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对两个重要极限的重要性的认识

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对两个重要极限的新认识

对两个重要极限的新认识

对两个重要极限的新认识作者：王梦洁来源：《科技视界》2013年第02期【摘要】在数学分析中的两个重要极限在极限计算和导数公式推导过程中占有重要地位，是做微积分基础理论的重要组成部分之一。

本文将从两个极限的证明及其应用方面论述对此两种极限的认识。

【关键词】两个重要极限；来源；产生；应用在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时，都会讲到下面两个重要极限.它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限次的四则运算、复合得到。

再由于积分是微分的逆运算，可以得到微积分学计算的基础，其重要性就不难理解了。

1 两个重要极限的新证明1.1 第一个重要极限：2.2 两个重要极限在二元函数极限中的应用二元极限与一元函数极限概念的本质是一致的，都是对函数在其自变量的某个变化过程中函数值的趋向性的反映。

由于二元函数的自变量有两个，其变化过程比一元函数自变量的变化过程复杂的多，同时对二元函数极限的运算有时更是无从入手。

实际上，在二元函数的求解中，因为二元函数极限的定义与一元函数的定义有着完全形同的形式，这使得一些一元函数的极限运算都可以平行推广到函数上来，特别是两个重要极限在二元函数极限运算中的应用。

对于二元函数极限的运算除了利用重要极限外，还有很多的方法，比如利用不等式，使用夹逼准则等，这里主要是讨论了重要极限在二元函数的应用，加深了对重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以更好的解决二元函数问题。

总之，对重要极限进行应用，推敲，变化等，不仅是对本身的深入，也是对极限概念性质的深入。

【参考文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2007.[2]代瑞香，刘超高.一重要极限的另证[J].高等函授学报，2010年6月第23卷第3期：33-33.[3]孙幸荣.一个重要极限的新证及其推广[J].佳木斯教育学院学报.2010年第1期：107-107.[4]张霞.两个重要极限在二元函数极限中的应用[J].上海电力学院数理系：45-46.[责任编辑：王静]。

高等数学中两个重要极限的一些认识

高等数学中两个重要极限的一些认识
…
莩
《一
：
比较第二种极限 ， ， （ ） ＝ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ，可以验证 厂 （ ｒ ） ＝ ｏ，因此
在指数部分要构造出 ， （ ｆ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
ｒ １ ］ “ 。 ｉ ｔ
１
义 。令 Ｙ ｘ ， ＿ ÷ 一 时， Ｙ ０， 那么 ｌ ～ ｉ ａ ｒ （ １ ＋ ） ～ 。故可以将 原极限变形为 ｌ ｉ ｍ ［ １ ＋ ｇ （ ） ， － ｅ ，该式成立的条件是 ： 在 自变量
重 要 。鉴 于 此 ，本 文讨 论 了这 两 个极 限 ，并 给 出 了它们 更 广泛 的 形式 。
关 键词 重要 极 限 函数 极 限 未定 式
在微积分的众 多常用极限中之所以要把 ｌ ｉ ｍ ！ 坚： １ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ）
… …
＝ ｅ 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函
在下面的讨论中 ，记号 “ ｌ ｉ ｍ”下面没有标明 自变量的变化
过 程 ，实际 上 ，下 面 的结 果对
１ ． １ 关 于极 限 ：ｌ
此在指数部分要构造出厂 （ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
‰ 及
ｏ ｏ 都 是 成立 的 。
（ １ ＋ ２ ） ＝ 『 （ １ ＋ ２ ） ］ 了＝ ２ 。
教 Ｎ－ 园 地
肉肛科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
高等 数学 中两 个重要 极 限的一些认识
马 红 霞
开 封 市 金 明 中学 ４ ７ ５ ０ ０ ｌ 河 南开 封
摘 要 在 高 等数 学 中， 两个 重要 极 限在 求 函数 极 限 时扮 演 着 重要 角色 ，因 此对 它 们 的理 解和 掌握 对 于本科 生 来说 至 关

两个重要极限在高等数学中的地位

两个重要极限在高等数学中的地位

解 ：lim4 sin — = lim -
4
^=
lims-i-n-6 =
1。
第 二 个 重 要 极 限 的 特 征 是 ：（ 1 ) “ 1 °°”（ 1 的 无 穷 大 次 方
(2 ) 内 外 互倒 （里 面的1X 与 指 数 上 面 的 4 互 为 倒 数 ）。
【例 3】
求
4li0mU
/
\
1
54 X
求
lim
<24 5 3 、 ( 4 51 y
解 ： lm
24 5 3 451 24 5 1 )
^24 5 15 2 、 Alm ( 24 5 1 /
15Alm
15：5 Y
另 外 一 种 推 广 形 式 为 ：若 6 ( 4 ) 是 4 的 函 数 ，4l0im4 06 ( 4 ) =
0 (4li0mU 6 (4 ) = 0 ) ，则40li4m0 ( 1 5 6 (4 ))64) = e (4l0imU ( 1 5 1
关 键 词 ：小 学 数 学 ；教 学 ；策 略 意 识 ；培养
要 想 在 小 学 的 数 学 教 学 中 取 得 一 定 的 成 果 ，并 且 着 实 地 提 高 教 学 质 量 ，就 必 须 在 教 学 中 运 用 一 定 的 数 学 思 维 教 学 ， 这 也 是 为 学 生 学 习 达 到 基 础 ，提 高 其 思 维 能 力 的 关 键 。需要 从 根 本 上 提 高 学 生 的 学 习 效 果 ，并 且 在 当 前 的 数 学 教 学 模 式 中 找 到 正 确 的 教 育 方 向 。在 实 际 的 教 学 过 程 中 ，教师应 该 明 确 教 学 目 标 和 教 学 重 点 ，要 着 重 对 学 生 的 数 学 思 维 进 行 培 养 ，学 生 需 要 在 学 习 中 具 备 一 定 的 策 略 意 识 ，这 对 其 在 学 习 深层次的数学内容过程是有利的。

极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限

第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？

3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。

浅析第二个重要的极限

浅析第二个重要的极限

浅析第二个重要的极限作者：张春红来源：《知识文库》2017年第04期高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。

第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。

理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。

文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。

用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。

1 结构第二个重要的极限： .当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。

利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。

在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。

常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。

如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。

2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。

应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。

第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。

第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。

第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。

2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时， t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。

对两个重要极限的新认识

对两个重要极限的新认识

Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。

再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。

1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。

引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。

如何正确认识两个重要极限

如何正确认识两个重要极限作者：于娟，樊小琳来源：《科技视界》 2015年第17期于娟樊小琳（新疆大学，新疆乌鲁木齐 830046）【摘要】本文通过两个重要极限的理解和认识，揭示了两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中的重要作用。

【关键词】两个重要极限；微积分；重要性0 引言在高等数学的教学中，两个重要极限非常重要。

让学生能够全面认识和体会两个重要极限的重要性，对于刚接触极限，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。

可能有学生会问为什么把它们叫做两个重要极限？重要性体现在什么地方？它们既是求极限的重要公式，又是建立导数公式、积分公式的重要基础。

它们能将许多复杂的极限运算迅速简化，应用非常灵活。

所以说，两个重要极限可以说是整个微积分的基础，它们的重要性不言而喻。

两个重要极限的重要性主要体现在他们既是求极限的重要公式，又是导数、积分公式的重要基础，本文就从这两方面分析两个重要极限的重要性。

1 两个重要极限在极限计算中的重要地位第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限，若分子分母分别求极限变得到一个不定的结果，这一类型是0/0型未定式。

第二个重要极限属于1∞型未定式的极限。

由这两个公式，通过变量代换法，可以得到它们的各种变形。

它们能将许多极限运算迅速简化，通过利用两个极限及其各种变形求出一系列0/0型与1∞型未定式的极限。

两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法。

例如，如果在x的某个变化过程中，limv（x）=0且v（x）≠0，则对于0/0型与1∞型未定式的极限，我们可以用两个重要极限来试试。

下面举例来说明在极限的计算中如何运用两个重要极限。

这里也用到了复合函数的极限运算法则。

2 两个重要极限是建立导数公式、积分公式的基础在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数分为常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类。

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所得到的函数称为初等函数。

夹逼准则与两个重要极限


第二个重要极限的应用举例
在解决一些数学问题时，如求无穷积分、求解微分方程等，可以利用第二 个重要极限来简化计算过程。
例如，在求解无穷积分∫sin(x)/x dx时，可以利用第二个重要极限来得到 积分的值。
此外，在求解一些微分方程时，也可以利用第二个重要极限来得到方程的 解。
05
总结与展望
本主题的主要内容总结
夹逼准则的定义与性质
夹逼准则是数学分析中的一个基本定理，它描述了当两个序列或函数在一定条件下收敛时，它们的极限值之间的关系 。这个定理在证明极限和求极限中有着广泛的应用。
两个重要极限的介绍
两个重要极限是数学分析中的重要概念，它们是用来描述函数在某些特定点或区域的极限行为。第一个重要极限是 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，第二个重要极限是$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$。
03
数，如泊松分布的均值和方差。
04
第二个重要极限
第二个重要极限的定义
01
02
03
第二个重要极限是数学 中的一个重要概念，它 描述了当x趋向于无穷大 时，函数sin(x)/x的极限
值。
具体来说，第二个重要极 限的定义为lim(x->∞) sin(x)/x = 1。
这个极限在解决一些数 学问题时非常有用，尤 其是在处理无穷大或无
夹逼准则的应用举例
举例1
求lim (1 + 1/n)^n (n -> +∞) 的值。令c_n = (1 + 1/n)^n， a_n = (1 + 1/n)^(n+1)，b_n = (1 + 1/n)^(n-1)，则有a_n <= c_n <= b_n。根据夹逼准则，lim c_n = e。

关于两个重要极限的认识

关于两个重要极限的认识陈乙德（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用 中途分类号：O172 文献标志码：A在微积分的众多常用极限中之所以要把limx→x 0sinxx=1, lim x→∞(1+1x)x=e 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。

1．两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。

即求一个函数f(x)在点x 的导数f ′（x ），就是计算极限limx→x 0f (x+△x )—f （x ）△x（1），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。

下面来看看正弦函数sin x 的求导公式， (sin x )′=limx→x 0f (x+△x )—f （x ）△x=limx→x 02cos (x+△x2)sin△x 2△x=lim △x →0cos(x+△x 2)sin △x2△x 2=cos x ·1 =cos x其中应用第一个重要极限limx→x 0sinx x=1，即：lim△x →0sin△x2△x 2=limu→0sinuu=1(u=△x2,△x →0时，u →0)。

求得(sin x ) ′=cos x 后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。

其次，对数函数log a x 的求导公式。

由导数定义， （log a x ）′=lim△x →0log a （x+△x ）—log a x△x=lim △x →0log a （1+△x x）1△x=lim △x →0log a [（1+△x x ）x △x]1x =1x lim △x →0log a （1+△x x）x △x=1x log a e作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。

从应用角度谈两个重要极限教学_曹宏举


第一个重要极限具 有 极 为 紧 密 的 关 系．联 系 到 圆 的
面积公式和周长公 式 在 实 际 生 活 中 的 重 要 应 用，可
以体会第一个重要极限的重要性．
３ 第 二 个 重 要 极 限 与 银 行 复 利 计 算
设一年期银 行 存 款 利 率 为ｒ，复 利 计 算 周 期 为
Ｔ，一年内计算周期 次 数 为ｎ，每 个 利 息 周 期 的 利 率
先秦时期，古 人 用 “周 三 径 一 ”（即 圆 周 长 与 直 径之比为 三 比 一 ）的 数 值 进 行 圆 的 相 关 计 算，在 刘 徽看来，用“周三径 一”计 算 出 来 的 圆 周 长 实 际 上 是 圆内接正六 边 形 的 周 长，与 圆 周 长 相 差 很 多；在 圆 内接正六边形把圆 周 等 分 为 六 条 弧 的 基 础 上，再 继 续等分，把 每 段 弧 再 分 割 为 二，做 出 一 个 圆 内 接 正 十二边形，这个正十 二 边 形 的 周 长 不 就 要 比 正 六 边 形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分 割，做成一 个 圆 内 接 正 二 十 四 边 形，那 么 这 个 正 二 十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接 近圆周．这就表明，越 是 把 圆 周 分 割 得 细，误 差 就 越 少，其内接 正 多 边 形 的 周 长 就 越 是 接 近 圆 周．如 此 不断地分割 下 去，一 直 到 圆 周 无 法 再 分 割 为 止，也 就是到了圆内接正 多 边 形 的 边 数 无 限 多 的 时 候，它 的周长就与圆周“合 体”而 完 全 一 致 了．按 照 这 样 的 思路，刘徽把圆内接 正 多 边 形 的 周 长 一 直 算 到 了 正 ３０７２边 形，并 由 此 而 求 得 了 圆 周 率 为 ３．１４１５ 和 ３．１４１６这两个近似数值 ． ［５］
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其中应用了第二个重要极限 ，即 （令 ）。
求得了 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。
可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。
所以{ }是有界的。
由单调有界定理知 存在，并使用 来表示，
即
3.两个重要极限在微分学中的重要性
在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：
幂函数 ( ),
指数函数 ，
对数函数 ( )，
三角函数y=sin x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,
反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。
著名日本科学家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年可能就忘了, 唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益。这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识。
2.两个重要极限的证明
两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
第一个重要极限：
证明：作单位圆，如图1：
图1
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： ，即 ，
关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。 对于第一类函 数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要利用到 这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利用到
这个极限。
下面来看一看基本求导公式是如何得来的。
，
但是，
= 是成立的。
所以在 时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。
例2 求极限
解： 。
在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：
同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。
例3 求极限
解： = =0Leabharlann 例4 求极限解： =
重要极限
极限 是一元函数中第二个重要极限的推广。下面举例说明它的应用。
精心搜集整理，只为你的需要
1.绪论
两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
重要极限 的应用
极限 是一元函数第一个重要极限的推广，其中，
时， ，把 看作新变量 ，考虑极限过程
。
例1 求极限
解：
极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。
我们设 ，定义域是 。
再设
定义域 显然有 。
可以看到，从函数 到 定义域变小了，但 ， 分别在各自的定义域D与 内，当 时，可以证明极限都是存在的，证明如下：
5.总结
关于两个重要极限的公式本身十分简单， 但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并解决问题的办法. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入理解和掌握了这一思想, 才会深刻理解和学习。
由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x处的导数 ，就是计算极限
（）
当这一极限存在时，其值就是 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。
例5 求极限
解： =
=
对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法，比如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时还可以用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个常见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以便更好的解决二元函数的极限问题。
例1求 ．
解: = ．
例2求 ．
解: =
= ．
例3求 ．
解: 令－ =t，则x=－ ．
当x时t0，
于是 = =e–2．
例4求 ．
解: 令 =1+u，则x=2－ ．
当x时u0，
于是 =
= =e-1．
例5求 ．
解: 设t=tanx，则 ＝cotx．
当x0时t0，
于是 = =e．
两个重要极限在二元函数极限中的应用
（1）以下是对 在定义域 内极限的证明。因为当 时，有：
所以由夹逼准则得 =0
(2)对 在定义域 内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，并且其值易算得为0.
既然 在定义域 内极限存在，那么极限必唯一。我们可以在D内任找 的方式来计算出极限值。由D与 的关系（ ），知道在 中两函数相等，所以在求极限找 的方式时，我们可以在 中找，显然，两函数的极限是相等的。
对两个重要极限的重要性的认识
摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识,总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ：重要极限；重要性；证明；应用
（因为 ，所以上不等式不改变方向）
当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切 ，有 。
又因为 ，
所以
而 ，证毕。
第二个重要极限：
先考虑 取正整数时的情形：
对于 ，有不等式： ，
即： ，
即：
（i）现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列，记作{ }。
（ii）又令 ，
所以 ，
即对 ， 又对
重要极限在三角函数求导过程中的作用
以正弦函数sinx的求导公式的推导为例.由导数的定义
其中应用了第一个重要极限 ，即 （令 ）。
求得(sinx)’= 后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。
重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用
其次，再看看对数函数log x的求导公式的推导过程。由导数定义
4.两个重要极限在计算中的应用
两个重要极限在一元极限中的应用
第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便
得 这一不定的结果，因此称这一类型的极限为 型未定式。类似地，第二个重要极限是属于 型未定式。
综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和
型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和
时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。