二次根式第二课时

第课时
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
【重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
【难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】复习二次根式的乘法法则.
导入一:
化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC= m,BC=3 m,你能求出斜边AB的边长吗?在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== =.
在上面的问题中,你会计算的结果吗?学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.
[设计意图]创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?
学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.
2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.
(1)=,=;(2)=,=;
教师巡视学生举例和计算结果是否正确.
这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.
1.二次根式的除法
思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)=,=;
(2)=,=;
(3)=,=.
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
;;.
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
提问:二次根式的除法法则是什么?字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式除法的法则:
=(a≥0,b>0).
即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
追问:a,b的取值范围为什么不同?
学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.
[设计意图]运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.
思路二
,
.
提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢?
引导学生比较计算结果,发现规律.
因为=,=,所以=;因为=,=,所以=.
由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.明确二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).
尝试练习:
(教材例4)计算:
(1);(2)÷.
学生利用=(a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.
解:(1)===2.
(2)÷====3.
[设计意图]由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.
[知识拓展](1)当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷===2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者
被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.
2.商的算术平方根的性质
思路一
(1)=,=;
(2)=,=;
(3)=,=.
参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.
;; .
你认为=(a≥0,b>0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
[设计意图]让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.
思路二
学生阅读教材第8页内容:把=(a≥0,b>0)反过来,就得到=(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
(教材例5)化简:
(1);(2).
学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.
解:(1)==.
(2)===.
引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,
即=(a≥0,b>0).
[设计意图]鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展](1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于.(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如必须化成,防止出现=×这样的错误.
3.最简二次根式
化简:=;=.
学生独自练习后,教师讲解.
由于27可以分解为32×3,根据=·(a≥0,b≥0),则有=×=3,可以根据=(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有===.
追问:观察化简结果3和,它们有什么特点?自己可以再举例说明.
引导学生从上面两小题化简的过程来看:
(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;
(2)把被开方数中所含有的分母化去.
进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.
[知识拓展](1)在二次根式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个
二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.
4.例题讲解
(教材例6)计算:
(1);(2);(3).
先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.
解法1:(1)=====.
解法2:(1)===.
解:(2)======.
(3)===.
[解题策略]化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.
学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.
分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.
解:a=====.
[设计意图]通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解
和应用.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.=(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.
2.=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.如果一个二次根式满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.
1.下列计算正确的是()
A.==
B.==
C.===
D.=±=±
解析:当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于,因此===.故选C.
2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是()
A. B. C. D.
解析:=2,=2,=,均不是最简二次根式.故选A.
3.计算4÷2的结果是.
解析:4÷2=(4÷2)×=2×=2×3x=6x.故填6x.
4.计算:(1);(2);(3);(4).
解:(1)==.(2)==.(3)==.(4)=-=-=-1.
5.计算:(1)(y>0);(2)-÷;(3).
解:(1)==.(2)-÷=-=-3.(3)==.
第1课时
1.二次根式的除法
例1
2.商的算术平方根的性质
例2
3.最简二次根式
4.例题讲解
例3例4。