随机CahnHilliard方程的吸引子

Cahn-Hilliard方程的动态分歧武瑞丽;柴容倩;钱小瑞【摘要】利用线性全连续场的谱理论, 中心流形约化方法与非线性耗散系统吸引子分歧理论, 研究了Cahn-Hilliard方程的动态分歧, 给出了发生分歧的条件及临界点, 并给出了在Neumann边界条件下,方程分歧出的稳定奇点吸引子和鞍点的表达式.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)002【总页数】8页(P245-252)【关键词】线性全连续场的谱理论;中心流形约化;吸引子分歧理论;Cahn-Hilliard方程【作者】武瑞丽;柴容倩;钱小瑞【作者单位】四川大学锦城学院,四川成都 611731;四川大学锦城学院,四川成都611731;四川大学锦城学院,四川成都 611731【正文语种】中文【中图分类】O1781 引言分歧问题是自然界中普遍存在的问题,它广泛存在于物理,化学和生物等学科中,分为定态分歧和动态分歧.近年来,在研究非线性演化方程的稳定性与分歧方面,马天和汪守宏创立了一套新的分歧理论与跃迁理论[1-2],本文就利用该理论讨论了Cahn-Hilliard方程的动态分歧.本文考虑如下Cahn-Hilliard方程的初边值问题:其中λ为参数,α1,α2>0为常数,Ω=[0,L]×[0,L],n为Ω边界处的法向量.Cahn-Hilliard方程被 Cahn和 Hilliard在文献 [3]中首先引入,用来描述包含两种物质的混合物 (比如合金,玻璃,聚合物等)在达到一种不稳定状态时所发生的相分离.近年来对Cahn-Hilliard方程的分歧研究有很多,如文献[4-5]研究了非自治反应扩散方程的拉回吸引子的存在性,文献[6]考虑了粘性Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子存在性问题,文献 [7]研究了具有一般非线性项的Cahn-Hilliard方程的整体吸引子存在性,文献[8]重点分析了一类带Neumann边界条件的Cahn-Hilliard方程的定态分歧.本文继续了文献[8]的研究工作,运用文献 [1-2]中提出的分歧理论与跃迁理论对Cahn-Hilliard方程做了进一步的分析,讨论了Cahn-Hilliard方程的动态分歧结果,给出了其发生动态分歧的条件及临界点,并同时得到了在Neumann边界条件下,方程分歧出的稳定奇点吸引子和鞍点的表达式.2 预备知识在这一部分,首先将Cahn-Hilliard方程进行算子化处理,并详细计算出其特征值与特征向量,最后给出本文的主要工具―非线性方程的动态分歧理论[1-2].2.1 方程的处理建立空间如下:定义如下算子:其中则不难验证Lλ:H1→H是线性全连续场,方程(1)可转化为如下抽象形式其中,Gλ满足Gλ:X1→X是一个连续算子,且Gλ(u)=o(|u|),这样方程就满足了线性全连续场谱理论的条件,因此可以运用该理论.2.2 算子的特征值与特征向量令ρk,ψk是下面Laplace算子的特征值和特征向量:其中,ρk满足:0<ρ1=ρ2<ρ3<ρ4=ρ5<ρ6=ρ7<ρ8≤···,且对应的特征向量:其中k,n1,n2,n3,n4=1,2,···,即设Lλ的特征值和特征向量分别为,经计算可得令 ,显然在λ0附近Lλ的特征值满足:根据线性全连续场的谱理论,在λ=λ0的领域内有如下的空间分解:其中E1=span{e1,e2},E2=span{e3,e4,e5,···},2为E2在H中的闭包,对任意u∈H1,存在使得u=u1+u2.2.3 定义及引理定义 2.1令uλ∈X1是方程 (1)在λ=λ0处的分歧解,若Lλ+G(·,λ)在uλ处的导算子Lλ+DuG(uλ,λ):X1→X,在λ0的充分小的领域内是线性同构的,则称该分歧解是正则的或非退化的.引理 2.1每一个近似约化方程从λ=λ0处的非退化分歧解都唯一地对应于原方程从λ=λ0处的非退化的分歧解.引理 2.2假设条件(4)-条件(5)成立,若G(u,λ)有展开式其中,k≥0为一整数,Gk(u,λ)为k重线性算子,则方程(1)在λ=λ0附近的中心流形函数Φ:E1→E2可表达为其中,P2:H→E2为规范投影,3 主要定理及证明定理 3.1在条件(4)-条件(5)下,方程(1)有如下结论成立:(i)当,λ0−ϵ<λ<λ0时,方程在(u,λ)=(0,λ0)处发生分歧,分歧出四个鞍点和四个稳定奇点,且每个分歧解都是正则的;(ii)当时,方程在(u,λ)=(0,λ0)处发生分歧,在λ0两侧各分歧出四个鞍点,且每个分歧解都是正则的;(iii)当,λ0<λ<λ0+ϵ时,方程在(u,λ)=(0,λ0)处发生分歧,分歧出四个鞍点和四个稳定奇点,且每个分歧解都是正则的;(iv)分歧出的分歧解可表达为:证明对方程 (1),由上一节的空间分解可知,∀u∈H1,有u=u1+u2.假设u=u1+Φ(u1,λ),其中Φ(u1,λ):E1→E2为中心流形函数.由 Lyapunov-Schmidt约化方法,知⟨ut,ei⟨=⟨Lλu,ei⟨+⟨G(u,λ),ei⟨,则方程 (1) 的分歧方程为:下面计算中心流形函数,因为,又由由计算可知由此(8)式可化为显然A1(λ)=A2(λ),B1(λ)=B2(λ),C1(λ)=C2(λ),D1(λ)=D2(λ).可解出方程(10)的近似解有如下八个:则方程(1)分歧出的分歧解为:在λ0的充分小领域内,显然有:参考文献【相关文献】[1]马天,汪守宏.非线性演化方程的稳定性与分歧[M].北京:科学出版社,2007.[2]Ma T,Wang S H.Bifurcation Theory and Applications[M].Beijing:World Scientific Publishing Co.,2005.[3]Cahn J W,Hilliard J E.Free energy of a nonuniform system I interfacial freeenergy[J].Journal of Chemical Physics,1958,28(2):258-267.[4]Song Haitao,Wu Hongqing.Pullback attractors of nonauton-omous reaction diffusion equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,325(2):1200-1215.[5]任丽,李晓军.非自治反应扩散方程的拉回D-吸引子[J].江南大学学报,2014,13(2):237-242.[6]马腾洋,姜金平.粘性Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子[J].云南师范大学学报,2016,36(5):33-37.[7]罗宏,蒲志林,陈光淦.具有一般非线性项的Cahn-Hilliard方程的整体吸引子[J].四川师范大学学报,2002,25(4):333-338.[8]张强.一类带Neumann边界条件的Cahn-Hilliard方程的定态分歧[J].四川大学学报,2011,48(3):529-533.[9]王会超,武瑞丽,侯智博.一类具有扩散项SIR模型的动态分歧[J].四川师范大学学报,2015,38(3):239-242.[10]马天.偏微分方程理论与方法[M].北京:科学出版社,2011.[11]马天.从数学观点看物理世界[M].北京:科学出版社,2012.[12]Ma Tian,Wang Shouhong.Dynamic bifurcation of nonlinear evolutionequations[J].Chinese Annals Mathematics B,2005,26(2):185-206.[13]Amy N C,Lee A.Nonlinear aspects of the Cahn-Hilliard equation[J].Physica D:Nonlinear Phenomena,1984,10(3):277-298.[14]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York:Springer-Verlag,1998.[15]钟承奎,范先令,陈文塬.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,1998.。

随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。

格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。

吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。

对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。

本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。

首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。

第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。

本文的研究工作由两部分组成。

第一部分内容由第三、四章构成。

第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。

得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。

而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。

也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。

但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。

第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。

通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。

特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。

2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7
2014年 科研热词 破裂 相场方法 界面 数学模型 数值模拟 变形 匀强电场 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2011年 科研热词 推荐指数 黏性cahn-hilliard方程 1 相分离 1 爆破 1 浓度相关黏性系数 1 模拟 1 模型 1 lb方法 1 cahn-hilliard方程 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 cahn-hilliard方程 稳定性 矩形morley元 相场法 生长动力学 数值模拟 形貌演化 局部间断galerkin方法 半离散 共格沉淀相 niti形状记忆合金
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 推荐指数 高精度 1 连续相场模型 1 计算机模拟 1 相场模型 1 生长指数 1 收敛性 1 扩散界面近似 1 微观结构演化 1 半隐式的预估-校正谱格式 1 低体积分数 1 ostwald熟化 1 cahn-hilliard方程 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7

科研热词 推荐指数 等规聚丙烯/二元乙丙橡胶合金 1 等温结晶 1 相形态 1 相分离 1 nirenberg不等式 1 leray-schauder不动点定理 1 cahn-hilliard方程 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 解的存在惟一性 渐近性态 渐近估计 浓度相关迁移率 梯度相关位势 吸引性 cahn-hilliard方程 cahn-hilliard型方程

应用数学中的吸引子理论在应用数学中，吸引子理论是一个重要的理论。

该理论通过数学模型和计算机模拟等方式，研究非线性系统的演化规律和稳定状态，探讨系统的演化和长期行为。

由于非线性系统具有非常复杂的演化规律，因此吸引子理论在大量的交叉科学领域如物理、化学、工程等中发挥着重要作用。

1. 吸引子理论的提出吸引子理论是由斯特莱恩于1960年代提出的。

斯特莱恩的研究对象是气象预报方程，这些方程是非线性的、参量复杂的，因此十分难以预测。

但是斯特莱恩通过数学模型研究发现这些方程具有某种内在的稳定性机制，即对于给定的初始条件，大尺度的天气系统始终被吸引到一些特定的状态上，这些状态就是吸引子。

吸引子理论的提出，使得对于非线性系统的控制和应用起到了重要的推动作用。

在此之后，吸引子理论逐渐成为非线性系统研究的核心内容之一。

2. 吸引子的特征吸引子的最大特征就是它具有吸引力。

在非线性系统中，存在着许多的稳态或分岔，而吸引子则是那些在长时间演化中具有稳定性且具有一定吸引力的状态。

多数情况下，系统只会在存在吸引子的区域内运动。

吸引子的形态多种多样，比较常见的有点吸引子、环吸引子、方波吸引子等。

根据演化规律，在某些特定区域内，系统会首选止于吸引子的形态，从而表现出一定的规律性。

3. 应用数学中的吸引子应用数学中，吸引子在很多领域中都发挥着重要作用。

例如在动力学中，吸引子理论可以用来研究、控制和预测动力学系统中的演化规律。

在信号处理中，吸引子理论可以作为一种分析工具，用于研究和处理信号的长期行为。

在混沌控制中，吸引子理论可以帮助人们掌握混沌系统的特性，开发出有效的控制算法。

吸引子理论在工程领域中也具有广泛应用。

例如在控制系统中，吸引子理论可以用于控制系统的优化设计，提高系统的稳定性和控制能力。

在电路设计中，吸引子理论可以用于进行参数设计和优化，提高电路的性能和稳定性。

在材料科学中，吸引子理论可以用于研究材料的物理性质和长期行为，优化材料的性能和应用。