极大似然法估计鱼

华中农业大学本科课程考试参考答案与评分标准考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 试卷类型：B 考试日期：一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

）1. 设随机变量X 的概率密度)1(1)(2x x p +=π，则X Y 2=的分布密度为 . 【 b 】 (a))41(12x +π； (b) )4(22x +π； (c) )1(12x +π； (d) x arctan 1π．2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1/2的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 . 【 b 】(a) N(2,4) (b) N(2,4/n) (c) N(1/2,1/4n) (d) N(2n,4n) 3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是总体X 的一个 简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 C 】（a ）321X X X ++； （b ）)X ,X ,X min(321； （c ）∑=σ31i 22i X ； （d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是 ． 【 a 】 （a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率； （b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率； （c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率； （d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 d 】（a ）SSR 越大，SSE 越小； （b ）SSE 越小，回归效果越好； （c ）r 越大，回归效果越好； （d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

第三节 置信区间前面讨论了参数的点估计, 它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围.例如, 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中, 若根据一个实际样本, 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条, 这种估计结果使用起来把握不大. 实际上, 鱼的数量的真值可能大于50000条, 也可能小于50000条.且可能偏差较大.若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值.本节将要引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.内容分布图示★ 引言 ★ 置信区间的概念★ 例1 ★ 例2★ 寻求置信区间的方法 ★ 例3 ★ )10(-分布参数的区间估计 ★ 例4 ★ 单侧置信区间★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3 ★ 返回内容要点：一、置信区间的概念定义1 设θ为总体分布的未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, 对给定的数)10(1<<-αα, 若存在统计量),,,,(),,,,(2121n n X X X X X X θθθθ==使得,1}{αθθθ-=<<P则称随机区间),(θθ为θ的α-1双侧置信区间, 称α-1为置信度, 又分别称θ与θ为θ的双侧置信下限与双侧置信上限.注: 1. 置信度α-1的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本n X X X ,,,21 的多个样本值),,,(21n x x x , 对应每个样本值都确定了一个置信区间),(θθ, 每个这样的区间要么包含了θ的真值, 要么不包含θ的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含θ的真值的频率接近于置信度(即概率) α-1, 即在这些区间中包含θ的真值的区间大约有)%1(100α-个,不包含θ的真值的区间大约有%100α个. 例如, 若令95.01=-α, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含θ的真值, 大约有5个区间不包含θ的真值.2. 置信区间),(θθ也是对未知参数θ的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度α-1越大, 置信区间),(θθ包含θ的真值的概率就越大, 但区间),(θθ的长度就越大, 对未知参数θ的估计精度就越差. 反之, 对参数θ的估计精度越高, 置信区间),(θθ长度就越小, ),(θθ包含θ的真值的概率就越低, 置信度α-1越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.二、寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间.一般步骤:(1) 选取未知参数θ的某个较优估计量θˆ;(2) 围绕θˆ构造一个依赖于样本与参数θ的函数);,,,,(21θn X X X u u =(3) 对给定的置信水平α-1,确定1λ与2λ,使,1}{21αλλ-=≤≤u P通常可选取满足2}{}{21αλλ=≥=≤u P u P 的1λ与2λ，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得;(4) 对不等式作恒等变形化后为αθθθ-=≤≤1}{P , 则),(θθ就是θ的置信度为α-1的双侧置信区间。

小概率事件原理的应用[摘要]小概率事件原理是概率论中实用价值较高、应用泛围较广的基本理论，本文从实际生活的典型事例出发,运用该原理来分析解决此类问题,从而揭示独立重复随机试验中，小概率事件发生的必然性。

[关键词]概率统计小概率事件假设检验应用一、问题的提出在概率统计中，为了研究随机现象，必须计算种种随机事件的概率，由于随机现象的多样性，我们不得不研究各种数学模型，并对每一种模型进行具体分析。

问题：假设从湖里捕了1000条鱼，系上红线后，放回去，过了一段时间后，又捕了1000条鱼，现在其中5条鱼系着红线，试估计湖中鱼的总数。

此问题可用不退还抽样的概率公式求其估计值。

我们将重点探讨如何利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。

二、小概率事件的认识一个小概率事件，不管其概率是多么小，其值总是一个确定的正数。

该事件随着试验次数的不断增加，迟早会发生的概率趋近于1。

事实上，假如在某个随机试验中，事件A的概率为P（A）=ε，ε是一个充分小的正数，则不论ε如何小，只要不断独立地重复这一试验，事件A总是会发生的（即A发生的概率为1）。

设以A k表示事件A于第k次试验中发生这一事件，则P（A k）=ε。

从而在前n次试验中，A都不发生的概率为：故在前n次试验中，A至少发生一次的概率为：当n→∞时，由于0＜ε＜1，有limn→∞p n=1记事件Bn={前n次试验中A至少发生一次}，则必有这就说明了虽然事件A在一次试验中发生的概率很小，但在不断地重复独立试验中，A 总会发生。

在概率论的基础理论研究中，大量随机现象具有某种稳定的性质，例如频率的稳定性，平均结果的稳定性等等，它反映了偶然性与必然性之间的辩证关系。

为了揭示这种实际上的必然性或实际上的不可能性，我们对概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意义。

概率论的基本问题之一，就是要建立概率接近于1或0的规律。

特别是对大量独立或弱相关因素的累积结果所发生的规律的研究，将导致“依概率收剑”和“依概率1收剑”等概念的产生，与此同时，相应的（弱）大数定律和强大数定律的研究也应运而生。

长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知全集U =R ,集合{}2,3,4A =,结合{}02,45B =，，，则图中阴影部分表示的集合为A. {}2,4B. {}0C. {}5D. {}0,52.若1a iz i+=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则a =A. -1B. 0C. 1D. 23.已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程式27y x =-+，则'(3)(3)f f -=A. -2B. 2C. -3D. 34.命题p ：“2,240x ax ax ∃∈+≥R ”为假命题的一个充分不必要条件是A.40a -<≤ B. 40a -≤< C. 30a -≤≤ D. 40a -≤≤5. 当102x ……时,4log x a x <, 则a 的取值范围是A. ⎛ ⎝B. ⎫⎪⎪⎭C. D. 2)6. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有 3 个零点, 则ω的取值范围是A. 81114,4,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B. 111417,4,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C. 111417,5,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 141720,5,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1，4, 8，14, 23，36，54，则该数列的第19项为（注：222(1)(21)126n n n n ++++=……）A. 1624 B. 1024 C. 1198 D. 15608. 已知函数312(),,.,(,)f x x ax b a b x x m n =++∈∈R 且满足()()12(),()f x f n f x f m ==, 对任意的[,]x m n ∈恒有()()()f m f x f n ……, 则当,a b 取不同的值时A. 12n x +与22m x -均为定值B. 12n x -与22m x +均为定值C. 12n x -与22m x -均为定值D. 12n x +与22m x +均为定值二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知奇函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可的导函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是A. 函数()2sin(23g x x π=-B. 函数()g x的图象关于点⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x10.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则A. PC BD⊥B. 四棱锥外接球的表面积为8πC. PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D. 当平面α经过侧棱PC 中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3: 111.已知数列{}n a 满足1222,8,1,,n n n n a n a a a T a n +--⎧===⎨⎩为偶数，为奇数为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的有A. n 为偶数时, 22(1)n n a -=- B. 229n T n n =-+C. 992049T =- D. n T 的最大值为 2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为'()f x 和'()g x ，若(2)(1)2f x g x +--=，''()(1)f x g x =+，且(1)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是A.(1)0g =B.函数'()g x 的图象关于2x =对称C.20221()0k g k ==∑ D. 20211()()0k f k g k ==∑三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若22log log 6a b +=, 则a b +的最小值为_____.14. 已知边长为 2 的菱形ABCD 中, 点F 为BD 上一动点, 点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- , 则AF EF ⋅的最小值为_____.15. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====,则数列{}2(2)nn a b -的前n 项和为_____.16. 已知函数ln (),()e x x xf xg x x==, 若存在120,x x >∈R , 使得()()120f x g x =<成立,则12x x 的最小值为_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

课程论文首页估计湖中鱼的数量摘要本文是针对捕捞湖中鱼群并对鱼群数量进行估计的问题。

由于题目当中给出条件有两次从湖中钓出鱼，第一次是给鱼做上记号，而题目就是要从第二次从湖里钓出的x 条标有记号的鱼来估计湖中鱼的数量，由于第二次钓出的s 条鱼中情况复杂，有可能还没等有标记的和没标记混合时就开始捕捞，就会导致x 偏大，而相反的x 有可能又会偏小，所以我们必须通过假设，放回湖中的鱼在湖中是分布均匀的，这样就可以保证第二次钓出的带有标记的x 条鱼就是个随机变量，从而更加可以达到我们实验的准确性。

模型一：之后我们发现x 是服从超几何分布，用L(x,N)来表示，则通过使L 取到极大值的N 来作为估计值，运用概率统计中的极大似然原理，通过比值法最后可求出个极大值，最后可以确定它的估计值为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x rs 或1rs +⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 。

模型二：我可以在假设放回湖中有标记的鱼分布是均匀的基础上，认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，最后可以直接得到与模型一结果相同的一个结果，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x rs N .关键词：数理统计 极大值 比值法一：问题的提出题中问题可更明确的表示成：第一次从湖中钓出r 条鱼进行标记后放回，第二次再从湖中钓出s 条鱼，s 条鱼中有x 条鱼标有记号。

问：从两次的捕捞中如何更好地估计湖中鱼群的数量。

二：问题的分析由于鱼群的分布情况十分的复杂，在分布均匀的前提下，可以使用概率论与数理统计的模型，随即运用概率统计中的极大似然原理。

所以首先就可以确定其属于超几何分布，写出其公式，之后在通过比值法求比值A 的变化可以求出极大值，即可作为所求的估计值。

而模型二是直接通过客观的假设，假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同的情况下，直接得出的一个结果三：模型的假设对模型一的假设：必须假设放回湖中的有标记的鱼在湖中的分布是均匀的，即与没标记的鱼混合和分布均匀。

全唇裂腹鱼生长模型的筛选王继隆;李雷;龚君华;张驰;马波【摘要】2015年在西藏墨脱县布裙湖采捕到252尾全唇裂腹鱼Schizothoraxinte grilabiatus样本,通过耳石磨片观察分析其年龄组成,采用特殊Von Bertalanffy (VBGF)、Logistic、Gompertz和幂指数四个生长方程分别模拟全唇裂腹鱼的生长,利用最大似然法估计各模型的参数.结果表明:采集的样本共分为7个年龄组(即1～7龄),以2龄组数量最多.各模型的AIC(赤池信息量准则)和BIC(贝叶斯信息准则)值检验模型的拟合效果显示,VBGF生长方程最适合模拟全唇裂腹鱼的生长,其次为Gompenz、幂指数生长方程,而Logistic生长方程拟合效果最差.VBGF生长方程为:L1=28.36×[1-e-0.14·(ti+0.57)].由模型间AIC差值可知:Gompertz和Von Bertalanffy生长方程之间的模拟效果差别不太大,都能较好模拟全唇裂腹鱼的体长生长.【期刊名称】《水产学杂志》【年(卷),期】2016(029)006【总页数】4页(P10-13)【关键词】全唇裂腹鱼;耳石;年龄鉴定;模型检验【作者】王继隆;李雷;龚君华;张驰;马波【作者单位】中国水产科学研究院黑龙江水产研究所,黑龙江哈尔滨150070;中国水产科学研究院黑龙江水产研究所,黑龙江哈尔滨150070;西藏自治区农牧科学院水产科学研究所,西藏自治区拉萨850000;西藏自治区农牧科学院水产科学研究所,西藏自治区拉萨850000;中国水产科学研究院黑龙江水产研究所,黑龙江哈尔滨150070【正文语种】中文【中图分类】S965.199全唇裂腹鱼Schizothorax integrilabiatus属裂腹鱼亚科，裂腹鱼属Schizothorax，仅分布于雅鲁藏布江下游墨脱县境内海拔1 500m布裙湖及其周围山溪中[1,2]。

概率统计实验指导书理学院实验中心数学专业实验室编写2009.12实验二 统计分析1 引1. 问题：湖中有鱼，其数不知。

现在请你想一个办法，能将湖中的鱼数大致估计出来。

2. 分析：有两种方法。

[方法一] 设湖中有N 条鱼。

先捕出r 条鱼，做上记号后放回湖中（设记号不会消失）。

让湖中的鱼充分混合后，再从湖中捕出s 条鱼，设其中有T 条鱼标有记号，则T 是随机变量，且服从超几何分布{}(0)t s tr N rsNC C P T t t r C --==≤≤。

应用极大似然估计思想，寻找N,使{}P T t =达到最大，得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

于是取sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作为湖中鱼数的一种估计，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

[方法二] 用矩估计法.因为T 服从超几何分布，其数学期望是()srE T N=，此即捕s 条鱼得到有标记的鱼的总体平均数。

而现在只捕一次，出现t 条有标记的鱼。

由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即srt N =，也得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

3. 问题的解决：由上面的分析，要想估计出湖中的鱼数，首先需要取到样本数据，然后利用样本数据，采用统计中的点估计法对总体进行估计，其属于统计分析中的一部分。

本节重点进行与统计分析相关的实验。

2 实验目的1、利用常用的统计量描述样本数据的集中和分散程度，并对总体特征进行归纳和分析。

2. 学习用MATLAB 对总体均值、方差进行估计。

3. 学习用MATLAB 处理假设检验的相关问题。

4. 解决“引”中的实际问题。

3 实验内容1.使用MATLAB 对样本数据进行处理MATLAB 提供了若干对数据进行统计分析的命令，这些命令作用到一个矩阵上会对各列分别作用，得到一个行向量，现将这些命令列举如下：max 最大分量； mean 平均值； std 标准差； sum 分量和； product 分量积； cumsum 元素累和； min 最小分量； median 中位数； sort 按不增次序排序； hist 直方图； diff 差分函数； cumprod 元素累计积此外，命令corrcoef计算相关系数矩阵，格式为R=corrcoef(X),X为输入矩阵，它的行元素为观测值，列元素为变量，返回相关系数矩阵R，矩阵R的元素为R(i,j);命令cov计算协方差矩阵，格式为C=cov(X)，X若为单个向量，cov(X)返回包含方差的标量；X若为矩阵，X的每一列表示一个变量而行元素为观测值。

如何估计湖中黑、白鱼的比例某水产养殖场两年前在人工湖混养了黑白两种鱼。

现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计。

我们可用统计方法解决此问题。

设湖中有黑鱼a 条，则白鱼数为b ka =，其中k 为待估计参数。

从湖中任捕一条鱼，记1,0,X ⎧=⎨⎩若是黑鱼若是白鱼 则，1(1),(0)1(1)11a k P X P X P X a ka k k=====-==+++ 为了使抽取的样本为简单随机样本，我们从湖中有放回的捕鱼n 条。

（即任捕一条，记下其颜色后放回湖中。

任其自由游动。

稍后再捕第二条，重复前一过程），得样本12,,,n X X X 。

各i X 相互独立，且均与X 同分布。

设再这n 次抽样中，捕得m 条黑鱼。

以此抽样结果可对k 作出估计。

下面用通常用矩法和极大似然估计法估计k 。

（1）矩估计法：令 1()1X E X k ==+ 可求得 1ˆ1Mk X =- 由具体抽样结果知，X 的观测值m X n=，故k 的矩估计值为 ˆ1M n k m =- （2）极大似然估计由于每个i X 的分布为： 11{}()(),0,111i i x x i i i k P X x x k k-===++ 设1,2,,n x x x 为相应抽样结果（样本观测值），则似然函数为：11121(;,,,)()()11n ni i i i n x x n k L k x x x k k ==-∑∑=++ (1)n m n k k -=+ 12ln (;,,,)()ln ln(1)n L k x x x n m k n k =--+令 12ln (;,,,)01n d L k x x x n m n dk k k -=-=+ 可求得R 的极大似然估计值为ˆ1MLE n k m=- 对本题而言，两种方法所得估计结果相同。

〔注〕本题虽然简单，但它是一个十分广泛的统计模型。

例如： 可将黑白鱼看成是某堆产品中的正次品，或是某地区的男女性，则依此可估计该产品中的正次品比例或是估计该地区的男女数比例，等等。

影响置信区间宽窄因素的分析山东财经大学本科毕业论文设计题目: 影响置信区间宽窄因素的分析学院数学与数量经济学院专业数学与应用数学班级 00000000000000 学号 0000000000 姓名 000000指导教师 000000山东财经大学教务处制二O一二年五月影响置信区间宽窄因素的分析摘要在统计学中,一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。

置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度,置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度,即前面所要求的“一定概率”,这个概率被称为置信水平。

置信水平一般用百分比表示,因此置信水平0.95上的置信区间也可以表达为:95%置信区间。

置信区间的两端被称为置信极限。

影响置信区间宽度的因素:样本平均数,要求的置信水平,样本标准差,样本容量。

对一个给定情形的估计来说,其他因素不变,置信水平越高,置信区间宽度越长;其他因素不变,样本量越多,置信区间宽度越短。

关键词:置信区间;因素; ;In statistics, a confidence interval CI is a type of interval estimate of a population parameter and is used to indicate the reliability of an estimate. It is an observed interval i.e. it is calculated from the observations, in principle different from sample to sample, that frequently includes the parameter of interest if the experiment is repeated. How frequently the observed interval contains the parameter is determined by the confidence level or confidence coefficient. More specifically, the meaning of the term "confidence level" is that, if confidence intervals are constructed across many separate data analyses of repeated and possibly different experiments, the proportion of such intervals that contain the true value of the parameter will match the confidence level; this is guaranteed by the reasoning underlying the construction of confidence intervals.[1][2][3] Whereas two-sided confidence limits form a confidence interval, their one-sided counterparts are referred to as lower or upper confidence bounds.Keywords: ;;目录一、引言 1二、置信区间的定义1(一)置信区间的定义来源 1(二)置信区间的概念2(三)置信区间估计种类 3三、置信区间求法及应用 4(一)置信区间计算方法 4(二)关于置信区间的宽窄 51.征税范围过窄 52.计税依据不统一 53.税率不合理 54.纳税单位个人对房产税纳税意识淡薄,偷逃税手段花样多。