15-8双振子模型

弹簧振子周期公式推导过程弹簧振子周期公式推导过程弹簧振子是物理学中最经典的动力学系统之一，它在物理课程中被广泛使用，它也是物理实验中最常用的实验系统之一。

在弹簧振子系统中，一个物体被弹簧连接，并在其自身重力场中进行振荡，从而形成一个特定的振荡周期，称为弹簧振子周期。

在本文中，我们将推导出弹簧振子周期的公式，并讨论其中的物理原理。

一、弹簧振子物理模型弹簧振子的物理模型可以用一个物体和一个弹簧来描述，物体受到重力的作用而进行振荡，弹簧受力而发生压缩和拉伸。

弹簧振子的动力学模型可以用欧拉法来描述：物体受到重力和弹簧的力作用，以及摩擦力的作用，用欧拉法进行求解。

二、欧拉方程弹簧振子的动力学模型可以用欧拉方程来描述：$$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{kx}{m} - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} - g$$其中，x为物体的位置，k为弹簧的弹性系数，m为物体的质量，b为摩擦系数，g 为重力加速度。

三、特殊解析解在没有摩擦力的情况下，即摩擦系数b=0时，欧拉方程可以简化为：$$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{kx}{m} - g$$此时，可以对欧拉方程求特殊解析解：$$x=A \cos \omega t + B \sin \omega t$$其中，A和B是任意常数，$\omega$是振子的角频率，可以由以下公式计算：$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} + g}$$四、弹簧振子周期由特殊解析解可知，弹簧振子的振荡周期为：$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m} + g}}$$上式即为弹簧振子周期的公式，表明弹簧振子周期与弹簧的弹性系数、物体的质量以及重力加速度有关。

五、物理原理从物理角度来看，弹簧振子的振荡周期是由物体的质量和弹簧的弹性系数以及重力加速度决定的，即质量越大，弹簧的弹性系数越大，重力加速度越大，则弹簧振子的振荡周期越短。

非惯性系中的“弹簧双振子模型”浙江省海盐元济高级中学（314300） 王建峰 魏俊枭一、“弹簧双振子模型”的含义如图一所示，质量分别为m A 和m B 的两物块A 和B ，A 、B 可视为质点，用一根劲度系数为k 的轻质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，弹簧原长为0l 。

可以将A 、B 和弹簧组成的系统装置称为“弹簧双振子模型”。

该模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现，从反馈情况来看失分是相当严重的。

究其原因它不但涉及力与运动、动量与能量等物理知识，而且物理过程复杂、运动情景难以想象，对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求。

因此，帮助学生认清该模型的特点，掌握分析该模型的一般方法，并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

二、非惯性系中的“弹簧双振子模型”牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性系。

非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。

为了使牛顿运动定律在非惯性中也能使用，可人为地引入一个惯性力。

如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a ，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma 、方向与a 的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可成立。

如果非惯性系相对惯性系有转动加速度，也可引进惯性离心力和科里奥利力，这两个力不仅与非惯性系的转动角速度有关，还与研究对象的位置和运动速度有关，在此对转动情况不作讨论。

下面就“弹簧双振子模型”在非惯性系（只有平动加速度）中的运动规律作一些简单探讨。

[情景]：如图二所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧（两端绝缘）分别拴着荷质比为AA mq 与荷质比为BBm q 的两个带正电的小球，且AAmq =BBm q ，系统置于光滑水平面，处在水平的匀强电场中，电场强度为E ，A 端用细线拴住，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l ，弹簧原长0l 。

现将细线烧断，试确定A 、B 在任意时刻的所处位置。

（A 、B 两球的相互作用力忽略不计）[解析]：①以质心为参考系（质心系），则质心C 是静止的，连接A 、B 的弹簧仍可以看成两断，左边一段原长为01l m m m lBA B AO+=，劲度系数为kmm m BAB+；右边一段原长为01l m m m lBA A BO+=，劲度系数为kmm mAAB +；振动周期都是)(2BABA mmk m m T+=π。

OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。

基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。

（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。

（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。

小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。

因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。

若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。

最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。

2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。

“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。

“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。

该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。

笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。

标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。

实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。

例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。

对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。

“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。

振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。

弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。

如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。

近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。

二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。

其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。

中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。

弹簧振子模型弹簧振子是一个常见的物理学模型，也是振动学的基础。

它是由质点和弹簧组成的系统，当质点或弹簧受到扰动时，整个系统会发生振动。

弹簧振子模型的研究不仅有助于我们理解振动现象的规律，还可以应用于多个领域，如机械工程、物理学及生物学等。

首先，让我们来了解一下弹簧振子的基本结构。

弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成。

质点可以视作一个质量为m的小球，可以假设质点只能在一个维度上运动。

弹簧则被固定在一个支撑物上，它的一端与质点相连。

当质点偏离平衡位置时，弹簧会受到拉伸或压缩的作用力。

在弹簧振子中，存在着几个重要的物理量。

首先是质点的位移x，它表示质点相对于平衡位置的偏移量。

位移可以是正的（表示偏离平衡位置的方向），也可以是负的（表示朝向平衡位置的方向）。

其次是质点的速度v，它表示质点单位时间内通过的位移。

最后是质点的加速度a，它表示质点单位时间内速度的变化率。

在弹簧振子模型中，最关键的是描述质点的运动方程。

根据牛顿第二定律，质点的加速度等于它所受到的合力除以质量，即a=F/m。

在弹簧振子中，质点所受到的合力可以分为两部分：恢复力和阻尼力。

恢复力的大小与质点的位移成正比，方向与位移相反。

这个恢复力可以由弹簧的胡克定律来描述：F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。

阻尼力的大小与质点的速度成正比，方向与速度相反。

阻尼力可以由阻力系数b乘以质点的速度来描述：F=-bv。

将这些力代入到质点的运动方程中，可以得到弹簧振子的动力学方程：m*d²x/dt²=-kx-bv。

解决这个动力学方程可以得到弹簧振子的运动方程。

常见的解法包括分析法和数值模拟法。

在分析法中，我们可以通过假设解的形式，将动力学方程转化为微分方程，然后求解微分方程得到质点的位移关于时间的函数。

在数值模拟法中，我们可以使用数值计算的方法，例如欧拉方法或龙格-库塔方法，来逼近弹簧振子的运动方程的解。

这些方法能够在计算机上进行模拟，并给出近似解。

机械振动与谐振子模型振动是物体围绕平衡位置进行往复运动的现象，它广泛应用于科学研究和工程实践中。

机械振动作为一种常见的振动形式，可以通过谐振子模型进行描述和分析。

首先，让我们来了解一下什么是谐振子模型。

谐振子模型是指一个系统在外力作用下，能够响应并产生频率与外力相同的振动。

在谐振子模型中，系统的振动是围绕平衡位置进行的，并且存在一种力的恢复机制，使得系统能够不断向平衡位置回复。

谐振子模型最常见的例子是弹簧振子，即一个质点通过弹簧与一个固定点相连接。

当外力作用于质点时，弹簧产生的恢复力与质点的位移成正比，符合胡克定律。

这样，质点在弹簧的作用下会发生振动，频率与外力的频率相同，而且振动的大小与外力的振幅有关。

除了弹簧振子，谐振子模型还应用于其他多种振动系统，如简谐摆、钟摆等。

这些系统的振动都可以通过谐振子模型进行描述，并且具有相似的特征。

例如，在简谐摆中，重物的位移与重力的恢复力成正比，而在钟摆中，则是重物的位移与拉力的恢复力成正比。

谐振子模型的重要性在于它对振动现象的描述和理解提供了简单而有效的工具。

通过谐振子模型，我们可以计算振动的频率、周期、振幅等参数，从而对振动系统进行分析和优化。

在工程实践中，谐振子模型被广泛应用于结构强度计算、振动控制以及共振现象的预测。

然而，谐振子模型也有其局限性。

在现实世界中，许多振动系统并不完全符合谐振子模型的假设。

例如，在摩擦力和阻力的存在下，振动系统的能量会逐渐耗散，振动的幅度会减小。

此外，外部扰动和非线性效应也会影响振动系统的行为，使其远离理想的谐振子模型。

为了更准确地描述和分析振动系统，研究者们提出了更加复杂的模型和方法，如阻尼振动模型、非线性振动模型等。

这些模型可以更好地解释和预测实际振动系统的行为，但也增加了计算和分析的复杂性。

总结一下，机械振动与谐振子模型密切相关，谐振子模型为我们理解和分析振动现象提供了简单而有效的工具。

然而，在实际应用中，我们也要考虑到振动系统的实际情况，运用更加复杂的模型和方法进行分析。

高中物理100个模型详解(一)高中物理100个模型1. 引言高中物理是一门理论与实践相结合的学科，其中的物理模型是理解和应用物理概念的重要工具。

本文将介绍高中物理中的100个模型，涵盖了光学、力学、热学、电磁学等多个领域。

光学模型1.光的直线传播模型：光在均匀介质中沿直线传播。

2.光的反射模型：光在平滑表面上遵循入射角等于反射角的规律。

3.光的折射模型：光从一种介质传播到另一种介质时会发生折射。

4.光的色散模型：不同频率的光在介质中传播速度不同，导致折射角发生变化。

5.光的干涉模型：两束同频率相干光叠加时会出现干涉条纹。

力学模型1.牛顿第一定律模型：物体在无外力作用下保持静止或匀速直线运动。

2.牛顿第二定律模型：物体的加速度与作用于它的合力成正比，与物体质量成反比。

3.弹簧振子模型：弹簧的振动可以用简谐振动模型描述。

4.滑动摩擦力模型：物体在表面上滑动时受到的摩擦力与物体质量和表面摩擦系数成正比。

5.空气阻力模型：物体在空气中运动时受到的阻力与运动速度成正比。

热学模型1.热传导模型：热量从高温区域传递到低温区域。

2.热辐射模型：热能通过辐射传递。

3.理想气体状态方程模型：PV=nRT，描述了理想气体的状态。

4.内能变化模型：物体的内能改变等于吸收或释放的热量与对外做功的和。

5.相变模型：物质在不同温度下的相变过程。

电磁学模型1.电场模型：电荷在空间中产生电场。

2.磁场模型：电流在空间中产生磁场。

3.感生电动势模型：磁场的变化可以引起电动势的感应。

4.电阻模型：电流通过导体时会产生电阻，导致电能转化为热能。

5.麦克斯韦电磁场方程模型：描述了电磁场的生成和传播规律。

结论物理模型在高中物理学习中起到了重要的作用，帮助学生更好地理解和应用物理概念。

本文介绍了一百个高中物理模型，涵盖了光学、力学、热学、电磁学等多个领域的内容。

这些模型不仅仅是理论的工具，同时也是实践中验证和应用物理知识的基础。

希望这些模型能够帮助读者更好地学习和理解高中物理知识。

难点挑战Җ㊀湖南㊀胡连冬㊀㊀弹簧振子的运动问题涉及运动和力的关系㊁动量能量观念．尤其是 弹簧双振子 运动问题,其运动情况较为复杂,物理情境难以想象,因此 弹簧双振子运动问题往往成为历年中学物理竞赛的题型之一．１㊀弹簧振子的定义如图１所示,把轻弹簧的一端固定,另一端连接小球(或滑块),当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近做往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球(或滑块)组成的系统称为弹簧振子．如图２所示,在轻弹簧的两端各连接一个小球,当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心做简谐振动,这样的系统称为 弹簧双振子模型 ,弹簧振子是一种理想化模型．图１图２２㊀弹簧振子的运动问题２ １㊀弹簧单振子运动规律在如图１所示的弹簧单振子模型中,振子在回复力作用下做简谐振动,振子相对平衡位置的位移和速度可分别表示为x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),其中A 为振子的振幅,振子的频率ω＝k m ,振子的周期T ＝２πmk ,φ０为初相,t 为振动时间,k 为弹簧劲度系数．A 和φ０由初始条件决定．２ ２㊀弹簧双振子运动规律１)弹簧双振子系统质心处于静止状态例１㊀将原长为l ０㊁劲度系数为k 的轻弹簧连接A ㊁B 两振子,A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２．将弹簧压缩为l 后锁定置于光滑水平面上,如图３所示．当弹簧突然解除锁定后,试分析振子A ㊁B 的运动情况．图３压缩的弹簧解除锁定后,系统在水平方向上不受外力,且系统的总动量为零,根据动量守恒定律可知,系统质心C 的速度为零．若弹簧锁定时质心C 到两振子的距离分别为l １和l ２．如图３所示,由系统质心位置分布规律得m １l １＝m ２l ２,l １＋l ２＝l ,则l １＝m ２l m １＋m ２,l ２＝m １lm １＋m ２．当弹簧处于原长时,质心C 到两振子的距离分别为l １０和l ２０．如图４所示,同理可得弹簧处于原长时,两振子离质心C 的距离l １０＝m ２l ０m １＋m ２,l ２０＝m １l ０m １＋m ２．图４把两振子之间的轻弹簧等效为两根原长分别为l １０和l ２０的轻弹簧在质心C 处串联,两根轻弹簧对应的劲度系数分别为k １和k ２．这两根轻弹簧的形变量为x １＝l １０－l １,x ２＝l ２０－l ２．整根弹簧的形变量x ＝x １＋x ２．由胡克定律得F ＝k １x １＝k ２x ２＝k x ,①则１k ＝１k １＋１k ２．②结合质心位置分布规律有m １x １＝m ２x ２．③由式①③得k １m １＝k ２m ２．④由式②④得k １＝m １＋m ２m ２k ,k ２＝m １＋m ２m １k ．⑤㊀㊀弹簧解除锁定后,振子A ㊁B 分别在质心C 两边２４难点挑战轻弹簧的弹力作用下相对质心C 做简谐振动,两振子振动的频率和周期均相同,即ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以水平向右为x 轴正方向,根据弹簧单振子的振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合两振子的初始条件x A ０＝m ２m １＋m ２(l ０－l ),v A ０＝０,x B ０＝－m １m １＋m ２(l ０－l ),v B ０＝０．分别求得两振子振动的位移和速度:x A ＝m ２(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v A ＝－m ２ω(l ０－l )m １＋m ２s i n ωt ,x B ＝－m １(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v B ＝m １ω(l ０－l )m １＋m ２si n ωt ．㊀㊀图５㊀㊀A ㊁B 两振子的速度 时间图象如图５所示(振幅不一定相同,由振子质量决定)．２)弹簧双振子系统质心处于匀速直线运动状态例２㊀如图６所示,振子A ㊁B 和轻弹簧连接静止在光滑水平面上,两振子A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２,C 表示系统的质心位置,现给A 一个水平向右大小为v ０的初速度,试分析A ㊁B 两物块的运动情况．图６A ㊁B 和弹簧组成的系统动量和能量守恒,即m １v ０＝(m １＋m ２)v C ．质心C 做匀速直线运动的速度v C ＝m １v ０m １＋m ２．由例１分析可知A ㊁B 两物块相对质心做简谐振动,振动的频率和周期均不变,其中ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以质心C 为坐标原点O ᶄ,v ０的方向为正方向,建立质心坐标系,如图７所示．在任意时刻t ,A 相对质心C 的速度v A 相＝v ０－v C ＝m ２v ０m １＋m ２,A 在质心坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x A 相＝０．图７由单振子振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合初始条件可以得到物块A 相对质心C 的振动方程为x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωc o s (ωt ＋３π２),v A 相＝－m ２v ０m １＋m ２s i n (ωt ＋３π２)．即x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v A 相＝m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．A 相对质心C 的位置为x ᶄA ＝m ２l ０m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．如果以t ＝０时刻B 物块所在位置为坐标原点,向右为x 正方向建立如图７所示的地面坐标系,则在任意时刻A 的坐标x A ＝x ᶄA ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x A ＝l ０＋m １v ０t m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．⑥A 相对地面坐标系的速度v A ＝m １v ０m １＋m ２＋m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑦㊀㊀在t ＝０时刻,B 物块相对质心C 振动的初始条件为v B 相＝－m １v ０m １＋m ２,x B 相＝０,则B 相对质心C 的振动方程x B 相＝－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v B 相＝－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．同理可得B 物块在任意时刻t 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置x ᶄB ＝－m １l ０m １＋m ２－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,B 相对地面参考系O x 的位置为x B ＝x ᶄB ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x B ＝m １v ０m １＋m ２t －m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,⑧B 物块相对地面参考系的速度v B ＝m １v ０m １＋m ２－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑨３４难点挑战㊀㊀由式⑦⑨可作出A ㊁B 物块在质量m １＝m ２时相对地面的v Ｇt 图象,如图所示．图８３)弹簧双振子系统质心处于匀变速直线运动状态㊀㊀图９例３㊀劲度系数为k 的轻弹簧两端各系质量为m A 和m B 的小球A ㊁B ,A 用细线悬于天花板上,系统处于静止状态．如图９所示,此时弹簧长度为l ,现将细线烧断,并以此时为计时起点,试分析任意时刻两小球的运动情况(系统距地面足够高)．㊀图１０若弹簧的自由长度为l ０,细线烧断前弹簧的伸长量Δl ＝l －l ０＝m Bg k．细线烧断后系统做自由落体运动,即质心C 做自由落体运动,小球A ㊁B 相对质心C 做简谐振动,它们的频率和周期均相同,其中ω＝m A ＋m Bm A m Bk ,T ＝２πm A m B(m A ＋m B )k ,以质心C 为坐标原点,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的质心参考坐标系O ᶄx ᶄ．以烧断细线瞬间为计时起点,在t ＝０时刻小球A 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x ０＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B ＝m ２Bg k (m A ＋m B )．A 相对平衡位置的速度v ０＝０．由弹簧单振子的振动方程可得A 球相对质心的振动方程分别为x A 相＝m ２Bgk (m A ＋m B )c o s (ωt ＋π)＝－m ２Bgk (m A ＋m B )c o s ωt ,v A 相＝－m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n (ωt ＋π)＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀在任意时刻t ,A 球在质心坐标系O ᶄx ᶄ中的位置和速度分别为x ᶄA ＝－m B l ０m A ＋m B －m ２Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄA ＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀以烧断细线时A 所在位置为坐标原点O ,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的地面参考坐标系O x ．则在任意时刻A 在O x 坐标系中的位置和速度分别为x A ＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B －m ２B gk (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２g t ２＝m ２B g k (m A ＋m B )(１－c o s ωt )＋１２g t ２,v A ＝m ２B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．㊀㊀以烧断细线时刻为计时起点,B 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离和速度分别为x ０＝m A l m A ＋m B －m A l ０m A ＋m B ＝m A m B g k (m A ＋m B )．v ０＝０．㊀㊀同理可得B 相对质心的振动方程分别为x B 相＝m A m Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v B 相＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀任意时刻B 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置和速度分别为x ᶄB ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄB ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀因此任意时刻t ,B 相对地面坐标系O x 的位置为x B ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋m B l m A ＋m B ＋１２gt ２．把l ０＝l －Δl 及Δl ＝m Bg k代入得x B ＝l －m A m B g (m A ＋m B )k ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２gt ２．B 相对地面坐标系O x 的速度为v B ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．综上所述,弹簧双振子具有相似的运动规律,双振子的运动是振子相对系统质心的简谐振动和系统质心某种运动的合运动．(作者单位:湖南长沙宁乡市第七高级中学)４４。

“弹簧振子”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。

在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。

认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。

【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。

加速度为mkx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。

这是解题的关键。

模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。

当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。

试证明小球的振动是简谐振动。

〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。

由题意得mg=kx 0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。

这是它们的相同之处。

(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。

因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。

(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。

弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。

但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。

在解题时我们经常用到这点。

【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。

简谐振动原理与弹簧振子模型的深度剖析简谐振动是物体围绕平衡位置作周期性来回振动的现象。

在自然界和工程领域中，简谐振动是一种常见且重要的现象，而弹簧振子则是简谐振动的经典模型之一。

本文将深度剖析简谐振动的基本原理以及弹簧振子模型的相关内容。

简谐振动原理简谐振动有着许多重要的特点和原理，其中最基本的包括以下几点：1.平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体在没有外力作用时停留的位置，也称为零位移位置。

2.恢复力：当物体离开平衡位置时，会有一个恢复力作用于物体，使其向平衡位置回归。

这个恢复力与物体偏离平衡位置的距离成正比。

3.振动频率：简谐振动的频率只与所受的恢复力和振动体的质量有关，与振动的起始位移大小无关。

4.振动幅度：振动的振幅是指物体从平衡位置最大位移的大小。

5.相位：相位表示振动的状态，通过相位可以描述振动的变化规律。

弹簧振子模型弹簧振子是简谐振动的一个典型模型，它由一个质点和一个弹簧组成。

在弹簧振子模型中，质点在弹簧的作用下作周期性的振动。

弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数是描述弹簧硬度的物理量，表示单位长度或单位变形下的弹性力大小。

通常用符号k表示。

振动方程对于弹簧振子模型，其振动满足简谐振动的基本特点，可以根据牛顿第二定律得到其运动方程：$$ m\\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$其中，m为质点的质量，x为质点的位移，t为时间。

振动频率和周期根据弹簧振子的振动方程，可以推导出弹簧振子的振动频率和周期：$$ f = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}} $$$$ T = \\frac{1}{f} $$其中，f为振动频率，T为振动周期。

振动能量弹簧振子在振动过程中会周期性地转化弹性势能和动能。

其总能量可以表示为：$$ E = \\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}m\\omega^2A^2 $$其中，A为振幅，$\\omega$为角频率。

弹簧振子模型教案引言：弹簧振子是物理学中一种经典的振动系统，对于理解振动和波动现象具有重要的作用。

弹簧振子模型教案旨在帮助学生理解弹簧振子的基本原理、公式推导以及振动的性质和特点。

本文档将介绍一个针对中学生的弹簧振子模型教案，旨在帮助教师有效教授该内容，并激发学生的学习兴趣。

教案概述：本教案的目标是让学生了解并熟悉弹簧振子的基本概念、公式、图像和性质。

通过理论讲解、实例分析和实践操作，学生将能够掌握测量弹簧振子的周期、频率和振幅的方法，并理解弹簧振子的物理原理和数学表达式。

通过实验，学生将验证弹簧振子的周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系，进一步巩固对该模型的理解。

教案步骤：1. 引入：通过简短的视频或图像展示介绍弹簧振子的概念，并引导学生思考振动的定义以及常见的振动现象。

2. 理论讲解：介绍弹簧振子的结构和运动过程，解释振幅、周期和频率的定义，并推导出弹簧振子的运动方程。

3. 案例分析：通过几个实际案例的分析，帮助学生理解弹簧振子的运动规律和数学表达式。

例如，一个质点在弹簧的拉力下进行简谐振动的示例。

4. 实践操作：将学生分成小组，使用给定的弹簧振子装置测量不同弹簧的周期、频率和振幅，并记录结果。

引导学生分析数据，总结弹簧劲度系数和振子质量对周期的影响。

5. 实验验证：进行一个简单的实验，验证弹簧振子的周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系。

学生将根据实验结果，进一步了解弹簧振子的特点和性质。

6. 总结：通过小组或全班讨论，总结学生对弹簧振子的理解和学习成果。

重点强调弹簧振子的数学模型和物理原理，并与实际应用进行联系。

教学资源：1. 弹簧振子模型装置2. 实验记录表格3. 计时器或振动频率测量仪器4. 弹簧、挂钩和质点等实验用具评估与反馈：1. 实验数据记录和分析2. 小组或个人练习题3. 教师针对学生的讨论和提问4. 学生对弹簧振子模型的应用理解和展示扩展活动：1. 与弹簧振子相关的实际应用探究，如钟摆、天秤等。

高考物理的24个经典模型包括：1．“皮带”模型：涉及摩擦力、牛顿运动定律、功能及摩擦生热等问题。

2．“斜面”模型：研究运动规律、三大定律、数理问题等。

3．“运动关联”模型：讨论一物体运动的同时性、独立性、等效性，多物体参与的独立性和时空联系。

4．“人船”模型：涉及动量守恒定律、能量守恒定律、数理问题等。

5．“子弹打木块”模型：研究三大定律、摩擦生热、临界问题、数理问题等。

6．“爆炸”模型：探讨动量守恒定律、能量守恒定律等。

7．“单摆”模型：涉及简谐运动、圆周运动中的力和能问题、对称法、图象法等。

8．电磁场中的“双电源”模型：研究顺接与反接、力学中的三大定律、闭合电路的欧姆定律、电磁感应定律等。

9．交流电有效值相关模型：图像法、焦耳定律、闭合电路的欧姆定律、能量问题等。

10．弹簧振子模型：这个模型主要研究简谐运动的规律，如振幅、周期、相位等，以及能量守恒在振动系统中的应用。

11．平行板电容器模型：涉及电容的决定因素、电场强度与电势差的关系、带电粒子在电场中的运动等问题。

12．粒子在磁场中的运动模型：主要研究带电粒子在磁场中的受力、运动轨迹（如圆周运动、螺旋式曲线运动）等。

13．电磁感应中的单杆模型：涉及法拉第电磁感应定律、楞次定律、左手定则、右手定则、安培力等知识点。

14．电磁感应中的双杆模型：在单杆模型的基础上增加了两杆之间的相互作用，使得问题更加复杂和有趣。

15．回旋加速器模型：主要研究带电粒子在磁场中的加速和偏转问题，涉及洛伦兹力、动能定理等知识点。

16．光学模型：包括光的反射、折射、全反射、干涉、衍射等现象，以及光学仪器的原理和应用。

17．原子物理模型：涉及原子结构、能级跃迁、衰变、核反应等知识点，是理解微观世界的重要工具。

18．动量守恒与能量守恒综合模型：这类问题往往涉及多个物体和多个过程，需要综合运用动量守恒定律和能量守恒定律进行求解。

19．碰撞模型：这个模型涵盖了弹性碰撞和非弹性碰撞，是研究动量守恒和能量转换的重要工具。

弹簧双振子模型与匀减速直线运动的合成
弹簧双振子模型是一个由两个质点和一个连接它们的弹簧组成的系统。

两个质点可以沿着相互垂直的直线方向上运动，并受到弹簧力的作用。

弹簧的力与位移成正比，满足胡克定律。

匀减速直线运动是一个在一条直线上的匀减速运动，即速度随时间匀减。

将弹簧双振子模型与匀减速直线运动合成的过程是将两个系统的运动叠加在一起。

具体步骤如下：
1. 求解弹簧双振子模型：根据系统的初始条件和弹簧的力学特性，求解出两个质点的运动轨迹和速度函数。

2. 求解匀减速直线运动：根据匀减速运动的初始条件和加速度，求解出质点在直线上的运动轨迹和速度函数。

3. 将两个系统的运动叠加在一起：将双振子系统的两个质点的位移和速度与直线运动的质点的位移和速度进行矢量相加，得到合成后的位移和速度。

4. 对于位移合成，将双振子系统的两个质点的位移与直线运动的质点的位移进行矢量相加。

合成后的位移可以通过求解初始条件下的位移方程得到。

5. 对于速度合成，将双振子系统的两个质点的速度与直线运动的质点的速度进行矢量相加。

合成后的速度可以通过求解初始
条件下的速度方程得到。

通过以上步骤完成了弹簧双振子模型与匀减速直线运动的合成，得到了合成后的位移和速度函数。

这个合成可以帮助我们更好地理解、分析和预测这个复杂系统的运动行为。

● 基础知识落实 ●1、弹簧振子： 2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型. （2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式专题二 简谐运动的两种典型模型①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.②单摆的周期公式 π2 g l T =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.②测定重力加速度：由gl T π2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。

2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。

3、弹簧振子的周期：km T π2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。

②弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。

如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T。

22 活化络合物分子的振子模型众所周知，反应速率的过渡状态理论是建立在势能面的基础上，对于基元反应Z XY YZ X +−→−+它的典型的势能面俯视图或投影如图22-1所示：图22-1反应的等势能线Z XY YZ X +−→−+图中点代表反应物，点代表产物a YZ X +d Z XY +，它们的势能都很低。

点的势能虽高于点和点，但要比点和点的势能低得多，因此不难想象，系统的势能犹如一个“马鞍”，点是它的“鞍点”。

毫无疑问，从能量的角度考虑，图中虚线是一条反应的通道，反应物只需克服一个能垒，便可生成产物，这条反应通道称为反应坐标，其中点则代表反应的过渡状态c a d b e c acd c Z Y X ，或称活化络合物，并以≠表示。

所谓过渡状态理论便是以此作为依据或出发点。

22.1 过渡状态理论的基本假设为了建立基元反应的速率常数表示式，过渡状态理论作了如下三点基本假设[1]: ① 反应速率是由活化络合物分子越过能垒顶峰（即c 点）的速率所控制； ② 反应过程中，活化络合物始终与反应物处在热力学平衡中；③ 活化络合物分子一经越过能垒的顶峰而变成产物分子后，便一去不复返。

于是，根据这些假设，可得反应的模式为YZ X+Z XY Z Y X f +−→−式中为反应物与活化络合物的平衡常数；为活化络合物分子分解成产物分子的频率，其倒数即为活化络合物分子的寿命。

≠K f 由假设①和假设③可得反应速率（22-1）f C r ⨯=≠式中为活化络合物的浓度。

≠C再由假设②得到YZX C C C K ⋅=≠≠ 或 （22-2） YZ X C C K C ≠≠=将式（22-2）代入式（22-1），便得YZ X C fC K r ≠= （22-3）故反应速率常数f K k ≠=r （22-4）由此可见，计算反应速率常数的关键是要知道活化络合物分子的分解频率。

f 一种有效的方法是将活化络合物分子视为特殊的简谐振子，因为其分解可如下式所示：→←→Z Y X 这是活化络合物分子的不对称伸缩振动，可从图22-1中c 点沿反应坐标的振动看出，它的每一次振动都将导致活化络合物分子分解成产物分子Z XY +。