高考物理常用模型十四：弹簧振子和单摆

单摆单摆的概念单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成。

单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。

单摆的周期公式若小球只限于铅直平面内摆动，则为平面单摆，若小球摆动不限于铅直平面，则为球面单摆。

单摆运动近似的周期的公式：其中L指摆长，g是当地重力加速度。

从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关。

受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsinθ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。

在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”。

等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用。

绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。

但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T 只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。

如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。

如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。

利用单摆测当地重力加速度的实验单摆只在最大摆角小于等于5°时，单摆的振动才可以近似看为为简谐振动。

单摆的固有周期公式：由该式可推导：据此，我们只要通过实验方法测出摆长L和周期T，就可以通过计算得到当地的重力加速度。

弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。

各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。

典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。

例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。

s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。

由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。

典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。

从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。

图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。

简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡位置来回振动的现象。

其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动体系。

本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。

一、弹簧振子弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。

弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧的伸长长度设为平衡位置。

1. 振动方程对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体距离平衡位置的位移。

2. 运动规律根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。

假设物体在t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。

利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。

物体的速度可以表示为：v = -A * ω * sin(ωt +φ)由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：φ_v = φ + π/23. 简谐振动的特点弹簧振子的简谐振动具有以下特点：- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。

- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。

- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。

二、单摆单摆由一个允许转动的杆和一个挂在杆末端的质点组成。

当质点被拉至一侧并释放时，它将在重力的作用下来回摆动。

1. 振动方程对于单摆而言，其振动方程可以表示为：m * a + mg * sinθ = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，θ是质点与竖直方向的夹角。

模型十四：弹簧振子和单摆◆弹簧振子和简谐运动①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。

加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。

③弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W 为弹簧弹力做功。

④在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。

⑤振动周期 T= 2πm K(T 与振子质量有关、与振幅无关)通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能；半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。

半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2t mv 一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。

一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。

◆碰撞过程两个重要的临界点：（1）弹簧处于最长或最短状态：两物块共速，具有最大弹性势能，系统总动能最小。

（2）弹簧恢复原长时：两球速度有极值，弹性势能为零。

◆单摆T l g=<︒25πθ() (T 与振子质量、振幅无关)影响重力加速度有：①纬度，离地面高度；②在不同星球上不同，与万有引力圆周运动规律；③系统的状态(超、失重情况)；④所处的物理环境有关，有电磁场时的情况；⑤静止于平衡位置时等于摆线张力与球V 1V 2 BA V 0B AA 球速度为V0，B 球静止，弹簧被压缩 状态分析 受力分析 A 球向左，B 球向右 V 2↑ V 1↓ 过程分析 A 球减速， B 球加速 条件分析临界状态：速度相同时，弹簧压缩量最大F F 图2图1质量的比值。

弹簧专题之弹簧振子【模型构建】定义弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。

用来研究简谐振动的规律。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。

若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。

在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。

当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。

但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。

动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。

这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。

势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。

在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。

弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。

右图为其运动图像。

（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）在简谐运动中，我们一般对模型甲（图１）比较熟悉，但模型乙（图２）也经常出现在试题中。

特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置Ｏ点对称。

但是乙是由弹簧弹力和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。

特征图３1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。

平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。

正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。

２：如图３所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T，C、D两点关于平衡位置O点对称。

从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由C→A→C→O→D的运动时间为３：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。

高考常用 24 个物理模型物理复习和做题时需要注意思考、善于归纳整理，对于例题做到触类旁通，举一反三， 把老师的知识和解题能力变成自己的知识和解题能力，下面是物理解题中常见的 24 个解题 模型，从力学、运动、电磁学、振动和波、光学到原子物理，基本涵盖高中物理知识的各个 方面。

主要模型归纳整理如下：模型一：超重和失重系统的重心在竖直方向上有向上或向下的加速度 向上超重 (加速向上或减速向下 )F=m(g+a)； 向下失重(加速向下或减速上升 )F=m(g-a) 难点：一个物体的运动导致系统重心的运动(或此方向的分量 a y )斜面对地面的压力 ? 地面对斜面摩擦力 ? 导致系统重心如何运动？模型二：斜面搞清物体对斜面压力为零的临界条件斜面固定：物体在斜面上情况由倾角和摩擦因素决定=tg 物体沿斜面匀速下滑或静止 > tg 物体静止于斜面 < tg 物体沿斜面加速下滑 a=g(sin 一 cos ) 绳剪断后台称示数 系统重心向下加速 铁木球的运动 用同体积的水去补充模型三：连接体是指运动中几个物体或叠放在一起、 或并排挤放在一起、或用细绳、细杆联 系在一起的物体组。

解决这类问题的基本方法是整体法和隔离法。

整体法 ：指连接体内的物体间无相对运动时 ,可以把物体组作为整体， 对整体用 牛二定律列方程。

隔离法 ：指在需要求连接体内各部分间的相互作用 （如求相互间的压力或相互间 的摩擦力等 ）时，把某物体从连接体中隔离出来进行分析的方法。

连接体的圆周运动： 两球有相同的角速度； 两球构成的系统机械能守恒 （单个球 机械能不守恒 ） 与运动方向和有无摩擦 （μ 相同）无关，及与两物体放置的方式都无关。

平面、斜面、竖直都一样。

只要两物体保持相对静止m 1m2F 1>F 2 m 1>m 2 N 1<N 2例如： N 5对6=mF（m 为第 6 个以后的质量 ） 第 12对 13的作用力 MN 12对 13=（n -12）mFnm记住： N= m 2F 1m 1F2 （N 为两物体间相互作用力 ）,起加速运动的物体的分子 m 1F 2 和 m 2F 1两项的规律并能应用讨论： ①F 1≠0 F 2=0F=(m 1+m 2)aN=m 2aN= m2Fm 1 m 2② F 1≠0； F 2≠ 0 m 2F1 m 1F2 m1 m2 0是上面的情 N=( F2况)Fm 1 m 2m 1 m 2F= m 1 (m 2 g) m 2(m 1gsin ) m 1 m 2m2 m 1m 2FF= m 1 (m 2g) m 2 (m 1g)m 1 m 2F=m A (m B g) m B F模型四：轻绳、轻杆绳只能受拉力，杆能沿杆方向的拉、压、横向及任意方向的力。

高考物理单摆知识点物理课程在高考中占据重要的地位，而单摆作为其中的一个重要知识点，是考生需要掌握的内容之一。

下面将对单摆的相关知识进行详细介绍。

1. 单摆的定义及构成要素单摆是指质点或物体通过一根固定在一端的绳子或杆连接，在自由状态下由重力作用形成的一个简谐振动系统。

其构成要素包括摆长、摆球、摆锤等。

2. 简谐振动的条件单摆的运动属于简谐振动，其满足以下条件：（1）摆长的变化范围较小，保持相对稳定；（2）在运动过程中，假设摆球与摆锤之间的摩擦力可忽略不计；（3）摆球的振动幅度较小。

3. 单摆的周期公式单摆的周期公式可以通过如下公式表示：T = 2π√(l/g)其中，T表示单摆的周期，l表示摆长，g表示重力加速度。

4. 单摆的周期与摆长的关系单摆的周期与摆长呈正相关关系，即摆长增加，周期也会增加。

这是因为摆长的增加会导致单摆运动的频率降低，从而周期变长。

5. 单摆的周期与重力加速度的关系单摆的周期与重力加速度呈负相关关系，即重力加速度增加，周期会减小。

这是因为重力加速度的增加会使单摆的运动速度加快，从而周期变短。

6. 单摆的频率与周期的关系单摆的频率与周期呈倒数关系，即频率等于周期的倒数。

频率表示单位时间内完成的振动次数，而周期表示完成一次完整振动所需的时间。

7. 单摆的能量转化单摆在运动过程中会发生能量的转化，主要包括重力势能和动能的相互转化。

当摆球到达最高点时，动能最小，而重力势能最大；当摆球到达最低点时，动能最大，而重力势能最小。

8. 单摆的简谐近似在摆长较小、振幅较小的情况下，单摆可以近似看作简谐振动。

这是因为只有当振幅较小时，单摆的运动才趋近于线性，并且周期与振幅的关系比较简单。

通过对高考物理单摆知识点的了解，考生可以更加全面地掌握单摆的相关内容，提升自己在高考物理中的得分能力。

同时，通过练习相关的单摆题目，巩固知识点，并且理解其应用，可以更好地应对考试中的物理题目。

希望考生能够认真学习，熟练掌握单摆的相关知识，并在考试中取得优异的成绩。

单摆运动和弹簧振子实验设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握单摆运动的基本原理，理解摆长、重力加速度与摆动周期之间的关系。

2. 让学生掌握弹簧振子的运动规律，了解弹簧常数、质量与振动周期之间的关系。

3. 让学生了解实验设计的基本原则，掌握实验数据采集、处理和分析的方法。

技能目标：1. 培养学生动手操作实验设备的能力，熟练进行单摆和弹簧振子实验。

2. 培养学生运用物理知识解决实际问题的能力，设计合理的实验方案，进行数据采集和分析。

3. 培养学生团队合作精神，学会在实验中相互协作、共同探讨问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理实验的兴趣，激发学生探索科学规律的欲望。

2. 培养学生严谨、客观的科学态度，尊重实验事实，注重实验数据的真实性。

3. 培养学生勇于面对实验中的困难和挑战，学会从失败中汲取经验，不断提高实验技能。

本课程针对高中物理学科，结合学生年级特点，注重理论与实践相结合，旨在提高学生的实验操作能力、物理思维和分析解决问题的能力。

课程目标具体、可衡量，为学生和教师在教学过程中提供明确的指导，为后续的教学设计和评估奠定基础。

二、教学内容本章节教学内容主要包括以下两个方面：1. 单摆运动：- 教材章节：第五章第1节“简谐运动”，第2节“单摆的运动”。

- 内容概述：介绍单摆的定义、运动规律、摆长与周期的关系，以及重力加速度对单摆运动的影响。

- 教学安排：通过理论讲解、动画演示和实验操作，使学生深入理解单摆运动的特点及其物理原理。

2. 弹簧振子实验：- 教材章节：第五章第3节“弹簧振子的运动”，第4节“弹簧常数与振动周期的关系”。

- 内容概述：讲解弹簧振子的运动规律、弹簧常数与振动周期的关系，以及如何进行弹簧振子实验。

- 教学安排：引导学生学习弹簧振子的理论知识，组织学生进行实验操作，培养实验技能和数据分析能力。

教学内容注重科学性和系统性，结合课程目标，合理安排教学进度。

在教学过程中，教师需关注学生对理论知识的掌握和实验操作的熟练程度，确保学生能够将所学知识应用于实际问题的解决。

弹簧振子的简谐运动弹簧振子是物理学中重要的一个概念，它是指一个质点固定在一根弹簧的一个端点，然后在重力或其他外力的作用下，它能够在一根垂直线上进行来回振动的现象。

弹簧振子的运动遵循简谐运动的规律，而简谐运动是力学中的基本运动之一。

弹簧振子的简谐运动可以通过数学模型进行描述。

首先，我们可以建立一个坐标系，在这个坐标系中，弹簧振子的平衡位置为原点O，向上为正方向。

然后，我们令x表示质点离开平衡位置的位移，设弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。

根据胡克定律，弹簧对质点的恢复力与质点的位移成正比，可以表示为F = -kx，其中负号表示力的方向与位移方向相反。

根据牛顿第二定律，质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度，即ma = -kx。

根据简谐运动的定义，加速度与位移有关，可表示为a = -ω²x，其中ω表示角频率。

将上述两式联立，得到质点的运动微分方程：m( d²x/dt² )+ kx = 0。

通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧振子的解析解，进而可以了解其运动特性。

弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + Φ)，其中A表示振幅，即质点离开平衡位置的最大位移。

Φ表示相位常数，它决定了弹簧振子的初始相位。

ω表示角频率，它与弹簧的劲度系数k和质点的质量m 有关，具体计算公式为ω = sqrt(k/m)。

从这个解析解中，我们可以得到弹簧振子的一些运动特性。

首先是周期性，弹簧振子的运动是周期性的，即在一定时间内，它能够完成一个完整的振动周期。

这个周期为T = 2π/ω，与振幅A和劲度系数k无关。

其次是频率，频率指的是单位时间内完成的振动次数，可用f = 1/T表示。

频率与角频率之间有简单的联系，即f = ω/2π。

根据这个公式，我们可以得到频率与振幅和劲度系数的关系。

此外，还有相位差的概念，当我们观察两个弹簧振子同时运动时，它们之间可能存在相位差。

相位差可以用相位角来表示，相位角等于两个质点的相位常数之差，即ΔΦ = Φ₁ - Φ₂。

机械简谐运动的两种典型模型弹簧振子模型弹簧振子是机械简谐运动的经典模型之一，它是理解力学振动现象的基础。

弹簧振子的原理弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成。

当质点不受外力作用时，由于弹簧的弹性力，质点会沿着与弹簧平行的轴线上做周期性的振动。

弹簧振子的运动方程对于一个弹簧振子，其运动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，k是弹簧的弹性系数，x是质点与平衡位置的位移。

弹簧振子的解析解弹簧振子的运动方程是一个二阶线性常微分方程，可以通过求解得到其解析解。

假设质点的初始位置为x0，初始速度为v0，则弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅（即位移的最大值），ω是角频率，φ是相位常数。

根据初始条件，可以得到：A = sqrt(x0^2 + (v0/ω)^2)φ = -arctan(v0/(ω*x0))弹簧振子的周期和频率弹簧振子的周期和频率与弹簧的弹性系数和质点的质量有关。

周期可以表示为：T = (2π) / ω频率可以表示为：f = 1 / T = ω / (2π)弹簧振子的应用弹簧振子的简单结构和运动规律使其在实际应用中具有广泛的用途。

例如：•音叉是一种利用弹簧振子的原理制造的乐器，用于产生特定频率的声音。

•汽车悬挂系统中常使用弹簧振子来减震，提高行车的平稳性。

•建筑工程中，利用弹簧振子的原理可以设计出隔震系统，有效减少地震对建筑物的影响。

单摆模型单摆是另一个常用的机械简谐运动模型，通过在重力场中运动，可以产生具有固定周期的振动。

单摆的原理单摆由一个质点和一个细长不可伸缩的线组成。

当质点在重力下，沿着线的垂直方向进行摆动时，可以产生简谐振动。

单摆的运动方程对于一个单摆，其运动方程可以表示为：m * g * sin(θ) = -m * l * θ''其中，m是质点的质量，g是重力加速度，l是单摆的长度，θ是质点与竖直方向的夹角，θ''是质点的角加速度。

物理总复习： 单 摆【考纲要求】1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型；2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题；3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析；4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题；5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。

【考点梳理】 考点一、单摆定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的 小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆。

要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型。

（2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角10θ<。

（3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示。

在10θ<时，sin xF mg mg kx lθ=-≈-=-回， 其中mgk l=考点二、单摆的周期实验证明单摆的周期与振幅A 无关，与质量m 无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g 的增大而减小。

荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：2T =几种常见的单摆模型：在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

1、等效摆长如图所示，三根等长的绳1l 、2l 、3l 共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d 。

2l 、3l 与天花板的夹角30α<。

（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在1O 处，故等效摆长 12dl +，周期12T =（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为12sin 2dl l α++，周期22T =2、等效重力加速度（1）公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。

由2MGg R=知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g '代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2。

“弹簧振子”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。

在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。

认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。

【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。

加速度为mkx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。

这是解题的关键。

模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。

当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。

试证明小球的振动是简谐振动。

〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。

由题意得mg=kx 0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。

这是它们的相同之处。

(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。

因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。

(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。

弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。

但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。

在解题时我们经常用到这点。

【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。