB A 过作延长线的垂线，垂足为，即，B FD G BG FG ⊥由棱台上下底似得到，所以四点共面，又由，所以1//C F CD 1,,,C F C D G FD ∈五点共面，1,,,,C F C D G 连接，因为平面，平面，所以，CG BC ⊥11ABB A FG ⊂11ABB A BC FG ⊥又因为，平面，所以平面，BG CG G = ,BG CG ⊂BCG FG ⊥BCG 因为平面，所以，CG ⊂BCG FG CG ⊥因为是平面和平面所成二面角的棱，，平面，FG 1DCC 11ABB A BG FG ⊥BG ⊂11ABB A ，平面，所以为所求的角．FG CG ⊥CG ⊂1DCC BGC ∠延长和交于点，过作的垂线，垂足为，如图4，1AA 1BB O A FD H则AB ==12AD AB ==OD =由，，11112A O A B AO AB ==1=28AO AA =因为，是和的公共角，所以，90OAD AHD ∠=∠=︒ODA ∠ADH ODA ADH ODA 所以即，AH AD OA OD =8AH=GB AH ==所以．tanBGC ∠==即平面和平面1CC D 11ABBA 23．(1)⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)①；②[]}2,02-⋃()11αβ+∈+∞【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果；[]0,1x ∈[)1,0x ∈-（2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与()2h x ax =+1x -≤≤时，根的个数，从而可得的范围，然后分别检验，即可得到结果；（ⅱ）结合1x ≤≤a （ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到()11311,24a a aαβ+=++∈-结果.【详解】（1）由题意得函数的定义域为．()g x []1,1-当时，不等式等价于，显然满足条件；[]0,1x ∈()()f xg x≤21x -≤当时，不等式等价于，[)1,0x ∈-()()f xg x≤2x -≤221x ≤解得．x ≤<综上，的解集为，()()f x g x≤⎡⎤⎢⎥⎣⎦即当的取值范围为时，成立．x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()f x g x ≤（2）（ⅰ）令()()(){}()(),1max ,,1,f x x h x f xg x g x x ⎧-≤<⎪⎪==⎨⎪≤≤⎪⎩原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．()2h x ax =+当时，即为，所以至多一个实根①；1x -≤≤()2fx ax =+22x ax -=+当时，即为，所以至多两个实根②．1x ≤≤()2g x ax =+2ax =+由①知，），所以，21,2x a ⎡-=∈-⎢+⎣02a ≤<-由②知，，所以或，2ax =+0x =244a x a ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦所以或，且．2a ≤2a ≥0a ≠当时，若，则有两个零点0和，符合题意．2k =0a =1-当时，①无实根，对于②，只要，化简得，a<02414ax a =-≤+2(2)0a+≥则，符合题意．20a -≤<当时，若，则有三个不等实根，不符合题意．若，0a >02a <<2a =则有两个零点0和，则仅有一个零点0，不符合题意．2a >综上所述，当时，的取值范围为.2k =a []}2,02-⋃（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，3k =02a <<224,,024aa a --++显然，所以．,0αβ≠()11311,24a a aαβ+=++∈易得函数在上单调递减，所以3114y a a =++()0,23114y a a =++>所以．()11αβ+∈+∞关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·攀枝花模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且时，f(x)=log2(x+1)，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：f(3)=1；乙：函数f(x)在[-6,-2]上是增函数；丙：函数f(x)关于直线x=4对称；丁：若，则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是（）A . 甲，乙,丁B . 乙,丙C . 甲,乙,丙D . 甲,丁3. （2分）在下列区间中，函数f（x）=3x﹣x2有零点的区间是（）A . [0，1]B . [1，2]C . [﹣2，﹣1]D . [﹣1，0]4. （2分） (2018高三上·赣州期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A . f（b）＞f（c）＞f（d）B . f（b）＞f（a）＞f（c）C . f（c）＞f（b）＞f（a）D . f（c）＞f（b）＞f（d）7. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高一上·临川期中) 若奇函数在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f（x）在[﹣7，﹣3]上为（）A . 递增且最小值为﹣5B . 递增且最大值为﹣5C . 递减且最小值为﹣5D . 递减且最大值为﹣59. （2分）(2016·花垣模拟) 下列说法正确的是（m，a，b∈R）（）A . am＞bm，则a＞bB . a＞b，则am＞bmC . am2＞bm2 ，则a＞bD . a＞b，则am2＞bm210. （2分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A . （0，）B . [，]C . （0，）D . [， e]11. （2分）(2020·甘肃模拟) 已知，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分）给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数的值域是[0,2].其中正确命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．14. （1分）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了________ 天．15. （1分）(2018·海南模拟) 若是函数的极值点，则实数 ________．16. （1分） (2017高三上·桓台期末) 给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·山西月考) 已知，设成立；成立. 如果“ ”为真，“ ”为假，求实数的取值范围.18. （10分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．20. （5分）(2018高二下·如东月考) 已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．21. （5分）(2017·江西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）当φ∈（0，π）时，l与C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．22. （10分）(2017·达州模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、。

杭州市高二下学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·云南模拟) 已知复数z，满足z（2﹣i）=2+4i，则复数z等于（）A . 2iB . ﹣2iC . 2+iD . ﹣2+i2. （2分）某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 非上述答案3. （2分）函数在某一点的导数是（）A . 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B . 一个函数C . 一个常数，不是变数D . 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率4. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 由抛物线与直线所围成的图形的面积是（）．A . 4B .C . 5D .5. （2分）已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f＇（x）的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）①恒成立；②；③；④>；⑤<．A . ①③B . ①③④C . ②④D . ②⑤6. （2分）(2015·岳阳模拟) 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A . 14B . 15C . 16D . 177. （2分）(2017·兰州模拟) 已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为 =6.5x+17.5，则表中m的值为（）A . 45B . 50C . 55D . 608. （2分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P （B|A）=（）A .B .C .D .9. （2分）设随机变量X~N（0，1），已知，则（）A . 0.025B . 0.050C . 0.950D . 0.97510. （2分）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·廊坊期末) （2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A . 1B . ﹣1C . 0D . 212. （2分） (2019高二下·临川月考) 已知，在处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）① ② ③ ④ ⑤A . ①④B . ②④C . ②⑤D . ③⑤二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·浦东期中) 在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n= （n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上________．14. （1分） (2016高二下·南安期中) 若（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11 ，则a1+a2+a3…+a11的值为________．15. （1分） (2018高一下·南阳期中) 从区间随机抽取个数，，，，，，，，，构成个数对，，，，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为________．16. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二上·汕头期末) 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值.18. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （10分） (2019高三上·榕城月考) 已知函数， .（1）若曲线在处的切线与函数也相切，求实数的值；（2）求函数在上的最小值．20. （10分）(2017·厦门模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=4cosθ．直线l与曲线C1相切．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．（2）已知点Q（2，0），直线l与曲线C2：x2+ =1交于A，B两点，求△ABQ的面积．21. （15分）已知函数．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）求不等式f（x）＞0的解集；（3）讨论f（x）的单调性．22. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知函数，曲线在点处的切线方程为 .（1）求，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2022届浙江省杭州市高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．452．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．1274．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设为取得红球的次数，则A ．B ．C ．D ．5．对于实数a 和b ，定义运算“*”： 2221,, a ab a ba b b ab a b⎧-+-≤⎪*=⎨->⎪⎩设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根1x 、2x 、3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是（ ） A.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A ．(2332ff > B ．()212f f<C 4332f f <D7．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( ) A ．－62 B ．62C ．32D ．－328．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =10．若随机变量ξ服从正态分布(4,9)N ，则(113)P ξ<≤=（ ） 参考数据：若()2~,N ξμδ，则()0.6826P μδξμδ-<<+=,(22)0.9544P μδξμδ-<<+=，(33)0.9974P μδξμδ-<<+=A ．0.84B ．0.9759C ．0.8185D ．0.682611．下面是22⨯列联表：则表中a b ，的值分别为（ ） A ．84，60B ．42，64C ．42, 74D ．74, 4212．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC u u u r u u u r的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．14．已知复数z 满足(2)1z i i -=+，则z =________.15．直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，则ABC △外接圆面积为221()a b π+．类比上述结论，若在三棱锥ABCD 中，DA 、DB 、DC 两两互相垂直且长度分别为,,a b c ，则其外接球的表面积为________．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当12x ≤<时，()99x f x =-，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b ，a 与b 满足137a b = （1）求m 的值； （2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27x y 的系数。