2021年高考数学总复习高频考点全套复习宝典(精华版)

太全了2021高考数学热门考点笔记《小确历》里收录了一句话“闲暇使人看清自己”本老师一直认为，“空窗期”非常重要，平日里忙于应付各种各样的学习任务，很难静下心来思考自己的学习方法、学习计划有没有问题。

复习期间，你有反思过自己学习中，有哪些“非知识性”问题嘛？如果还没有，也可以借今天这篇高考数学热门考点笔记做自我评测、反思。

高考数学热点笔记目录1．高考数学重难点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。

难点：函数、数列、圆锥曲线。

2．高考数学考点：（1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。

（2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。

（3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。

（4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最简三角方程。

（5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。

（6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。

（7）直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。

（8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。

（9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。

（10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。

（11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。

高一到高三所有知识点总结大全1、高一数学必修1123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩2、函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

2021届⾼考数学总复习⼀轮复习资料⽬录专题1 集合与常⽤逻辑⽤语1§1.1 集合的概念与运算1§2 命题及其条件、充分条件与必要条件2§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词3专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ5§1 函数及其表⽰5§2 函数的单调性与最值7§3 函数的奇偶性与周期性8§4 ⼆次函数与幂函数9§5 指数与指数函数11§6 对数与对数函数12§7 函数的图像15§8 函数与⽅程17§9 实际问题的函数建模18专题3 导数及其应⽤20§1 导数的概念及运算20§2 导数的应⽤222.1 导数与函数的单调性222.2 导数与函数的极值、最值23§3 定积分与微积分基本定理26专题4 三⾓函数、解三⾓形27§1 任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数27§2 同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式29§3 三⾓函数的图像与性质31§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应⽤32§6 简单的三⾓恒等变换35§7 正弦定理、余弦定理36§8 解三⾓形的综合运⽤37 专题5 平⾯向量39§1 平⾯向量的概念及线性运算39§2 平⾯向量基本定理及坐标表⽰41§3 平⾯向量的数量积42§4平⾯向量应⽤举例43专题6 数列44§1 数列的概念与简单表⽰法44§2 等差数列及其前n项和46§3 等⽐数列及其前n项和47§4 数列求和49专题7 不等式50§1 不等关系与不等式50§2 ⼀元⼆次不等式及其解法52§3 ⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题53§4 基本不等式及其应⽤55专题8 ⽴体⼏何与空间向量57§1 简单⼏何体的结构、三视图和直观图57§2 空间图形的基本关系与公理59§3 平⾏关系61§4 垂直关系64§5 简单⼏何体的⾯积与体积66§6 空间向量及其运算68§7 ⽴体⼏何中的向量⽅法707.1 证明平⾏与垂直707.2 求空间⾓和距离72专题9 平⾯解析⼏何74§1 直线的⽅程74§3 圆的⽅程78§4 直线与圆、圆与圆的位置关系80§5 椭圆82§6 抛物线84§7 双曲线86§8 曲线与⽅程88§9 圆锥曲线的综合问题90专题10 计数原理99§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理99§2 排列与组合100§3 ⼆项式定理102专题11 统计与统计案例104§1 随机抽样104§2 统计图表、⽤样本估计总体106§3 变量间的相关关系、统计案例108专题12 概率、随机变量及其分布110§1 随机事件的概率110§2 古典概型113§3 ⼏何概型115§4离散型随机变量及其分布列116§5 ⼆项分布及其应⽤118§6离散型随机变量的均值与⽅差、正态分布120专题13 推理与证明、算法、复数122§1 归纳与类⽐122§2综合法与分析法、反证法124§3 数学归纳法126§4 算法与算法框图128§5 复数130专题14 系列4选讲132§1 ⼏何证明选讲1321.1 相似三⾓形的判定及有关性质1321.2 直线与圆的位置关系133§2 坐标系与参数⽅程1342.1 坐标系1342.2 参数⽅程135§3 不等式选讲1363.1 绝对值不等式1363.2 不等式的证明138专题1 集合与常⽤逻辑⽤语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、⽆序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，⽤符号∈或∉表⽰.(3)集合的表⽰法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的运算4.集合关系与运算的常⽤用结论(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的⼦集个数为2n 个，⾮空⼦集个数为2n －1个，真⼦集有2n －1个. (2)A ⊆B A ∩B ＝A A ∪B ＝B . 典例例　设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.易易错分析　集合B 为⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易易忽视⽅方程⽆无解，即B ＝∅的情况，导致漏漏解. 解析　因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关集合⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋(或N *)ZQR关系⾃然语⾔符号语⾔Venn 图⼦集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或 B=A )真⼦集集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 中⾄少有⼀个元素不在集合A 中A ⊊B集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为⼦集A ＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.遗忘空集致误解得a＝1；②当B≠∅且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满⾜足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案　(－∞，－1]∪{1}温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是⾼考的⼀个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考⽣很容易忽视A＝∅⽽造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进⾏讨论.[⽅方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是⽆无序性和互异性在解题时经常⽤用到.解题后要进⾏行行检验，要重视符号语⾔言与⽂文字语⾔言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进⾏行行合理理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的⼜又⼀一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集，时刻关注对空集的讨论，防⽌止漏漏解.3.解题时注意区分两⼤大关系：⼀一是元素与集合的从属关系；⼆二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进⾏行行集合交、并、补运算的常⽤用⽅方法，其中运⽤用数轴图示法时要特别注意端点是实⼼心还是空⼼心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与⽅法系1.等价转化思想在充要条件中的应⽤列典例例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成⽴的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成⽴立；当a≠0时，由得0<a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成⽴立的充分不不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案　(1)A　(2)A温馨提醒　(1)本题⽤到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对⼀些复杂、⽣疏的问题，利⽤等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常⽤到.[⽅方法与技巧]1.写出⼀一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的⼏几种判断⽅方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利利⽤用A B与┐B ┐A；B A与┐A ┐B；A B与┐B ┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，⼀一般运⽤用等价法.(3)利利⽤用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当⼀一个命题有⼤大前提⽽而要写出其他三种命题时，必须保留留⼤大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，⼀一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的⽅方向，正确理理解“p的⼀一个充分⽽而不不必要条件是q”等语⾔言.§3 简单的逻辑连接词、全称量量词与存在量量词1.全称量量词与存在量量词(1)常见的全称量词有“所有”“每⼀个”“任何”“任意⼀条”“⼀切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“⾄少有⼀个”“有⼀个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“⾮”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：p q┐p┐q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假1.常⽤逻辑⽤语及其应⽤⼀一、命题的真假判断典例例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成⽴，则－4<m<0，那么( )A.“┐p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析　由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成⽴立，所以命题q为假命题.综上可知：┐p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案　C温馨提醒　判断与⼀元⼆次不等式有关命题的真假，⾸先要分清是要求解⼀元⼆次不等式，还是要求⼀元⼆次不等式恒成⽴(有解、⽆解)，然后再利⽤逻辑⽤语进⾏判断.⼆二、求参数的取值范围典例例　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案　[e,4]温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要⾸先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利利⽤用逻辑推理理解决实际问题典例例　(1)甲、⼄、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市⽐⼄多，但没去过B城市；⼄说：我没去过C城市；丙说：我们三⼈去过同⼀城市.由此可判断⼄去过的城市为________.(2)对于中国⾜球参与的某次⼤型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国⾮第⼀名，也⾮第⼆名； ⼄：中国⾮第⼀名，⽽是第三名； 丙：中国⾮第三名，⽽是第⼀名.竞赛结束后发现，⼀⼈全猜对，⼀⼈猜对⼀半，⼀⼈全猜错，则中国⾜球队得了第________名.解析　(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但⽐比⼄乙去的城市多，⽽而丙说“三⼈人去过同⼀一城市”，说明甲去过A ，C 城市，⽽而⼄乙“没去过C 城市”，说明⼄乙去过城市A ，由此可知，⼄乙去过的城市为A .(2)由上可知：甲、⼄乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对⼀一半者也说了了错误“命题”，即只有⼀一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国⾜足球队得了了第⼀一名. 答案　(1)A (2)⼀温馨提醒　在⼀些逻辑问题中，当字⾯上并未出现 “或”“且”“⾮”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题⽬进⾏逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从⽽解决问题.[⽅方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字⾯面上未出现“或”、“且”时，要结合语句句的含义理理解.2.要写⼀一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律律是“改量量词，否结论”. [失误与防范]1.p 或q 为真命题，只需p 、q 有⼀一个为真即可；p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真.2.两种形式命题的否定p 或q 的否定：⾮非p 且⾮非q ；p 且q 的否定：⾮非p 或⾮非q . 3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定⽽而得到的命题，它既否定其条件，⼜又否定其结论；“命题的否定”即“⾮非p ”，只是否定命题p 的结论.专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ§1 函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个⾮空数集设A ，B 是两个⾮空集合对应关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都存在唯⼀确定的数f (x )与之对应集合A 与B 间存在着对应关系f ，⽽且对于A 中的每⼀个元素x ，B 中总有唯⼀的⼀个元素y 与它对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是⼀个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作⾃变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表⽰法表⽰函数的常⽤⽅法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同⼦集上，因对应关系不同⽽分别⽤⼏个不同的式⼦来表⽰，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由⼏个部分组成，但它表⽰的是⼀个函数. 4.常⻅见函数定义域的求法典例例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成⽴的x 的取值范围是________. (2)(2015·⼭山东)设函数f (x )＝则满⾜f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞) 解析　(1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8].(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥，∴≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥，故选C.答案　(1)(－∞，8]　(2)C温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，⾸先要确定⾃变量的范围，然后选定相应关系式代⼊求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求⾃变量的值或⾃变量的取值范围时，应根据每⼀段解析式分别求解，但要注意检验所求⾃变量的值或取值范围是否符合相应段的⾃变量的值或取值范围. (3)当⾃变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同⼦集进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]类型x 满⾜的条件，n ∈N ＋f (x )≥0与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋，k ∈Z2.分类讨论思想在函数中的应⽤1313x2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进⾏行行.3.函数解析式的⼏几种常⽤用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数⽆无论分成⼏几段，都是⼀一个函数，求分段函数的函数值，如果⾃自变量量的范围不不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值典例例　(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能⽤用定义.应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0⽐比较⼤大⼩小.(2)将函数不不等式中的抽象函数符号“f ”运⽤用单调性“去掉”是本题的切⼊入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明　设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分]f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0 f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解　∵m ，n ∈R ，不不妨设m ＝n ＝1，增函数减函数定义在函数f (x )的定义域内的⼀个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是减少的图像描述⾃左向右看图像是上升的⾃左向右看图像是下降的前提函数y ＝f (x )的定义域为D条件(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (4)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最⼤值M 为最⼩值1.确定抽象函数单调性解函数不等式∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1 －3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不不等式问题的⼀一般步骤：第⼀一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第⼆二步：(转化)将函数不不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运⽤用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成⼀一般的不不等式或不不等式组；第四步：(求解)解不不等式或不不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易易错点及解题规范.温馨提醒　本题对函数的单调性的判断是⼀个关键点.不会运⽤条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破⼜.第⼆个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[⽅方法与技巧]1.利⽤定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常⽤⽅法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利⽤单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常⽤求法：单调性法、图像法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不不同的区间上单调性相同，⼀一般要分开写，⽤用“，”或“和”连接，不不要⽤用“∪”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，⼀般都按照定义严格进⾏，⼀般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既⾮奇⾮偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最⼩正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在⼀个最⼩的正数，那么这个最⼩正数就叫做f (x )的最⼩正周期.典例例　(1)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝则满⾜不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________. 易易错分析　(1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了了1－x 2>0导致解答失误. 解析　(1)∵f (－x )＝＝， ∴f (－x )＋f (x ) ＝ ＝.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )， 则 即得x ∈(－1，－1).答案　(1)±1　(2)(－1，－1)温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利⽤特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应⾼度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的⼤⼩关系.③弄清最终结果取并集还是交集.[⽅方法与技巧]1.判断函数的奇偶性，⾸先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的⼀个必要条件.2.利⽤函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应⽤. [失误与防范]1.f (0)＝0既不不是f (x )是奇函数的充分条件，也不不是必要条件.应⽤用时要注意函数的定义域并进⾏行行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进⾏行行判断，不不可以利利⽤用函数在定义域某⼀一区间上不不是奇偶函数⽽而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 ⼆二次函数与幂函数1.⼆二次函数(1)⼆次函数解析式的三种形式 22.忽视定义域致误②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)⼆次函数的图像和性质 2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是⾃变量，α是常数. (2)幂函数的图像⽐较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 典例例　已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最⼩值.思维点拨　参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开⼝口⽅方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答解　(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开⼝口⽅方向向上，且对称轴为x ＝. ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在[0，]上递减，在[，1]上递增. 解析式f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x ∈上单调递减； 在x ∈上单调递增在x ∈上单调递增； 在x ∈上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－对称思想与⽅法系列3.分类讨论思想在⼆次函数最值中的应⽤②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开⼝口⽅方向向下， 且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝温馨提醒　(1)本题在求⼆次函数最值时，⽤到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进⾏讨论，又对对称轴进⾏讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：⼀是分类的标准要⼀致，⼆是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不⽆原则的分类讨论.(2)在有关⼆次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]1.⼆二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜⽤用⼀一般式.(2)已知⼆二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤大(⼩小)值有关的量量时，常使⽤用顶点式. (3)已知⼆二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选⽤用零点式求f (x )更更⽅方便便. 2.研究⼆二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的⼆二次函数，要进⾏行行分类讨论. 3.利利⽤用幂函数的单调性⽐比较幂值⼤大⼩小的技巧在⽐比较幂值的⼤大⼩小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进⾏行行⽐比较.[失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是⼆二次函数，就必须满⾜足a ≠0，当题⽬目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像⼀一定会出现在第⼀一象限内，⼀一定不不会出现在第四象限，⾄至于是否出现在第⼆二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点⼀一定是原点.§5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 (0),,m mn na a a m n +=>∈N m na −y ＝a x a >10<a <1图像典例例　(1)函数y ＝x －x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为__________________________．思维点拨　(1)求函数值域，可利利⽤用换元法，设t ＝x ，将原函数的值域转化为关于t 的⼆二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进⾏行行探求． 解析　(1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝x ，则t ∈， 故y ＝t 2－t ＋1＝2＋.当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝u 在R 上为减函数，∴函数的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间． ⼜又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案　(1)　(2)(－∞，1]温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利⽤换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[⽅方法与技巧]1．通过指数函数图像⽐较底数⼤⼩的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进⾏⽐较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，⼀定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合⽽成． [失误与防范]1．恒成⽴立问题⼀一般与函数最值有关，要与⽅方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，⼀一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的⽅方程或不不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)是R 上的增函数(7)是R 上的减函数4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应⽤用2211()()2x x f x −++=2211()()2x x f x −++=作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝ (a ，b 均⼤于零且不等于1)； ②log a b ＝，推⼴log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称. 典例例　(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <c D.a <c <b(2)设a ＝log 2π，b ＝，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨　(1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或⽐比商法确定a ，b 的⼤大⼩小关系，然后利利⽤用中间值⽐比较a ，c ⼤大⼩小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利利⽤用中间变量量和c ⽐比较.(3)化为同底的指数式. 解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；log m n a M log a Na a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数2.⽐比较指数式、对数式的⼤大⼩小12log π2log3.454log 3.653log 0.31()5。

2021年高考数学三轮考点总动员专题1.7 概率与统计、推理与证明、算法文（含解析）1．古典概型计算三注意：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．4. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．5.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；6.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设个数分别为、、、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设个数分别为、、、，则()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；7.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量、无关系；3）求 ；4）把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.8.综合法与分析法的关系（1）分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．9.算法(1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“＝”．1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由五个小球随意的取出两个，共有10种情况，其中符合情况（1,2）；（1,6）；（2,4）三种.所以所求概率是.故选D.【要点回扣】1.分类的思想.2.古典概型.2．从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为A． B． C． D．【答案】B【要点回扣】利用古典概型求随机事件的概率.3．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是．【答案】【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且，又，，所以；【要点回扣】1．几何概型；2．互斥事件；4．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x,y），则点P的坐标满足不等式的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】满足不等式组的区域如图内部（含边界），由于直线与垂直，与圆的公共部分如图阴影部分是圆，则点落在圆内的概率为.【要点回扣】1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.5．已知研究与之间关系的一组数据如下表所示，则对的回归直线方程必过点（）A． B． C． D．【答案】D【要点回扣】线性回归方程的定义6．在样本频率分布直方图中，样本容量为，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，且则中间一组的频数为．【答案】32【解析】设中间一组频数为x，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则另外10组频数为，因为样本容量为160，所以，所以．【要点回扣】频率分布直方图．7．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图0 1 2 31 3 5 7（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．【答案】25【解析】由题可知，区间在［2500，3000）之间出现的频率为，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有；【要点回扣】频率分布直方图的计算8．执行右边的伪代码后，输出的结果是．【答案】28【解析】试题分析：i=1,x=4;1<10成立，x=6,i=4;4<10成立，x=14,i=7;7<10成立，x=28,i=10;10<10不成立，所以输出的x的值为28；【要点回扣】算法与程序语句；9．执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是 .【答案】【解析】该程序框图的功能是求的值域，当时，；当时，；所以输出的所在区间是.【要点回扣】1.程序框图；2.分段函数的值域.10．定义某种运算，的运算原理如右图：则式子_________.【答案】14【解析】由于，故，，故，故结果是14.【要点回扣】新定义在程序框图的应用.11.正偶数列有一个有趣的现象：①；②；③按照这样的规律，则xx在第个等式中。

2021年高考数学高频考点1、集合与简易逻辑〔1〕对集合运算、集合有关术语与符号、在集合问题中逆求参数值问题、集合的简单应用、命题真假的断定、四种命题间的关系、充要条件的断定等根底知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，一般难度不大，属于根底题；〔2〕以函数与方程、三角函数、不等式、向量、圆锥曲线等知识为内核，以集合语言和符号语言为外在表现形式，结合简易逻辑知识考察数学思想与方法，多以解答题形式出现，这类题往往具有“稳中求新〞、“稳中求活〞等特点． 押猜题1对于集合M 、N ，定义{}N x M x x N M ∉∈=-且,|，)()(M N N M N M --=⊕ .设{}7,6,5,4,3,2,1=A ，{}10,9,8,7,6,5,4=B ，那么=⊕B A 〔 〕 A.{}7,6,5,4B.{}7,6,5,4,3,2,1 C.{}10,9,8,7,6,5,4 D.{}10,9,8,3,2,1 解析 由题意，{}{}{}10,9,8,3,2,1,10,9,8,3,2,1=⊕∴=-=-B A A B B A .应选D. 点评 此题是一道信息迁移题，弄懂N M -及N M ⊕的本质含义并掌握集合的根本运算是正确求解的关键. 押猜题2命题:P 不等式0]1)1(lg[>+-x x 的解集为}10{<<x x ；命题:Q 在三角形ABC 中，B A ∠>∠是)42(cos )42(cos 22ππ+<+B A 成立的必要而非充分条件，那么〔 〕A ．P 真Q 假B ．P 且Q 为真C ．P 或者Q 为假D ．P 假Q 真解析 依题意，由0]1)1(lg[>+-x x 得,0,11)1(2>-∴>+-x x x x 解得,10<<x 所以命题P正确；在三角形ABC中，⇔>⇔∠>∠B A B A sin sin)2cos()2cos(B A +->+-ππ),24(cos )24(cos 1)24(cos 21)24(cos 22222B A B A +<+⇔++->++-⇔ππππ所以命题Q 是假命题.应选A.点评 此题以命题真假的判断为载体，考察解不等式和三角形中的三角变换，值得考生细细品味.2021年高考数学高频考点2、函数 命题动向函数既是高中数学最重要的根底知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考察的内容是丰富多彩的，考察的方式是灵敏多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考察函数的根底知识和根本方法，以解答题的形式考察函数的综合应用． 押猜题3)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的∈x R 都有),()2(x f x f -=+假设当]2,0[∈x 时，),1lg()(+=x x f 那么有〔 〕A ．)27()1()23(f f f >>-B ．)1()27()23(f f f >>- C ．)27()23()1(f f f >-> D ．)23()1()27(->>f f f 解析 )(),()2()22()()2(x f x f x f x f x f x f ∴=+-=++⇒-=+ )(x f 是定义在R上的偶函数，那么),()(x f x f =-那么),23()23(f f =- ),21()21()27(f f f =-=因为当]2,0[∈x 时，)1lg()(+=x x f 为增函数，故).27()1()23(f f f >>-应选A.点评 此题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考察，是高考命题者惯用的手法，充分表达了高考选择题的“小、巧、精、活〞的特点，是一道难得的好题. 押猜题4〔理〕函数.)1ln()1()(22x x x f +-+= 〔1〕求函数)(x f 的单调区间；〔2〕假设当]1,11[--∈e e x 时〔其中 71828.2=e 〕，不等式m x f <)(恒成立，务实数m的取值范围；〔3〕假设关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，务实数a 的取值范围.解析 因为,)1ln()1()(22x x x f +-+=所以.12)1(2)(x x x f +-+='〔1〕令120]11)1[(212)1(2)(-<<-⇒>+-+=+-+='x x x x x x f 或者0>x ，所以)(x f 的单调增区间为)1,2(--和),0(+∞；令010]11)1[(212)1(2)(<<-⇒<+-+=+-+='x x x x x x f 或者,2-<x所以)(x f 的单调减区间为)0,1(-和).2,(--∞〔2〕令0012)1(20)(=⇒=+-+⇒='x x x x f 或者,2-=x 函数)(x f 在]1,11[--e e上是连续的，又,2)1(,1)0(,21)11(22-=-=+=-e e f f e e f 所以，当]1,11[--∈e e x 时，)(x f 的最大值为.22-e故]1,11[--∈e e x 时，假设使m x f <)(恒成立，那么.22->e m〔3〕原问题可转化为：方程2)1ln()1(x x a +-+=在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根.令,)1ln()1()(2x x x g +-+=那么,121)(x x g +-='令,0)(='x g 解得：,1=x当)1,0(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴<'在区间)1,0(上单调递减， 当)2,1(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴>'在区间)2,1(上单调递增. )(x g 在0=x 和2=x 处连续，又,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(-=-==g g g且,19ln 34ln 2<-<-∴当]2,0[∈x 时，)(x g 的最大值是)(,1x g 的最小值是.4ln 2-∴在区间]2,0[上方程a x x x f ++=2)(恰好有两个相异的实根时，实数a 的取值范围是：.9ln 34ln 2-≤<-a点评 此题考察导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分表达了导数的工具和传接作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题〞或者“压轴题〞的位置，具有较好的区分和选拔功能.〔文〕函数)(x f y =与函数)(1x f y -=互为反函数，且函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，假设0)1(=f ，那么)2010(1-f =〔 〕A ．0B ．1C ．2009-D ．2010-解析 求得函数)1(+=x f y 的反函数为,1)(1-=-x f y 又函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，所以)2010(,1)()1(111---∴-=+f x f x f .2009201012010)0(2)2008(1)2009(111-=-=-==-=-=---f f f 应选C.点评 此题是以“年份〞为背景的代数推理题，挖掘出1)()1(11-=-+--x f x f 是解题的关键，是推理的根底，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度.2021年高考数学高频考点3、数列 命题动向数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的根底，它蕴含着高中数学的四大思想及累加〔乘〕法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等根本数学方法；本部分内容在高考中的分值约占全卷的10％~15％，其中对等差与等比数列的考察是重中之重． 近年来高考对数列知识的考察大致可分为以下三类：〔1〕关于两个特殊数列的考察，主要考察等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前n 项和公式等，多以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于中低档题；〔2〕与其他知识综合考察，偶然结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等知识考察，以最值与参数问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现，一般难度比拟大，多为压轴题，并强调分类讨论与整合、转化与化归等数学思想的灵敏运用；〔3〕数列类创新问题，命题形式灵敏，新定义型、类比型和探究型等创新题均有出现，既可能以选择题、填空题形式出现，也可能以压轴题形式出现． 押猜题5b a b a +,,为等差数列ab b a ,,,为等比数列，且,1)(log 0<<ab m 那么m 的取值范围是〔 〕A ．1>mB ．8>mC ．81<<mD ．810><<m m 或解析 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠⋅=++=.0,0,,22b a ab a b b a a b 解得⎩⎨⎧==.4,2b a 所以,8log )(log m m ab =由18log 0<<m 得.8>m 应选B.点评 此题考察等差数列和等比数列的概念和性质，将简单对数不等式的解法融入其中考察表达了学科内知识的交汇性. 押猜题6 〔理〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,41=a,2)1(2--+=n n na S n n *).,2(N n n ∈≥ 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设数列}{n b 满足：,41=b 且*),(,2)1(21N n b n b b n n n ∈---=+求证：*),2(N n n a b n n ∈≥>；〔3〕求证：.)11()11)(11)(11(31544332e b b b b b b b b n n <+++++解析 〔1〕当*,3N n n ∈≥时，,2)1(2--+=n n na S n n,2)2)(1(2)1(11---+-=--n n a n S n n两式相减得：,221)1(1⨯----=-n a n na a n n n*).,3(11N n n a a n n ∈≥=-∴-.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，⎩⎨⎧∈≥+==*).,2(1),1(4N n n n n a n 〔2〕①当2=n 时，,31422212a b b =>=-=不等式成立. ②假设当*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时， ,222)1(2222)1(2)1(21+≥=-+>->-+-=---=+k k k b k b b b k b b k k k k k k所以当1+=k n 时，不等式也成立. 根据①、②可知，当*,2N n n ∈≥时，.n n a b >〔3〕设).,0(,)1ln()(+∞∈-+=x x x x f 那么,01111)(<+-=-+='x x x x f∴函数)(x f 在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*,2N n n ∈≥时，,1111+=<n a b n n,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n21114131)11ln()11ln()11ln(14332+-+++-<++++++∴+n n b b b b b b n n,312131<+-=n.)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+点评 此题是数列、数学归纳法、函数、不等式等的大型综合题，衔接自然，表达流畅，毫无拼凑的痕迹，情景新颖，具有较好的区分度，入口较宽，要求学生具有一定的审题、读题才能，一定的等价变形才能，同时还要求学生具有较高的数学素养和数学灵气.该题已到达高考压轴题的水准.〔文〕函数)(x f 对任意实数q p ,都满足：),()()(q f p f q p f ⋅=+且.31)1(=f 〔1〕当∈n N*时，求)(n f 的表达式；〔2〕设∈=n n nf a n )((N*),n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求证：43<n S ；〔3〕设∈+=n n f n nf b n ()()1(N*),设数列}{n b 的前n 项的和为n T ，试比拟n T T T T 1111321++++ 与6的大小.解析 〔1〕,31)1(),1()()1(=⋅=+f f n f n f∈=+∴n n f n f )((31)1(N*), )(n f ∴是以31)1(=f 为首项，以31为公比的等比数列，,)31(31)(1-⨯=∴n n f 即∈=n n f n ()31()(N*). 〔2〕,)31(n n n a = ,)31()31)(1()31(3)31(2311132n n n n n S +-++⨯+⨯+⨯=- ① ,)31()31)(1()31(3)31(2)31(1311432++-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②①－②得：132)31()31()31()31(3132+-++++=n n n n S1)31(311])31(1[31+---=n n n ,)31(])31(1[211+--=n n n .)31(2)31(4343n n n n S --=∴∈n N*,.43<∴n S〔3〕,31)()1(n n f n nf b n =+=,6)1(2)1(31+=+⨯=∴n n n n T n).111(61+-=∴n n T n).111(6)11141313121211(61111321+-=+-++-+-+-=++++∴n n n T T T T n∈n N*,.61111321<++++∴nT T T T点评 此题是函数与数列的交汇综合题，表达了在知识交汇点处设计试题的高考命题思想.其中第〔1〕问所用的“赋值法〞，第〔2〕问所用的“错位相减法〞，第〔3〕问所用的“裂项相消法〞等是高考必考的重要方法和技巧. 2021年高考数学高频考点4、三角函数 押猜题7关于函数),42sin()(π-=x x f 有以下命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；③函数)(x f 的图象可由函数x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位得到； ④存在),0(πα∈，使得)3()(αα+=+x f x f 恒成立.其中正确的命题序号是_________.〔将你认为正确的命题序号都填上〕解析 对于),42sin()(π-=x x f 有,22)0(-=f而对于),42cos()(π+=x x f 那么有,22)0(=f 所以①错误；因为,1)8(-=-πf 所以②正确；)42sin()(π-=x x f)()],8(2sin[x f x π-=的图象是由x x g 2sin )(=的图象向右平移8π个单位得到的，所以③错误；因为π是函数的最小正周期，取,2πα=所以④②④.点评 此题给出多个命题，要求答题者对每个备选命题判断其真伪性，填写上满足要求的命题序号.这是近年出现的新题型，属于选择题中的多项选择题，排除了“唯一性〞中“猜〞的成份，多个结论的开放加大了问题的难度，必须对每个备选命题逐一研究其真伪性，才能探究出正确答案，这类题型考察容量大，多项选择或者少选一个全题皆错. 押猜题8在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设)1,2(sin 2CB m +=，)4,272(cos +=A n ，且n m //.〔1〕求角A 的度数；〔2〕当3=a ，23=∆ABC S 时，求边长b 和角B 的大小.解析 (1)272cos 2sin 4,//2+=+∴A C B n m ，027)1cos 2()]cos(1[22=---+-∴A C B .01cos 4cos 4,cos )cos(2=+-∴-=+A A A C B ，即0)1cos 2(2=-A ，就是21cos =A .又︒<<︒1800A ，︒=∴60A .〔2〕232321,sin 21=⨯∴=∆bc A bc S ABC ，即2=bc .①在ABC ∆中，由余弦定理，得bc c b A bc c b a -+=-+=22222cos 2,33)(2=-+=bc c b 9)(2=+∴c b ，即3=+c b .② 由①、②解得⎩⎨⎧==12c b ，或者⎩⎨⎧==21c b .当2=b 时，由正弦定理得︒=∴=⨯=90,1sin sin B b a AB ；当1=b 时，A B a b b a A B <∴<=⨯=,,21sin sin ，︒=∴30B .综上，︒==90,2B b 或者︒==30,1B b . 点评 此题是一道用平面向量“包装〞的三角题，考察三角形中的三角函数问题，其中正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等的参与，给此题增色添彩.此题难易适中，能有效稳定考生的考试情绪，吊起考生的解题胃口.2021年高考数学高频考点5、平面向量命题动向平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的根本定理及坐标运算、数量积及非零向量的平行与垂直等．平面向量的加减运算将平面向量与平面几何联络起来；平面向量的根本定理是平面向量坐标表示的根底，它提醒了平面向量的根本构造；平面向量的坐标运算，将平面向量的运算代数化，实现了数与形的严密结合．平面向量来源于理论，又应用于实际，是高中数学中的知识工具，应该给予重视．本部分内容在高考中的命题热点是：向量加减法的坐标运算；向量加减法的几何表示；实数与向量的数乘的根本运算；实数与向量积的坐标运算．押猜题9ABC ∆的外接圆的圆心为O ，且,3,4ππ==B A 那么、OBOA ⋅、OC OB ⋅ OA OC ⋅的大小关系是〔 〕 A ．OA OC OC OB OB OA ⋅<⋅<⋅ B ．OB OA OA OC OC OB ⋅<⋅<⋅ C ．OA OC OB OA OC OB ⋅<⋅<⋅ D ．OC OB OA OC OB OA ⋅<⋅<⋅ 解析 设ABC ∆的外接圆的半径为R ， 那么,2cos ,2cos 22A R OC OB C R OB OA =⋅=⋅.2cos 2B R OA OC =⋅ 由得,2π<<<C B A 所以,sin sin sin 0C B A <<<所以,sin 21sin 21sin 21222C B A ->->- 即,2cos 2cos 2cos C B A >>所以.OB OA OA OC OC OB ⋅>⋅>⋅应选D.点评 涉及三角形中的向量的数量积问题，常常可以考虑利用向量的数量积的定义、正弦定理、余弦定理来解决.押猜题10向量c b a ),0,1(),1,1(==满足0=⋅c a且.0>c 假设映射,),(),(:c y a x y x y x f +=''→那么在映射f 下，向量)sin ,(cos θθ〔其中)R ∈θ的原象的模为________.解析 设),,(n m c =那么由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>=+=+.0,2,022m n m n m 解得).1,1(,1,1-=∴⎩⎨⎧-==c n m),1,1()1,1()sin ,(cos -+=y x θθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-=+∴).sin (cos 21),cos (sin 21.sin ,cos θθθθθθy x y x y x.22])sin (cos )cos [(sin 412222=-++=+∴θθθθy x 故应填.22点评 此题考察平面向量的坐标运算和三角变换的根本技能，其中映射的参与使此题显得新颖别致，韵味十足.2021年高考数学高频考点6、不等式命题动向不等式是解决初等数学问题的重要工具，它既可以解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程相结合来解决代数、几何及各实际应用领域中的问题．在高考注重HY 和创新的今天，对不等式应用的考察所占比重越来越大，在高考卷中，不等式应用越来越普遍地浸透到考题之中，既可以通过小题考察不等式根底知识和根本公式的应用，也可以在大题、压轴题中考察学生的逻辑思维和综合解决问题的才能．押猜题11 设,0,0<<b a 以下不等式：①b b a a -->；②b a ab ab +>2；③22234b ab b a ->+；④224>+ab ab 中恒成立的是〔 〕A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析 对于①，由0,0<<b a 得,,0b a b a b a b a +>-+>≥-即;a b b a >--对于②，由0,0<<b a 得b a ab ab b a ab ab +>+>>2,20恒成立；对于③，,0)2()34(2222≥-=--+b a b ab b a 因此22234b ab b a -≥+；对于④，由0,0<<b a 得,0>ab ,224424>=⋅≥+ab ab ab ab 即224>+ab ab 恒成立.因此，不等式②④恒成立.应选D.点评 此题考察不等式的性质和不等式证明的根本方法，是一道中规中矩，注重通性通法的根底题.2021年高考数学高频考点7、直线和圆的方程命题动向直线在高考中的考察热点之一是与直线有关的根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、截距、夹角、到角、两直线平行与垂直的条件等〕与根本公式〔如过两点的斜率公式、两点间的间隔 公式等〕，二是求不同条件下的直线方程．近几年高考对圆的考察有以下几种形式：考察位置关系，重点是直线与圆的位置关系；考察求解圆的方程；利用圆的参数方程求最值或者范围问题．在以解析几何问题为主的大题中圆与直线及圆锥曲线的综合问题也占有一定的比重．这类试题所考察的数学思想与方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想及换元法、待定系数法等．线性规划的考察特点：一是以选择题、填空题形式将直线方程、不等式、最值等内容融为一体，考察线性规划的根底知识与根本应用；二是将线性规划与实际生活或者其他知识结合而命制试题，考察考生的综合素质.押猜题12假设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=-y x 对称，动点),(b a P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0002y my kx y kx 所表示的平面区域的内部及边界上运动，那么12--=a b ω的取值范围是〔 〕A ．),2[]2,(+∞--∞B ．),2()2,(+∞--∞C ．]2,2[-D ．)2,2(-解析 由题意可知直线1+=kx y 与直线0=-y x 垂直，所以1-=k ，由题意知圆心)2,2(m k C --在直线0=-y x 上，可求得1-=m .那么不等式组即为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+--.0,0,02y y x y x 其所表示的平面区域如图中阴影部分所示，12--=a b ω的几何意义是点)2,1(Q 与平面区域上的点),(b a P ,2=OQ k ,2-=AQ k 所以ω的取值范围为：).,2[]2,(+∞--∞ 应选A.“等价转化〞的数学思想，将位置关系转化为求斜率范围的问题.2021年高考数学高频考点11、概率与统计〔文理科〕高频考点11 概率与统计〔仅限理科〕命题动向从近年高考来看，数学试卷中有关“概率与统计〞的试题有如下特点：1．重点突出．事件的概率着眼于随机现象的部分问题，而随机变量的概率分布、期望与方差那么着眼于随机现象的整体和全局问题．今年高考试卷的考察重点仍然是随机变量的分布列、期望与方差，并且大多安排在解答题的位置上．2．情境新颖．设计新颖的试题情境，既表达了数学试题源于生活、兴趣性强、时代气息浓重、人文特点鲜明的特点，又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境，给更优秀的学生提供一个展示自我的平台，这些题目都源于生活，对考生具有亲和力．3．注重整合．“概率与统计〞是大学统计学的根底，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点．如何将它们与传统的数学知识进展整合，预计今年的高考试题会在这方面做一些有益的尝试．4．重视教材．概率统计试题通常是通过改编课本原题，对其中的根底知识重新组合、变式和拓展，从而加工为一道立意高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的试题．5．特别要注意的是高考多以“正态分布〞相关内容为题材设计试题．正态分布的命题一般以选择题、填空题的形式出现，考察的知识有两种根本类型：①利用给出的HY正态分布表或者题设条件中的概率，求ξ在某个范围内取值时的概率；②利用正态分布密度曲线，根据密度曲线的性质，求ξ在某个范围内取值时的概率．押猜题20袋子A 和B 中分别装有假设干个质地均匀大小一样的红球和白球，从A 中摸出一个球，得到红球的概率是31，从B 中摸出一个球，得到红球的概率为p .〔1〕假设A 、B 两个袋子中的球数之比为1：3，将A 、B 中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是43，求p 的值；〔2〕从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，假设累计3次摸到红球即停顿，最多摸球5次，5次之内〔含5次〕不管是否有3次摸到红球都停顿摸球，记5次之内〔含5次〕摸到红球的次数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.解析 〔1〕A 、B 两个袋子中的球数之比为1：3，∴设袋子A 中有m 个球，那么袋子B 中有m 3A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ，∴袋子A 中有m 31个红球，袋子B 中有mp 3个红球.A 、∴B 中的球混装在一起后，一共有红球mp m 331+个，∴98,434331==+p m mp m 解得. 〔2〕随机变量ξ的取值为0，1，2，3. 那么24332)311()0(505=-⨯==C P ξ； 24380)311(31)1(415=-⨯⨯==C P ξ；24380)311()31()2(3225=-⨯⨯==C P ξ；811731)311()31(31)311()31()311()31()3(22242230333=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯==C C C P ξ.∴随机变量ξ的分布列是：ξ的数学期望8113138117224380124380024332=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .点评 此题考察概率、期望的相关知识，处理这类题目时要注意三点：①分析要准确，找出随机变量可能的取值，不能多也不能少；②公式记忆要准确；③计算要准确.高频考点11' 统计〔侧重文科〕命题动向从近年高考来看，数学试卷中有关“统计〞的试题有如下特点：1．情境新颖．设计新颖的试题情境，既表达了数学试题源于生活、兴趣性强、时代气息浓重、人文特点鲜明的特点，又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境，给更优秀的学生提供一个展示自我的平台，这些题目都源于生活，对考生具有亲和力．2．注重整合．“统计〞是大学统计学的根底，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点．如何将它们与传统的数学知识进展整合，预计今年的高考试题会在这方面做一些有益的尝试．3．重视教材．统计试题通常是通过改编课本原题，对其中的根底知识重新组合、变式和拓展，从而加工为一道立意高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的试题．4．特别要注意的是以“抽样方法〞相关内容为题材设计试题，已成为部分命题的载体. 押猜题21经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢〞、“不喜欢〞和“一般〞三种态度，其中执“一般〞态度的比“不喜欢〞态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，假如选出的有5位“喜欢〞摄影的同学、1位“不喜欢〞摄影的同学和3位执“一般〞态度的同学，那么全班学生中“喜欢〞摄影的比全班人数的一半还多________人.解析 设班里学生对摄影“喜欢〞的有y 人，“一般〞的有x 人，“不喜欢〞的有)12(-x 人，那么,3112=-x x ,18=∴x 又,3518=y .30=∴y∴全班一共有学生5461830=++(人)，又325430=-(人).∴“喜欢〞摄影的人数比全班人数的一半还多3人.故应填3.点评 此题考察分层抽样中的有关计算，抓住“抽样比〞是关键.此类问题是高考文科数学经常涉及的考点，不容无视.2021年高考数学高频考点12、极限命题动向数学归纳法是中学数学的根本方法，也是历届高考的常考点，其命题形式比拟灵敏，假设以选择题、填空题形式出现，主要考察的是数学归纳法的本质以及求证要点；假设以解答题形式出现，常与数列、不等式、函数等综合考察，可用“观察——归纳——猜测——证明〞的思维形式解答，属于中高档题，甚至可能以压轴题的形式考察．极限包括数列极限和函数极限两类，是近年高考的常考点，多考察“极限的求法〞、“极限值，逆求参数值或者范围〞、“函数连续性问题〔函数极限〕〞、“函数连续性与数列极限结合问题〞等，可能以选择题、填空题的形式出现，偶然以解答题某一小问的形式出现，一般属于中低档题．押猜题21i 是虚数单位，且函数⎩⎨⎧--=x a i i x f cos 2)1()(2)0()0(>≤x x 在R 上连续，那么实数a 等于________. 解析 假设函数⎩⎨⎧--=x a i i x f cos 2)1()(2)0()0(>≤x x 在R 上连续，那么函数在0=x ,22)1(22=-=-i i i 所以应有,2)cos 2(lim 0=-→x a x 即,20cos 2=-a 所以.4=a 故应填4.点评 此题在复数代数运算的根底上，根据连续函数的定义和左右极限相等即可得到关于a 的方程，问题便迎刃而解.2021年高考数学高频考点13、导数命题动向在近几年的高考试卷中有关导数应用的试题所占的比重都很大，且大多以解答题的形式出现．导数是高考命题的一个重要载体，通过导数可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的综合考察．求解导数应用方面的试题浸透着各种重要的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、等价转化等思想，所以导数的应用是高考的一个热点，在复习中应引起足够重视.押猜题22〔理〕函数∈++-=a x ax x a x f (ln )(22R). 〔1〕我们称使=)(x f 0成立的x 为函数的零点.证明：当1=a 时，函数)(x f 只有一个零点；〔2〕假设函数)(x f 在区间),1(+∞上是减函数，务实数a 的取值范围.解析 〔1〕当1=a 时，x x x x f ln )(2++-=，其定义域为〔0，+∞〕，x x x x x x f 12112)(2---=++-='，令=')(x f 0，解得21-=x 或者,1=x 又0>x ，故1=x .当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时, 0)(<'x f .所以函数)(x f 在区间)1,0(上单调递增，在区间),1(+∞上单调递减，当1=x 时，函数)(x f 获得最大值，即,0)1()(max ==f x f 故函数)(x f 只有一个零点.〔2〕因为ax x a x x f +-=22ln )(，其定义域为〔0，+∞〕，所以=+-='a x a x x f 221)(x ax ax x ax x a )1)(12(1222-+-=++-.①当0=a 时，01)(>='x x f ，∴)(x f 在区间〔0，+∞〕上为增函数，不合题意.②当0>a 时，)0(0)(><'x x f 等价于a x x ax ax 1),0(0)1)(12(>>>-+即，此时)(x f 的单调减区间为〔a 1，+∞〕.依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>≤.0,11a a 解之得.1≥a③当0<a 时，)0(0)(><'x x f 等价于),0(0)1)(12(>>-+x ax ax 即,21a x ->此时)(x f 的单调减区间为).,21(+∞-a 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧<≤-.0,121a a 解之得.21-≤a综上所述，实数a 的取值范围是).,1[]21,(+∞--∞点评 此题是函数的综合题，考察了函数及其性质、导数及其应用、不等式等根底知识.导数是研究函数性质的有力工具，在讨论极值、单调性、不等式等有关问题时，要充分发挥导数的工具作用.第〔2〕问将问题转化为二次不等式问题，涉及到对参数a 分类讨论，此类试题的解法一定要纯熟掌握.〔文〕函数d cx bx x x f +++=23)(有两个极值点,2,121==x x 且直线16+=x y 与曲线)(x f y =相切于P 点.〔1〕求b 和c ；〔2〕求函数)(x f y =的解析式；〔3〕当d 为整数时，求过P 点和曲线)(x f y =相切于一异于P 点的直线方程.解析 〔1〕设直线16+=x y 与曲线d cx bx x y +++=23相切于点),(00y x P . d cx bx x x f +++=23)( 有两个极值点,2,121==x x于是.693)2)(1(323)(22+-=--=++='x x x x c bx x x f从而.6,29=-=c b〔2〕由〔1〕可知,629)(23d x x x x f ++-=注意到),(00y x P 为切点， 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=+=.6693,629,1602002030000x x d x x x y x y ③②① 由③求得00=x 或者,30=x 由①②联立知.2913020x x d -+=当00=x 时，1=d ；当30=x 时，.229=d1629)(23++-=∴x x x x f 或者.229629)(23++-=x x x x f 〔3〕由〔2〕知当d 为整数时，1=d 符合条件，此时P 点坐标为),1,0(设过)1,0(P 的直线1:+=kx y l 和162923++-=x x x y 相切于另一点),,(11y x 那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+=.693,1629,112112131111x x k x x x y kx y ⑥⑤④由④⑤及01≠x 可知：,x x x kx 121311629+-=即.629121+-=x x k 再联立⑥可知,693629121121+-=+-=x x x x k 又,01≠x,491=∴x 此时.1615=k 故所求切线方程为：.11615+=x y点评 此题主要考察导数的工具性和传接性.第〔1〕问抓住两个极值点是方程0)(='x f 的两个根即可；第〔2〕问注意区分“过某点的切线〞和“在某点处的切线〞是正确求解的前提；第〔3〕问注意新增的限制条件再按第〔2〕问的思路推理即可.此题符合考试大纲导数部分对文科考生的要求.。

预测13 计数原理及二项式定理概率预测☆☆☆☆☆题型预测选择题☆☆☆☆填空题☆☆考向预测1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、考查二项展开式的通项公式1r n r rr nT C a b-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用.1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、考查二项展开式的通项公式1r n r rr nT C a b-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用.1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr nT C a b-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.一、排列、组合1. 分类加法计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋m n__种不同的方法．2. 分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝__m 1×m 2×…×m n __种不同的方法．3. 排列与排列数(1)排列：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的__一个排列__．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的__排列数__，用符号__A mn __表示．(3)排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·3·2·1＝n ！，规定0！＝1． 4. 组合与组合数(1)组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的__一个组合__．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的__组合数__，用符号__C m n __表示．(3)组合数公式：C mn ＝A m n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！(n ，m ∈N *，并且m ≤n )．(4)组合数的性质：性质1：C m n ＝C n －mn ．性质2：C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n ．性质3：m C m n ＝n ·C m －1n －1． 二、 二项式定理1· 二项式定理的展开式公式：(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C k n (k ＝0，1，…，n )叫做二项式系数，式中的C k n an －k b k叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即T k ＋1＝C k n an －k b k． 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n ．一、杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n． (3)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大； 当k ＞n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(4)各二项式系数的和：(a ＋b)n 的展开式的各项二项式系数之和为2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n .(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1．二、排列、组合的方法技巧 1、特殊位置、特殊元素优先安排 2、插空法 3、捆绑法1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．202．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种3．【2020年高考北京】在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为 A ．5- B ．5C ．10-D ．104．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．6．【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．7．【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 8．【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．9．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）11．【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 12．【2018年高考浙江卷】二项式831()2x x+的展开式的常数项是__________． 13．【2018年高考天津卷理数】在5()2x x-的展开式中，2x 的系数为__________．14．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值．一、单选题1、（2021·连云港·一模）3．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为A ．12B ．24C ．36D ．48 2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．1123、（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛ ⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x4、（江苏省盐城市2020-2021学年高三模拟）若二项式12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为（ ） A ．60 B ．120 C ．160D ．2405、（江苏省连云港市2021届高三调研）()()42231x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）.A ．16B ．18C ．20D ．24二、多选题6、（2021·江苏省滨海中学高三月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ） A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 7、（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）若()()20202320200123202012x a a x a x a x a x x -=+++++∈R ，则（ ）A ．01a =B ．20200242020312a a a a +++++=C ．20201352019312a a a a -++++=D ．320201223202012222a a a a ++++=- 8、（2021·江苏常州市·高三期末）若()()()220121+1++1nn n x x x a a x a x a x +++=++++，且121125n a a a n -+++=-，则下列结论正确的是（ ）A ．6n =B ．()12nx +展开式中二项式系数和为729 C ．()()()21+1++1nx x x +++展开式中所有项系数和为126D ．12323321n a a a na ++++=9、（2021·扬州·一模）9.在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的有( )A ．所有项的二项式系数和为128B ．所有项的系数和为0C ．系数最大的项为第4项和第5项D ．存在常数项 三、填空题10、（山东省2020-2021学年高三调研）若2nx⎛⎝的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．11、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）在6⎛⎝的展开式中，常数项等于____．12、（2021·盐城、南京·一模）14．100(1的展开式中有理项的个数为 ．13、（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；135a a a ++=___________.14、（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.。

2021年高三数学复习资料2021年高三数学复习资料1考纲要求1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法.2021年高三数学复习资料2考纲要求1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.考纲研读近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．(2)基本不等式的应用：一是侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件；二是用于求函数或数列的最值.2021年高三数学复习资料31.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

一、考前必记的50个知识点1.集合(1)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A=B和A⫋B两种情况,两者必居其一,若存在x∈B且x∉A,说明A≠B,只能是A⫋B.②集合相等的两层含义:若A⊆B且B⊆A,则A=B;若A=B,则A⊆B且B⊆A.任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.②含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.(2)集合之间关系的判断方法①A⫋B⇔A⊆B且A≠B,类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A⫋B或A=B,类比于a≤b⇔a<b或a=b.③A=B⇔A⊆B且A⊇B,类比于a=b⇔a≤b且a≥b.(3)集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.(4)集合之间的运算:A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,不要忽略A=⌀的情况;A∩B=⌀时,不要忽略A=⌀或B=⌀.2.常见关键词及其否定形式3.充分、必要条件记p,q对应的集合分别为A,B,则有①A⫋B,p是q的充分不必要条件;②A⫌B,p是q的必要不充分条件;③A=B,p是q的充要条件;④A⊈B且A⊉B,p是q的既不充分也不必要条件.4.函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数,那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数,那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合.(3)如果f(x)是偶次根式函数,那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合.(4)如果f(x)是对数函数,那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合.(5)如果f(x)是由几个代数式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合.(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数,则要结合实际情况考虑函数的定义域.5.函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法:二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型.(2)判别式法:分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为x2A(y)+xB(y)+C(y)=0的形式,再利用判别式加以判断.(3)换元法:无理函数、三角函数(用三角代换)等,如求函数y=2x-3+的值域.(4)数形结合法:函数和其几何意义相联系的函数类型,如求函数y=的值域.(5)不等式法:利用几个重要不等式及推论求最值,如a2+b2≥2ab,a+b≥2(a,b为正实数).(6)有界性法:一般用于三角函数类型,即利用sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1]等.(7)分离常数法:适用于解析式为分式形式的函数,如求y=的值域.6.函数奇偶性的性质(1)f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);(2)f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);(3)定义域含0的奇函数满足f(0)=0.7.函数周期性的几个结论由“函数f(x)满足f(x)=f(a+x)(a≠0),则f(x)是周期为a的周期函数”得:(1)函数f(x)满足-f(x)=f(a+x)(a≠0),则f(x)是周期T=2a的周期函数;(2)若f(x+a)=(a≠0)成立,则T=2a;(3)若f(x+a)=-(a≠0)恒成立,则T=2a;(4)若f(x+a)=f(x-a)(a≠0)成立,则T=2a.8.指数函数与对数函数解y=a x(a>0且a≠1)y=log a x(a>0且a≠1)析式定R(0,+∞)义域值(0,+∞)R域图象关系互为反函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性当0<a<1时,在R上是减函数;当a>1时,在R 上是增函数当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数;当a>1时,在(0,+∞)上是增函数提醒直线x=1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即为底数值,直线y=1与所给对数函数图象的交点的横坐标即为底数值.9.函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.这个c也就是方程f(x)=0的根.口诀:函数零点方程根,数形本是同根生,函数零点端点判,图象连续不能忘.(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(3)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.10.导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x.②(ln x)'=(x>0),(log a x)'=(x>0,a>0,且a≠1).③(e x)'=e x,(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1).(2)导数的四则运算法则①(u±v)'=u'±v'.②(uv)'=vu'+v'u⇒(cv)'=cv'(c为常数).③'=(v≠0).提醒(1)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.(2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(x n)'=nx n-1中n∈Q,(cos x)'=-sin x.(3)注意公式不要用混,如(a x)'=a x ln a,而不是(a x)'=xa x-1.(4)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即[u(x)±v(x)±…±w(x)]'=u'(x)±v'(x)±…±w'(x).(5)一般情况下,[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x),[f(x)·g(x)]'≠f'(x)+g'(x),'≠,'≠f'(x)-g'(x).11.利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果f'(x)<0,那么f(x)在该区间内为减函数;如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在该区间内为常函数.12.极值与最值(1)判断极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)是极小值.提醒(1)可导函数在极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x3,x=0就不是极值点,但f'(0)=0.(2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值.在x0处有f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值,函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值.(2)极值与最值的区别与联系①区别:函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值,最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个,也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值②联系:(ⅰ)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点;(ⅱ)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.13.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商的关系:tan α=α≠kπ+,k∈Z.提醒(1)公式常见变形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=±,cosα=±,sinα=cosαtanα,cosα=(α≠kπ,k∈Z)等.(2)对“同角”的理解:只要是同一个角,基本关系式就成立,不拘泥于角的形式,比如sin2α++cos2α+=1,tan3α=α≠,k∈Z等都成立,但sin2α++cos2α+=1就不一定成立.14.三角函数的诱导公式公式一:sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.公式五:sin-α=cos α,cos-α=sin α.公式六:sin+α=cos α,cos+α=-sin α.推广公式:sin+α=-cos α,cos+α=sin α,sin-α=-cos α,cos-α=-sin α.提醒奇变偶不变,符号看象限“奇、偶”指的是的倍数是奇数还是偶数.“变与不变”指的是三角函数名称的变化,“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦).“符号看象限”的含义是:把角α看作锐角,看n·±α(n∈Z)是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号.15.三角函数的图象变换(1)y=sin x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象(当φ<0时,则向右平移|φ|个单位长度).(2)y=sin x的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,得到y=sin ωx的图象.(3)y=sin x的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=A sin x的图象.提醒(1)由y=sinωx的图象经过平移变换得到y=sin(ωx+φ)的图象,平移的单位长度不是|φ|,而是.(2)函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化,所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律,一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析.16.三角函数的对称性(1)曲线y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z,对称轴方程为x=kπ+,k∈Z.(2)曲线y=cos x的对称中心为kπ+,0,k∈Z,对称轴方程为x=kπ,k∈Z.(3)曲线y=tan x的对称中心为,0,k∈Z,无对称轴.(4)求曲线y=A sin(ωx+φ)(或y=A cos(ωx+φ),y=A tan(ωx+φ))的对称中心(或对称轴),只需令ωx+φ等于对应的值,求出x即可.17.三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.tan(α±β)=(2)二倍角公式sin 2α=2sin αcos α.cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.tan 2α=.18.正弦定理、余弦定理及其推论(1)正弦定理=2R(R为△ABC外接圆的半径)⇔a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C⇔a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,b2=c2+a2-2ca cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.(3)三角形内角和定理在△ABC中,有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔⇔2C=2π-2(A+B).(4)三角形面积公式S△ABC=bc sin A=ac sin B=ab sin C(A,B,C是△ABC的三边a,b,c所对的角).19.平面向量(1)平面向量共线的坐标表示的两种形式①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1,此形式对任意向量a,b(b≠0)都适用.②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x2y2≠0,则a∥b⇔.需要注意的是可以利用来判定a∥b,但是反过来不一定成立.(2)有关数量积应用的常见结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:①a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.②|a|=.③cos<a,b>=.20.等差数列(1)等差数列的判断方法①定义法:a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.②通项公式法:a n=a1+(n-1)d(其中a1,d为常数,n∈N*)⇔{a n}为等差数列.③等差中项法:2a n+1=a n+a n+2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列.④前n项和公式法:S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.(2)等差数列前n项和的最大值、最小值的求法①通项公式法:当a1>0,d<0时,S n有最大值,可由a n≥0且a n+1≤0求得n,从而求出S n的最大值;当a1<0,d>0时,S n有最小值,可由a n≤0且a n+1≥0求得n,从而求出S n的最小值.②二次函数法:用求二次函数最值的方法求S n的最值.值得注意的是n∈N*,因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一个值,也有可能是两个值.21.等比数列的判断方法(1)定义法:=q(q为常数且q≠0,n∈N*)或=q(q为常数且q≠0,n≥2)⇔{a n}为等比数列.(2)等比中项法:=a n·a n+2(a n≠0,n∈N*)⇔{a n}为等比数列.(3)通项公式法:a n=a1q n-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{a n}为等比数列.提醒判断一个数列是否是等比数列,还有一种直观的判断方法,即前n项和公式法:若S n表示数列{a n}的前n项和,且S n=-aq n+a(a≠0,q≠0,q≠1),则数列{a n}是公比为q的等比数列.但此方法不能用于证明一个数列是等比数列.22.数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=a n,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数的限制.(2)利用数列的单调性求解,由不等式a n+1≥a n(或a n+1≤a n)求解出n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.(3)转化为关于n的不等式组求解:若求数列{a n}的最大项,则可解不等式组若求数列{a n}的最小项,则可解不等式组求出n的取值范围之后再确定取得最值的项.23.不等式的解法(1)分式不等式的解法分式不等式>0(或<0)的求解可应用同解原理,转化为整式不等式求解.>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);≥0(≤0)⇔提醒对于解分式不等式,将分式不等式转化成整式不等式时,如果不等式是含有等号的不等式形式,则很容易忘掉分母不为0的情形,从而导致出错;另一种可能出现错误的情形是在将两边进行平方时,容易扩大或缩小不等式的范围.(2)指数、对数不等式的解法①解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质,因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法.当然最终的目的是将它们转化为代数不等式,其主要类型和解法有: (ⅰ)a f(x)>aφ(x)⇔f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0<a<1).(ⅱ)log a f(x)>log aφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)或0<f(x)<φ(x)(0<a<1).②在解对数不等式时,要注意变形的等价性;也要注意底数大于零且不等于1,真数大于零的制约因素.(3)一元二次不等式的恒成立问题①在实数集R上,ax2+bx+c>0(<0)恒成立,则a>0(a<0),且Δ<0,反之也成立;ax2+bx+c≥0(≤0)恒成立,则a>0(a<0),且Δ≤0,反之也成立.②若一元二次不等式在某一区间上恒成立,则可结合相应二次函数的图象,判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置,列出不等式恒成立时满足的条件即可.③一般地,不等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题来解决.如f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a,f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.24.基本不等式(1)基本不等式的变形①根式形式:a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.②整式形式:ab≤2(a,b∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),(a+b)2≥4ab(a,b∈R),2≤(a,b∈R),以上不等式当且仅当a=b时,等号成立.③分式形式:≥2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.④倒数形式:a+≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.(2)利用基本不等式求最值①对于正数x,y,若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2.②对于正数x,y,若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值s2.③已知a,b,x,y为正实数,若ax+by=1,则有=(ax+by)=a+b+≥a+b+2=()2.④已知a,b,x,y为正实数,若=1,则有x+y=(x+y)=a+b+≥a+b+2=()2.提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”,即:①所求式中的相关项必须是正数;②求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值.求和x+y的最小值时,要看积xy是否为定值.求解时,常用到“拆项”“凑项”等解题技巧;③当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注意,缺一不可.25.空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积:S侧=cl(c是底面周长,l为侧棱长).正棱锥的侧面积:S侧=ch'(c是底面周长,h'为斜高).正棱台的侧面积:S侧=(c+c')h'(c,c'分别是上、下底面周长,h'为斜高).圆柱的侧面积:S侧=cl=2πrl(c是底面周长,l为母线长).圆锥的侧面积:S侧=cl=πrl(c是底面周长,l为母线长).圆台的侧面积:S侧=(c+c')l=π(r+r')l(c,c'分别是上、下底面周长,l为母线长).球的表面积:S=4πR2.(2)柱体的体积:V柱=Sh(S为底面积,h是柱体的高).锥体的体积:V锥=Sh(S为底面积,h是锥体的高).球的体积:V球=πR3=S表R.26.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为a正四面体高a的,外接球的半径为a正四面体高a的.27.证明空间位置关系的方法(1)线面平行:⇒a∥α,⇒a∥α,⇒a∥α.(2)线线平行:⇒a∥b,⇒a∥b,⇒a∥b,⇒c∥b.(3)面面平行:⇒α∥β,⇒α∥β,⇒α∥γ.(4)线线垂直:⇒a⊥b.(5)线面垂直:⇒l⊥α,⇒a⊥β,⇒a⊥β,⇒b⊥α.(6)面面垂直:⇒α⊥β,⇒α⊥β.提醒利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质,进行空间线面关系的相互转化.28.空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;(2)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0);(3)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(b≠0);(4)|a|=;(5)cos<a,b>=(a≠0,b≠0);(6)点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离d=||=.29.空间向量的应用(1)夹角公式:设非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>=.推论:(a1b1+a2b2+a3b3)2≤()().(2)异面直线所成的角:cos θ=|cos<a,b>|=,其中θ(0°≤θ≤90°)为异面直线a,b所成的角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量.(3)直线AB与平面α所成的角θ满足:sin θ=|cos<,m>|=(m是平面α的法向量).(4)二面角α-l-β的平面角θ满足:|cos θ|=|cos<m,n >|=(m,n分别是平面α,β的法向量).提醒在处理实际问题时,要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角,以确定角的大小.30.直线(1)直线方程的5种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线上一定点,k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+b k是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式=(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式=1a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为零)A,B都不为零时,斜率为-,在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为-任何位置的直线(2)两条直线的位置关系①已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2全不为0),则l1,l2相交⇔,l1∥l2⇔,l1,l2重合⇔.当A1,B1,A2,B2中有0时,应单独讨论.②直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0垂直⇔A1A2+B1B2=0.提醒讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况,当两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,它们也垂直.31.圆(1)圆的四种方程①圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).②圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).③圆的参数方程:(θ为参数).④圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).(2)直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)有相交、相离、相切三种情况.可从代数和几何两个方面来判断:①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0⇔相交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切;②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则d<r⇔相交;d>r⇔相离;d=r⇔相切.(3)圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0),则其位置关系的判断方法如下表:位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距d与r1,r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解032.椭圆标准方程=1(a>b>0)=1(a>b>0)图形续表标准方程=1(a>b>0)=1(a>b>0)几范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a何性质对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a);B1(-b,0),B2(b,0)轴线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴,长轴长为2a,短轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与长轴长的比值:e∈(0,1)a,b,c的关系b2=a2-c2提醒椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度,e的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的圆扁程度.因为a2=b2+c2,所以,因此,当e越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁;当e越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆.所以e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆.当且仅当a=b,c=0时,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.33.双曲线(1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程=1(a>0,b>0)=1 (a>0,b>0)图形几何性质范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率焦距与实轴长的比值:e∈(1,+∞)渐近线y=±xy=±xa,b,c的关系b2=c2-a2提醒①离心率e 的取值范围是(1,+∞).当e越接近于1时,双曲线开口越小;当e越接近于+∞时,双曲线开口越大.②满足||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹不一定是双曲线,当2a=0时,点P的轨迹是线段F1F2的中垂线;当0<2a<|F1F2|时,点P的轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是两条射线;当2a>|F1F2|时,点P的轨迹不存在.(2)双曲线方程与渐近线方程的关系①若双曲线的方程为=1,则渐近线的方程为=0,即y=±x.②若渐近线的方程为y=±x,即=0,则双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).③若所求双曲线与双曲线=1有公共渐近线,其方程可设为=λ(λ>0,焦点在x轴上;λ<0,焦点在y轴上).④焦点到渐近线的距离总是b.34.抛物线(1)抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0,0)焦点F,0F-,0F0,F0,-准线方程x=-x=y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R离心率e=1(2)抛物线焦点弦的常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为直线AB的倾斜角,则①焦半径|AF|=x1+,|BF|=x2+.②x1x2=,y1y2=-p2.③弦长|AB|=x1+x2+p=.④.⑤以弦AB为直径的圆与准线相切.⑥S△OAB=(O为抛物线的顶点).35.直线与圆锥曲线的位置关系(1)弦长的求解方法设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线AB的斜率存在(设为k),则|AB|=·|x1-x2|;若k≠0,则|AB|=·|y1-y2|,其中|x1-x2|=,|y1-y2|=.当直线AB的斜率不存在时,可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长.(2)圆锥曲线中的最值问题①利用圆锥曲线的定义进行转化,一般在三点共线时取得最值.②求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值,当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时,两平行线间的距离即为所求.③利用基本不等式求最值.36.频率与概率的区别与联系(1)区别①频率具有随机性,在不同的试验中,同一事件发生的频率可能不同;②概率是频率的稳定值,是一个确定的常数,不管进行多少次试验,同一事件发生的概率是不变的.(2)联系①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量;②概率可看作频率在理论上的期望值,随试验次数的增加,频率可近似地作为这个事件的概率.37.事件的关系与运算(1)包含关系:如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A,记作B⊇A(或A⊆B).(2)相等事件:如果B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.(3)并(和)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).(4)交(积)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).(5)互斥事件:若A∩B为不可能事件(即A∩B=⌀),那么称事件A与事件B互斥,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.(6)对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生.提醒互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外,还要求二者必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.38.概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B,则P(A)≤P(B).(3)必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B).注意没有事件A与事件B互斥这一条件时,这个公式不成立.(5)若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1.提醒当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易求时,可运用(5),即用间接法求概率.39.古典概型的概率公式如果随机事件A包含的基本事件数为m,总的基本事件数为n,则P(A)=.提醒求解古典概型问题的步骤(1)判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件A.(2)分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)=,求出事件A的概率.40.均值的相关结论(1)E(k)=k(k为常数).(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(5)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p.(6)若X服从二项公布,即X~B(n,p),则E(X)=np.提醒E(X)是一个常数,由X的分布列唯一确定,它描述X取值的平均状态,作为随机变量X 是可变的,可取不同的值.41.方差的相关性质结论(1)D(k)=0(k为常数).(2)D(aX+b)=a2D(X).(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2.(4)若X1,X2,…,X n两两独立,则D(X1+X2+…+X n)=D(X1)+D(X2)+…+D(X n).提醒①随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与离散程度,其中标准差与随机变量本身有相同的单位.②方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负的.42.二项分布与正态分布(1)条件概率的计算公式:当P(B)>0时,在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率为P(A|B)=;类似地,当P(A)>0时,在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率为P(B|A)=.(2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=p k(1-p)n-k,其中k=0,1,…,n.(3)①若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,其中φμ,σ(x)=(x∈R,σ>0).②正态分布密度函数的性质:函数图象关于直线x=μ对称;σ(σ>0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”;P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.997 3.③在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把正态分布的两个重要参数μ,σ求出,然后确定三个区间(范围):(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ),与已知概率值进行联系求解.43.排列数、组合数公式及其相关性质(1)排列数①公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m,n∈N*),=n!=n(n-1)(n-2)…2·1(n∈N*),②主要有两个作用:当m,n较大时,可使用计算器快速算出结果;对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.(2)组合数①公式(m≤n,n,m∈N*).②主要有两个作用:当m,n较大时,利用此公式计算组合数较为简便;对含有字母的组合数的式子进行变形或证明时,常用此公式.③组合数的性质(m≤n,n,m∈N*),(m≤n,n,m∈N*),+…++…+=2n,+…=+…=2n-1.44.求解排列组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题——“捆绑”法.(2)元素相间的排列问题——“插空”法.(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序”法,即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.(4)带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合(排列)问题——间接法,即先不考虑限制条件求出组合(排列)数,再排除不符合要求的组合(排列)数.45.二项式定理(a+b)n=a n+a n-1b+…+a n-r b r+…+b n(n∈N*),这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,它一共有n+1项,其中各项的系数(r=0,1,…,n)叫做二项式系数,式中的a n-r b k叫做二项展开式的通项,用T r+1表示,即通项为展开式的第r+1项:T r+1=a n-r b r(其中0≤r≤n,k∈N,n∈N*).提醒(1)(a+b)n的二项展开式的第r+1项是a n-r b r,(b+a)n的二项展开式的第r+1项是b n-r a r.(2)二项式系数与项的系数是两个完全不同的概念,二项式系数与a,b的值无关,项的系数不仅与项数有关,也与a,b的值有关.46.两种抽样法类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等;②每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体较少分层抽样将总体分成几层,分层按比例进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成提醒用分层抽样法抽样时,各层抽样标准要一致,互不重叠;各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即为.47.变量间的相关关系线性相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度的,|r|的值越接近于1,说明变量之间的线性相关程度越高;|r|的值越接近于0,说明变量之间的线性相关程度越低.当两个变量的关系可用一次函数表示时,r=±1,若斜率为正,r=1,否则r=-1.r为正时表示正相关,r为负时表示负相关.48.线性回归方程的求解步骤(1)利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系.(2)列表求出x i y i.(3)利用相应公式计算.(4)写出线性回归方程.提醒回归直线一定经过样本点的中心(),据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性.49.独立性检验的基本方法一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表如表:y1y2总计x1a b a+b。

2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全)()(B )u u uB C A C A A==）{|B x x ={|u A x x =∈自然数集有理数集实数集R，在进行四则运算时，可以把三、算法、推理与证明向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

cos b ，e e λμ+。

若为,x y 轴上的单位正交向量，(,)λμ就是向量a 的坐标。

坐标表示λ存在唯一实数算律 a b b a +=+a b -的三角形法则。

1(a b x x -=-.MN ON OM =-.a λ为向量，λa a λ=。

()()a a a μλμμλ==+()a b a b λλλ+=+与数乘运算有同样的坐标表示。

·cos ,a b a b =＜＞11·a b =2·=?··a a a a b a b ≤。

2a x y =+1212x x y y +·b?····a b a a b c a c b =+=+（）在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且三边），且S S ==2:1。

O 为ABC △所在平OA OB OC OA OB ==⇔=的外心。

···HA HB HB HC HC HA H ==⇔是ABC △的重心。

··AB AC BC BA LA IB AB AC BC BA CA CB ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪-=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭···0a LA b IB c IC ++=⇔是△ABC 的内心。

ABC △的外心O ，垂心H，重心G····()S S S p m n m n p =++）角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与五、函数、基本初等函数I的图像与性质2⎪⎭()f a x =+22⎪⎪⎭⎭指数函数2y a=01a〈〈(),-∞+∞单调递减，01,001x y x y〈〈〉〈〈时时函数图象过定点（0.1）1a〉(),-∞+∞单调递增，01,01x y x y〈〈〈〉〉时0时六、函数与方程、函数模型及其应用函数零点概念方程()0f x=的实数根。