随机模型在现实世界中, 不确定现象是普遍存在的. 例如, 漂浮在液面上的微小粒子不断地进行着杂乱无章运动, 粒子在任一时刻的位置是不确定的; 又如公共汽车站等车的人数在任一时刻也是不确定的, 因为随时都可能有乘客的到来和离去. 这类不确定现象, 表面看来无法把握, 其实, 在其不确定的背后, 往往隐藏着某种确定的概率规律, 因此, 以概率和数理统计为基础的随机模型就成为解决此类问题最有效的工具之一.依随机规律是否随时间的变化而变化, 随机时模型可分为静态和动态两类, 前者只涉及到随机变量(向量)的概率分布及其数字特征, 后者则要处理随机过程和随机微分方程, 本讲章主要讨论前者.§1 电梯问题有r 个人在一楼进入电梯, 楼上有n 层, 设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望.分析: 对于此问题, 容易想到该问题为离散随机变量求数学期望的问题, 既然求电梯需停次数的数学期望, 那么电梯需停次数便为要定义的随机变量, 用X 表示, 显然X 的取值范围为}},min{,,2,1{n r ", 然后需计算}{i X P =, 那么所求的答案即为}{},min{1i X p i n r i =⋅∑=, 用上述思路求解电梯问题理论上完全正确, 然而我们却很难得到问题的一个简洁的表达式结果, 原因是古典概率}{i X P =的计算相当复杂, 而且要依据r , n 的不同情况具体来求. 下面我们看一些具体的例子,例1: 取2=r , 3=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{13211{1}33C P X ⋅=== 23222{2}33C P X ⋅=== 从而所求的解为35322311=⋅+⋅ 例2: 取3=r , 2=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{12311{1}24C P X ⋅=== 43222}2{33=−==X P 从而所求的解为47432411=⋅+⋅ 例3: 取3=r , 4=n 时, 此时X 的取值范围为}3,2,1{14311{1}416C P X ⋅=== 3433!6{3}416C P X ⋅=== 313443413!9{2}416C C P X −⋅−⋅=== 从而所求的解为1637166316921611=⋅+⋅+⋅ 上述三例是在r , n 给出具体数据的情况下的计算, 可以看出, 随着r , n 数据的增大, 计算变的愈加复杂, 且没有明显的规律可言. 而当r , n 未给出具体数据时, 用上述思路求解问题, 想要得到具体的表达式就更为困难.下面我们换个角度考虑该问题, 我们将电梯在第i 层是否停下来这一事件作为随机变量i Y , 1=i Y 表示停下来, 0=i Y 表示电梯未停, 其中i 取值为},,2,1{n ", 这样问题便转化为求i Y 的期望之和, 由题意容易得知电梯在任何楼层上是否停留这一概率完全相同即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=r r i n n n n Y )1(0)1(11 从而i Y 的期望即为r i nn Y E )1(1)(−−= 那么原问题的解即为]1(1[)(1r ni i n n n Y E −−⋅=∑= 显然要比刚才的方法来得简单, 而且得到了统一的表达式结果, 避免了用第一种方法在计算古典概率时对r , n 大小的具体讨论.我们用前面的三个例子验证上面的结论:例1中, 取2=r , 3=n 时, 得到的结果为35, 而 35])313(1[32=−−⋅ 例2中, 取3=r , 2=n 时, 得到的结果为47, 而 47])212(1[23=−−⋅例3中, 取3=r , 4=n 时, 得到的结果为1637, 而 1637])414(1[43=−−⋅ 通过电梯问题求解的讨论, 可以看出在解决带随机性现象的问题中, 方法的选取是非常重要的, 只有采取合适的方法才会事半功倍.§2钓鱼问题为了估计湖中鱼的数量, 先从湖中钓出r 条鱼做上记号后又放回湖中, 然后再从湖中钓出S 条鱼, 结果发现S 条鱼中有x 条鱼标有记号. 问应该如何估计湖中鱼的数量N ?分析与求解该问题就是要从第二次钓出的标有记号的鱼所占的比例估计出湖中鱼的数量. 首先我们假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的. 则第二次钓出的标有记号的鱼数X 是一个随机变量, X 服从超几何分布{}x s x r N r s NC C P X x C −−⋅== (*) 其中x 为整数, 且],min[)](,0max[s r x r N s ≤≤−−. 用),(N x L 表示(*)式的右端, 则取使),(N x L 达到极大值的N 作为N 的估计量. 直接对N 求导考察极值比较困难, 我们用比值法来研究),(N x L 的变化(,)(,)(,1)()()L x N N r N s A x N L x N N N r s x −−==⋅−−−− 22()()N r s N rs N r s N Nx−++=−++ (**) 从(**)式看出, 当且仅当xrs N <时, )1,(),(−>N x L N x L , 而当且仅当xrs N >时, )1,(),(−<N x L N x L . 因此),(N x L 在x rs 附近取得极大值, 于是N 的估计值N ˆ为][x rs 或[x rs +1, 取使得),(N x L 的值更大的一个即可.上面的求解方法实际上是运用了概率统计中的极大似然原理, 即现在这个事件发生了, 那么客观情况使得它最有可能发生.下面我们换个角度考虑上述问题, 既然假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的, 我们可以认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同, 即sx N r = 从而srx N =, 取整即与上述分析所得的结果完全相同. 从这一问题, 我们可以学到估计类似问题的一种实际操作方法.§3 广告中的数学在我们的现实生活中, 广告无所不在.广告给商家带来了丰厚的利润, 广告中蕴藏着诸多学问.以房产销售广告为例, 房产开发商为了扩大销售, 提高销售量, 通常会印制精美的广告分发给大家.虽然买房人的买房行为是随机的, 他可能买房, 也可能暂时不买, 可能买这家开发商的房子, 也可能买另一家开发商的房子, 但与各开发商的广告投入有一定的关联.一般地, 随着广告费用的增加, 潜在的购买量会增加, 但市场的购买力是有一定限度的.表3.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力.表3.1 广告投入与潜在购买力统计( 单位: 百万元)广告投入0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1购买力10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面从数学角度, 通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略, 并给出单位面积成本700元, 售价为4000元条件下的广告方案.模型假设(1) 假设单位面积成本为1p 元, 售价为2p 元, 忽略其他费用, 需求量r 是随机变量, 其概率密度为()p r .(2) 假设广告投入为p 百万元, 潜在购买力是p 的函数记作()s p ,实际供应量为y .模型建立开发商制定策略的好坏主要由利润来确定, 好的策略应该获得好的利润(平均意义下), 为此, 必须计算平均销售量()E x .0()()()y y E x rp r dr yp r dr +∞=+∫∫上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时, 取需求量等于供应量.因此, 利润函数为21()()R y p E x p y p =−−利用0()1p r dr +∞=∫得到2120()()()()yR y p p y p p y r p r dr =−−−−∫ ( 3.1)上式中, 第一项表示已售房毛利润, 第二项为广告成本, 第三项为未售出房的损失.模型求解为了获得最大利润, 只需对(3.1)式求导并令其为零, 设()R y 获得最大值时y 的最优值为*y , 则2120()()()0y dR y p p p p r dr dy=−−=∫因此, *y 满足关系式*2102()y p p p r dr p −=∫ ( 3.2) 通过(3.2)式知道, 在广告投入一定的情况下, 可以求出最优的供应量, 但依赖于需求量的概率分布.为使问题更加明确, 增加如下假设:(3) 假设需求量r 服从[0,()]U s p 分布, 即10()()()0r s p s p p r ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (3.3) 将(3.3)代人(3.2)得到212*()p p y s p p −= ( 3.4) 即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积.将( 3.4)式代入( 3.1)式, 得到最大利润为2212()(*)()2p p R y s p p p −=− ( 3.5) 对(3.5)式关于p 求导, 得驻点*p 满足的方程为22212'(*)()p s p p p =− ( 3.6) 因此, 只要知道了潜在购买力函数, 就可以给出最优的广告投入.下面根据开发商获得的相关数据, 来确定潜在购买力函数. 通过对表3.1数据分析, 得知其符合log istic 型曲线增长率, 经拟合得到52()10/(9)p s p e −=+ ( 3.7)记52221210()p l p p −=×− 将(3.7)式代入(3.6)式, 当1180l −>时, 求得*11ln(19ln 22p l l =−−−+ (3.8) 将120.0007,0.004p p ==代入(3.8)式得到*0.49p =(百万元).§4 报童的策略背景简介报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链管理中最重要的模型之一, 其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth 应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题, 1955年, Whitin 首次建立了受价格影响的报童问题模型. 目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用. 现在报童问题衍生出许多扩展问题.与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为: 报童每天早晨以单位批发价b 从报社买进报纸, 然后以单位零售价a 出售, 晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格c (c b a >>)处理掉. 同时假设:(1) 报童拥有购买足够多报纸的资金;(2) 报纸过剩只能以低于零售价的价格v 处理;(3) 报纸供应不足, 会遭受缺货惩罚;(4) 不计其他费用(如交通费、摊位费等).报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢? 显然, 报童应该根据市场需求量来确定订购量, 而市场需求量是随机的. 假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律, 我们就可以建立随机优化模型来求解报童问题了.报童每天清晨从报社购进报纸零售, 晚上将没有买掉的报纸退回. 每份报纸的购进价为元b, 零售价为a元, 退回价a−元, 退回一份报纸赔为c元,. 报童售出一份报纸赚bcb−元. 报童每天如果购进的报纸太少, 不够卖时会少赚钱, 如果购进的报纸太多, 卖不完时会赔钱. 试为报童筹划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最大?模型一问题分析报童应该根据需求量确定购进量, 而需求量是随机的,所以这是一个风险决策问题. 假定报童已经通过自己每天的卖报经验或其它渠道掌握了需求量的分布规律, 需求量r 为一连续型随机变量, 密度函数为)(r f ,假设每天的购进量为n , 由于需求量r 是随机的, 可以小于n 、等于n 或大于n , 这就导致报童每天的收入也是随机的, 所以作为优化模型的目标函数, 不能是报童每天的收入函数, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从概率论大数定律的观点看这相当于报童每天收入的期望值, 以下简称它为平均利润.模型建立显然, 若n r >, 则以a 价售出r 份报纸, 以c 价售出n r −份报纸, 若n r ≤, 则全部n 以a 价售出, 故平均利润为 0()[()()()]()n F n a b r b c n r f r dr =−−−−∫()()n a b nf r dr +∞+−∫ 0()()()()na b n a c n r f r dr =−−−−∫0()()()()n dF n a b a c f r dr dn=−−−∫ 由一元函数极值存在的必要条件可知()0dF n dn=, 得 0()n a b f r dr a c−=−∫ 而22()()()0d F n a c f n dn=−−<. 从而知满足上式的n 可以使平均利润达到最大. 易知上式等价于()()n nf r dr a b b cf r dr +∞−=−∫∫ 上式左边是报童订购n 份报纸时, 不能将它卖完的概率与能将它卖完的概率之比, 右边则表示卖出一份报纸的盈利与退回一份报纸亏损之比, 该式表明最优购进量是使这两个比相等的购进量.实例: 如3.0,6.0,1===c b a , 需求量r 服从正态分布)10,100(2N , 则当报童的订报量n 满足0()43()n nf r dr a b b c f r dr +∞−==−∫∫或等价于 04()7n a b f r dr a c −==−∫ 不难计算得到102n =时长期平均收益最大. 若3.0,6.0,2.1===c b a 此时 02()3na b f r dr a c −==−∫, 104n =时长期平均收益最大. 若2.0,6.0,8.0===c b a 此时01()3n a b f r dr a c −==−∫,96n =时长期平均收益最大.再如, a b −=0.3, b c −=0.1, 需求量r 为服从[2000,4000]上均匀分布的连续型随机变量, 其密度函数为1200020004000()0x f r ≤≤⎧=⎨⎩其它 由0()n a b f r dr a c−=−∫知, 2000()n f r dr ∫a b a c −=−=0.30.30.1+=0.75, 于是, 有 n -2000=1500, 因此, 报童的最优策略是订购3500份.模型二(报童问题)报童每天要到邮局去订报, 出售一份报纸可获得利润()A a b =−元, 但如卖不出退回邮局, 每份报纸要损失()B b c =−元. 根据以往经验, 得知每天需求量为k 份的概率为k p . 问报童每天应订购多少份报纸, 才能使它获利的期望值最大.如果卖报童问题中的顾客每天需求量X 是一个离散型随机变量, 设报童每天订购的份数为n 份, 于是有()k P X k p ==, 记出售一份报纸可获得利润()A a b =−(元)退回邮局一份报纸要损失()B b c =−(元)则报童每天的利润()f X 可用下列公式来表示:()()An X n f X AX n X B X n≥⎧=⎨−−<⎩ 因此报童获利的期望值为:()C n =0(())()()k E f X f k P X k ∞===∑=10[()]n k k k k n Ak n k B p Anp −∞==−−+∑∑ (4.1)报童需要做出的决策: 确定一个订购数n , 使得(())E f X 最大. 于是所求模型为10max ()[()]n k k k k n C n Ak n k B p Anp −∞===−−+∑∑我们采用边际分析法来求解, 也即利用价格结构来检验和判断在什么情况下, 再多订一份报纸是合算的.假设报纸订购数取n 份是合算的, 现考察再多订一份报纸是否合算, 也就是考察第n +1件报纸的利润期望值. 第n +1份报纸售出时, 获利为A 元, 售不出去时获利为B −元. 因此, 此时多订一份报纸的利润期望值为:()(1)()Ap B p A B p B +−−=+−其中(1)p P X n =≥+. 所谓合算, 就是利润期望值大于零.故由()0A B p B +−>, 可解得售出概率p 应满足下述不等式B p A B>+ (4.2) 其中100(1)()1()1n n i i n i i p P X n P X i P X i p ∞=+===≥+===−==−∑∑∑.即001nn i i i i B A p p A B A B ==−>⇒<++∑∑ 于是, 报纸的最佳订购量*n 应满足:*()B P X n A B≥>+, (4.3) 其中B A B+称为临界值. 那么, 最好的n 应满足(1)(),(1)()c n c n c n c n −≤+≤即10n n i i i i A p p A B −==≤≤+∑∑ 例如, 已知某种报纸每天需求量N j 的概率分布如下: 表1 需求量N j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P (N j ) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 每出售一份报纸, 可获利4角; 若当天卖不掉, 每份报纸将损失3角. 试问每日应进多少份报纸?因为我们引进了需求量随机变量X , 所以我们将表1作一点修改并就在表中进行计算, 如表2:表2n0 1 2 3 4 5 6 7 8P(X =n) 0.05 0.10 0.100.250.200.150.050.05 0.05 P(X≤n) 0.05 0.15 0.250.500.700.850.900.95 0.10 P(X≥n+1) 0.95 0.85 0.750.500.300.150.100.05 0.00现在本问题中, A=4, B=3,所以BA B+≈0.43, 在n=3时,P(X≥3+1)= 0.50满足式(3), 所以最佳订购量n*=4份.该模型也可以理解为单周期随机库存问题, 即假定在一个周期末库存的货物对下一个周期没有任何价值, 即模型适用于仅有一次机会存贮以供需求的产品如时装、新鲜食品、月饼等.§5 最佳订票问题一．问题提出在激烈的市场竞争中, 航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务. 公司承诺, 预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机, 可以乘坐下一班飞机或退票, 无需附加任何费用. 当然也可以订票时只订座, 登机时才付款, 这两种办法对于下面的讨论是等价的.设某种型号的飞机容量为n, 若公司限制预定n张机票, 那么, 由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机, 致使飞机因不满员飞行而利润降低, 甚至亏本, 如果不限制订票数量呢, 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时, 必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨. 公司不管以什么方式予以补救, 都会导致受到一定的经济损失, 如客源减少, 或挤到以后班机的乘客, 公司要无偿供应食突宿或者付给一定的赔偿金等. 这样, 综合考虑公司的经济利益, 必然存在一个恰当的订票数量和限额.假设飞机容量为300, 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费是机票价格的%10, 飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知, 比例系数为0.6, 乘客不按时前来登机的概率为0.03）, 请你:（1）建立一个数学模型, 给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标, 对上述预定票业务确定最佳的预定票数量.（2）考虑不同客源的不同需要, 如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务, 他们宁愿接受较高的票价; 而按时上下班的雇员或游客, 愿意以若不能按时前来登机, 则机票失效为代价, 换取较低额的票价. 公司为降低风险, 可以把后者作为基本客源. 根据这种实际情况, 制定更好的预订票策略.二.模型的假设及符号说明1、模型的假设①假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的.②假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量.③假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关.2、符号说明n: 飞机的座位数, 即飞机的容量;g: 机票的价格;f: 飞行的费用;b: 乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费;m: 售出的机票数;k: 已预订票的乘客不能前来登机乘客数, 即迟到的乘客数, 它是一个随机变量;p: 已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前k来登机的概率;p: 每位乘客迟到的概率;()m P j : 已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j 人的概率, 即社会声誉指标;S : 公司的利润;ES : 公司的平均利润.三.问题的分析及数学模型 1、问题的分析通过上面引进的符号易知, 赔偿费g b 1.0=, 习行费用ng f 6.0=, 每位乘客迟到概率03.0=p , 已预订票的m 个乘客中, 恰有k 个乘客不能按时前来登机, 即迟到的乘客数k 服从二项分布()p m B ,, 此时,(1)(0,1,2,,)k km k k m p C p p k m −=−="当n k m ≤−时, 说明k m −个乘客全部登机, 此时利润f g k m S −−=)(当n k m >−时, 说明有n 个乘客登机, 有n k m −−个乘客没有登上飞机, 即被挤掉了, 此时利润b n k m f ng S )(−−−−=根据以上的分析, 利润S 可表示为:⎩⎨⎧−<>−−−−−−≥≤−−−=)()()()(n m k n k m bn k m f ng n m k n k m fg k m S 迟到的乘客数1,,2,1,0−−=n m k "时, 说明有n k m −−个乘客被挤掉了;迟到的乘客数m n m n m k ,,1,"+−−=时, 说明已来的k m −个乘客全部登机了.于是平均利润∑∑−=−−=−−+−−−−=mnm k kn m k kpf g k m pb n k m f ng ES ])[())((1因为∑∑∑∑∑∑−−=−−=−−==−−=−=+−−−−=−−−−=−−101110)()()()()1)((])[(n m k kn m k k n m k km k kn m k kmnm k kkpgk gE p f mg f mg kp kp g p f mg pf g k m所以111(())()()()m n kk m n m n k kk k ES ng f m k n b pmg f mg f p gE k gkp−−=−−−−===−−−−+−−−−+∑∑∑1010(())(()())(())()()m n kk m n kk m E k g f ng f m k n b mg f gk pm E k g f b g m k n p −−=−−==−−+−−−−−−+=−−−+−−∑∑由于k m k kmk p p C p p n B k −−=)1(),,(~, 可知, 随机变量k的数学期望mp k E =)(, 此时,∑−−=−−−−+−−−=10)1()()()1(n m k k m k k mp p Cn k m g b f mg p ES2、数学模型通过以上对问题的分析, 可以在一定的社会声誉指标()m P j 范围内, 寻求合适的m , 根据Ng f 6.0=的关系, 使得目标函数f ES 达到最大, 即 1011max [(1)(1)()(1)]10.61[0.97 1.1(300)(1)]1180m n k km k m k m n k km k m k ES b p m m k n C p p f N g m m k C p p −−−=−−−==−−+−−−−=−−−−−∑∑下面考虑社会声誉指标.由于j k n m ++=, 所以j n m k −−=, 即当被挤掉的乘客数为j 时, 等价的说法是恰有j n m −−个迟到的乘客.公司希望被挤掉的乘客人数不要太多, 被挤掉的概率不要太大, 可用至少挤掉j 人的概率作为声誉指标, 相应地k 的取值范围为j n m k −−=,,2,1,0", 社会声誉指标()(1)m n jk k m k j m k P m C p p −−−==−∑四、模型求解为了对模型进行求解, 可以分别给定m , 比如,350,,306,305"=m , 计算f ES /, 同时, 给定j , 比如取5=j , 计算社会声誉指标()m P j , 从中选取使f ES /最大, 且社会声誉指标()m P j 小于等于某个α（比如取05.0=α）最佳订票数m .下面给出MATLAB 计算程序.%飞机最佳订票策略ch43 %文件名: ch43.m%m表示售出的票数; Es表示平均利润; p表示声誉指标; for m=305: 325sm=0;p=0;for k=0;m-305pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*0.03^k*0.97^(m-k);p=p+pp;sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);endEs=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1;mEspend执行后可输出以下结果:m ES P305 0.6436 9.2338e-005306 0.6490 9.3723e-004307 0.6543 0.0048308 0.6596 0.0167309 0.6649 0.0442310 0.6703 0.0952311 0.6756 0.1742312 0.6810 0.2796313 0.6864 0.4028314 0.6917 0.5314315 0.6971 0.6525316 0.7024 0.7566317 0.7078 0.8388318 0.7132 0.8890319 0.7185 0.9399320 0.7239 0.9661321 0.7293 0.9818322 0.7347 0.9907323 0.7400 0.9954324 0.7454 0.9979325 0.7508 0.9990从计算结果易见, 当m=309时, 社会声誉指标()53090.04420.05,p =<当m =310时, 社会声誉指标()53100.09520.05,p =>所以为了使尽/ES f 量大, 且要满足社会声誉指标()50.05,p m <则最佳订票数可取m =309.。
