高中数学 课后强化训练(含详解) 3.2 新人教版必修4

一、选择题1．锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，那么cos β＝( )A.3365B ．－3365C.5475D ．－5475[答案] A[解析] ∵α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.2．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( ) A ．0 B.12 C.32D ．－12[答案] B[解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15° ＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.3．cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝( )A.33－410 B.33＋410 C.33－45 D.32[答案] B[解析] ∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos θ·cos π6＋sin θ·sin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. 4．α、β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，那么cos α的值是( )A.5665 B.1665C.5665或者1665D ．以上均不对 [答案] A[解析] ∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，又∵cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，∴0<2α＋β<π，又∵cos(2α＋β)＝35，∴0<2α＋β<π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 5．(08·理)cos(α－π6)＋sin α＝435，那么sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235B.235C ．－45D.45 [答案] C[解析] ∵cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－32sin α－12cos α＝－45.应选C. 6．0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，那么cos β的值是( )A ．－1B ．－1或者－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425，应选C.7．在△ABC 中，假设cos A ＝1213，cos B ＝725，那么cos C 的值是( )A.36325 B.204325C.36325或者204325325[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝1213，cos B ＝725，∴si n A ＝513，sin B ＝2425，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos[A －(－B )]＝－cos A cos(－B )－sin A sin(－B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝513×2425－1213×725＝36325，应选A. 8．cos π12＋3sin π12的值是( )A ．－ 2 B. 2 C.12 D. 3 [答案] B[解析] ∵cos π12＋3sin π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π12＋32sin π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos π12＋sin π3sin π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝ 2.[点评] 创造条件应用公式是三角恒等变换的重要技能技巧．9．α、β为锐角，cos α＝45，cos β＝1213，那么tan(α－β)的值是( )16B.1663 C.6365 D.1615[答案] B[解析] ∵α、β为锐角，∴－π2<α－β<π2，又∵cos α＝45，cos β＝1213，∴sin α＝35，sin β＝513，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝45×1213＋35×513＝6365. ∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，sin α＝35>513＝sin β，∴α>β.∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫63652＝1665.∴tan(α－β)＝sin(α－β)cos(α－β)＝1663.10．假设sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，那么cos(α－β)的值是( ) A.12 B.32 C.34D ．1 [答案] A[解析] 将条件式两边分别平方相加得： 2－2sin αsin β－2cos αcos β＝1， ∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝12.二、填空题11.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________.[答案]32[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos π12cos π12－sin π12sin π12＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π6＝32.12.12cos15°＋32sin15°＝________. [答案]22[解析] 12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15° ＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22. 13．假设α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝35，那么cos β的值是________．[答案]2425[解析] ∵cos α＝45，α为锐角，∴sin α＝35.又∵cos(α＋β)＝35，α、β为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝35×45＋35×45＝2425. 14．化简2c os10°－sin20°cos20°＝________.[答案] 3[解析]2cos10°－sin20°cos20°＝2cos(30°－20°)－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.三、解答题15．cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值． [解析] ∵cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4＝－1213·22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513·22＝－17226.16．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2.[分析] 观察角和所求角，可知α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，故可利用两角差的余弦公式求解．[解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋23×459＝7527.17．△ABC 中，sin C ＝45，cos B ＝－23，求cos A .[解析] 在△ABC 中，由cos B ＝－23，可得sin B ＝53，且B 为钝角，∴C 为锐角，∴cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ＝－1－sin 2C ＝－35.sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝45，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋45×53＝6＋4515.[点评] 此题易错点为无视角范围的讨论，错误得出cos(A ＋B )＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫或者±35而致误．18．cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解析] ∵cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又cos(α＋β)＝－1114，0<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝60－1198＝12.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( ) A ．0B ．0或2425C.2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45， ∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35， 当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时， sin β＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×35＝0. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425. [点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D. (2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β. 2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A ．π＜θ＜3π2B.5π4＜θ＜7π4C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4. 3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π8个单位得到 C ．向左平移π4个单位得到 D ．向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4) ＝2sin2(x ＋π8) y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π8) 其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π8∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象． 4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°[答案] B[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A. cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62B.54C.32D.23[答案] B[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．8[答案] D[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos xsin x＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.7．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12C ．2，－1D ．2，－2[答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴f (x )最小值为－1，最大值为2.8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于() A ．4B ．－6C ．－3D ．－4[答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ，∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0<C <π，∴C ＋π6＝5π6，故C ＝2π3. 10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32B. 3C.158 D.157[答案] D[解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tan θ＝115，tan A ＝tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2151－115＝157，故选D.11．(09·江西理)若函数 f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)．又∵0≤x <π2，∴当x ＝π3时，y 取最大值为2.12．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是() A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧ sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.[答案] 3[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3.14.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12sin20°＝4cos70°sin20°＝4. 15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45. ∵β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－5665. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π2＝π，即②正确． 由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得， k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值． [解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得，sin θ＝±255，cos θ＝±55， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，则 cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝210. 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2. (1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32， 由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值．[解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b＝－2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5， 当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1. 20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．[解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin B (sin A －cos A )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π4－B )＝0， 即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0.由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12. 方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2C . 因为0<B 、C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2. 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin B (sin A －cos A )＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)，知A ＝π4. 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6、⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )递增， ∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3. 当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2.由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4m ＋2>－4解之得，－6<m <1. 22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求tan A tan B； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．[解析] (1)sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15，⇔tan A tan B ＝2. (2)∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34，将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝9，解得tan B ＝2±62，舍去负值得，tan B ＝2＋62，∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6，由AB ＝3得CD ＝2＋6， 所以AB 边上的高为2＋ 6.[点评]第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tan A＝2tan B，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．。

模块综合素质检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知sin α＝－22，π2<α<3π2，则角α等于( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π4 [答案] D2．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则k 的取值范围是( ) A ．[－4,6] B ．[－6,4] C ．[－6,2] D ．[－2,6] [答案] C[解析] 由|a ＋b |≤5平方得a 2＋2a ·b ＋b 2≤25， 由题意得8＋2(－10＋2k )＋25＋k 2≤25，即k 2＋4k －12≤0，(k ＋6)(k －2)≤0，求得－6≤k ≤2.故选C. 3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π [答案] C[解析] 由f (x )＝|sin x ＋cos x |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，而y ＝2sin(x ＋π4)的周期为2π，所以函数f (x )的周期为π，故选C.[点评] 本题容易错选D ，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响． 4．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴a ·c ＝0，∴a ·(a ＋b )＝0， 即a ·b ＝－|a |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－|a |2|a |·|b |＝－12，∴θ＝120°.5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z [答案] A[解析] ∵k π－π2<2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π4<2x <k π＋3π4，k ∈Z .∴k π2－π8<x <k π2＋3π8，k ∈Z . 6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)[答案] C[解析] 设(－10,10)为A,5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v . 所以(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5所以选C. 7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1 D ．2π， 2 [答案] A[解析] y ＝sin2x cos π6＋cos2x ·sin π6＋cos2x cos π3－sin2x sin π3＝32sin2x ＋12cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝cos2x ，∴函数的最小正周期为π，最大值为1.8．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) [答案] D[解析] 设d ＝(x ，y )，由题意4a ＝(4，－12),4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4，－2)．又表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，即(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，求得向量d ＝(－2，－6)．9．若sin α＋cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则角α所在区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2 [答案] C[解析] tan α＝sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴22<sin(α＋π4)≤1. ∴1<tan α≤2< 3.∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3)．故选C. 10．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 [答案] B[解析] 由条件知a ＝(1，－2)，b ＝(1，m )， ∵a 与b 的夹角为锐角， ∴a ·b ＝1－2m >0，∴m <12.又a 与b 夹角为0°时，m ＝－2，∴m ≠－2.[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论． 11．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos xC ．sin xD ．－cos x [答案] D[解析] 当f (x )＝1时，F (x )＝sin x ＋1；当f (x )＝sin x 时，F (x )＝2sin x .此两种情形下F (x )的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；对B 选项，当f (x )＝cos x 时，F (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；D 选项是正确的． 12．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 [答案] B[解析] ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.∴sin(A －B )＝0.∴A －B ＝k π(k ∈Z )．又A 、B 为三角形的内角，∴A －B ＝0.∴A ＝B .则三角形为等腰三角形．[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝cos2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝________. [答案] π[解析] y ＝cos2x ＋sin x cos x ＝cos2x ＋12sin2x＝52sin(2x ＋φ)， ∴函数f (x )的周期T ＝2π2＝π.14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. [答案] 1[解析] ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， ∵α、β为锐角，∴cos α≠0，cos β≠0， 上式两边同除以cos αcos β得1－tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β＋tan αtan β－1＝0， ∴(1＋tan β)(tan α－1)＝0， ∵β为锐角，∴tan β＞0，∴1＋tan β≠0，∴tan α－1＝0即tan α＝1.15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] 由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC 为等腰三角形，其中角C ＝90°，则两直角边的高的交点为C ，即C 与H 重合．而O 为斜边AB 的中点，所以OA →与OB →为相反向量，所以有OA →＋OB →＝0，于是OH →＝mOC →，而C 与H 重合，所以m ＝1.16．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin 3π2＝－3，①正确； f ⎝⎛⎭⎫2π3＝3sinπ＝0，②正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，③正确； 由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x ， 由已知f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，得m ＝1. (2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值1－2， 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1得，2x ＋π4＝2k π－π2， 即x ＝k π－3π8(k ∈Z )所以f (x )取得最小值时，x 值的集合为 x |x ＝k π－3π8，k ∈Z . 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．[解析] (1)由cos x ≠0得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35，故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4cos α＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin2α－22cos2αcos α＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． [解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，且定义域为R ，∴函数g (x )是偶函数． 20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14，0°<α<90°.(1)求α的值；(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．[解析] (1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α) ＝12sin(90°＋2α)＝12cos2α，∴12cos2α＝－14.即cos2α＝－12. ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°， ∴2α＝120°，α＝60°.(2)sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°·cos50°－3sin50°cos50°＝2sin70°cos50°⎝⎛⎭⎫12cos50°－32sin50°＝2sin70°cos110°cos50°＝－2sin70°sin20°cos50°＝－2cos20°sin20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－1.21．(本题满分12分)(2010·江西文，19)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x sin x ·sin 2x －2(22sin x ＋22cos x )(22sin x －22cos x )＝sin 2x ＋cos x sin x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x ∴f (α)＝cos 2α＋sin αcos α1＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝35.(2)由(1)知，f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋sin2x 2＝22sin(2x ＋π4)＋12， ∵π12≤x ≤π2⇒5π12≤2x ＋π4≤5π4⇒－22≤sin(2x ＋π4)≤1⇒0≤f (x )≤2＋12，∴f (x )∈[0，2＋12]． 22．(本题满分14分)设平面上向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b ＝(－12，32)．(1)试证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求角α.[解析] (1)(a ＋b )·(a －b )＝(cos α－12，sin α＋32)·(cos α＋12，sin α－32)＝(cos α－12)(cos α＋12)＋(sin α＋32)(sin α－32)＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)由|a |＝1，|b |＝1，且|3a ＋b |＝|a －3b |，平方得(3a ＋b )2＝(a －3b )2，整理得2a 2－2b 2＋43ab ＝0①.∵|a |＝1，|b |＝1，∴①式化简得a ·b ＝0，a ·b ＝(cos α，sin α)·(－12，32)＝－12cos α＋32sin α＝0，即cos(60°＋α)＝0.∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.[点评] (1)问可由|a |＝1，|b |＝1得，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2.3 第3课时一、选择题1．(2010·烟台市诊断)已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( )A ．6B ．－6C ．9D ．12[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴x 4＝32，∴x ＝6.2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于() A.23 B.13C ．－13D ．－23[答案] A[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23，故选A. 3．已知点A 、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)，且p ∥AB →，则k 的值为( )A ．－910B.910 C ．－1910D.1910[答案] D[解析] 由A (2，－2)，B (4,3)得，AB →＝(2,5)，而p ＝(2k －1,7)，由平行的条件x 1y 2－x 2y 1＝0得，2×7－(2k －1)×5＝0，∴k ＝1910，选D. 4．(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 [答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．5．已知a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．4 [答案] C[解析] ∵(a ＋b )∥(2a －b )．又a ＋b ＝(2＋x ，－1),2a －b ＝(4－x,4)，∴(2＋x )×4－(－1)×(4－x )＝0，解得x ＝－4.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( )A ．－6B ．6C ．2D ．－2 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5),3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.7．(09·北京文)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] c ＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d ＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c ∥d ⇒k ×(－1)－1×1＝0，∴k ＝－1.∴c ＝(－1,1)与d 反向，∴选D.8．(09·广东文)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线[答案] C[解析] a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．二、填空题9．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 [解析] 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －13λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λy ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 10．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n,0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1n的值为________．[答案] －12[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AB →∥AC →，∵AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2,2)，∴4－(m ＋2)(n ＋2)＝0，∴mn ＋2m ＋2n ＝0，∵mn ≠0，∴1m ＋1n ＝－12. 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (1，－2)，B (－1,4)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．[答案] 3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)[解析] ∵α＋β＝1，∴β＝1－α，又∵OC →＝αOA →＋βOB →＝αOA →＋(1－α)OB →，∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)，∴BC →∥BA →，又BC →与BA →有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线，∵0≤α≤1，∴C 点在线段AB 上运动，∴C 点的轨迹方程为3x ＋y －1＝0(－1≤x ≤1)．12．已知向量OA →＝(k,6)，OB →＝(4,5)，OC →＝(1－k ，10)，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝______.[答案] 176[解析] 解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴6－5k －4＝10－51－k －4，解得k ＝176. 解法二：AB →＝(4－k ，－1)，BC →＝(－3－k,5)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴5(4－k )－(－1)·(－3－k )＝0，∴k ＝176. 三、解答题13．a ≠0，b ≠0，a 与b 不平行．求证：a ＋b 与a －b 不平行．[证明] ∵a ≠0，b ≠0，∴a ＋b 与a －b 不可能同时为0，不妨设a －b ≠0.假设a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，∴(1－λ)a ＝(－1－λ)b ，∵a 与b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0－1－λ＝0矛盾无解， ∴a ＋b 与a －b 不平行．[点评] 本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．假设(a ＋b )∥(a －b )，则有(x 1＋x 2)(y 1－y 2)－(y 1＋y 2)(x 1－x 2)＝0，即x 1y 1＋x 2y 1－x 1y 2－x 2y 2－x 1y 1－x 1y 2＋x 2y 1＋x 2y 2＝0，整理得2(x 2y 1－x 1y 2)＝0，∴x 2y 1－x 1y 2＝0.∵a ≠0，b ≠0，∴a ∥b .这与已知矛盾，故假设不成立．即a ＋b 与a －b 不平行．14．已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？[解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )．∵AB →∥CD →，∴x 2－4＝0，即x ＝±2.∴当x ＝±2时，AB →∥CD →.(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)，∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上．但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．15．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解之得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k ),2b －a ＝(－5,2)．∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613. 16．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？(2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13； 若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13. (2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)，OP →＝(t ＋2,3t －1)，AB →＝(－1,4)．①由四边形OABP 为平行四边形知，OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ②由四边形OAPB 为平行四边形知，OA →＝BP →，∴t ＝1.③由四边形OP AB 为平行四边形知，OP →＝BA →，此时无解．综上知，四点O 、A 、B 、P 可以成为平行四边形的四个顶点．且当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形．17．已知A (1,3)、B (－2，0)、C (2,1)为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是线段BC 、CA 、AB 上的点，满足|BL →BC →|＝|CM →CA →|＝|AN →AB →|＝，求L 、M 、N 三点的坐标．[解析] ∵A (1,3)，B (－2,0)，C (2,1)， ∴OA →＝(1,3)，OB →＝(－2,0)，OC →＝(2,1)． 又∵|BL →BC →|＝|CM →CA →|＝|AN →AB →|＝，∴BL →＝13BC →＝⎝⎛⎭⎫43，13， ∴OL →＝OB →＋BL →＝(－2,0)＋⎝⎛⎭⎫43，13＝⎝⎛⎭⎫－23，13； 同理可得OM →＝⎝⎛⎭⎫53，53，ON →＝(0,2)，∴L ⎝⎛⎭⎫－23，13、M ⎝⎛⎭⎫53，53、N (0,2)为所求．。