《二次根式》培优
一、知识讲解
1．根式中的相关概念
⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ n
n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1
）
()2
0a a =≥. （2
00 0 0a a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
当时，当时，当时.
3.二次根式的运算法则：
对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1
）(
a b =+ （2
)0,0a b ≥≥
（3
）)0,0a b =≥> （4
）
)0m
a =≥
（5）若0a b >>
>4. 分母有理化
（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.
（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式
.
互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.
二、习题讲解
基础巩固
1.化简：
（1
） （2
（3
（4
）
（5
（6
） 解：（1
）. （2
3. （3
）
（4
3
. （5
）
2
32
-
.
（6
）
2. 设y =
，求使y 有意义的x 的取值范围.
解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪
-≥⎨⎪->⎩，解得1221
x x x ⎧≥⎪⎪
≤⎨⎪>⎪
⎩，所以x 的取值范围为12
2x ≤≤.
3.（1）已知最简二次根式b
a = ，
b = . （2）已知
0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .
解：（1）由题知：2
322b a b b a -
=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.
（2）因为0
≥，2160m -≥0=
所以2
210
16040
n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩
，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.
所以
1
5=
==.
所以2mn n +-的倒数的算术平方根为1
5
.
4. （
1）若m
=，试确定m 的值.
（
2）已知x 、y
为实数，1
3
y x =
-，求56x y +.
解：（1）因为1990
1990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y
+=①.
所以0
=.
又因为0
≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②
③.
由①，②，③可得：2001
m =.
5.
在
、
1999
有多少个？
解：由题知：
==19个.
6.
计算：
（1
）(
(16
17
解：（1
）原式(
(16
=⎡⎤
⎣⎦
(
)(16
=12
11-
（2
）(
5
+
解：原式(
(
)=5555256+-
（3
）
2
2
-
解：原式
2
2
=⎤⎤+-⎦⎦
=⎤⎤+⎦⎦
=
=
=
（4
）计算：(
1111x x +++
解：原式(
(
1111x x ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦
()(
)()()2
22
311111x x x x x x ⎡⎤=-+-
=-++=-⎢⎥⎣
⎦
（5
）(
解：原式
{
}
{}
⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣
(
)()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣
⎦⎣
⎦
=24=.
7.
化简：
=
.
.
A
. B
C
D
解：
(
)(
)
⎣
⎦=
⎡
⎡+⎣
⎣
(
)()
2
2
2+=
-
=
212
=
=12=+
8.
计算：
.
解：原式(
)
()
41
72
x x --=
