高三文科数学概率统计练习题

高考数学概率统计练习题及答案一、选择题1.设随机变量X服从参数为4的指数分布，则P(X>5)的值是多少？A. 0.135B. 0.265C. 0.367D. 0.6322.已知随机变量X服从正态分布N(20, 5)，则P(15 ≤ X ≤ 25)的值是多少？A. 0.382B. 0.682C. 0.886D. 0.954二、填空题1.设A、B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A∪B)的值。

2.某班级中有40名学生，其中20人喜欢数学，25人喜欢英语，已知有5人既喜欢数学又喜欢英语，求一名学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率。

三、解答题1.某商场销售某产品，质量合格品率为0.95。

现从该商场购进10件该产品，请计算至少有一件不合格品的概率。

2.某班级中有60名学生，其中30人喜欢音乐，20人喜欢绘画，15人即喜欢音乐又喜欢绘画。

从该班级中随机选出一名学生，请计算该学生至少喜欢一个艺术类项目的概率。

四、答案解析一、选择题1.答案：D. 0.632解析：根据指数分布的特性，设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P(X>x)=e^(-λx)。

根据题目中λ=4，代入x=5计算即可得P(X>5)=e^(-4×5)≈0.632。

2.答案：B. 0.682解析：首先需要使用标准化方法将正态分布转化为标准正态分布，即将X转化为Z，其中Z=(X-μ)/σ。

根据题目中X服从N(20, 5)，代入公式计算有Z=(15-20)/5=-1，Z=(25-20)/5=1。

然后使用标准正态分布的表格，查找Z值对应的累积概率，得到P(-1 ≤ Z ≤ 1)≈0.682。

二、填空题1.答案：0.7解析：由于A、B为相互独立事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

已知P(A)=0.4，P(B)=0.6，且A、B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.4×0.6=0.24。

概率统计综合检测题（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先按简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再用分层抽样方法进行，则每个人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为2．（5分）某学校2009年五四青年节举办十佳歌手赛，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（）A．83，1.6 B．84，0.4 C．85，1.6 D．86，1.53．（5分）一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为（）A．4 B．12 C．5 D．84．（5分）某地2009年2月到6月各（x）月的平均气温y（℃）如表：根据表中数据，用最小二乘法求得平均气温y关于月份x的线性回归方程是（）A．=5x﹣11.5 B．=6.5x﹣11.5 C．=1.2x﹣11.5 D．5．（5分）如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A．53 B．43 C．47 D．576．（5分）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）A．3种B．4种C．5种D．6种7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1+P2i所对应的点P与直线l2：x+2y=2的位置关系（）A．P在直线l2的右下方B．P在直线l2的右上方C．P在直线l2上D．P在直线l2的左下方8．（5分）下列命题中，正确命题的个数为（）①命题“若，则x=2且y=﹣1”的逆命题是真命题；②P：个位数字为零的整数能被5整除，则¬P：个位数字不是零的整数不能被5整除；③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率等于（）A．B．C．D．11．（5分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b 的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7，78 D．2.7，8312．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆．14．（4分）从集合{（x，y）|x2+y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x，y满足x+y≥2的概率为．15．（4分）用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是．16．（4分）给出下列命题：①命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1＞0”；②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．其中错误的命题序号是（将所有错误命题的序号都填上）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？20．（12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．21．（12分）福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组．（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．22．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣a|，函数g（x）=x﹣b，令F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率；（Ⅱ）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．概率统计综合检测题（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•沈阳模拟）某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先按简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再用分层抽样方法进行，则每个人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为【分析】剔除10人是按照随机抽样进行的，剩下的2000人再用分层抽样方法，也符合随机抽样原理，即每个人入选的概率是样本容量比总体容量【解答】解：剔除10人是按照随机抽样进行的，剩下的2000人再用分层抽样方法，也符合随机抽样原理，即每个人入选的概率是样本容量比总体容量，故为故选C【点评】本题主要考查分层抽样方法．2．（5分）（2012•陆丰市校级模拟）某学校2009年五四青年节举办十佳歌手赛，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（）A．83，1.6 B．84，0.4 C．85，1.6 D．86，1.5【分析】根据算分的规则，去掉一个最高分和一个最低分有84，84，84，86，87五个数据，把五个数据代入求平均数的公式，得到这组数据的平均数，再代入方差的公式，得到方差．【解答】解：∵由题意知，选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有84，84，84，86，87，∴选手的平均分是=85，选手的得分方差是（1+1+1+1+4）=1.6，故选C．【点评】本题考查平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．3．（5分）（2016春•益阳校级期末）一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为（）A．4 B．12 C．5 D．8【分析】根据各个部门存在较大的差异，利用分层抽样方法抽取一个样本，首先根据所给的总人数和样本数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以管理人员的数目，得到结果．【解答】解：∵一个单位有职工120人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵管理人员40人，∴从管理人员中抽取40×=8故选D．【点评】本题考查分层抽样，这是最典型的一个分层抽样题目，高考卷中曾经考过类似的问题，同学们要认真对待，不能丢分．4．（5分）（2010•锦州二模）某地2009年2月到6月各（x）月的平均气温y（℃）如表：根据表中数据，用最小二乘法求得平均气温y关于月份x的线性回归方程是（）A．=5x﹣11.5 B．=6.5x﹣11.5 C．=1.2x﹣11.5 D．【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，及x i，x i y i的累加值，代入回归直线系数公式，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程．【解答】解：，所以回归直线方程为故选D．【点评】求回归直线的方程，关键是要求出回归直线方程的系数，由已知的变量x，y的值，我们计算出变量x，y的平均数，及x i，x i y i的累加值，代入回归直线系数公式，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程．5．（5分）（2010•辽宁模拟）如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A．53 B．43 C．47 D．57【分析】本题利用几何概型求解．由于是向正方形内随机地撒200颗黄豆，其落在阴影外的概率是阴影外的面积与整个正方形的面积之比，从而可列式求得阴影部分的面积．【解答】解：设阴影外部分的面积为s，则由几何概型的概率公式得：，解得s=57，可以估计出阴影部分的面积约为100﹣57=43．故选B．【点评】本题主要考查了几何概型，以及利用几何意义求面积，属于基础题．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．（5分）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【分析】本题是一个分类计数问题，需要分别列举出胜平负的所有情况，从胜一场开始，当胜一场时得到3分，平16场才能凑足19分，这样需要打17场，故不合题意，当胜2场时同样可以分析不合题意，再分析胜3，4，5，6场的情况，兼顾所打的场数和所得到分数．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，当胜一场时得到3分，平16场才能凑足19分故不合题意，当胜2场时得到6分，平13场，共需15场比赛，不合题意，胜3场时得到9分，平10场，输一场，符合题意．胜4场时得到12分，平7场，输3场，符合题意胜5场时得到15分，平4场，输5场，符合题意胜6场时得到18分，平1场，输6场，符合题意综上所述共有4种结果满足题意，故选B．【点评】本题考查分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果7．（5分）（2010•广东校级模拟）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1+P2i所对应的点P与直线l2：x+2y=2的位置关系（）A．P在直线l2的右下方B．P在直线l2的右上方C．P在直线l2上D．P在直线l2的左下方【分析】据两直线相交斜率不等，求出a，b满足的条件，据古典概型概率公式求出P1，P2，据复数的集合意义求出点P坐标，判断出与直线的关系．【解答】解：易知当且仅当时两条直线只有一个交点，而的情况有三种：a=1，b=2（此时两直线重合）；a=2，b=4（此时两直线平行）；a=3，b=6（此时两直线平行）．而投掷两次的所有情况有6×6=36种，所以两条直线相交的概率；两条直线平行的概率为P1=，P1+P2i所对应的点为P，易判断P在l2：x+2y=2的左下方，故选项为D．【点评】本题融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不等忽视了直线重合这种情况，否则会选C．8．（5分）（2010•辽宁模拟）下列命题中，正确命题的个数为（）①命题“若，则x=2且y=﹣1”的逆命题是真命题；②P：个位数字为零的整数能被5整除，则¬P：个位数字不是零的整数不能被5整除；③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】写出第一个命题的逆命题x=2且y=﹣1可以推出成立，对个位数字为零的整数能被5整除的否定个位数字为零的整数不能被5整除，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同，得到结果．【解答】解：∵x=2且y=﹣1可以推出，故①正确，∵P：个位数字为零的整数能被5整除，它的¬P：个位数字为零的整数不能被5整除；故②不正确，∵去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同故③正确，总上可知有2个命题是正确的，故选C．【点评】本题考查极差、方差与标准差，考查四种命题之间的关系，考查命题的否定，命题的否定与否命题要区别开，这是一个易错题．9．（5分）（2010•上虞市模拟）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（）A．B．C．D．【分析】连续掷两次骰子，以先后得到的点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足x2+y2＜17，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数，根据古典概型个数得到结果．【解答】解：这是一个古典概型由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6=36个，而满足x2+y2＜17的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共有8个，∴P==，故选C．【点评】将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏．比如，列举点的坐标时，我们把横标从小变大挨个列举．10．（5分）（2009•泰安一模）将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率等于（）A．B．C．D．【分析】将长度为1米的铁丝随机剪成三段的长度分别为x，y，z，x+y+z=1则求解面积，然后求构成试验的全部区域为所表示的区域的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：设将长度为1米的铁丝随机剪成三段的长度分别为x，y，z，x+y+z=1则构成试验的全部区域为⇒所表示的区域为边长为1的直角三角形，其面积为记“这三段能拼成三角形”为事件A，则构成A的区域⇒为边长为的直角三角形，面积为代入几何概率公式可得P（A）=故选B【点评】本题考查了与面积有关的几何概率的求解，难点是要把题中所提供的条件转化为数学问题，进而求出面积，突破难点的关键是构造与构成三角形的条件，根据线性规划的知识求解面积．11．（5分）（2005•江西）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7，78 D．2.7，83【分析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.6～4.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数为b．【解答】解：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．又前4组的频数成等比数列，∴公比为3．根据后6组频数成等差数列，且共有100﹣13=87人．从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33=27，∴a=0.27，设公差为d，则6×27+d=87．∴d=﹣5，从而b=4×27+（﹣5）=78．故选：A．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题．12．（5分）（2013•东莞一模）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选D．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2014•市中区校级二模）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为76辆．【分析】先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解．【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故答案为：76【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．14．（4分）（2013•南充一模）从集合{（x，y）|x2+y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x，y满足x+y≥2的概率为．【分析】利用几何概型求解本题中的概率是解决本题的关键．需要作出事件所满足的区域，找出全部事件的区域和所求事件区域，利用二者的面积比求出该题的概率．【解答】解：本题事件所包含的区域如图，全部事件区域是整个圆内部分，事件x+y≥2表示的在圆内并且位于直线x+y=2右侧的部分．因此，所求概率为圆在第一象限位于直线x+y=2右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得．即为：．故答案为：．【点评】本题考查几何概型求概率的办法，考查不等式满足的可行域问题，考查数形结合的思想和几何图形面积的计算问题．15．（4分）（2010•辽宁模拟）用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖503块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是．【分析】由第一、二、三个图形寻找白色地砖块数的规律性，易发现构成等差数列，由等差数列的通项公式求出第100个图形中有白色地砖的块数，再由几何概型求概率即可．【解答】解：白色地砖构成等差数列：8，13，18，…，5n+3，a n=5n+3，a100=503，第100个图形中有地砖503+100=603，故所求概率．故答案为：503；【点评】本题考查归纳推理和几何概型知识，考查利用所学知识解决问题的能力．16．（4分）给出下列命题：①命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1＞0”；②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．其中错误的命题序号是①②③（将所有错误命题的序号都填上）．【分析】据特称命题的否定是全称命题：将存在改为任意，结论否定；得到①错误；独立性检验显示的分类变量有关、无关不是确定关系，故两个分类变量有关时，不能推出一个存在另一个一定存在故②错；在抽样方法中，每种抽样方法都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点，故③错．【解答】解：①中原命题的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，所以①错误；②中说法不正确，“患慢性气管炎和吸烟有关”只是说明“患慢性气管炎”和“吸烟”有一定的相关关系，但不是确定关系，所以“有吸烟习惯的人，未必患慢性气管炎”；③中，由于抽样比为=，所以高一学生被抽到的人数为×300=10人，高二学生被抽到的人数为×270=9人，高三学生被抽到的人数为×210=7人，尽管高三学生抽到的人数少，但每个学生被抽到的机会均等，所以“高三学生被抽到的概率最小”这种说法错误．故答案为①②③【点评】本题三个命题重点考查简易逻辑用语、统计案例和统计等基本概念．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2012•宝鸡模拟）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m﹣n|＞2”的概率．【分析】（Ⅰ）根据直方图矩形的面积表示频率，可知成绩在[14，16）内的人数；（Ⅱ）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b．成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C；基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．根据古典概型公式可求出所求．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图可知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；（5分）（Ⅱ）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04=2人，设为a，b．成绩在[17，18]的人数有：50×0.06=3人，设为A，B，C．m，n∈[13，14）时有ab一种情况．m，n∈[17，18]时有AB，AC，BC三种情况．m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况．基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．所以P（|m﹣n|＞2）=（13分）【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率问题、用样本的数字特征估计总体的数字特征等有关知识，属于中档题．18．（12分）（2011•广东三模）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．19．（12分）（2016•河南模拟）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．【解答】解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．∴P（A）=．。

统计概率1．x 是[4,4]-上的一个随机数，则使x 满足220x x +-<的概率为A ．12B ．38C ．58D ．02．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4。

把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为 A ．116B ．14C ．38D ．123．若以连续掷两次骰子（各面分别标有1~6点的正方体）分别得到的点数m n 、 作为点P 的坐标，则点P 落在区域040x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率为A ．1936B ．1736C ．512D ．1184．从2004名学生中选取50名组成参观图，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为251002D ．都相等且为1405．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为 A ．14B ．13C ．427D ．4156．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A '，连结AA '，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为A ．12B ．23C 3D ．14污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；150时空气质量为轻微污染。

该城市2006年空气质量达到良或优的概率为 A ．35B ．1180C ．119D ．568．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 A ．6B 6C ．66D ．6.59．对于一组数据 (1,2,3,,)i x i n =L ，如果将它们改变为(1,2,3,,)i x c i n +=L ，其中0c ≠，则下面结论中正确的是 A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a 、b 的值分别为A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．27,8311．采用简单随机抽样，从含有10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，这个总体中的个体x 前3次没有被抽到，第4次被抽到的概率是12．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为 13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 人。

《概率与统计》专项练习（选择填空题）【考点一】古典概型1．（2016全国I 卷，文3，5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）65解法一：（重复的树状图）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d 第1个花盆的树状图如下所有可能的结果有12种红色和紫色的花不在同一花坛，则要把ad 和bc 都要排除 红色和紫色的花不在同一花坛的结果有8种∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝128＝32解法二：（不重复的树状图）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d种在第1个花盆的树状图如下所有可能的结果有6种红色和紫色的花不在同一花坛，则要把ad 和bc 都要排除红色和紫色的花不在同一花坛的结果有4种∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝64＝32解法三：（列举法）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d则种在第1个花盆所有可能的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种红色和紫色的花不在同一花坛的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共4种（说明：(a ，d )和(b ，c )都要排除）∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝64＝32【小结】列出所有可能的结果，找到符合条件的结果，注意要排除不符合条件的结果．2．（2017广州一模，文7，5分）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )（A ）14 （B ）716 （C ）12 （D ）916解法一：树状图设四个人别为①、②、③、④，正面为A ，反面为B树状图如下所有可能的结果有16种没有相邻的两个人站起来的结果有7种（注意排除ABBA 种情况）b c d a c d a b d a b c √　√ √ √　√ √ √　√a b c d b c d c d d √　√ √　√a b c① A B② A B A B ③　A B A B A B A B④A B A B A B A B A B A B A B A B √ √ √　√ √　√　√7∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝16解法二：列举法（列举法容易出现错误，建议采用解法一的树状图）设四个人别为①、②、③、④，正面为A，反面为B所有可能的结果有：（①，②，③，④）(A，A，A，A)，(A，A，A，B)，(A，A，B，A)，(A，A，B，B)(A，B，A，A)，(A，B，A，B)，(A，B，B，A)，(A，B，B，B)(B，A，A，A)，(B，A，A，B)，(B，A，B，A)，(B，A，B，B)(B，B，A，A)，(B，B，A，B)，(B，B，B，A)，(B，B，B，B)共16种没有相邻的两个人站起来的结果有：(A，B，A，B)，(A，B，B，B)，(B，A，B，A)，(B，A，B，B)(B，B，A，B)，(B，B，B，A)，(B，B，B，B)，共7种（说明：(A，B，B，A)要排除）7∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝163．（2015全国Ⅰ卷，文4，5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．B．C．D．【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有10种取法：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)其中能构成一组勾股数的有1种：(3，4，5)∴所求事件的概率P＝，故选C．4．（2014全国Ⅰ卷，文13，5分）．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为______．【解析】设2本不同的数学书为a1、a2，1本语文书为b在书架上的排法有：a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种其中2本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种∴2本数学书相邻的概率P＝＝．5．（2014全国Ⅱ卷，文13，5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______．【解析】甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝，共9种其中颜色相同的有3种∴所求概率为＝．6．（2013全国Ⅰ卷，文3，5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．B．C．D．【解析】从1，2，3，4中任取2个不同的数共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种不同的结果取出的2个数之差的绝对值为2的有(1，3)，(2，4)，共2种结果∴概率为，故选B．7．（2013全国Ⅱ卷，文13，5分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【解析】任取两个不同的数的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种其中和为5的有2种∴所求概率为＝0.28．（2011全国Ⅰ卷，文6，5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝ ＝，故选A ．9．（2016江苏，文7，5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．【解析】先后抛掷2次(1，1)(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)(5，1)(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)(6，1)(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)基本事件总数有36种点数之和小于10的基本事件共有30种 ∴所求概率为305.366=10．（2016四川，文13，5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是______．【解析】从2，3，8，9中任取两个不同的数字(2，3)，(2，8)，(2，9)(3，2)，(3，8)，(3，8)(8，2)，(8，3)，(8，9)(9，2)，(9，3)，(9，8)共12种log a b 为整数只有log 28，log 39两个基本事件 ∴所求概率21126P==．11．（2016天津，文2，5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为( ) （A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 【解析】甲不输的概率＝21＝31＝65，故选A ．12．（2016全国Ⅲ卷，文5，5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )（A ）815 （B ）18 （C ）115 （D ）130【解析】开机密码的可能有(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种可能∴小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点二】几何概型13（2016全国Ⅱ卷，文8，5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()（A）710（B）58（C）38（D）310【解析】∵红灯持续时间为40秒∴这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B．【考点三】统计14．（2016山东，文3，5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是()（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22．5小时的人数是200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=，选D．15．（2016上海，文4，5分）4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1．80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是______米）．【答案】1.76【解析】将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，这五个数的中位数是1.76．。