第三章 (3.3)控制系统的稳定性分析

第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。

否则，系统不稳定。

一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。

因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。

对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。

然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。

李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。

技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。

在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。

注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。

系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。

第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。

控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。

如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。

因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。

常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。

它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。

它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。

3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。

它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。

这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。

4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。

该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。

一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。

考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。

而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。

因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。

熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。

5熟练掌握计算稳态误差的方法。

6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。

依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。

即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。

3.3.3 三阶非线性控制系统一．实验要求1． 了解和掌握非线性控制系统重要特征—自激振荡，极限环的产生及性质。

2． 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。

3． 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。

二．实验原理及说明1． 非线性控制系统重要特征——自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。

这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。

对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。

振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A 的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G （j ω）曲线的自变量ω来确定。

注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。

产生自振荡的条件为：1)()(=A N j G ω πω−=∠+∠)()(A N j G （3-3-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。

注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。

2． 极限环的研究在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。

极限环的类型有： ①．稳定的极限环当∞时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。

②．不稳定的极限环当③．半稳定的极限环当轨迹卷离极限环。

在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。

3． 用描述函数法分析非线性控制系统 ⑴ 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。

描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。

主要是用来分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。

模糊控制系统的自适应性及稳定性分析第一章引言1.1 研究背景模糊控制系统是一种应用广泛且灵活的控制方法，用于处理复杂、非线性、模糊和不确定的系统。

它能够通过模糊推理和模糊逻辑来处理输入和输出之间的模糊关系，从而实现系统的自适应性。

然而，模糊控制系统的自适应性和稳定性是该领域的热点和难点问题，需要进行深入的研究和分析。

1.2 研究目的本文旨在分析模糊控制系统的自适应性及稳定性，探讨现有方法在解决这些问题上的局限性，并提出改进的方法和思路，以提高模糊控制系统的性能和稳定性。

第二章模糊控制系统的自适应性分析2.1 模糊控制系统的基本原理模糊控制系统由模糊化、规则库、模糊推理和去模糊化四个组成部分构成。

它通过将模糊规则映射到控制行为上，实现对输入输出的模糊处理和控制。

然而，传统的模糊控制系统在面对未知系统和参数变化时，往往难以自适应地调整控制策略，导致性能下降。

2.2 模糊控制系统的自适应方法为了提高模糊控制系统的自适应性，研究者们提出了许多方法。

其中一种常用的方法是基于模糊神经网络的自适应控制方法。

该方法将模糊控制系统与神经网络相结合，利用神经网络的学习能力来自动调整控制器的参数。

此外，还有一些模型参考自适应控制方法和基于遗传算法的自适应方法等。

2.3 模糊控制系统的自适应性分析虽然存在多种自适应方法，但是模糊控制系统的自适应性仍然存在一些问题。

首先，自适应方法通常需要大量的训练数据和计算资源，增加了计算复杂度和成本。

其次，自适应过程可能会受到系统噪声和不确定性的干扰，导致控制系统性能下降。

第三章模糊控制系统的稳定性分析3.1 模糊控制系统的稳定性定义模糊控制系统的稳定性是指系统在面对扰动和参数变化时，保持输出稳定且不产生不良反应的能力。

稳定性是一个重要的性能指标，关系到系统的安全性和可靠性。

3.2 稳定性分析的方法和指标稳定性分析主要通过系统的频率响应和极点分布等方法进行。

常用的稳定性指标有相角裕度、增益裕度和Nyquist曲线等。

自动控制原理电子教案第一章：绪论1.1 自动控制的概念介绍自动控制的定义和意义解释自动控制系统的组成和功能1.2 自动控制系统的分类介绍连续控制系统和离散控制系统的区别介绍开环控制系统和闭环控制系统的区别1.3 自动控制的发展历程介绍自动控制的发展历程和重要里程碑介绍自动控制在我国的发展状况第二章：自动控制系统的数学模型2.1 数学模型的概念介绍数学模型的定义和作用解释数学模型在自动控制系统中的应用2.2 连续系统的数学模型介绍连续系统的微分方程表示法介绍连续系统的传递函数表示法2.3 离散系统的数学模型介绍离散系统的差分方程表示法介绍离散系统的Z域表示法第三章：自动控制系统的稳定性分析3.1 稳定性概念介绍系统稳定性的定义和重要性解释稳定性的判定标准3.2 连续系统的稳定性分析介绍劳斯-赫尔维茨稳定性判据介绍尼科尔斯-李雅普诺夫稳定性判据3.3 离散系统的稳定性分析介绍离散系统的稳定性判定方法介绍离散系统的劳斯-赫尔维茨判据第四章：自动控制系统的控制器设计4.1 控制器设计概述介绍控制器设计的意义和目标解释控制器设计的基本方法4.2 连续系统的PID控制器设计介绍PID控制器的原理和结构介绍PID控制器的参数调整方法4.3 离散系统的控制器设计介绍离散PID控制器的设计方法介绍离散控制器的实现和优化方法第五章：自动控制系统的仿真与实验5.1 自动控制系统仿真概述介绍自动控制系统仿真的意义和目的解释仿真软件的选择和使用方法5.2 连续系统的仿真实验介绍连续系统的仿真实验方法和步骤分析实验结果和性能指标5.3 离散系统的仿真实验介绍离散系统的仿真实验方法和步骤分析实验结果和性能指标第六章：线性系统的状态空间分析6.1 状态空间的概念介绍状态空间及其在自动控制系统中的应用解释状态向量和状态方程的含义6.2 状态空间表示法介绍状态空间表示法的基本原理解释状态转移矩阵和系统矩阵的概念6.3 状态空间分析法介绍状态空间分析法在系统稳定性、可控性和可观测性方面的应用解释李雅普诺夫理论在状态空间分析中的应用第七章：非线性系统的分析与控制7.1 非线性系统概述介绍非线性系统的定义和特点解释非线性系统分析的重要性7.2 非线性系统的数学模型介绍非线性系统的常见数学模型解释非线性方程和方程组的求解方法7.3 非线性控制策略介绍非线性控制的基本策略和方法分析非线性控制系统的性能和稳定性第八章：现代控制理论及其应用8.1 现代控制理论概述介绍现代控制理论的定义和发展历程解释现代控制理论在自动控制系统中的应用8.2 鲁棒控制介绍鲁棒控制的定义和目标解释鲁棒控制在自动控制系统中的应用和优势8.3 自适应控制介绍自适应控制的定义和原理解释自适应控制在自动控制系统中的应用和效果第九章：自动控制系统的实现与优化9.1 系统实现概述介绍自动控制系统实现的意义和目标解释系统实现的方法和技术9.2 数字控制器的实现介绍数字控制器的实现方法和步骤解释数字控制器实现中的主要技术问题9.3 系统优化方法介绍系统优化方法的定义和目标解释系统优化方法在自动控制系统中的应用和效果第十章：自动控制技术的应用案例分析10.1 工业自动化控制系统案例分析工业自动化控制系统的组成和功能解释工业自动化控制系统在工业生产中的应用案例10.2 控制系统案例分析控制系统的组成和功能解释控制系统在现代工业和生活中的应用案例10.3 航空航天控制系统案例分析航空航天控制系统的组成和功能解释航空航天控制系统在航空航天领域的应用案例重点和难点解析重点环节1：自动控制的概念与系统组成自动控制系统的定义和功能是理解自动控制理论的基础，需要重点关注。

闭环控制系统的稳定性分析与优化第一章：介绍随着现代科技的发展，自动化技术得到了广泛的应用。

在自动化控制系统中，闭环控制系统是一种常用的控制方法。

这种控制方式通过反馈来调整输出信号的值，使其与设定值相同或接近。

闭环控制系统可以应用于许多领域，如电力系统、工业自动化、飞行控制系统等。

在实际应用中，为了保证控制系统的稳定性和可靠性，需要进行稳定性分析和优化。

第二章：闭环控制系统的基本原理闭环控制系统是一种负反馈系统。

负反馈系统是指控制系统的输出信号的一部分被反馈到输入端，用于调整输入信号的大小和方向。

闭环控制系统由四个基本元素组成：测量元件、控制器、执行元件和过程。

其中，测量元件用于测量过程变量，控制器根据测量值和设定值计算控制信号，执行元件将控制信号转换为操作信号并对过程进行操作。

过程是指控制系统要控制的物理量或系统。

第三章：稳定性分析当闭环控制系统达到稳定状态时，过程变量会达到设定值并保持稳定。

稳定性是闭环控制系统的重要性能指标。

稳定性分析是评估控制系统稳态性能的重要方法。

稳定性分析可以通过计算系统的传递函数和根轨迹来进行。

3.1 传递函数分析传递函数是控制系统输入和输出之间的数学模型。

传递函数可用于计算系统的频率响应和稳态误差。

稳态误差是系统输出与设定值之间的差异。

稳态误差可以通过调整传递函数中的控制器参数来降低。

3.2 根轨迹分析根轨迹是控制系统传递函数的极点和零点在复平面中随控制参数变化的轨迹。

根轨迹分析可用于评估系统的稳定性和响应速度。

当系统的闭环极点都在左半平面时，系统是稳定的。

如果存在极点在右半平面，系统将会是不稳定的。

通过根轨迹分析，可以进行系统参数的调整和优化，以提高系统的稳定性。

第四章：稳定性优化为了提高闭环控制系统的稳定性和性能，需要进行稳定性优化。

稳定性优化包括调节控制器参数、降低稳态误差、提高系统带宽等方法。

4.1 控制器参数调节控制器参数调节是控制系统稳定性优化的一种方法。

非线性控制系统的稳定性分析与控制第一章引言1.1 研究背景随着科学技术的不断发展，非线性控制系统在各个领域中得到了广泛应用，包括航空航天、自动化控制、机器人技术等等。

与线性控制系统相比，非线性控制系统具有更强的适应性和稳定性，能够应对各种复杂的控制问题。

然而，非线性控制系统的分析和控制具有一定的挑战性，因此需要进行稳定性分析和控制方法的研究。

1.2 研究目的本文的主要目的是探讨非线性控制系统的稳定性分析与控制方法，为相关领域的研究和应用提供指导和参考。

第二章非线性控制系统基础知识2.1 非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系的系统。

与线性系统相比，非线性系统的行为更加复杂，具有多变性、不确定性和时变性等特点。

2.2 非线性控制系统的建模非线性控制系统的建模是研究非线性系统的基础，常用的建模方法有物理建模、数学模型、仿真建模等。

第三章非线性控制系统的稳定性分析3.1 Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是一种常用的非线性控制系统稳定性分析方法，通过构建Lyapunov函数来判断系统的稳定性。

3.2 极限环与周期解极限环和周期解是非线性控制系统中常见的稳定性现象，通过分析系统的周期运动特征，可以判断系统的稳定性。

第四章非线性控制系统的稳定性控制方法4.1 反馈线性化反馈线性化是一种常用的非线性控制系统稳定性控制方法，通过将非线性系统转化为等效的线性系统，并设计线性控制器来实现系统的稳定。

4.2 滑模控制滑模控制是一种基于滑模面的稳定性控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，实现非线性系统的稳定控制。

第五章非线性控制系统的应用与展望5.1 航空航天领域中的应用非线性控制系统在航空航天领域中具有广泛的应用，如飞行器稳定性控制、飞行轨迹规划等。

5.2 机器人技术中的应用非线性控制系统在机器人技术中也得到了广泛应用，如机器人路径规划、姿态估计等。

5.3 发展趋势与展望随着科技的进步和需求的不断增长，非线性控制系统的研究和应用前景十分广阔，未来可以进一步探索非线性控制系统的稳定性分析和控制方法，以应对更加复杂的控制问题。

第三章时域分析法3.1 引言333.2 线性系统稳定性分析3.3 一阶系统的时域分析343.4 二阶系统的时域分析3.5 线性系统的误差分析线差析3.1控制系统分析3.13.1 引言引言是指一个实际系统的数学模型建立后，对系统的稳定性、瞬态响应和稳态误差进行分析，判断其性能指标是否满足要求。

时域分析法是从系统的微分方程入手，求解系统的微分方程，由输出的时间响应来分析系统性能，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。

本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；以及计算系统稳态误差的方法。

稳定性若控制系统在初始条件或扰动作用下，其瞬态响z应随着时间的推移而逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐进稳定，简称稳定；反之，若系统的瞬态响应随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。

z控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，于外加信号无关。

z劳斯判据瞬态响应z瞬态响应（动态响应）：一个稳定系统，在典型信号作用下从初始状态到稳态的过渡过程。

z分析方法•直接求解法——得到系统输出y(t)表达式。

•间接评价法——通过与系统的结构、参数有联系的时域性能指标来评价系统的品质，受到广泛使用。

•——计算机仿真法可对复杂的、高阶的、多变量的系统求解y(t)，直接得到各种指标。

稳态响应z指系统在典型信号作用下，当时间t→∞, 系统输出量的表现方式，又称为稳态过程；z稳态响应可以提供系统有关稳态误差（精度）的信息；z从数学形式上看，是令系统响应中所有衰减模态趋于0的形式；§3-2控制系统的稳定性§3-2 控制系统的稳定性在控制系统的分析研究中，首要的问题是系统的稳定性问题。

不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而振荡甚至发散。

因此，不稳定的系统是无法正常工作的。