数学分析：第章数项级数

项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。

在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。

项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。

举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。

项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。

当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。

对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。

如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。

其中，Sn 表示项级数的前n项和。

为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。

1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。

项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。

4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。

项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。

第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。

数学分析中的级数理论数学分析中的级数理论是数学分析学科的重要部分，研究了无限级数的收敛性、发散性、求和等重要性质。

无限级数，实质上就是将无穷多的数加在一起所得到的和，它们在物理、工程、经济等领域都有广泛应用。

第一章：无穷级数的定义与性质1.1 无穷级数的概念在数学中，无穷级数是具有形式 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的无穷和，其中 $a_n$ 是数列 $\{ a_n \}$ 的第 $n$ 项。

1.2 无穷级数的收敛性和发散性无穷级数的收敛性和发散性是研究无穷级数的重要内容。

若 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和数列 $\{ s_n \}$ 收敛于$s$，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，记作$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=s$，$s$ 称为无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的和。

若 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和数列 $\{ s_n \}$ 发散，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 发散。

1.3 无穷级数收敛的充分条件无穷级数收敛的充分条件有：（1）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。

（2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 单调递减且不为负数，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。

1.4 级数收敛的判别法级数收敛的判别法有很多，这里只介绍比较常用的几种：（1）比较判别法设 ${a_n}$ 和 ${b_n}$ 是两个数列，则：若 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛而 $|a_n| \leqslant b_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛。

若 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 发散而 $|a_n| \geqslant b_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 发散。

数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。

数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。

首先，我们来定义数项级数。

数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。

我们首先来讨论数项级数的部分和序列。

部分和序列是数项级数中非常重要的概念。

如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。

如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。

接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。

首先是数项级数的有界性。

如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。

这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。

其次，我们来看数项级数的比较判别法。

这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。

如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。

该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。

再次，我们来看数项级数的比值判别法。

如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。

最后，我们来看数项级数的积分判别法。

对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。

以上是数项级数的一些基本概念和性质。

第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。

第十章 数项级数§1 级数问题的提出1．证明：若微分方程0=+'+''xy y y x 有多项式解n n x a x a x a a y ++++= 2210，则必有),,2,1(0n i a i ==．证明 由多项式解nn x a x a x a a y ++++= 2210得1232132-++++='n n x na x a x a a y ， 22432)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a a y .从而 134232)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a x a y x ， 且 111232210+---++++++=n n n n n n x a x a x a x a x a x a xy .将上述结果代入微分方程0=+'+''xy y y x ，得342231201)16()9()4(x a a x a a x a a a ++++++0)(11122=++++++---n n n n n n n x a x a x a n a .比较系数得递推公式如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+=+=+=--.0,0,0,09,04,012231201n n n n a a a n a a a a a a由此解得0210=====n a a a a ，因而),,2,1,0(0n i a i ==．2．试确定系数 ,,,,10n a a a ，使n n nx a∑∞=0满足勒让德方程0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x .解 设nn nx ay ∑∞==，则11-∞=∑='n n n xna y ，22)1(-∞=∑-=''n n nx an n y ，故∑∑∑∞=∞=-∞=----=--=''-2222222)1()1()1()1()1(n n n n n n n n n x a n n xa n n xa n n x y x ，∑∑∞=∞=--=-='-111222n n n n n n x na xna x y x ，∑∑∞=∞=+=+=+0)1()1()1(n n n n nn x a l l x a l l y l l .将上述结果代入勒让德方程0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x ，得y l l y x y x )1(2)1(02++'-''-=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-++----=01222)1(2)1()1(n n n n nn n nn n n n x a l l x na x a n n xa n n∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+++---++=0122)1(2)1()1)(2(n n n n nn n nn n nn x a l l x na x a n n x a n n .比较系数，得递推公式如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++++-=+++--=++-=++-=++++-.,0)1)(2()1)((,0)1()))(1((,012)3)(2(,06)2)(1(,02)1(211423120n n n n a n n a n l n l na n a n l n l a a l l a a l l a a l l 由此解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++-+-+--=⨯⨯⨯++--=⨯+--=⨯+--=-++++-+--=⨯⨯++-=⨯+--=+-=+,)!12()2()4)(2)(1()32)(12()1(,2345)4)(2)(1)(3(45)4)(3(,23)2)(1(,)!2()12()3)(1()42)(22()1(,234)3)(1()2(34)3)(2(,2)1(112135130202402a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a k k k k从而可以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+--+=∑∞=1200)!2()12()1()42)(22()1(k k k x k k l l l k l k l a a y⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-+--++∑∞=+11211)!12()2()2)(1()32)(12()1(k k k x k k l l l k l k l a x a .其中10,a a 取任何常数．§2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和： （1）∑∞=+-1)15)(45(1n n n ； （2）∑∞=-12141n n；（3）∑∞=---1112)1(n n n ； （4）∑∞=-1212n nn ； （5）1,sin 1<∑∞=r nx rn n；（6）1,cos 1<∑∞=r nx rn n．解（1）由于⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-15145151)15)(45(1n n n n ，故)15)(45(11161611+-++⨯+⨯=n n S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=1514511116161151n n )(51151151∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n ， 所以级数的和51=S . （2）由于⎪⎭⎫⎝⎛+--=-121121211412n n n ，故)(21121121121121513131121∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=n n n n S n .所以级数的和21=S . （3）322111212)1(11111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-=--∞=∞=--∑∑n n n n n ．（4）12221222121111-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=n nn nn n n n nn n ，因此欲求原级数的和，只需计算级数∑∞=122n n n 即可．对级数∑∞=122n n n ，设其部分和n n n S 2226242232++++= ，则 14322222226242221++-++++=n n n nn S ， 故1432222222222212121+-+++++=-=n n n n n n S S S 1432222121212121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n112222112112121+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n . 从而221lim =∞→n n S ，即4lim =∞→n n S ，因此原级数31412221211=-=-=-∑∑∞=∞=n n n n n n ． （5）由于级数的部分和kx rS nk kn sin 1∑==，故[]x k x k r x kx rxS r nk k nk k n )1sin()1sin(cos sin 2cos 21111-++==∑∑=+=+x k r x k rnk k nk k )1sin()1sin(1111-++=∑∑=+=+kx rrkx r n k kn k k sin sin 1212∑∑-=+=+=)sin ()sin )1sin((21nx r S r x r x n r S n n n n -+-++=+，从中解得xr r xn r nx r x r S n n n cos 21)1sin(sin sin 212-++-+=++.又由于当∞→n 时，0)1sin(,0sin 1122→≤+→≤++++n n n n r x n r r nx r ，故xr r xr S n n cos 21sin lim 2-+=∞→， 因此xr r xr nx r n n cos 21sin sin 21-+=∑∞=．（6）级数的部分和kx rS nk kn cos 1∑==，从而[]x k x k r x kx rxS r nk k nk k n )1cos()1cos(cos cos 2cos 21111-++==∑∑=+=+x k r x k rnk k nk k )1cos()1cos(1111-++=∑∑=+=+kx rrkx r n k kn k k cos cos 1212∑∑-=+=+=)cos 1()cos )1cos((21nx r S r x r x n r S n n n n -++-++=+，从中解得x r r r x r x r r r x n r nx r x r S n n n n n cos 21cos cos 21)1cos(cos cos lim lim 222212-+-=-+-+-+=++∞→∞→. 因此x r r r x r nx r n ncos 21cos cos 221-+-=∑∞=． 2．讨论下列级数的敛散性： （1）∑∞=-112n n n； （2）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n nn； （3）∑∞=+112cosn n π；（4）∑∞=+-1)13)(23(1n n n ； （5）∑∞=+++1)1()1(1n n n n n ．解（1）由于通项)(02112∞→≠→-n n n ，故原级数发散． （2）由于∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=112121n nn n ，∑∑∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛=113131n nn n 均收敛，故原级数收敛．（3）由于通项)(010cos 12cos ∞→≠=→+n n π，故原级数发散．（4）由于⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-13123131)13)(23(1n n n n ，从而部分和)13)(23(1741411+-++⨯+⨯=n n S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=131231714141131n n)(31131131∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n ， 因而原级数收敛．（5）由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+=+++11111)1()1(1n n n n nn n n n n ，从而∞→n 时， 111111131212111→+-=+-++-+-=n n n S n ，故原级数收敛．3．证明定理10.2．定理10.2 若级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv收敛，则级数)(1n n nv u±∑∞=也收敛，且∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.证明 设∑∑==='=nk k nnk kn v S uS 11,，则由已知条件知，存在有限数s s ',，使得 s v S s u S nk k n nn nk k n n n '=='==∑∑=∞→∞→=∞→∞→11lim lim ,lim lim ， 设级数)(1n n nv u±∑∞=的部分和数列为n μ，则)()(111∞→'±→'±=±=±=∑∑∑===n s s S S v u v u nn nk k nk k nk k k n μ， 所以)(1n n nv u±∑∞=也收敛，且∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n n v u v u ．4．设级数∑∞=1n nu各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数∑∞=1n nU，即,2,1,0,1211=+++=++++n u u u U n n n k k k n ，其中 <<<<<<=+12100,0n n k k k k k k ，若∑∞=1n nU收敛，证明原来的级数也收敛．证明 设∑∑====nk k n nk kn U uS 11,σ，则n nk k n U U U U +++==∑= 211σ)()(21112121k k k k u u u u u u +++++++=++ n n n n k k k k S u u u =+++++++--)(2111 .由于∑∞=1n nU收敛，故}{n σ有界，即{n k S }有界，即存在0>M ，使得N n ∈∀，都有M S n k ≤.又由于∑∞=1n nu是正项级数，故M S S n k n ≤≤，而且{n S }单调上升，由单调有界原理可知，原级数∑∞=1n nu收敛．§3 正项级数1．判别下列级数的收敛性： （1）∑∞=+121n nn ；（2）∑∞=--1122)12(1n n n ； （3）∑∞=--112n n nn ； （4）∑∞=12sinn nπ；（5）)1(111>+∑∞=a a n n； （6）∑∞=11n nnn；（7）nn n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1121；（8）[]∑∞=+1)1ln(1n nn ；（9）∑∞=-+12)1(2n nn； （10）∑∞=13sin2n nn π；（11）∑∞=-+15sin ))1(3(n nn n π；（12）∑∞=11!2sin n nn ； （13）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n n ； （14）∑∞=11cos n n ； （15）∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln 1n n n ； （16）∑∞=+12)1ln(n n n ； （17）∑∞=11arcsin 1sin n n n ； （18）∑∞=12arctan n nn π；（19）∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111n n ； （20）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+122111n n ．解（1）∑∞=+121n nn ．由于111lim2=+∞→nnn n ，而∑∞=11n n 发散，所以级数∑∞=+121n nn 发散．（2）∑∞=--1122)12(1n n n ．对任意正整数n ，都成立关系式nn n n 2121222212)12(1≤≤---， 而级数∑∞=1222n n 收敛，由比较判别法知，原级数收敛． （3）∑∞=--112n n n n ．由于02112lim ≠=--∞→n n n n ，所以级数∑∞=--112n n nn 发散．（4）∑∞=12sin n nπ．由于ππ=∞→n n n 212sinlim，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=12sin n nπ收敛． （5）∑∞=+111n n a ．由于1>a ，故n nn a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=<+1111，而∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n na 收敛，由比较判别法知，级数∑∞=+111n na收敛． （6）∑∞=11n n n n ．由于11lim 11lim ==∞→∞→n n n n n nn n ，而∑∞=11n n 发散，故∑∞=11n n nn 发散．（7）nn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121．由于10121lim 121lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n n n ，故级数nn n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1121收敛．（8）[]∑∞=+1)1ln(1n nn ．由于10)1ln(1lim )1ln(1lim <=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n nn ，故原级数收敛．（9）∑∞=-+12)1(2n nn． 方法1因为∑∑∑∞=∞=-∞=-+=-+11112)1(212)1(2n n n n n n nn ，而∑∞=-1121n n 和∑∞=-12)1(n n n 均收敛，故∑∞=-+12)1(2n nn收敛． 方法2 由于n n n 232)1(2≤-+对一切n 都成立，而∑∞=123n n 收敛，故∑∞=-+12)1(2n nn 收敛．（10）∑∞=13sin2n nnπ．由于πππ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→nn n n n nn n n 3123sin2lim 323sin2lim，而∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n收敛，故原级数收敛．（11）∑∞=-+15sin))1(3(n nnn π．由于4)1(3≤-+n，因此，若∑∞=15sin 4n nn π收敛，则原级数收敛.考虑级数∑∞=15sin4n nnπ，由于πππ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→nn nn n n nn n 5145sin4lim 545sin4lim，且∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n n收敛，故∑∞=15sin4n nn π收敛，因而原级数收敛．（12）∑∞=11!2sin n nn ．由于!1!2sin n n n ≤，而∑∞=1!1n n 收敛，因而原级数收敛．（13）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n n ．由于21121sin 2lim 11cos 1lim22==⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→n n n n n n n ，而∑∞=11n n发散，因而原级数发散．（14）∑∞=11cos n n ．由于011cos lim ≠=∞→n n ，由级数收敛的必要条件知，原级数发散． （15）∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln 1n n n ．由于1111ln lim 111ln 1lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n n ，而∑∞=1231n n 收敛，故原级数收敛．（16）∑∞=+12)1ln(n n n ．由于0)1ln(lim 1)1ln(1lim 232=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=1231n n 收敛，故原级数收敛．（17）∑∞=11arcsin 1sin n n n ．由于111arcsin 1sin lim2=∞→n n n n ，而级数∑∞=121n n收敛，故原级数收敛．（18）∑∞=12arctan n nn π．由于极限ππ=∞→n n n n n 22arctanlim，而对于级数∑∞=12n nn ，根据1212lim <=∞→nn n n ，故由根式判别法知，级数∑∞=12n nn 收敛，因而原级数收敛． （19）∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111n n ．对通项进行分子有理化可得 )1(21)1(2111211111111111+>+=+>++=++=-+n n n nn n n n n n n ， 由于∑∞=+1)1(21n n 发散，故原级数发散．（20）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111n n ．由于422212111n n n +=-⎪⎭⎫⎝⎛+，而级数∑∑∞=∞=14121,2n n n n 均收敛，因而原级数收敛．2．判别下列级数的敛散性：（1）∑∞=1!n nn n ；（2）∑∞=12ln n nnn ； （3）∑∞=12!n n nn n ；（4）∑∞=13!n n nnn ；（5）∑∞=1!n n nne n ；（6）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121n nn n n ；（7）212312nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+； （8）∑∞=++1212)3(n n nn n n ；（9）)0()1()1)(1(12≥+++∑∞=x x x x x n nn； （10）+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+107419753741753415313． 解（1）∑∞=1!n n n n ．由于11lim !)!1()1(lim 1>=⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞→+∞→e n n n n n n n n n n n ，所以∑∞=1!n n n n 发散． （2）∑∞=12ln n nnn ．由于 121ln 1ln 1lim 21lim ln )1ln(21lim 2ln 2)1ln()1(lim 1<=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→∞→∞→+∞→n n n n n n n nn n n n n n n n n n n ， 根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛．（3）∑∞=12!n n n n n ．由于121lim 22!)1(2)!1(lim 11<=⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞→++∞→e n n n n n n n n n n n n n ，故∑∞=12!n n n n n 收敛． （4）∑∞=13!n n n n n ．由于131lim 33!)1(3)!1(lim 11>=⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞→++∞→e n n n n n n n n nn n n n ，故∑∞=13!n n n n n 发散． （5）∑∞=1!n n nne n ．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比判别法判别，但由斯特林公式可知)10(2!12<<⎪⎭⎫⎝⎛=θπθnn e e n n n ，因而πππθθn e n ne e e n n ne n n n n n nn n222!1212>=⎪⎭⎫⎝⎛=，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知原级数∑∞=1!n n nne n 发散．（6）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121n n n n n ．因为101)(lim 1lim 22<=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n n n n n n n n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121n n n n n 收敛． （7）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-+122312n n n n ．由于1322312lim2312lim 2<=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→∞→n n n n n n n n ，由柯西判别法知，原级数收敛．（8）∑∞=++1212)3(n n nn n n ．由于)(031)3()3(222212∞→→+=+++n nn n n n n n n n n n n，因此，如果级数∑∞=+122)3(n n n n n n 收敛，则原级数也收敛.考虑级数∑∞=+122)3(n n nn n n ，由于1313lim)3(lim 222<=+=+∞→∞→nn nn n n n nn n n ，故它收敛，因而原级数也收敛．（9）)0()1()1)(1(12≥+++∑∞=x x x x x n nn．当0=x 时，级数显然收敛；当0>x 时，由于⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=+=+++++++∞→++∞→.1,0,1,21,10,1lim )1()1)(1()1()1)(1(lim 12121x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n 因而∑∞=+++12)1()1)(1(n nnx x x x 收敛，因此原级数对一切0≥x 收敛． （10） +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+107419753741753415313．级数的一般项)23(741)12(753-⋅⋅+⋅⋅=n n u n ，由于1321332lim )23(741)12(753)13(741)32(753lim lim1<=++=-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ， 因而原级数收敛．3．判别级数的敛散性：（1）∑∞=1ln 1n nn；（2）∑∞=1ln )(ln 1n nn ； （3）∑∞=1ln 21n n；（4）∑∞=1ln 31n n；（5）∑∞=131n n；（6）∑∞=13n nn；（7）∑∞=1ln n p n n（p 是任意实数）； （8）∑∞=2ln 1n pnn （p 是任意实数）． 解（1）∑∞=1ln 1n nn．当9≥n 时2ln >n ，故当9≥n 时2ln 11n n n <，而∑∞=121n n收敛，由比较判别法知，原级数收敛．（2）∑∞=1ln )(ln 1n n n ．由于)ln(ln ln 1)(ln 1n n n n =，且)()ln(ln ∞→+∞→n n ，故存在N ，当N n >时2)ln(ln >n ，从而2)ln(ln n n n >，即当N n >时，2ln )(ln n n n>，而级数∑∞=121n n收敛，故原级数收敛．（3）∑∞=1ln 21n n．方法1 由于n n n u u n n n n n n n n n nn 112lim 12lim 12121lim 1lim 11ln 11ln )1ln(ln 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→+∞→， 该极限为型极限，由L ＇hospital 法则得 12ln 11112ln 2lim112lim22111ln 11ln <=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn nn n n n n ， 由Raabe 判别法知，原级数发散．方法2 由于n enn=<ln ln 2，所以n n 121ln >，而级数∑∞=11n n发散，由比较判别法知，原级数∑∞=1ln 21n n发散.（4）∑∞=1ln 31n n．由于13ln 13lim 1lim )11ln(1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→+∞→n n n n n n u u n ，由Raabe 判别法知，原级数收敛．一般地，对)0(11ln >∑∞=a an n，当e a ≤<0时，对一切N n ∈，n e a n n =<ln ln 成立，所以n a n11ln ≥，从而∑∞=1ln 1n n a 发散；当e a >时，由于1ln 1lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→a u u n n n n ，由Raabe 判别法知，级数∑∞=1ln 1n na收敛．（5）∑∞=131n n．由于+∞=∞→n n n ln lim，所以存在0>N ，当N n >时，有3ln 2ln >n n ，即n n ln 23ln >，从而23n n>，故2131n n <，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=131n n 收敛． （6）∑∞=13n nn．由于+∞=∞→n n n ln lim，所以存在0>N ，当N n >时，有3ln 3ln >n n ，即n n ln 33ln >，从而33n n>，故213n n n <，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=13n n n 收敛．（7）∑∞=1ln n p n n （p 是任意实数）．由于当3>n 时，p p n nn ln 1<，所以若∑∞=11n p n 发散，则原级数必发散，而1≤p 时∑∞=11n p n 发散，因而1≤p 时，原级数∑∞=1ln n p nn发散．当1>p 时，由于21211111)1(11)1(1ln 11ln 11ln ln p x p x x p tdt p dt t t dt t t p p x p x p xp-+---=-=⋅=--+--⎰⎰⎰， 因而211)1(1ln ln limp dx x x dt t t p xp x -==⎰⎰∞+∞→，利用柯西积分判别法知，原级数收敛． （8）∑∞=2ln 1n p n n （p 是任意实数）．当1>p 时，由于p p n n n 1ln 1<且∑∞=21n p n收敛，故原级数收敛；当1=p 时，由于)2ln(ln )ln(ln ln ln 1ln 122-==⎰⎰x t d t dt t t x x，因而+∞==⎰⎰∞+∞→dx xx dt t t x x 22ln 1ln 1lim ，由柯西积分判别法知，原级数发散；当1<p 时，由于n n n n p ln 1ln 1>，而∑∞=2ln 1n n n 就是前面1=p 时的级数，已证得它发散，因而原级数发散．4．利用Taylor 公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：（1）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n pn n e ；（2）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3cos 1ln n pn π； （3）∑∞=+--+111ln)1(n p n n n n ； （4）∑∞=++-+142)(n b n n a n ．解（1）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n pn n e ．令xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=11)(，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 11ln )(ln ，从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+='1111ln 1111111ln )()(2x x x x x x x x f x f x ， 因此⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→∞→∞→1111ln 11lim 11111ln 11lim111lim 2200n n n n nn n n nn e n n nn nn ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1113121111lim 3322n n n n n n n nn ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→332213121)1(111lim n n n n n n n nn 22113121)1(11lim 2e e n n n n n n nn =⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→ . 该极限为有限数，因而nn e ⎪⎭⎫⎝⎛+-11与n 1是同阶无穷小量，由于∑∞=11n p n当1>p 时收敛，1≤p 时发散，因而原级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n pn n e 当1>p 时收敛，1≤p 时发散．（2）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3cos 1ln n pn π．由于 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+===n n n nππππ22tan 1ln 21sec ln 21sec ln cos 1ln⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n nπππ2222tan 2)(tan tan 21 ， 故21cos 1ln lim 22ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→nn n ，这是一个有限数，从而n πcos 1ln 与21n 是同阶无穷小量，因此原级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3cos 1ln n pn π与∑∞=121n p n的收敛性一致，所以当12>p 即21>p 时，原级数收敛，而当12≤p 即21≤p 时，原级数发散．（3）∑∞=+--+111ln)1(n p n n n n ．由于0)1(>-+pn n ，011ln <+-n n ，故原级数是负项级数，又由于⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+---+121ln 1111ln)1()1(n n n n n n n pp ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=111211n n n n p，故11ln)1(+--+n n n n p与121+p n 是同阶无穷小量，因而当112>+p ，即0>p 时，原级数收敛，0≤p 时，原级数发散．（4）∑∞=++-+142)(n b n n a n ．因为42242)(bn n a n b n n a n b n n a n ++++++-+=++-+))(()12(2422b n n a n b n n a n ba n a ++++++++-+-=，因而当21=a 时，上式与231n 是同阶无穷小量，故原级数收敛；当21≠a 时，上式与211n 是同阶无穷小量，故原级数发散．5．讨论下列级数的收敛性：（1）∑∞=2)(ln 1n pn n ； （2）∑∞=⋅⋅2ln ln ln 1n n n n ； （3）)0(ln ln )(ln 121>∑∞=+σσn nn n ；（4）∑∞=2)ln (ln )(ln 1n qpn n n ． 解（1）∑∞=2)(ln 1n p n n ．令函数px x x f )(ln 1)(=，则该函数在),2[+∞非负、连续且单调下降．当1=p 时，由于+∞=-==∞→∞→∞→⎰⎰))2ln(ln )(ln(ln lim ln ln 1lim ln 1lim 22x t d t dt t t x x x xx ，因而原级数发散．当1≠p 时，由于⎰⎰⎰-∞→∞→∞→==x px xp x xx t d t dt t t dt t f 222ln )(ln lim )(ln 1lim )(lim()p p x x p--∞→--=11)2(ln )(ln 11lim⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1)2(ln ,1,1p p p p因而由柯西积分判别法知，当1<p 时级数发散，当1>p 时级数收敛．综上可知，级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛，在1≤p 时发散．（2）∑∞=⋅⋅2ln ln ln 1n nn n ．根据级数通项nu ，可令函数x x x x f ln ln ln 1)(⋅⋅=，则)2(),(≥=n n f u n 且)(x f 在),2[+∞非负、连续且单调下降，由于⎰⎰⎰∞→∞→∞→==x x xx x x t d tt d t t dt t f 222ln ln ln ln 1lim ln ln ln ln 1lim )(lim[]+∞=-=∞→2ln ln ln ln ln ln lim x x .由柯西积分判别法知，原级数发散．（3）)0(ln ln )(ln 121>∑∞=+σσn nn n ．由于+∞=∞→n n ln ln lim ，故当n 充分大时，1ln ln >n ，因而σσ++≤11)(ln 1ln ln )(ln 1n n n n n ，由（1）知∑∞=+21)(ln 1n n n σ收敛，从而原级数收敛．（4）∑∞=2)ln (ln )(ln 1n qpn n n ． 当1=p 时，由于⎰⎰∞+∞+=22)ln(ln )ln (ln 1)ln (ln ln 1x d x dx x x x q q，故1>q 时级数收敛，1≤q 时级数发散．当1>p 时，令)0(21>+=σσp ，则qq p n n n n n n n n u )ln (ln )(ln )(ln 1)ln (ln )(ln 11σσ+==， 由于+∞=∞→qn n n )ln (ln )(ln lim σ，故存在0>N ，任意N n >时，1)ln (ln )(ln >qn n σ，从而σ+<1)(ln 1n n u n ，而由（1）知∑∞=+11)(ln 1n n n σ收敛，从而原级数收敛． 当1<p 时，令)0(21>-=σσp ，则qq p n n n n n n n n u )ln (ln )(ln )(ln )ln (ln )(ln 11σσ-==， 由于+∞→q n n )ln (ln )(ln σ，从而当n 充分大时，1)ln (ln )(ln >qn n σ，从而σ-≥1)(ln 1n n u n ，而由（1）知∑∞=-11)(ln 1n n n σ发散，因此原级数发散． 综上可知，原级数∑∞=2))(ln(ln )(ln 1n qp n n n 的收敛情况是：当1>p 或1,1>=q p 时收敛，当1<p 或1,1≤=q p 时发散．6．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性．（1）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1!)!2(!)!12(n pn n (p 是实数)；（2）)0,0(1!)1()1(1>>-++∑∞=βααααβn n n n ．解（1）级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1!)!2(!)!12(n pn n 的通项pn n n u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=!)!2(!)!12(，因而根据二项展开式得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→+∞→1!)!12(!)!22(!)!2(!)!12(lim 1lim 1p n n n n n n n n n u u n []pp p n p n n n n n n n n )12()22()12(lim 11222lim +-++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→∞→()()[]1)2()2(22)2()2()12(lim11+++-++⋅++=--∞→ p p p p p pn n p n n p n n n []2)12()12()2(lim 1pn n p n p p p n =+-++=-∞→ . （上式也可以在第二个等式处将1222++n n 化为1211++n 直接使用二项展开式），所以当12>p 即2>p 时，原级数收敛，当12<p即2<p 时，原级数发散． 当2=p 时，Raabe 判别法失效，此时，由于对一切n ，222221)12(1111211n n n n n nn n u u nn n θμλ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+令， 即1,1==μλ而且1≤n θ，因而根据高斯判别法知，原级数发散．（2）)0,0(1!)1()1(1>>-++∑∞=βααααβn n n n .根据原级数的通项知ββαααααα)1()()1()!1(1!)1()1(1++++⋅-++=+n n n nn n u u n n βββαα⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=n n n nn n n 111)()1)(1(， 因而αααββ+--⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→+∞→n n n n n n n n n u u n n n n nn 11)1(lim 1111lim 1lim 1βαααβ+-=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→1111)1(lim nn n n n n ，所以当11>+-βα，即βα<时级数收敛；当11<+-βα，即βα>时级数发散.当βα=时，Raabe 判别法失效，此时由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+221112)1(11111n n n n n n n n u u n n αααααα⎪⎭⎫⎝⎛⋅++++-++++++-++=2211)(2)1()1()()1(1n n n n n n n n n n n ααααααααα 22)1(1)(2)1()1(111n n n n n n n n n θμλαααα++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++++-+++=令 ， 即1,1==μλ而且显然n θ有界，因而根据高斯判别法可知，原级数发散．7．已知两正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv发散，问),max (1∑∞=n n nv u，∑∞=1),min(n n n v u 两级数的收敛性如何？答 级数),max (1∑∞=n n nv u一定发散．事实上，0),m ax (≥≥n n n u v u ，而∑∞=1n n u 发散，故),max (1∑∞=n n nv u发散．∑∞=1),min(n n n v u 可能收敛，也可能发散．例如∑∑∞=∞=---+112)1(1,2)1(1n nn n 均发散，但由于0),min(=n n v u 对一切n 都成立，故∑∞=1),min(n n nv u收敛．8．若正项级数∑∞=1n n a 收敛，证明：02lim21=+++∞→nna a a nn ．证明 设正项级数∑∞=1n na的部分和n n a a a S +++= 21，则下述两式成立：121121)2()1(--++-+-=+++n n a a n a n S S S ， （*）n n na na na nS +++= 21， （**）用（**）减去（*）得n n n na a a S S S nS +++=+++-- 211212)(，两端同时除以n 可得nna a a n S S S nS nn n +++=+++-- 211212)(，即nna a a n S S S S n S n nn n n +++=++++--- 211212)1(，由于正项级数∑∞=1n na收敛，因而n n S ∞→lim 存在，假设s S n n =∞→lim ，根据收敛数列的算术平均数构成的新数列收敛，且与原数列极限相等可知，s nS S S nn =+++∞→ 21lim，因此0)1(lim 2lim12121=-=⎪⎭⎫⎝⎛++++--=+++-∞→∞→s s n S S S S n S n n na a a n n n n n n ，从而结论成立．9．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===≠=,,2,1,1,,2,1,,12222 k k a k k n n a k n求证：(1)∑∞=1n na收敛；(2) 0lim ≠∞→n n na ．证明（1）由于∑∞=121n n 收敛，故∑∑∞≠=∞≠==22,12,11k n n k n n n na 收敛，而∑∑∞=∞==12112k k kk a 收敛，从而∑∑∞≠=∞=+22,11kn n nk k aa收敛，即∑∞=1n na收敛．（2）考虑n na 的一个子列}{22k a k ，则11lim lim 2222==∞→∞→kka k n k n ，即0lim ≠∞→n n na ． 10. 设0>n a ，且l a a nn n =+∞→1lim，求证l a n n n =∞→lim ．反之是否成立?证明 令10=a ，构造数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-1}{n n n a a u ，则}{n u 的前n 项的几何平均数可构成一个新数列，由于新数列收敛且与数列}{n u 极限相同，故11111lim lim lim++∞→+∞→+∞→===n n n n n n nn n u u u u a a ln n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞→+++∞→+-+∞→==⋅⋅=lim 1lim lim 1111011211 ， 因而结论成立．反之不真，反例如级数∑∞=-+12)1(2n nn，由于21232)1(22121→≤-+=≤=nn n n n n n a ， 故21lim =∞→n n n a ，而 613221,231223************=⋅==⋅=++--m m m m m m m m a a a a ， 从而21lim1≠+∞→nn n a a ，因此反之结论不一定成立．11．利用级数收敛的必要条件证明：（1）0)!(lim 2=∞→n n n n ；（2）)1(0)!2(lim!>=∞→a a n n n ．证明（1）0)!(lim 2=∞→n n n n ．考虑级数∑∞=12)!(n nn n ，由于 )(011111∞→→⎪⎭⎫⎝⎛++=+n n n u u nn n ， 故级数∑∞=12)!(n n n n 收敛，因而0)!(lim 2=∞→n n nn ． （2）)1(0)!2(lim !>=∞→a a n n n ．考虑级数∑∞=1!)!2(n n an ，由于)(0)12)(22(!1∞→→++=+n a n n u u nn n n ， 所以级数∑∞=1!)!2(n n a n 收敛，因而)1(0)!2(lim !>=∞→a a n n n ． 12．设0≥n a ，且数列}{n na 有界，证明级数∑∞=12n na收敛．证明 由数列}{n na 有界知，存在0>M ，对N n ∈∀，都有M na n ≤，从而nMa n ≤，进一步可得222n M a n≤，又由于∑∞=121n n收敛，因而由比较判别法知，级数∑∞=12n n a 收敛．13．设正项级数∑∞=1n na收敛，证明∑∞=+11n n n a a 也收敛．证明 由于对任意n ，1+n n a a )(211++≤n n a a 均成立，而级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=+11n n a 均收敛，从而级数)(11∑∞=++n n na a也收敛，由比较判别法知，级数∑∞=+11n n n a a 收敛．14．设l a n n =∞→lim ，求证：（1）当1>l 时，∑∞=11n a nn 收敛； （2）当1<l 时，∑∞=11n a nn发散． 问1=l 时会有什么结论？证明（1）当1>l 时，令021>-=l ε，则由l a n n =∞→lim 知，存在N ，N n >∀时，有12121>+=--=->l l l l a n ε，从而当N n >时，2111+<l a n n n ，而∑∞=+1211n l n 收敛，故原级数收敛．（2）当1<l 时，令021>-=lε，则由l a n n =∞→lim 知，存在M ，M n >∀时，有12121<+=-+=+<l l l l a n ε，从而当M n >时2111+>l a n n n ，而∑∞=+1211n l n 发散，故原级数发散．当1=l 时，考虑级数∑∞=2)(ln 1n pn n ，由于nnp pn n n ln ln ln 1)(ln +=，令nnp a n ln ln ln 1+=，则1lim =∞→n n a ，此即为本题1=l 的情形，但由第5题（1）知，该级数在1>p 时收敛，1≤p 时发散，从而当1=l 时，级数∑∞=11n a nn 可能收敛也可能发散．§4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性：（1）∑∞=+-1100)1(n nn n；（2）∑∞=12sin ln n n n n π； （3）∑∞=++++-1131211)1(n nnn ；（4）∑∞=-+-2)1()1(n nnn ； （5）)1(sin 21+∑∞=n n π；（6）∑∞=--12)1(3)1(n n n n ；（7）)0()1(1>-∑∞=p n n pn； （8）2sin 311πn n n∑∞=； （9）∑∞=-12cos )1(n nnn； （10）∑∞=-12sin )1(n nn n；（11）)0(sin)1(1≠-∑∞=x nxn n ； （12）∑∞=+-12)1()1(n n n n； （13）++--+++--++--1111131131121121n n ； （14）)0(1)1(11>+-∑∞=+a a an n nn ；（15）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin n n n n ； （16）∑∞=⋅12sin sin n n n n ．解（1）∑∞=+-1100)1(n nn n．令100)(+=x x x f ，则2)100(2100)(+-='x x x x f ，显然当100>x 时0)(≤'x f ，即)(x f 单调下降并趋向于0．由于级数前有限项的值不影响该级数的敛散性，因而由Leibniz 判别法知原交错级数收敛．（2）∑∞=12sin ln n n nn π．由于⎩⎨⎧∈-=-∈==+++,,12,)1(,,2,02sin 1Z k k n Z k k n n k π 舍去偶数项，原级数∑∑∞=+∞=---=11112)12ln()1(2sin ln k k n k k n n n π变成交错级数．令x xx f ln )(=，则2ln 1)(xxx f -='，显然当3≥x 时0)(<'x f ，即)(x f 单调下降并趋向于0．因而从第3项开始，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 单调下降并趋向于0，故n 取奇数时该数列也是单调下降并趋向于0的，由Leibniz 判别法知，原交错级数收敛．（3）∑∞=++++-1131211)1(n nnn ．由于数列的前n 项的算术平均数构成的新数列极限与原数列极限相等，故根据数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减趋向于0知，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++n n 131211 单调递减趋向于0，又因为原级数是一个交错级数，由Leibniz 判别法知原交错级数收敛．（4）∑∞=-+-2)1()1(n nn n ．由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-+⋅-=-+-2311)1(1)1(1)1()1(11)1()1()1(nO n n n O n n nn n nn n n nnn ，而级数∑∞=-2)1(n nn及∑∞=2231n n收敛，但级数∑∞=21n n发散，因而原级数发散． （5）)1(sin 21+∑∞=n n π．由于)1(sin )1())1(sin()1sin(222n n n n n n n -+-=-++=+ππππnn n ++-=1sin)1(2π，又由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n 1sin 2π单调下降趋于0，故由Leibniz 判别法知原级数收敛． （6）∑∞=--12)1(3)1(n n n n ．由于∑∑∞=∞=-=-112)1(313)1(n nn nn n 收敛，故原级数绝对收敛，因而自身收敛．（7）)0()1(1>-∑∞=p n n p n ．由于pn 1单调递减趋向于0，根据Leibniz 判别法知原级数收敛．进一步可知：当10≤<p 时级数条件收敛，当1>p 时级数绝对收敛．（8）2sin 311πn n n ∑∞=．由于n n n 312sin31≤π，而∑∞=131n n 收敛，故原级数收敛且绝对收敛．（9）∑∞=-12cos )1(n nnn．由于 n k nk 2cos 1sin 24cos 1sin 22cos 1sin 22cos 1sin 21+++=∑=))12sin()12(sin()3sin 5(sin )1sin 3(sin --+++-+-=n n 1sin )12sin(-+=n ，故1sin 11sin 21sin )12sin(2cos 1≤-+=∑=n k nk ，即∑∞=12cos n n 的部分和数列有界，而数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调趋于0，由Dirichlet 判别法知级数∑∞=12cos n n n 收敛，即∑∞=-12cos )1(n n n n 收敛，从而原级。

第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式}n u ""++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项． ∑∞=1n nun u 数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和．n ∑==nk kn uS 1n 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于（即S S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为．若S ∑∞==1n nuS {}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<++++++p n n n u u u "21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑收敛，则∞=1n na0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且∑∞=1n nu∑∞=1n nvd c ,(∑∞=+1n n ndv cu)()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列∑∞=1n nu{}n S 有界．2 比较判别法 设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n >n n v u ≤（1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nv∞=1n nu（2）若发散，则∑发散．∑∞=1n nu∞=1n nv3 比较原则的极限形式 设和是两个正项级数，且∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，和∑具有相同的敛散性；∑∞=1n nu∞=1n nv（2）当时，若∑收敛，则收敛；0=l ∞=1n nv∑∞=1n nu（3）当时，若发散，则发散．+∞=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu4 设∑和是两个正项级数，且∞=1n n a ∑∞=1n n b 0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nb∞=1n na（2）若发散，则发散．∑∞=1n na∑∞=1n nb5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设是正项级数，若及常数，有∑∞=1n nu00>∃N 0>q（1）当时，0N n >11<≤+q a a n n ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）当时，0N n >11≥+n n a a ，则发散．∑∞=1n n u 6 比式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n n u q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当时，收敛；1<q ∑∞=1n nu（2）当若时，∑发散；1>q +∞=q ∞=1n nu（3）当时失效．1=q 当比式极限不存在时，我们有 设为正项级数．∑∞=1n nu（1）若1lim1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及正常数l ，∑∞=1n nu0N （1）若对一切，成立不等式0N n >1<≤l u nn ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >1≥n n u ，则级数∑发散．∞=1n nu8 根式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n nul u n n n =∞→lim ，则（1）当时级数收敛； 1<l （2）当时级数发散． 1>l 9 柯西积分判别法设为[上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收f )∞+,1()∑∞=1n n f ()∫∞+1dx x f敛或同时发散．10 拉贝判别法 设为正项级数，且存在某正整数及常数∑∞=1n nu0N r ，（1）若对一切，成立不等式0N n >111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n ，则级数∑收敛；∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >111≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+n n u u n ，则级数发散．∑∞=1n n u 注 拉贝判别法中（1）111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n 可转化为nru u n n −≤+11，1>r 收敛； （2）r u u n n n ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+11可转化为nru u n n −≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，收敛；∑∞=1n nu（2）当1<r 时，发散．∑∞=1n nu四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数，，满足下列两个条件：()∑∞=−−111n n n u 0>n u （1）数列{单减； }n u （2），0lim =∞→n n u 则收敛．∑∞=1n nu注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足()∑∞=−−111n n n u ()x R n ()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数，若∑∞=1n nu∑∞=1n nu收敛，则称绝对收敛；若收敛，而∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的．∑∞=1n nu显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真．∑∞=1n nu∑∞=1n nu绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑绝对收敛，其和为，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．∞=1n nuS 此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积 若和都绝对收敛，其和分别为∑∞=1n nu∑∞=1n nvA 和B ，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nvAB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛．}n a ∑∞=1n nbnn n ba ∑∞=1注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{单调有界，∑收敛，则级数收敛．}n a ∞=1n nbnn n ba ∑∞=1五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑，∞=1n nq1<q 收敛，1≥q 发散；（2）级数−p ∑∞=11n p n ，时收敛，1>p 1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，时收敛，1>p 1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，； 0>x （2）∑∞=1sinn nx，． R x ∈解（1）10<<x ，，0→n x 0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nn x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n nx 收敛． （2）当时收敛，当时，发散． 0=x 0≠x 例2 已知∑收敛．∞=12n na（1）判定()∑∞=+−1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≤+⋅−，与∑∞=12n n a ∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+−1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++−)]!1!21!111([n e "；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1cos 1n pn π，（） 0>p （5）∑∞=1!n n n nn a （）；e a a ≠>,0（6）()∑∞=−−+11312n n n ；（7）∑∞=−>−+111)0()2(n nna aa；（8）∑∫∞=+104411n n dxx ；（9）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n nn n ；（11）∑∞=3ln n pnn（）； 0>p （12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （）；（0>p 1=p 为大连理工） （13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n "； （14）()∑∞=⎦⎤⎢⎣⎡−+111ln n p n n （）； 0>p （15）()()∑∞=⋅−11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2ln 1n nn n p （）； 0>p（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x "0≥x （）； （19）()∑∞=+−⋅−+211ln1n pn n nn （）； 0>p （20）()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=−+−211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23）"+−−−+−−+−+2222222222； （24）()[]∑∞=−11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+−11n nn n；（中科院2002）（27）∑−nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++−=+−=+−=∑∑∑===n c n n n k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于""++++=++++−<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1"+++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1nn n n n n n n <+=++++++++<"， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnn⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−p n n pp ππ发散，21>p 收敛； （5）()()e a n n a n n a n n a nn n n n →⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，发散； e a >（6）()131312<→−+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=−∞=∞=−−+=−+111113131232n n n n n n n n ，收敛；或()1131312−−≤−+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2((lim )21()(lim )21()2(lim a x a a na a n a a x x x nnn nnn =−=−=−+−+→−∞→−∞→⇒收敛； 注：利用的Maclaurin 展开式估计分子的阶． x a （8）204421110nxdxdxx a n n n =≤+=<∫∫⇒ 收敛； （9）()nn n nn n n n n n −=−−=−−−111111=n n −231⇒收敛； 或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−n o n n n n n n 11111111111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=23231111n o n n n ⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）收敛；∑∞=⇒1n n a （10）()()()()nenn n n nn n nn nnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（）发散； 3>n ⇒ 当时，1>p ()()21211ln 1ln −−+⋅=p p p nnn n n ，当充分大时， n ()1ln 21<−p n n ⇒ ()2111ln −+≤p p nn n ⇒收敛．或当时，1>p 0ln 1ln 1ln 121<−=⋅−⋅=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−p p p pp x x p x xpx x x x x （），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．3>x （12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，，易知当1≥x 1=p 时，发散，时亦发散，而时收敛．()∫∞+1dx x f 10<<p 1>p （13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n "（）收敛； 3≥n ⇒（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅−−=p p p nn o n n 2211211，当绝对收敛，1>p 121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散． 注 能否利用()()p np n n n 1~11ln −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⇒()∑∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+⋅++=⋅−+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=+++−=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当较大时，，n 2ln e n >()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−（）， ∞→n 从而可以估计，于是可讨论pn nu −~n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n np n n pn ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=−∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim1()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim0−+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++−=→xpx x x x x p x 故，，所以当时收敛，当1lim =∞→n pn u n p n n u −~1>p 1≤p 时发散．（18）当时级数显然收敛； 0=x 当时，，故收敛；10<<x n n x u <当时，1=x nn u ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21，收敛；当时，1>x ()()()112111111−−<+<+++=n n n nn x x x x x x u "，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=−+n nn nn nn p p ppp， )(2~12~121ln 11ln∞→−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−n n n n n n ， 所以，211121~p p n n a +−⋅−)(∞→n ，由此易得：时收敛，0>p 0≤p 时发散． 注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111−+−−=−−−−=−+−=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<−−−=−−−⋅=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−x x x x x x xx x （） 1>x 由莱布尼兹判别法，()∑∞=−−211n nn n 收敛，而∑∞=−111n n 发散，故原级数发散． （22）当，发散，，绝对收敛，当0≤p 1>p 10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++++x xn nx x x x "，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ""，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则，于是2→n A 121222lim 222lim 222lim lim 22111<=−+−=−+−=−+−=→→−−∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−++++−12221111111n nn n n " 注意到通项中共有项，其中前项之和和后12+n n 1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<−+++<−+<+=" ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+" 因此()nn n n n 211111112222<−+++++<+" 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当时，则当时收敛，1=p 1>q 1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()∫∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得 ()∫∞+2ln ln ln q x x x dx ()∫+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>−=+∞==−+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当时发散，时收敛，事实上，1<p 1>p 当时，1<p ()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=−（n 充分大） 当时，1>p ()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+−−+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及发散知级数发散．∑−1n（27）由于{单调有界，}n arctan ∑−nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+−−++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=−122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=−11sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，n从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当由比式判别法知其收敛； 1>a （6）利用的Taylor 公式讨论． x sin 例4 讨论级数∑∞=11n pn的敛散性．分析：，柯西准则，发散；1=p 1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数收敛，则∑∞=12n n a ∑∞=1n nn a 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若，则发散，而∑收敛；（南开大学2001）0lim ≠=a na n n∑∞=1n na∞=12n na（3）若是收敛的正项级数，则当∑∞=1n n a 21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）． 分析：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤22121n a n a n n ； （2）01≠→=a na na n n ，发散，而∑收敛； ∑∞=1n n a ∞=12n na （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明： 0>n u （1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：0>≥c u n 0,0>∃>∀N ε，当，有+∈∀>Z p N n ,εc u u p n n <−+，又单调递减，所以，当时，有n u +∈∀>Z p N n ,ε<−≤−++−+−+−+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u u u u )1()1()1(1121"，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121−=−≥−++−+−+++−+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u uu u u u u u u u u "，令得上式右端的极限为，由柯西准则知∞→p ∞+∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当为正项级数时，∑na1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明∑∞=1n n a ∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n n n a a ，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾．∑∞=1n na例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数发散．令n n na ∑∞=−1)1(nn a a a u ++⋅+=11111121"，.,2,1"=n试问级数∑是否收敛，并说明理由．∞=1n nu证 级数收敛．这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是∑∞=1n nun n na ∑∞=−1)1({}n a 0lim >=∞→a a n n a a n ≥nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+="， 由比较原则知收敛．∑∞=1n nu例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01"=≤>+n a a a n n n 讨论级数"""++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→"21lim ，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当1>a 1<a 1=a 时，例10（中国矿大北研部）设，0>n a n n a a a S +++="21，级数．试证：∞=∑∞=1n na（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1），，于是0>n a ↑n S pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=−=≥∑∑111． 而，故，从而当充分大时，∞=∑∞=1n n a +∞=++∞→p n p S lim p 21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+≤∑∑∑=−=−=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a "，…，试问是否一定收敛？为什么？∑∞=1n n a 解 不一定．如级数∑∞=11n n，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n "； 但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数是否收敛？试证之．∑∞=1n n a 解 由于11sin2→−nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110−⋅−−≤=<−−nnn n n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=−11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知收敛．∑∞=1n na例13 设且单减，试证与同时敛散．0>n a ∑∞=1n na∑∞=122n nn a 证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()()""++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a "和∑∞=1n na()()()"""++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a "知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数收敛，且（∑∞=1n nan n nb a n a e a e++=",2,1=n ）．证明 （1）∑收敛；（华东师大）∞=1n nb（2）∑∞=1n nna b 收敛．（北京理工大学2003）证 解出得：n b ()0ln lim >−=∞→n a n n a eb n，而收敛，故当n 充分大时，∑∞=1n n a nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=−n nn n n a a a a a a e n"!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++"32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数收敛得∑∞=1n n a ∑∞=1n nn a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里是方程n x x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+∈ππππn n x n 2,12，()22111−<n x n ，，收敛． 1>n 例16 设，，11=u 22=u 21−−+=n n n u u u （）．问收敛吗？3≥n ∑∞=−11n nu解 由于03323233211211111<−=−=−=−+−−+−+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （）； 3>n 所以 321111≤=+−−+n n n n u u u u （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． n u 例17 设，证明级数 0>n a ()()()∑∞=+++121111n nna a a a " 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211""()()()()()()()"""++++++++−=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++−=1111111121321"" ()()()1111121<+++−=n na a a a "即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数："+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n n n n a n 12111212121211121""111121112112111221121+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=n a n n n n n n ""， ()()0ln 1211211121→++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n c n n n a ε"． 由莱布尼兹判别法知收敛．∑∞=1n na例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑； （2）),min(nnb a ∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则1−==n b a n n ∑),min(nn b a 发散；若取，，则n n a )1(1−+=1)1(1+−+=n n b 0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为． n n n a b a ≥),max(思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则收敛．∑nw提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212"+==∫+−n dx x x n x n nn n 证明收敛．∑∞=−−11)1(n nn x 提示：12212111−+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设收敛，∑∞=1n na0lim =∞→n n na ．证明：．∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an 证 记级数的前n 项和为，则∑∞=−−11)(n n na an n S 12113221)()(2)(++−+++=−++−+−=n n n n n na a a a a a n a a a a S ""，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数收敛于A ．证明：级数收敛，并求其和．∑∞=1n na∑∞=+−11)(n n na an 思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数收敛，证明：级数收敛．∑∞=−−11)(n n na an ∑∞=1n na思考题7（安徽大学2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−+1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na思考题8（华东师大2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−−1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na例21（吉林大学）证明级数"+−++−++−+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341"=−−−+−=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142−=−>，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为，故．n n n S S S 31323>>+++∞=∞→n n S lim 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． }n S 思考题9（武汉大学1999）级数""+−−+++−+−nn 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察． n S 2例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{和正整数数任意子序列{，都有∑∞=1n na}k p }k n .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "证 必要性．设级数收敛，则由柯西收敛准则得：∑∞=1n na,0,0>∃>∀N ε当时，，都有N n >+∈∀Z p ε<++++++p n n n a a a "21，从而当时，，于是对于任意的正整数序列N k >N n k >{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a "11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "充分性．反证法．若发散，则，使得∑∞=1n na+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε021ε≥++++++p n n n a a a "，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a "，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a "，如此下去，得一正整数子序列{和正整数序列}k n {}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a "，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+−−1111n np n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=−1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>−+−∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当时，不趋于0，发散； 0≤p n u 当时，原级数绝对收敛； 1>p 当时，10≤<p ()∑∞=−−1111n p n n收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→−−+−p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当时绝对收敛，当0=x 0≠x 时，不妨设，则0>x 0>∃N ，当时，有N n >20π<<x ，且nxsin关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n 又因为)(1sin)1(∞→→−n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当时，数列0>x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 ，所以222423n n n n <−+<xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤−+−<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛． 思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛． 思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数绝对收敛；∑∞=+−01)(n n n x x（2）求级数之和．∑∞=+−11)(n n n x x例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在的某邻域内有二阶连续导数，且0=x ()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim=→xx f x 得，()00=f ()00=′f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ′′=′′+′+=，10<<θ 由连续知，，有()x f ′′0>∃M ()M x f ≤′′，从而有2121nM n f ⋅≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 故∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在)(x f 0=x 的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数.2)0(,1)0(=′′=f f ∑∞=−1)11((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数在区间)(x f )1,1(−内具有直到三阶的连续导数，且，0)0(=f .0)(lim 0=′→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设（）单调，且级数0>n a ",2,1=n ∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++−111n nn a a n"是条件收敛还是绝对收敛．解 由于且单调，故0>n a 01→na ↑⇒n a ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅−=<+++⋅−++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n "" 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛．∞=1n nb(∑∞=−−11n n na a)∑∞=1n nn ba 证 设n nb b b S +++="21，则1−−=n n n S S b ，于是由收敛知：，∑∞=1n nb0>∃M M S n ≤，．由收敛知：",2,1=n (∑∞=−−11n n n a a )0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<−++−+−−+−111m m n n n n a a a a a a "，又收敛，对上述{}n S 0>ε，，02>∃N 2N n >∀，，有2N m >ε<−m n S S ，取{}1,max 21+=N N N ，于是，当时，N m n >,m m n n n n b a b a b a +++++"11()()()1111−++−−++−+−=m m m n n n n n n S S a S S a S S a "[]()11121−−+++−+−+−++−+−≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M "εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑收敛．∞=1n nn ba 另证收敛⇒∑∞=1n nb0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<∑++=pn n k kb1．记，，则∑++==in n k ki bS 1p i ,,2,1"=ε<i S ，p i ,,2,1"=．由绝对收敛得其部分和有界，即，有(∑∞=−−11n n na a)0>∃MM a aS mn n nm ≤−=′∑=−11，",2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++−+−++++++=+−++−+−≤∑113222111"p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<−++−+=−+++01010"，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛．∑∞=1n na∑∞=+++121)(n n na a a a"证 记，则由绝对收敛知收敛，所以{有界，即，有n n a a S ++="1∑∞=1n na∑∞=1n na}n S 0>∃M .,2,1,"=≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21"，由绝对收敛知级数∑也绝对收敛．∑∞=1n na∞=+++121)(n n na a a a"思考题14（华中科技2004）设，求级数之和．)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ∑−+)(1n n nx x a提示：1−−=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑都收敛，则级数绝对收敛．∞=1n n nx a∑∞=1n n a 分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{，使得级数发散，于是问题转化为：从}n x ∑n nx a∑+∞=n a 出发，构造出满足条件的数列{．联想例10中（1）的结论立明．}n x证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前项和为，则n n S +∞=∞→n n S lim ．取210=ε，，，由0>∀N N n >∃+∞=∞→n n S lim 得 210lim<=∞→mn m S S ，从而当充分大（）时，有m n m >21<m n S S ，于是0221121ε=>−≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a "， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．∑∞=1n n n x a 思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则存在收敛于0的正数序列，使得级数发散．∑∞=1n na{}n b ∑∞=1n n n b a 例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为，将其分成两项 n S −++=nn n S S S ， 其中分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限−+nnS S ,−+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=−=≥111212cos 21121sin sin n n n n n n n n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→−∞→−=−−+=∑=−+−+−n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim −=−=−+=−∞→−−−+∞→−+∞→nnn n n n n n n n n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：∑∞=1n na（1）∑收敛； （2）∞=1n na ⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下： "+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1，同时 +∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数""+−++−+−−n n a a a a a a 2124321 （）0>n a 部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：∑∑==−−=n k k nk k n a aS 121122∑∞=1n n a 0→n a ∑∞=−112k k a∑∞=12k ka()""+−−+−+−+−nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由．∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=13n na解 未必收敛．如级数∑∞=−1)1(n nn收敛，但发散．令∑∞=12n na"+−−−+−−+−=∑∞=33333331331331331312212212111n n a""+−−−−+项k k k k k k k k k k k11113。

第十二章 数项级数2 正项级数一、正项级数收敛的一般判别原则概念：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数. 各项都是正数组成的同号级数称为正项级数.定理12.5：正项级数∑n u 收敛的充要条件是：部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对一切正整数n ，有S n <M.证：∵u i >0(i=1,2,…)，∴{S n }递增. 根据数列的单调有界定理，得证.定理12.6：(比较原则)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N ，都有：u n ≤v n 则： (1)若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； (2)若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散. 证：由改变级数的有限项不影响其收敛性， 不妨设对一切正整数，u n ≤v n 都成立.以S ’n 和S ”n 分别记级数∑n u 和∑n v 的部分和，则对一切正整数n ， 有S ’n ≤S ”n .(1)若∑n v 收敛，则∞n lim +→S ”n 存在，记为S ，则S ’n ≤S ，即{S ’n }有界，∴∑n u 也收敛.(2)若级数∑n v 收敛，由(1)知级数∑n u 收敛，矛盾！得证.例1：考察∑+1n -n 12的收敛性.解：当n ≥2时，1n -n 12+<1)-n (n 1.∵正项级数∑-1)n(n 1收敛，∴∑+1n -n 12也收敛.推论：设∑n u =u 1+u 2+…+u n +…与∑n v =v 1+v 2+…+v n +… 是两个正项级数，若nn∞n v u lim+→=l. 则 (1)当0<l<+∞时，同时收敛或同时发散； (2)当l=0且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； (3)当l=+∞且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散.证：(1)当0<l<+∞时，对任意正数ε(ε<l)，存在某正数N ，当n>N 时， 恒有l -nnv u <ε，即(l-ε)v n <u n <(l+ε)v n . 显然， 若∑n v 收敛，则∑n ε)v +(l 收敛，∴∑n u 也收敛； 若∑n v 发散，则∑-n ε)v (l 发散，∴∑n u 也发散.(2)当l=0时，由u n <(l+ε)v n =εv n ，可知∑n v 收敛时，∑n u 也收敛. (3)当l=+∞时，任给正数M ，存在相应的正数N ，当n>N 时，都有nnv u >M ，即u n >Mv n ，由比较原则知：若∑n v 发散时，∑n u 也发散.例2：证明：级数∑n -21n 收敛.证：∵nn ∞n 21n -21lim+→=n ∞n 2n 11lim -+→=1， 又等比级数∑n21收敛，∴级数∑n -21n 也收敛.例3：证明：级数∑n 1sin =sin1+sin 21+…+sin n1+…发散. 证：∵n1n 1sinlim∞n +→=1，又调和级数∑n 1发散，∴级数∑n 1sin 也发散.二、比式判别法和根式判别法定理12.7：(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q(0<q<1). (1)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≤q 成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)不妨设不等式n1n u u +≤q 对一切n ≥1都成立，于是有 12u u ≤q, 23u u ≤q,…, n 1n u u +≤q, .... 把前n-1个不等式的左右各相乘得 12u u .23u u .. (1)-n n u u ≤q n-1，即u n ≤u 1q n-1. ∵等比级数∑1-n q (0<q<1)收敛，∴级数∑n u 也收敛. (2)由对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，∴有u n+1≥u n ≥0N u ，可知∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(比式判别法极限形式)若∑n u 为正项级数，且n1n ∞n u u lim++→=q ，则 (1)当q<1时，级数∑n u 收敛； (2)当q>1或q=+∞时，级数∑n u 发散. 证：∵n 1n ∞n u u lim++→=q ，∴对取定的正数ε=21|1-q|，存在正数N ， 当n>N 时，都有q-ε<n1n u u +<q+ε. (1)当q<1时，n 1n u u +<q+ε=21(1-q)<1，∴级数∑n u 收敛. (2)当q>1时，n 1n u u +>q-ε=21(1+q)>1，∴级数∑n u 发散； 当q=+∞时，存在N ，当n>N 时，有n1n u u +>1，∴级数∑n u 发散.例4：证明：级数12+5152⨯⨯+951852⨯⨯⨯⨯+…+)]1n (41[951)]1n (32[852-+⋯⨯⨯-+⋯⨯⨯+…收敛.证：∵n 1n ∞n u u lim++→=n 41n 32lim ∞n +++→=43<1，∴该级数收敛.例5：讨论级数∑1-n nx (x>0)的敛散性. 解：当x=1时，级数∑n 发散. 又n 1n ∞n u u lim++→=nx)1n (lim ∞n ++→=x. ∴当0<x<1时，该级数收敛；当x ≥1时，该级数发散；推论2：设∑n u 为正项级数，则 (1)若n1n ∞n u u lim++→=q<1，则级数∑n u 收敛； (2)若n1n ∞n u u lim ++→=q>1，则级数∑n u 发散.例6：讨论级数1+b+bc+b 2c+b 2c 2+…+b m c m-1+b m c m +…的敛散性，0<b<c.解：∵n 1n u u +=⎩⎨⎧为偶数为奇数n c n b . ∴n1n ∞n u u lim ++→=c, n 1n ∞n u u lim ++→=b. ∴当c<1时，该级数收敛；当b>1时，该级数发散； 当c<1<b 时，无法判定.定理12.8：(柯西判别法，或称根式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正数N 0及正常数l ，则(1)若对一切n>N 0，不等式n n u ≤l<1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0，不等式n n u ≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)∵n n u ≤l<1，∴u n ≤l n ，又等比级数∑n l 当0<l<1时收敛， 由比较原则知∑n u 也收敛.(2)∵n n u ≥1，∴u n ≥1n =1， ∴∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(根式判别法极限形式)设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.证：∵n n ∞n u lim +→=l ，∴当取ε<|1-l|时，存在某正数N ，对一切n>N ， 有l-ε<n n u <l+ε. 根据定理12.8得证.例7：研究级数∑+nn2)(-12的敛散性.解：∵n n ∞n u lim +→=nnn ∞n 2)(-12lim ++→=21<1，∴该级数收敛.推论2：设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则当 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.例8：讨论级数b+c+b 2+c 2+…+b m +c m +…的敛散性，0<b<c<1.解：∵n n u =⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n cn b 2m m12m m . ∴n n∞n u lim +→=2m m ∞n c lim +→=c <1， ∴该级数收敛.注：根式判别法较比式判别法更有效，所以优先使用根式判别法.例9：讨论级数∑∞=+1n n2nx1x 的敛散性，其中x>0. 解：∵nn 2∞n x 1lim ++→=max{1,x 2}，∴n n ∞n u lim +→=nn 2n∞n x 1x lim ++→=}x max {1,x 2=⎩⎨⎧==≠<1x 11x 1. ∴当x ≠1时，该级数收敛；当x=1时，该级数发散.例10：判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=1n 2!n)2()(n!；(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n n2n 12n .解：(1)∵n1n ∞n u u lim ++→=1)2)(2n n 2(1)(n lim 2∞n ++++→=41<1，∴该级数收敛. (2)∵n n ∞n u lim+→=n12n lim n2∞n ++→=21<1，∴该级数收敛.三、积分判别法定理12.9：设f 为[1,+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时收敛或同时发散.证：∵f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，f 在[1,A]上可积，从而 有f(n)≤⎰n1-n f(x )dx ≤f(n-1), n=2,3,…. 依次相加可得：∑=m2n f(n)≤⎰m1f(x )dx ≤∑=m 2n 1)-f(n =∑=1-m 1n f(n).若反常积分收敛，则有S m =∑=m1n f(n)≤f(1)+⎰m 1f(x )dx ≤f(1)+⎰+∞1f(x )dx ，根据定理12.5知，级数∑f(n)收敛.若级数∑f(n)收敛，则有⎰m1f(x )dx ≤S m-1≤∑f(n)=S. 又f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，都有 0≤⎰A1f(x )dx ≤S n <S, n ≤A ≤n+1. ∴⎰+∞1f(x )dx 收敛.用反证法或同理可证：正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时发散.例11：讨论p 级数∑p n1的敛散性. 解：当p<0时，p∞n n 1lim+→≠0，∴级数∑p n 1的发散. 当p>0时，f(x)=p x1为[1,+∞)上非负减函数，又当0<p ≤1时，⎰+∞1px 1dx 发散，∴级数∑p n 1也发散； 当p>1时，⎰+∞1p x 1dx 收敛，∴级数∑p n1也收敛.例12：讨论下列级数的敛散性：(1)∑∞=2n p lnn)(n 1；(2)∑∞=3n plnlnn)(lnn)(n 1. 解：(1)∵⎰+∞2p lnn)(n 1dx=⎰+∞2p lnn)(1dlnn=⎰+∞ln2p u1du. ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛. (2)∵⎰+∞3plnlnn)(lnn)(n 1dx=⎰+∞3p lnlnn)(lnn 1dlnn=⎰+∞ln3p u(lnu)1du. 由(1)可知： ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛.四、拉贝判别法定理12.10：(拉贝判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及数常r, 则：(1)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1可得n 1n u u +<1-nr，取p 使1<p<r ，则 由nr n 1-1-1lim p∞n ⎪⎭⎫⎝⎛+→=()rx x -1-1lim p0x →=rp <1知：存在正数N ，使对任意n>N ，有n r >p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴n n u 1u +<1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛p n 1-1-1=p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛=pn 1-n ⎪⎭⎫⎝⎛. 于是当n>N 时，就有u n+1=N N 1N 1-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅++≤pn 1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛p1-n 2-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛…Npu N 1-N ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=u N (N-1)p ·p n 1. ∵p>1，∴∑p n1收敛，∴原级数收敛. (2)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1可得n1n u u +≥1-n 1=n 1-n ，于是 u n+1=2231-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅+>2u 211-n 2-n n 1-n ⋅⋅⋯⋅⋅=u 2·n1. ∵调和级数∑n1发散，∴原级数发散.推论：(拉贝判别法的极限形式)设∑n u 为正项级数，且极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =r 存在，则 (1)当r>1时，级数∑n u 收敛；(2)当r<1时，级数∑n u 发散.例13：讨论级数：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅s(2n)421)-(2n 31当s=1,2,3时的敛散性. 解：n1n ∞n u u lim++→=s∞n (2n)421)-(2n 312)(2n 421)(2n 31lim ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅+⋯⋅+⋯⋅+→=s ∞n 22n 12n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→=1，无法判别. 当s=1时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→22n 12n 1n lim ∞n =22n n lim ∞n ++→=21<1，∴发散； 当s=2时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++-222n 12n 1n =4n 84n 3n4n 22+++<1，∴发散；当s=3时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→3∞n 22n 12n 1n lim=8n 42n 248n n 7n 1812n lim 2323∞n ++++++→=23>1，∴收敛.习题1、应用比较原则判别下列级数的敛散性： (1)∑+22a n 1；(2)∑n n3πsin 2；(3)∑+2n11；(4)∑n )n (ln 1； (5)∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1；(6)∑n nn 1；(7)∑-)1a (n (a>1)；(8)∑∞=2n n ln )n (ln 1；(9)∑-+)2a 1a (nn(a>0)；(10)∑n12nsinn1.解：(1)∵0≤22a n 1+≤2n 1，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (2)∵0<n n 3πsin 2<n32π⎪⎭⎫ ⎝⎛，又等比级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，∴原级数收敛.(3)∵2n 11+>1n 1+，又级数∑+1n 1发散，∴原级数发散. (4)∵0<n )n (ln 1<n 21 (n>e 2)，又级数∑∞=2n n21收敛，∴原级数收敛. (5)∵0≤n 1cos 1-=2sin 22n 1<22n 1，又级数∑22n1收敛，∴原级数收敛. (6)∵n nn 1>2n 1，又级数∑2n1发散，∴原级数发散. (7)∵1a n ->n a ，又当a>1时，n∞n a lim +→=1≠0，∴级数∑n a 发散， ∴原级数发散. (8)∵0≤n ln )n (ln 1=ln(lnn)n 1<2n 1 (n>2e e )，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.(9)∵2nn∞n n 12a1a lim-++→=2t t 0t t2a 1a lim-+→=(lna)2>0， 又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (10)∵2n12nsin∞n n 1n 1lim +→=2tsint 20t t tlim ⋅→=1>0，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.2、用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性.(1)∑⋯⋅n!1)-(2n 31；(2)∑+n 101)!(n ；(3)∑⎪⎭⎫⎝⎛+n1n 2n ；(4)∑n n n!；(5)∑n 22n ；(6)∑⋅n n n n!3；(7)∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a b (其中n ∞n a lim +→=a, a n ,b,a>0, 且a ≠b). 解：(1)∵n1n ∞n u u lim++→=n!1)-(2n 31!)1(n 1)(2n 31lim ∞n ⋯⋅++⋯⋅+→=1n 12n lim ∞n +++→=2>1，∴原级数发散. (2)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 101)!(n 102)!(n lim ++++→=102n lim ∞n ++→=+∞，∴原级数发散. (3)∵n n∞n u lim +→=n n∞n 1n 2n lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=1n 2n lim∞n ++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n n n!)1(n 1)!(n lim ++→++=n∞n 1n n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e1<1，∴原级数收敛. (5)∵n n∞n u lim +→=nn 2∞n 2n lim +→=2n lim n2∞n +→=21<1，∴原级数收敛.(6)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n nn!31)(n 1)!n (3lim ⋅++⋅+++→=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e 3>1，∴原级数发散.(7)∵n n∞n u lim +→=n ∞n a b lim +→=ab，∴当a=b 时，无法判定； 当b>a>0时，原级数发散；当a>b>0时，原级数收敛.3、设∑n u 与∑n v 为正项级数，且存在正数N 0，对一切n>N 0, 有n1n u u +≤n 1n v v +. 证明： 若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 收敛；若∑n u 发散，则∑n v 发散. 证：由题意知：当n>N 0时，1n 1n v u ++≤nn v u，从而对n>N 0有， 0<1n 1n v u ++≤n n v u ≤1-n 1-n v u ≤…≤1N 1N 00v u ++，∴u n ≤1N 1N 00v u ++v n ，又1N 1N 00v u ++是常数， 根据比较原则，得证.4、设正项级数∑n a 收敛，证明∑2n a 也收敛；试问反之是否成立？ 证：由∑n a 收敛知n ∞n a lim +→=0，∴存在N ，使n ≥N 时，有0≤a n <1,从而n ≥N 时，有0≤a n 2<a n ，由比较原则知 ∑2n a 也收敛.但反之不成立，如∑2n1收敛，而∑n 1发散.5、设a n ≥0, n=1,2,…. 且{na n }有界，证明∑2n a 收敛. 证：∵a n ≥0, {na n }有界，可设0≤na n ≤M ，则0≤a n ≤nM，从而a n 2≤22nM ，又级数∑22n M 收敛，由比较原则知 ∑2na也收敛.6、设级数∑2n a 收敛，证明∑na n(a n >0)也收敛. 证：∵0<n a n <21(a n 2+2n 1)，又级数∑2n a 和∑2n1都收敛，∴级数∑+)n1(a 22n 收敛，由比较原则知级数∑n a n 也收敛.7、设正项级数∑n u 收敛，证明级数∑+1n n u u 也收敛.证：∵0<1n n u u +<21(u n +u n+1)，又由级数∑n u 收敛知∑+1n u 也收敛， ∴级数∑)u +(u 1+n n 收敛，由比较原则知∑+1n n u u 也收敛.8、利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：(1)2n∞n )(n!n lim +→=0；(2)n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1). 证：(1)记u n =2n)(n!n ，则n1n ∞n u u lim ++→=2n 21n ∞n )(n!n ]1)![(n 1)(n lim ++++→=n∞n n 1n 1n 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++→=0<1， ∴级数∑2n)(n!n 收敛，∴2n ∞n )(n!n lim +→=0.(2)记u n =n!a )!(2n ,则当a>1时，n1n ∞n u u lim ++→=n!1)!(n ∞n a)!(2n a )!2(2n lim ++→+=!n n ∞n a )21)(2n (2n lim ⋅+→++=0, ∴级数∑n!a )!(2n 收敛，∴n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1).9、用积分判别法讨论下列级数的敛散性：(1)∑+1n 12；(2)∑+1n n 2；(3)∑∞=3n )nlnnln(lnn 1；(4)∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)1. 解：(1)∵f(x)=1x 12+在[1,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞1f(x )dx=⎰++∞121x 1dx=2π，积分收敛；∴原级数收敛. (2)∵f(x)=1x x2+在[1,+ ∞)上非负减，且由1x x x lim 2∞x +⋅+→=1知 ⎰++∞121x xdx 发散；∴原级数发散. (3)∵f(x)=ln(lnx )lnx x 1⋅⋅在(3,+ ∞)上非负减，且⎰+∞3f(x )dx=⎰+⋅⋅∞3ln(lnx )lnx x 1dx=⎰+∞ln(ln3)u1du ，积分发散；∴原级数发散.(4)∵f(x)=qp (lnlnx )x (lnx )1在(3,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞3q p (lnlnx )x (lnx )1dx=⎰+∞ln(ln3)q 1)u -(p ue 1du ， 当p=1时，⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞ln(ln3)q u1du ；若q>1，收敛；若q ≤1，发散. 当p ≠1时，取t>1，有q 1)u -(p t∞u u e 1u lim ⋅+→=1)u -(p q -t ∞u e u lim +→=⎩⎨⎧<∞+>1p 1p 0，，， ∴当p>1或(p=1且q>1)时，由积分收敛知原级数收敛； 当p<1或(p=1且q ≤1)时，由积分发散知原级数发散.10、判别下列级数的敛散性：(1)∑1-2n n -n ；(2)∑+na 11 (a>1)；(3)∑n 2nlnn ；(4)∑n n n n!2； (5)∑n n n n!3；(6)∑lnn 31；(7)∑+⋯++)x (1)x x)(1(1x n2n(x>0). 解：(1)∵1-2n n -n >1-2n 1(n ≥3)，又级数∑1-2n 1发散，∴原级数发散. (2)∵n a 11+<n a 1，又当a>1时，等级级数∑na1收敛，∴原级数收敛. (3)n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 2nlnn 21)1)ln(n (n lim ++→++=nlnn 21)1)ln(n (n lim ∞n +++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n n n!21)(n 1)!2(n lim +++→++=n∞n 1n n 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e2<1，∴原级数收敛. (5)∵n1n ∞n u u lim++→=nn 1n 1n ∞n n n!31)(n 1)!3(n lim +++→++=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e3>1，∴原级数发散. (6)3lnn =n ln3，又ln3>1，∴∑ln3n 1收敛，∴原级数收敛. (7)n1n ∞n u u lim++→=1n ∞n x 1xlim++→+=⎪⎩⎪⎨⎧<=<><1x x 1x 1211x 10，，∴原级数收敛.11、设{a n }为递减正项数列，证明：级数∑∞=1n n a 与∑∞=0m 2m ma 2同敛散性.证：记两个级数的部分和分别为S n , T n ，由{a n }为递减正项数列知： S n <n2S ≤a 1+(a 2+a 3)+…+(n2a +…+121n a -+)≤a 1+2a 2+…+2n n2a =T n ，∴当级数∑∞=0m 2mma 2收敛时，级数∑∞=1n n a 也收敛.又n2S =a 1+a 2+(a 3+a 4)+…+(121n a +-+…+n2a )≥21a 1+a 2+2a 4+…+2n-1n2a =21T n ， ∴当级数∑∞=1n n a 收敛时，级数∑∞=0m 2m ma 2也收敛. 得证！12、用拉贝判别法判别下列级数的敛散性： (1)12n 1(2n)421)-(2n 31+⋅⋯⋅⋯⋅∑；(2)∑+⋯++n)(x 2)1)(x (x n!(x>0). 解：(1)∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =6n 104n 5n 6n lim 22∞n ++++→=23>1，∴原级数收敛. (2)当x=1时，原级数为∑+1n 1发散，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =1x n xn lim ∞n +++→=x ， ∴当x>1时，原级数收敛；当0<x ≤1时，原级数发散.13、用根式判别法证明级数∑n(-1)--n 2收敛，并说明比式判别法对此级数无效.证：∵n n∞n u lim +→=n (-1)-n -∞n n2lim +→=n(-1)-1-∞n n2lim +→=21<1，∴原级数收敛.又n 1n ∞n u u lim ++→=n 1n (-1)-n -(-1)-1--n ∞n 22lim ++→=n1n )1((-1)--1∞n 2lim -++→+=⎪⎩⎪⎨⎧><为偶数为奇数n 12n 181，，，可见， 比式判别法对此级数无效.14、求下列极限(其中p>1)： (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim ；(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p 1lim . 解：(1)∵当p>1时，级数∑p n1收敛，由柯西准则知，任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有pp p (2n)12)(n 11)(n 1+⋯++++<ε, ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim =0. (2)∵当p>1时，等级级数∑n p1收敛，由柯西准则知， 任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有2n 2n 1n p1p 1p 1+⋯++++<ε, ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p1lim =0.15、设a n >0，证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性. 解：数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑+)a ln(1n 有相同的敛散性. 又当级数∑n a 或∑+)a ln(1n 收敛时，都有n ∞n a lim +→=0，∴nn ∞n a )a 1ln(lim++→=1. 由比较判别法知∑+)a ln(1n 与∑n a 有相同的敛散性. ∴数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性.。

数项级数狄利克雷判别法的证明数项级数狄利克雷判别法的证明1. 引言在数学领域中，数项级数的收敛性是一个重要而又复杂的问题，而狄利克雷判别法则为我们提供了一种简单而又有效的方法来判定某些特定级数的收敛性。

本文将对数项级数狄利克雷判别法进行全面的评估，并对其进行证明和深入的讨论。

2. 数项级数和狄利克雷判别法介绍让我们回顾一下数项级数和狄利克雷判别法的基本概念。

数项级数是指由一系列数相加所得的无穷级数，通常表示为∑(a_n)，其中a_n为级数的第n项。

而狄利克雷判别法则是用来判定由一系列数相加所得的级数是否收敛的方法。

3. 狄利克雷判别法的基本理论接下来，让我们来详细探讨狄利克雷判别法的基本理论。

狄利克雷判别法的主要思想是通过对级数的部分和进行分析，引入一个辅助数列b_n，并结合部分和的特性来判断级数的收敛性。

具体来说，若数列b_n单调趋于0且部分和的序列有界，那么原级数收敛；若数列b_n不单调趋于0，但部分和的序列有界，也能推出级数收敛；若数列b_n单调趋于0但部分和的序列不是有界的，则级数发散。

4. 数项级数狄利克雷判别法的证明现在，让我们来进行数项级数狄利克雷判别法的证明。

我们假设数列a_n和b_n满足以下条件：- a_n单调趋于0- b_n单调有界接下来，我们考虑部分和S_n的特性。

由于b_n单调有界，我们可以得出S_n*b_n的部分和序列有界。

再根据a_n单调趋于0，我们知道a_n的部分和序列收敛。

S_n的部分和序列有界。

根据狄利克雷判别法的基本理论，我们可以得出数项级数∑(a_n)的收敛性。

5. 个人观点和总结我个人对狄利克雷判别法的理解是，它是一种简单而又直观的方法来判断特定级数的收敛性，而且在实际应用中也具有一定的便利性。

通过对狄利克雷判别法的证明，我对其理论基础有了更深入的理解，也更加确信其有效性和适用性。

在本文中，我们全面评估了数项级数狄利克雷判别法，并进行了证明和深入讨论。

希望通过本文的阐述，读者能对狄利克雷判别法有一个更加深刻和全面的理解，为进一步学习和探索数学领域提供有力的支持。