第七章 第4节 一阶线性微分方程

y x ,
2
y,
2
dz dx

4 x
z x ,
2
4 x x 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
2
17
例3
1.
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy 2 xy xe
2 x
2
;
解
y xy
1 ( 1 )

a 2 x C ( ln x) 2
将 z y 1 代入 , 得原方程通解:
a 2 y x C ( ln x) 1 2
16
例 2 求方程
dy dx
1 2

4 x
y x
2
y 的通解.
4 x
2
解 两端除以 y ，得
令 z
1 dy y dx

Q (x) y
dx 为 v ( x ), ln y v ( x )
P ( x ) dx ,
.
4
即 y e
v( x)
e
P ( x ) dx
.
P ( x ) dx
非齐方程通解形式 y u ( x ) e
与齐方程通解相比: C u ( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
2
13
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.

§7.4 一阶线性微分方程教学内容：一．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为()()y P x y Q x '+=，其中()()P x Q x ,为已知连续函数，()Q x 称为方程的自由项.当()0Q x ≠时,称()()y P x y Q x '+=为一阶线性非齐次微分方程.当()0Q x =时,称()0y P x y '+=为()()y P x y Q x '+=所对应的一阶线性齐次微分方程．1. 一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程()0y P x y '+=是可分离变量的微分方程，通解为()d e P x x y C -⎰=．注 对于一阶线性齐次微分方程()0y P x y '+=的求解有两种常用方法：（1）利用分离变量法求其通解；（2）利用通解公式法求其通解.先化为标准形式确定()P x ，再代入通解公式求解．2.一阶非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰（常数变易法）.注：对于一阶非齐次线性微分方程()()y p x y Q x '+=的求解有两种常用方法：（1）先求出对应的齐次方程通解，再利用常数变易法求其通解.（2）直接利用非齐次方程的通解公式求其通解.二．伯努利方程1．形如d ()()(0,1)d n y P x y Q x y n x +=≠的方程为伯努利方程.2．伯努利方程的解法：令1n z y -=，可化成关于z 为未知函数的一阶线性微分方程d (1)()(1)()d z n P x z n Q x x+-=-，解出z 后代入变换关系1n z y -=即得方程原方程的通解.三．例题讲解例1.求微分方程e sin 0y y x -'-=的通解.例2.求2d (21)d y x y x=-的通解． 例3.求20y xy '-=满足03x y ==的特解．例4．医学研究发现，刀割伤口表面恢复的速度为()2d 51d =-≥y t t t （2cm /day ），其中，y 表示伤口 的面积，t 表示时间，假设215cm t y ==，问受伤5天后该病人的伤口表面积为多少.例5．求微分方程)ln ln 1(x y y y x -+='的通解.例6.求方程30xy y x '=>（）的通解. 例7.求方程23(0)xy x y x '=+>的通解．例8.求一阶线性微分方程230xy x y x '=+>（）满足初始条件12x y ==的特解．例9.已知汽艇在静水中行驶时受到的阻力与汽艇的行驶速度成正比，若一汽艇以10km/h 的速度在静水中行驶时关闭了发动机，经20s 后汽艇的速度减至6km /h ，试确定发动机停止2min 后汽艇的速度. 例10.求解微分方程2d (ln )(0)d y y x y x x x+=>.。

dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx

一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。

我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。

接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。