高三数学一诊考前练习2

卜人入州八九几市潮王学校渝中区巴蜀2021届高三数学“一诊〞模拟测试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔〕A.-1B.1C.-2D.2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔〕A.(]0,1B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 应选C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题. 3.等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，那么{a n }中一定为零的项是〔〕 A.a 6B.a 7C.a 8D.a 9【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得到结果.【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.应选：A.【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察计算才能，属根底题.4.新高考方案规定，普通高业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下列图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比较，以下说法正确的选项是〔〕C.获得D等级的人数减少了一半D.获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下列图所示：由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.5.“更相减损术〞是九章算术中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如下列图，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是〔〕A.a＝6，b＝7B.a＝7，b＝7C.a＝7，b＝6D.a＝8，b＝8【解析】 【分析】根据题意，该程序将输入的a 、b 值加以比较，假设a >b 成立那么用a -b 的值交换a ，并进入下一轮比较；假设a >b 不成立那么用b -a 的值交换ba 、b 值相等时，终止运算并输出a 、b 值，由此结合题意进展运算可得此题答案.【详解】第一步，由于a =35且b =28，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“是"，将a -b 的值赋给a ，得a =7；第二步，此时a =7且b =28，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否"，将b -a 的值赋给b 得b =21；第三步，此时a =7且b =21，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否〞，将b -a 的值赋给b ，得b =14；第四步，此时a =7且b =14，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否〞，将b -a 的值赋给b 得b =7；第五步，此时a =7且b =7，对判断框“a ≠b 〞的答复为“否〞，完毕循环体并输出a 、b 的值. 综上所述，可得最后输出的值是a =7，b =7. 应选：B.【点睛】此题考察程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为棱A 1D 1、A 1A 、A 1B 1EF ⊥B 1C ；②BC 1∥平面EFG ；③A 1C ⊥平面EFG ；④异面直线FG 、B 1C 所成角的大小为4〕 A.①② B.②③C.①②③D.①②④【答案】C 【解析】 【分析】画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的断定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项. 【详解】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D //B 1C ，又A 1D ⊥EF ，故B 1C ⊥EF ，即①正确；又BC 1∥AD 1，AD 1//EF ，故BC 1//EF ，又EF ⸦平面EFG ，故BC 1∥平面EFG ，即②正确；因为EF ⊥A 1D ，EF ⊥A 1B 1，所以EF ⊥平面A 1B 1CD ，又A 1C ⸦平面A 1B 1CD ，所以EF ⊥A 1C ，同理可证EG ⊥A 1C ，又EF ∩EG =E ，EF ⸦平面EFG ，EG ⸦平面EFG ，故A 1C ⊥平面EFG ，即③正确；连接AB 1，那么AB 1//FG ，故∠AB 1C 为异面直线FG 与B 1C 所成角，且∠AB 1C =3π，即④错误. 应选：C.【点睛】此题考察线面平行与垂直的断定定理和性质定理，也考察学生的逻辑推理才能和直观想象才能，纯熟掌握点、线、面位置关系中的断定定理和性质定理是解题的关键，属中档题.7.七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“模〞，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD ，E 为AB 边的中点，假设在四边形ABCD 中任取一点，那么此点落在阴影局部的概率为〔〕A.14B.516C.38D.12【答案】C 【解析】 【分析】分别求出平行四边形和阴影局部的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果. 【详解】由图象可知，2ABCDBCD SS=，113244BCDABDBCDS S S S =+=阴影，那么此点落在阴影局部的概率为：33428BCDABCDBCD S S P S S ===阴影.应选：C.【点睛】此题考察几何概型的计算，正确求解阴影局部面积是解题的关键，属中档题.()22ln x x f x x=的图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】B 【解析】由()22ln x x f x x=得：()()()()222ln ln x x x xf x f x xx---===-，故其为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D ；()22ln 40f =>，故排除A ；当01x <<时，()2ln f x x x=，()()21ln f x x ='+，可得10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<函数单调递减，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，应选B.点睛：此题考察函数的图象的判断与应用，考察函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或者其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.P (3,﹣4)作圆(x ﹣1)2+y 2＝2的切线，切点分别为A ，B ，那么直线AB 的方程为〔〕A.x +2y ﹣2＝0B.x ﹣2y ﹣1＝0C.x ﹣2y ﹣2＝0D.x +2y +2＝0【答案】C 【解析】 【分析】画出图象，以P 为圆心，以PB 长度为半径可得到圆P ，那么圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公一共弦所在直线即为直线AB ，利用两点间的间隔公式和勾股定理可求出圆P 的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB 的方程. 【详解】如图，圆P 为以P 为圆心，以PB 长度为半径的圆，那么圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公一共弦所在直线即为直线AB ， 在Rt PBC ∆中，22(13)(04)25PC=-++=20232PB =-=所以圆P 的方程为：22(3)(4)18x y -++=，又圆C 的方程为：(x ﹣1)2+y 2＝2，以上两个等式相减可得，4880x y --=，化简得，220x y --=.应选：C.【点睛】此题考察直线与圆的位置关系以及两圆的公一共弦问题，着重考察学生数形结合的思想和转化问题的才能，属中档题.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，那么该几何体外接球的半径为〔〕【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图， 其中，PA ，PB ，PC 两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球，又PA ，PB =2，PC ，那么外接球半径R ==应选：B.【点睛】此题考察三视图和三棱锥的外接球问题，考察学生的空间想象才能，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解此题的关键，属中档题.()()222024x f x sin xsin sin x ωπωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞在区间344ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且在区间[0，π]上恰好获得一次最大值，那么ω的取值范围是〔〕 A.[1223，〕 B.[1233，] C.[1233，〕 D.[1223，] 【答案】D 【解析】 【分析】化简可得()sin f x x ω=，由,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可列出不等式组3,2442ππππωω--，求解得到23ω，又函数在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，可得到不等式02ππω≤≤，由此求出12ω≥，综上即可得到结果.【详解】2()2sin sin 24x f x x ωπω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2sin x ω-2sin (1sin )sin x x x ωωω=+-=sin x ω，即()sin f x x ω=，,22ππωω⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间， 又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， 3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得不等式组：3,2442ππππωω--， 又20,03ωω>∴<， 又函数在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，根据正弦函数的性质可知2,2x k k Z πωπ=+∈，即函数在22k xππωω=+处获得最大值， 可得02ππω≤≤，12ω∴≥，综上，可得12,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 应选：D.【点睛】此题考察三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解此题的关键，属难题.f 〔x 〕＝x 3+ax 2﹣9x +1〔a ∈R 〕，当x ≠1时，曲线y ＝f 〔x 〕在点〔x 0，f 〔x 0〕和点〔2﹣x 0，f 〔2﹣x 0〕〕处的切线总是平行，现过点〔﹣2a ，a ﹣2〕作曲线y ＝f 〔x 〕的切线，那么可作切线的条数为〔〕 A..3 B..2C.1D..0【答案】A 【解析】 【分析】 求得()y f x =的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得()()22000032932229x ax x a x +-=-+--，求得a =－3，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m mm m --+，求得切线方程，代入(6,5)-可得m 的三次方程，构造函数32()2213648g m m m m =-++，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数． 【详解】函数32()91f x x ax x =+-+的导数为2()329f x x ax +'=-，当x 0≠1时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，可得()()2200032932229x ax x a x +-=-+--，化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-，依题意，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m m m m --+，可得切线的斜率为2369m m --，即有切线的方程为()322391369()y m m m m m x m -++-=---，代入(6,5)-，可得()3225391369(6)m m m m m m --++-=---，化为3222136480m m m -++=，设32()2213648g m m m m =-++，那么2()642366(1)(6)gm m m m m '=-+=--，由1<m <6，可得()0,()g m g m '<递减；由m >6或者m <1，可得()0,()g m g m '>递增，可得()g m 的极小值为(6)600g =-<，极大值为(1)650g =>， 可得3222136480m m m -++=有3个实根，那么由点(2,2)a a --可作曲线()y f x =的切线的条数为3．应选：A.【点睛】此题考察导数的几何意义，注意过某点的切线与曲线的切点并不确定，需设切点坐标，考察学生的计算才能和逻辑推理才能，属难题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕a =1)，b =(1，﹣，那么b 在a 方向上的投影为_____．【答案】【解析】 【分析】分别求出a b ⋅和a，利用cos ,a b b a b a⋅=即可计算出结果.【详解】a b ⋅=-∴b 在a 方向上的投影为：cos ,3a b a b b a bba ba⋅⋅===-⋅．故答案为：【点睛】此题考察平面向量的投影及其计算，考察学生对投影的理解和计算，属根底题.x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，那么z ＝3x +5y 的最大值为_____．【答案】17 【解析】 【分析】先画出可行域，作出目的函数的平行直线，确定z 与目的函数的纵截距之间的关系，从而平移目的函数确定最优解即可算出最大值.【详解】画出可行域如下列图的△ABC 的内部〔包括边界〕： 由z ＝3x +5y 可得y 3155x z =-+，那么z 为直线y 3155x z =-+在y 轴上的截距， 作直线L ：3x +5y ＝0，把直线L 向上平移到A 时z 最大，向下平移到B 时z 最小，由15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得A (35,22)，此时z 的最大值为17，由1530y x x y =+⎧⎨--=⎩可得B (﹣2,﹣1)，此时z 的最小值为﹣11.故答案为：17.【点睛】此题考察线性规划问题，正确画出可行域并确定z 与目的函数的纵截距之间的关系是解决此题的关键，属中档题.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3•2n〔n ∈N +〕，数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ．假设b 2＝a 5，b 10＝S 3，那么T n 取最大值时n ＝_____．【答案】17或者18 【解析】 【分析】利用S n和a n的关系求出554a S S =-，根据条件列出方程组1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，求出b 1和d ，由此求得{b n}的通项公式，根据通项公式得到b 18＝0，由此即可求出T n 取最大值时n 的值. 【详解】数列{a n }的前n 项和为S n ＝3‧2n〔n ∈N +〕，所以，54554323248a S S =-=⋅-⋅=，333224S =⋅=，设数列{b n }的公差为d ，且b 2＝a 5，b10＝S 3，那么1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得：b 1＝51，d ＝﹣3，所以，b n ＝51﹣3(n ﹣1)＝54﹣3n ，当n ＝18时，b 18＝0， 故T n 取最大值时n ＝17或者18． 故答案为：17或者18.【点睛】此题考察S n 和a n 的关系以及等差数列前n 项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n 项和获得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.16.F 1、F 2分别是双曲线2222x y a b-=1〔a ＞0，b ＞0〕的左、右焦点，假设双曲线的右支上存在一点P ，使得〔2OP OF +〕•2F P =0〔O 为坐标原点〕，且|PF 1|≥|PF 2|，那么双曲线的离心率的取值范围是_____．【答案】11e <≤+【解析】 【分析】由2()OP OF +•2F P =0，可得〔2OP OF +〕•〔2OP OF -〕＝0，即|OP |＝c ，那么∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ，且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ，结合双曲线定义及不等式求得e 的范围从而求得结果.【详解】2()OP OF +•2F P =0，即为〔2OP OF +〕•〔2OP OF -〕＝0， 即为OP22OF =2，可得|OP |＝c ，即有∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ， 且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ， ∴n 21a k =-，m 2k 1ka=-． △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，∴〔2k 1ka -〕2+〔21ak -〕2＝4c 2， ∴〔k 1k -〕2+〔11k -〕2＝e 2，又k ≥e 2=22212221114111)1)22k k k k k k +=+=+≤+=+---++（（即有11e <≤+故答案为：11e <≤.【点睛】此题考察双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a +b ． 〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设△ABC，求ab 的最小值. 【答案】〔1〕C 23π=；〔2〕最小值为13【解析】 【分析】 〔1〕由正弦定理2a b c R sinA sinB sinC===，将2c cos B ＝2a +b 变形为2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C 的值；〔2〕由△ABC 的面积公式得出c 与a 、b 的关系为c =3ab ，将其代入余弦定理，并通过根本不等式进展变形，可求得ab 的最小值. 【详解】〔1〕由正弦定理可知：a b csinA sinB sinC===2R ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，由2c cos B ＝2a +b ，那么2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，可得：2sin B cos C +sin B ＝0， 由0＜B ＜π，sin B ≠0，cos C 12=-，0＜C ＜π，那么C 23π=；〔2〕由S 12=ab sin C =ab =，那么c ＝3ab ，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ， 由a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，可得：2ab +ab ≤9a 2b 2，即ab 13≥， 那么当a ＝b 时，ab 获得的最小值为13． 【点睛】此题主要考察正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、根本不等式的应用是解题关键，属中档题.18.如图，菱形ABCD 的边长为a ，∠D ＝60°，点H 为DC 边中点，现以线段AH 为折痕将△DAH 折起使得点D 到达点P 的位置且平面PHA ⊥平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点. 〔1〕求证：平面PBC ∥平面EFH ；〔2〕假设三棱锥P ﹣EFH 的体积等于12，求a 的值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕a ＝2 【解析】 【分析】〔1〕分别证明EH ∥平面PBC 和EF ∥平面PBC ，再由EF ∩EH ＝E ，即可证明结论；〔2〕根据条件求出AH =，DH ＝PH ＝CH 12a =，然后证明PH ⊥平面ABCH ，又点F 为AP 的中点，那么S △PEF ＝S △AEF ，故V H －PEF ＝V H －AEF ，那么111223P EFHP AEH AEHV V S h --==⋅⋅，据此计算求解即可.【详解】〔1〕证明：菱形ABCD 中，∵E ，H 分别为AB ，CD 的中点，∴BE ∥CH ，BE ＝CH ， ∴四边形BCHE 为平行四边形，那么BC ∥EH ，又EH ⊄平面PBC ，∴EH ∥平面PBC ， 又点E ，F 分别为AB ，AP 的中点，那么EF ∥BP ，又EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ， 由EF ∩EH ＝E ，∴平面EFH ∥平面PBC ；〔2〕在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，那么△ACD 为正三角形，∴AH ⊥CD ，AH =，DH ＝PH ＝CH 12a =，折叠后，PH ⊥AH ，又平面PHA ⊥平面ABCH ，平面PHA ∩平面ABCH ＝AH ，从而PH ⊥平面ABCH ． 在△PAE 中，点F 为AP 的中点，那么S △PEF ＝S △AEF ，∴V H －PEF ＝V H －AEF ， 而V H －PEF +V H －AEF ＝V H －PAE ， ∴11112223P EFHH PEF H PAE P AEH AEHV V V V Sh ----====⋅⋅3111112322229612a a a a =⨯⨯⨯⨯⨯==，∴a 3＝8，即a ＝2．故a ＝2．【点睛】此题考察面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.19.A 〔0，1〕，B 〔0，﹣1〕，M 〔﹣1，0〕，动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，动直线l 与曲线C 相交于不同两点Q 〔x 1，y 1〕，R 〔x 2，y 2〕，其中y 1＞0，y 2＞0且满足12MQ y MRy =．〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕假设直线l 与x 轴相交于一点N ，求N 点坐标.【答案】〔1〕2212x y +=〔x ≠0〕；〔2〕N 〔﹣2，0〕【解析】 【分析】〔1〕由及求轨迹方程的步骤可得到曲线C 的轨迹方程；〔2〕设直线l 的方程为y ＝k 〔x ﹣m 〕，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由可得k MQ +k MR ＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N 点坐标.【详解】〔1〕动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，设动点P 〔x ，y 〕，x ≠0； 那么有：k PA •k PB 1y x -=•112y x +=-，化简可得：2212x y +=，x ≠0．故曲线C 的方程为：2212x y +=〔x ≠0〕；〔2〕设点N 的坐标为〔m ，0〕．依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设为k 〔k ≠0〕，那么直线l 的方程y ＝k 〔x ﹣m 〕，将y ＝k 〔x ﹣m 〕代入方程22x +y 2＝1〔x ≠0〕．得〔2k 2+1〕x 2﹣4k 2mx +2〔k 2m 2﹣1〕＝0．那么△＝〔﹣4k 2m 〕2﹣8〔2k 2+1〕〔k 2m 2﹣1〕＝8〔2k 2﹣k 2m 2+1〕＞0，动直线与曲线C 相交于不同两点Q 〔x 1，y 1〕，R 〔x 2，y 2〕，其中y 1＞0，y 2＞0，x 1+x 222421k mk =+，x 1•x 2()2222121k m k -=+，且满足12MQyMR y =，即21y yMR MQ=，如图，111sin QQ y QMQ MQMQ∠==，121sin RR y RMR MRMR∠==，那么11QMQ RMR ∠=∠，故k MQ +k MR ＝0，即()()1212121201111k x m k x m y yx x x x --+=+=++++， 化简得：()12122(1)20x x m x x m ⋅--+-=，即()222222142(1)202121k m k mm m k k -⨯--⨯-=++，整理得m +2＝0，即m ＝﹣2．故点N 的坐标为(﹣2，0)．【点睛】此题考察轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考察学生数学运算和逻辑推理才能，题中由12MQ y MRy =得到k MQ +k MR ＝0是解决第二问的关键，属难题.20.某科技公司为进步场销售业绩，现对某产品在局部营销网点进展试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2021年1月至6月期间，每件产品的消费本钱为10元，方案1中每件产品的促销运作本钱为5元，方案2中每件产品的促销运作本钱为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．〔1〕请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案〔不必说明理由〕； 〔2〕为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价x i 〔单位：元/件〕和相应销量y 〔单位：件〕〔i ＝1，2，…8〕并制作散点图〔如图②〕，观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的回归方程〔系数准确到整数〕；参考公式及数据：x=40，y =660，81i =∑x i y i＝206630，81i =∑x 2i =12968，()()()1122211ˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-， 〔3〕公司筹划部选ˆy=-1200ln x +5000和ˆy ═13-x 3+1200两个模型对销量与售价的关系进展拟合，现得到以下统计值〔如表格所示〕：相关指数：R 2＝12121 () ()ni i i n i i y y y y ==---∑∑．〔i 〕试比较R 12，R 22的大小〔给出结果即可〕，并由此判断哪个模型的拟合效果更好；〔ii 〕根据〔1〕中所选的方案和〔i 〕中所选的回归模型，求该产品的售价x 定为多少时，总利润z 可以到达最大？【答案】〔1〕方案1是较为有利的活动方案；〔2〕ˆ271748y x =-+；〔3〕〔i 〕31ˆ12003yx =-+进展拟合效果更好；〔ii 〕售价为x ＝40时，总利润z 最大 【解析】 【分析】〔1〕由图可知，方案1是较为有利的活动方案；〔2〕由公式计算求出ˆa 和ˆb即可得到回归方程； 〔3〕〔i 〕由图表数据可知R 12＜R 22，应选择模型31ˆ12003yx =-+进展拟合效果更好；〔ii 〕由〔1〕可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作本钱为5元，求出总利润z 的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果.【详解】〔1〕由图可知，方案1是较为有利的活动方案；〔2〕由公式得81822218206630840660129684 8ˆ80i i i i i x y xy x x b==--⨯⨯==≈--⨯-∑∑2≈﹣27， ()ˆˆ66027.2401748ay bx =-=--⨯=． 故所求回归直线方程为ˆ271748yx =-+； 〔3〕〔i 〕由图表可知，R 12＝152446.95124650-，R22＝1122.89124650-，∴R 12＜R 22，应选择模型31ˆ12003yx =-+进展拟合效果更好； 〔ii 〕由〔1〕可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作本钱为5元， 故总利润()311200153zx x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(30)(40)z x x '=-+-. 当x ∈(0，40)时，z ′＞0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增， 当x ∈(40，+∞)时，z ′＜0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减． 故售价为x ＝40时，总利润z 最大．【点睛】此题考察回归分析，着重考察学生的数学运算才能、分析问题和解决问题的才能，结合实际问题审清题意是解题的关键，属中档题.f (x )＝a (x ﹣1)﹣lnx (a ∈R )，g (x )＝(1﹣x )e x .〔1〕讨论函数f (x )的单调性；〔2〕假设对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕[21e -，+∞) 【解析】 【分析】〔1〕首先求出函数的导数，分a ≤0和a >0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；〔2〕首先利用导数求出g (x )的值域为[0，1]，根据〔1〕可排除a ≤0和0＜a 1e≤的情况，由函数f (x )的单调性和图象分析可知，a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.【详解】〔1〕f (x )＝a (x ﹣1)﹣ln x ，x ＞0，那么f ′(x )＝a 11ax x x--=， ①当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， ②当a >0时，令f ′(x )＞0得x 1a ＞，令f ′(x )＜0得0＜x 1a＜. 故f (x )的单调递减区间为(0，1a )，单调递增区间为(1a，+∞)， 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， 当a >0时，f (x )在(0，1a )上为减函数，在(1a，+∞)为增函数； 〔2〕∵g (x )＝(1﹣x )e x，∴g ′(x )＝﹣xe x，当x ∈[﹣1，0)时，g ′(x )>0，当x ∈(0，1]时，g ′(x )<0， 又g (0)＝1，g (1)＝0，g (﹣1)2e=，∴当x ∈[﹣1，1]时，g (x )的值域为[0，1]， 由〔1〕可知，①当a ≤0时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意；②当1a ≥e ，即0＜a 1e≤时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意； ③当01a ＜＜e 时，即a 1e＞时，函数f (x )在区间(0，1a )上为减函数，在(1a ，e ]上为增函数，又x ＞0，且x →0时，f (x )→+∞，函数f (x )的大概图像如以下列图，故对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，当且仅当a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜，即()110111a ea lna a e ⎧⎪⎪-+⎨⎪--≥⎪⎩＞＜〔*〕令h (a )＝1﹣a +ln a ，a ∈(1e，+∞)，那么h ′(a )＝﹣111a a a -+=，当1e＜a ＜1时，h ′(a )＞0，当a ＞1时，h ′(a )＜0， ∴函数h (a )在(1e，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h (a )max ＝h (1)＝0，从而〔*〕等价于11121a e a a e a e ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪⎪≥⎪-⎩＞＞且，故a 21e ≥-，故a 的取值范围为[21e -，+∞)．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，表达了分类讨论和数形结合的思想，着重考察学生对题意的理解与转化的思想，特别是问题〔2〕的设置，考察了学生创造性分析和解决问题的才能，属难题.请考生在第22、23两题中任选一题答题，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

一、单选题二、多选题1. 正方体--，E 、F 分别是、的中点，P 是上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是A．线段B．线段C ．线段和一点D ．线段和一点C ．2. 已知则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．3. 在中，，，，则在方向上的投影为（ ）A ．4B．C．D ．54.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为A．B．C ．4D ．15.下列函数中，与是相同的函数是A．B．C．D．6. 已知直线与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A．B ．0C ．1D ．28. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最大值为C ．若在上单调递增，则D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为10. 已知函数与在的图象恰有三个不同的交点，，.若为直角三角形，则（ ）A．B ．的面积C．D ．两函数图象必在处有交点11. 等差数列与的前项和分别是与，且，则（ ）A．B．C．的最大值是17D ．最小值是7四川省绵阳南山中学2023届高三上学期绵阳一诊热身考试文科数学试题(2)四川省绵阳南山中学2023届高三上学期绵阳一诊热身考试文科数学试题(2)三、填空题四、解答题12. 2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如下图所示，则下列说法中正确的有（）A ．受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降B ．社会消费品的零售总额前期下降较快，后期下降放缓C ．与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大D ．与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大13. 二项式的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________.14. 写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程_____________．15. 若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________.16. 如果函数的定义域为，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x，都成立，则称此函数具有“性质”（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；（3）已知函数具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数p 的值.17. 已知函数．(1)若，讨论的单调性；(2)当，，有两个不同的实数根，证明：．18. 已知函数，.若，且，证明：.19. 选修4—5：不等式选讲已知，对，恒成立，（1）求的最小值；（2）求的取值范围．20. 如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.（1）求的长；（2）若，求的值.21. 已知函数.(1)求函数在区间上的最小值；(2)不等式对于恒成立，求实数a的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）．A ．1B ．3C ．9D ．812. 钝角中，，则（ ）A ．1B．C．D ．03. 设数列满足，，，数列前n 项和为，且（且）.若表示不超过x 的最大整数，，数列的前n项和为，则（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20224. 已知平面向量，若与垂直，则（ ）A．B．C．D．5. 已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.A．B．C．D．6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D．7.已知，则=A．B．C．D．8. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且AM=AB 1，BN=BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1// MN ；③MN//平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN ，其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49.记，其中，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题C ．若，，且恒成立，则D ．若，则10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）A．B ．1C．D ．211.已知函数的图象上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则（ ）A．B ．的取值范围为C．在区间上无零点D ．在区间上单调递减12. 已知m ，n 是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则13. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②的图象关于轴对称；③的最大值为；④在区间上单调递增.其中正确命题的序号为___________（写出所有正确命题的序号）.14. 已知集合，则________．15. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.16.已知数列的前n项和为，___________，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，当时，，.记数列的前n 项和为，求.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上一点，点N （5，0）在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ky +m 与C 交于A ，B 两点，∠AOB ＝120°（其中O 为坐标原点），求实数m 的取值范围．18. 已知函数.（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.19. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．(1)求的解析式；(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．20. 某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：(1)分数在的学生人数；(2)这50名学生成绩的中位数（精确到）；(3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．21. 已知函数，且在处切线垂直于y轴．（1）求m的值；（2）求函数在上的最小值；（3）若恒成立，求满足条件的整数a的最大值．（参考数据，）。

重庆高2024级高三（上）一诊适应性考试数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,1- D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭解出不等式，得到集合B ，再由交集的定义即可得到结果.【详解】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭得{}21B x x =-<≤，又因为{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}1,0,1-故选：C.2.设()()3464i z z z z ++-=-，则复数z 的模为（）A.2B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】可设i z a b =+，根据复数相等的概念列方程求出复数z ，再求它的模.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，所以2z z a +=，2i z z b -=.由()()3464i z z z z ++-=-⇒6684a b =⎧⎨=-⎩⇒112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以2z ==.故选：D3.已知6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角等于120 时，向量a 在向量e上的投影向量为（）A .3B.3-C.3e-D.3e【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解【详解】||6a = ，e 为单位向量，当向量a ，e的夹角等于120︒时，则a 在e上的投影向量为||cos1203a e e ︒⨯=- ．故选：C ．4.若一个圆锥的母线长为l ，且其侧面积与其轴截面面积的比为2π:1，则该圆锥的高为（）A.2l B.3l C.4l D.5l 【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，圆锥高为h ，依题意，π2122rl r hπ=⨯⨯，解得2l h =，所以该圆锥的高为2l .故选：A5.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用计数方法结合古典概型求解.【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为432124⨯⨯⨯=种，恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共1142C C 8=种，所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为81243=.故选：B6.将函数()sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]2,(0)m m m ->上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.110,48π⎛⎤⎥⎝⎦B.0,24π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,2448ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,2448ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数平移变换原则可得()g x ，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等式组求得m 的范围，结合0m >和Z k ∈进行讨论即可求得结果．【详解】由题意知：5()(sin[2()]sin(2)661212g x f x x x ππππ=+=++=+，当[2x m ∈-，]m 时，5552[4,2]121212x m m πππ+∈-++，()g x 在[2m -，]m 上单调递增，∴542122(Z)522122m k k m k ππππππ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，∴11482(Z)24k m k m k ππππ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩；若11(Z)24824k k k ππππ->+∈，则93482k ππ>，∴243k <，此时24m k ππ≤+，又0m >，0k ∴=，∴024m π<≤；若11(Z)24824k k k ππππ-≤+∈，则93482k ππ≤，∴3,124k k ≥≥，此时110482k m ππ≤-<，与0m >矛盾，不合题意；综上所述：实数m 的取值范围为(0,]24π．故选：B ．7.已知134e 3a =，2e e b =，则（）A.2a b <<B.2a b<< C.2a b << D.2b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定的信息构造函数()(1)e x f x x =-确定a 与2的大小关系，构造函数ln ()xg x x=确定b 与2的大小即得.【详解】由134e 3a =，得113321(e 231e )3a =-=，令函数()(1)e ,01x f x x x =-<<，求导得()e 0x f x x '=-<，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，1((0)132f f a <==，因此2a <，由2ee b =，得2ln e b =，有ln 1ln e 2e e b ==，令函数ln (),1e xg x x x =<≤，求导得21ln ()0xg x x-'=≥，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 在(1,e]单调递增，ln ln e ln 22e 2b =>，即ln ln 2b >，因此2b >，所以2a b <<.故选：A【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11A B =，12AA =，则正三棱台111ABC A B C -的外接球体积为（）A.1253π B.25πC.1256πD.100π【答案】C 【解析】【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径.【详解】分别取ABC 、111A B C △的中心,E F ，连结EF ，过A 作1AM A F ⊥,因为2AB =，由正弦定理得2sin 60AB AE = ，得32AE =，同理可得12A F =，所以112A M =，7,2AM =所以7,2EF AM ==设正三棱台的外接球球心O ，O 在EF 上，设外接球O 的半径为R ，所以1,OA OA R ==222OA AE OE =+，22211,OA A F OF =+即22232R OE ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2222,R OF =+又因为7,2OF OE +=解得52,2OE R ==所以正三棱台111ABC A B C -的外接球体积34125ππ36V R ==.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AA λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λμ==时，1BP =B.当12λμ==时，1AP C D ⊥C.当1λμ+=，且λ、μ均非零时，1//BP CD D.当12λμ+=时，四棱锥11P A BCD -的体积恒为定值【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,根据条件可知点P 与点1B 重合，即可判定；对于B ，根据条件可知1,,A P B 三点共线，继而可判定；对于C ，根据条件可知1,,B P A 三点共线，继而可判定；对于D ,根据条件可知P 为AH 的中点，1,,B H A 三点共线，则111112P A BCD A A BCD V V --=，则可判定.【详解】对于A ,当1λμ==时，11AP AB AA AB =+=,即点P 与点1B 重合，则11BP BB ==,A 正确；对于B ，12λμ==时，11111222AP AB AA AB =+= ，1//AP AB，即1,,A P B 三点共线，,易知11//AB C D ,所以1//AP C D ,故B 错误；对于C ，当1λμ+=，且λ、μ均非零时，则1,,B P A 三点共线，易得11//BA CD ,所以1BP CD ∥，故C 正确；对于D ,当12λμ+=时，由C 知结合下图可知，P 为AH 的中点，1,,B H A三点共线，易知11111113323A A BCD A BCD V S h -=⨯⨯==为定值，则11111126P A BCD A A BCD V V --==也为定值，故D 正确，故选：ACD .10.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且2431n n S nT n =+，则（）A.当21n a n =-时，452T = B.当2n S n =时，31n b n =-C.()47345a a b +=D.41142a a b +>【答案】AC 【解析】【分析】由()()1212122n n n a a n n S n ++-===和12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++两个式子，结合下标和性质进行推导判断.【详解】对于A ：因为21n a n =-所以()()1212122n n n a a n n S n ++-===，224n S n=代入2431n n S nT n =+得(31)n T n n =+，所以452T =，故A 正确.对于B ：由A 知(31)n T n n =+，由11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩得62n b n =-，故B 不正确.对于C ：由12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以101104751532()2()45535142S a a a a T b b b ++⨯====⨯++，所以()47345a a b +=，故C 正确.对于D ：由C 知12212112()2()42()312n n n n n nn a a S a a n n b b T n b b ++===+++，所以11414114411411171744727()2()2()4714227()3712112a a S a a a a a ab b T b b b b ⨯++++⨯======<+⨯++，故D 不正确.故选：AC11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，MN l ⊥于N ，直线NF 与C 交于A ，B 两点，若2NA AF =，则（）A.60MNF ∠=B.43NF p =C.MB =D.37sin 14NAM ∠=【答案】AC【解析】【分析】不妨设点M 在x 轴上方，设出点()00,M x y根据已知推导出2p N ⎛⎫-⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，然后根据斜率公式和图形的几何性质判断A ，用两点间距离公式求NF 判断B 和C ，用平面向量求夹角余弦再转化为正弦判断D.【详解】不妨设点M 在x 轴上方，设点()00,M x y ，则点0,,,022p p N y F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若2NA AF = 则点011,63A p y ⎛⎫⎪⎝⎭.将点011,63A p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2:2(0)C y px p =>可得0y =，将()0M x 代入2:2(0)C y px p =>可得032x p =，所以2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32M p ⎛⎫⎪⎝⎭，1,63A p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以0322NF k p p -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线NF 的倾斜角为120︒，所以60MNF NFO ∠=∠= ，故A 正确.2NF p ==，故B 不正确.易得直线AB的方程为2y p =+，由2322y p y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得1213,62x p x p==所以3,2B p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以,2MB MN p ==，所以MB =，故C正确；因为2,33AN p p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，4,33AM p p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以·cos ,14AN AM AN AM AN AM〈〉==且两个向量夹角为锐角，根据同角三角函数基本关系得sin ,14AN AM 〈〉=，故D 不正确.故选：AC12.已知()e e 2x x a f x +=，()()()22e 2xg x a x x =--+，0a ≠则（）A.当1a =-时，()f x 为奇函数B.当1a =时，存在直线y t =与()y f x =有6个交点C.当21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()g x 在()0,∞+上单调递减D.当1a <-时，()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】AB 两个选项比较好判断；对C ，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D ，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数.【详解】当1a =-时，()0f x =，可以说是奇函数，故A 正确；当1a =时，()e xf x =在R 上单调递增，与y t =最多一个交点，故B 错误；因为()()()22e2xg x a x x =--+，所以()()22e 22e 1x x g x a x ⎡⎤=+--⎣⎦'()2e 231xa x =--.对C ：()g x 在()0,+∞上递减，需有()2e 2310xa x --≤（0x >）恒成立.当32x >时，()21e 23xa x ≤-，又()210e 23x x >-，且当x →+∞时，()210e 23x x →-，所以0a <.当302x <<时，()21e 23x a x ≥-.设()()2e23xh x x =-，则()()2e 44x h x x '=-，由()0h x '>⇒1x >，所以()h x 在()0,1上递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()h x 的最小值为()21e h =-，所以21e a ≥-.所以0a <且21e a ≥-，即21,0e a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故C 正确；对D ：设()()2e231xm x a x =--，则()()24e 1x m x a x '=-.因为1a <-，所以当01x <<时，()0m x '>；当1x >时，()0m x '<.所以()m x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()m x 的最大值为()21e 10m a =-->，又()0m =310a -->，所以()0m x =只在()1,+∞有一解，设为0x 即()020e 2310x a x --=，所以()g x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减.且()()0210g a =-+>，且当x →+∞时，()()()22e 2xg x a x x =--+→-∞，所以()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点.故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：已知函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值来解决.三、填空题：本题共4小题．13.设一组样本数据12,,,n x x x ⋯的方差为0.01，则数据1106x +，2106x +，⋯，106n x +的方差为_________．【答案】1【解析】【分析】根据新数据和原数据的关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据()1,2,,i ax b i n +=⋅⋅⋅的方差是数据()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅的方差的2a 倍，所以所求数据的方差为2100.011⨯=，故答案为：1.14.过点(P 的直线l 将圆22:420C x y x +--=分割成弧长比值为1:3的两段圆弧，则l 的斜率为_________．【答案】2【解析】【分析】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，然后推导出弦心距，然后设出过点P 的点斜式方程，根据点到直线距离公式列方程求出斜率.【详解】由已知得到劣弧所对的圆心角为90︒，圆的圆心为()2,0，半径为r==d =由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 为：()1yk x -=-，即0kx y k --+=，所以圆心到直线的距离d ===整理得2210k -+=，解得2k =.故答案为：2.15.若直线y kx =是曲线ln y a x =的切线，也是曲线e x y =的切线，则=a _________．【答案】2e 【解析】【分析】先根据y kx =与e x y =相切，确定k 的值，再根据直线与ln y a x =相切，确定a 的值.【详解】因为y kx =与e x y =相切.()'e e x x y '==，设切点坐标为()11,e x x ，则切线方程为()111e e x xy x x -=-.因为切线过原点，所以：()1110e e 0xxx -=-⇒11x =，故切点为()1,e ，所以e k =.对函数ln y a x =，()'ln a y a x x ='=，由e a x =⇒ea x =，根据e y x =得切点纵坐标为：e·ea a =，根据ln y a x =得切点纵坐标为：()·lnln 1eaa a a =-，由()ln 1a a a =-，又由题可知0a ≠⇒2e a =.故答案为：2e 【点睛】关键点点睛：先根据e x y =的切线过原点，求出k 的值；求a 时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.16.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，P ，Q 为双曲线一条渐近线上的两点，四边形12PFQF 为矩形，且25sin 5PAQ ∠=，则双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，求出点,P Q 的坐标，再借助诱导公式、同角公式求出,a b 的关系即可得解.【详解】令双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距为c ，显然(,0)A a -，由双曲线的对称性，不妨令点,P Q 在双曲线C 的渐近线by x a=上，且点P 在第一象限，由四边形12PFQF 为矩形，得2||||OP OF c ==，令00(,)bx aP x ，则0x a =，(,)P a b ，(,)Q a b --，于是2AQ AF ⊥，则22π25sin sin()cos 25PAQ PAF PAF ∠=+∠=∠=，25sin 5PAF ∠=，21tan 2PAF ∠=，即直线AP 的斜率12k =，因此122b k a ==，即1b a =，所以双曲线C 的离心率为2212c b e a a==+=.故答案为：2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求1a 与d 的关系；（2）若11a =，n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使得79nT <成立的n 的最大值．【答案】（1）10a d -=或0d =（2）n 的最大值为3.【解析】【分析】（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列可得3212132S S S a a a =+，即可得到1a 与d 的关系；（2）由裂项相消法得到n T ，再解不等式即可求得n 的最大值.【小问1详解】因为n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a =+，即()121232321a a a a aa a +++=+从而得到()1111223312a d a da da d++=+++，化简得()10a d d -=所以10a d -=或0d =【小问2详解】当0d =，11a =时，1n a =，111n n a a +=，所以79n T n =<，又因为N n *∈，所以n 不存在；当10a d -=，11a =时，n a n =，()1111111n n a a n n n n +==-++，所以111111711223119n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得72n <，又因为N n *∈，所以n 的最大值3.18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin 0b C C a c +--=．（1）求B ；（2）若2ABC S =△，点D 在边AC 上，BCD BAD S a S c =△△，且5BD =，求b ．【答案】（1）π3B =；（2）b =.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B 的大小.（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出,ABD CBD ∠∠，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理及cos sin 0b C C a c +--=，得sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=，即sin cos sin sin sin B C B C A C +=+sin()sin sin cos cos sin sin B C C B C B C C =++=++，sin sin cos sin B C C B C =+，而sin 0C ≠cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，又0πB <<，即有5666B πππ-<-<，则66B ππ-=，所以π3B =.【小问2详解】依题意，1sin 21sin 2BCD BADa BD CBDS a S c c BD ABD ⋅∠==⋅∠ ，则sin sin ABD CBD ∠=∠，而π3ABD CBD ∠+∠=，于是π6ABD CBD ∠=∠=，11112522522ABC CBD ABD S S S a c =+=⋅⋅+⋅⋅= ，解得5a c +=，又1πsin 2342ABC S ac ===，解得6ac =，由余弦定理得22222cos ()37b a c ac B a c ac =+-=+-=，解得b =，所以b =.19.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ABD ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，E 为DC 中点．（1）证明：平面DBC ⊥平面DAB ；（2）已知120DAB ∠= ，二面角E AB D --的大小为45 ，求三棱锥D ABC -的体积．【答案】（1）证明见详解（2）16【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得CB ⊥平面ABD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求得点D 的坐标，进一步计算即可.【小问1详解】由题知，平面ABD ⊥平面ABC ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =,又ABC 为等腰直角三角形，其中1AB BC ==，所以CB AB ⊥,又CB ⊂平面ABC ,则CB ⊥平面ABD ，又CB ⊂平面DBC ，则平面DBC ⊥平面DAB .【小问2详解】作DF AB ⊥,交AB 于点F ,由平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =,知DF ⊥平面ABC ,因为120DAB ∠= ，所以60DAF ∠= ，设FA a =，则2,DA a DF ==，以点B 为坐标原点，建立,CB AB 所在直线为,x y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,B A F a D a -----()1,0,0C -，因为E 为DC 中点，所以113,,222a E ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，则()110,1,0,,,222a BA BE ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面EAB 的法向量为(),,n x y z =，则00100222y n BA x a y z n BE -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+--+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令1z =，则0,y x ==，则),0,1n =，又由()1得，平面ABD 的一个法向量()1,0,0m =，所以cos ,2m n n m m n ⋅===，解得3a =或3a =（舍），故1DF ==，则三棱锥D ABC -的体积1111113326ABC V S DF ⨯=⨯⨯=⨯⨯= .20.2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T 的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T 的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校T 的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B 三个等级，两科中至少有一科得到A +，且两科均不低于A ，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为12，38，18；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A +，A ，B 的概率分别为13，35，115；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A +，则免面试，并被高校T 提前录取；若两科笔试成绩只有一个A +，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为23，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为59，面试“通过”的同学也将被高校T 提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校T 的“强基计划”．（1）分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T 提前录取的概率；（2）从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取的概率．【答案】（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为58；该生被高校T 提前录取的概率为12（2）2372.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果；（2）分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校T 提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随机抽取2名学生被高校T 提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果.【小问1详解】总分高于690分的某位学生进入第二轮,记为事件A ，所以()()()11135222288P A P A AP A A +++=+=+⨯=，总分高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件B ，所以()()()211213123223282P B P A AP A A +++=+=⨯+⨯⨯=.【小问2详解】总分不高于690分的某位学生被高校T 提前录取，记为事件C ，所以()()()511513129339353P C P A AP A A +++=+=+⨯⨯=，从甲班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件E ，()1121222233C C C 1111114C 23C 3392727P E =⨯⨯+⨯⨯=+=，从乙班获得高效T 的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校T 提前录取，记为事件F ，()22112222222444C C C C 11111111137C 22C 33C 2324549216P F =⨯⨯+⨯+=+=，故所求概率()()437232721672P P E P F =+=+=.21.已知斜率为1的直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，线段AB 的中点为21,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的离心率；（2）设C 的左焦点为F ，若103AF BF ⋅=，求过A ，B ，F 三点的圆的方程．【答案】21.222.221140333x y x y +---=【解析】【分析】（1）中点弦的问题可以考虑“点差法”解决.（2）联立直线与椭圆方程，利用一元二次方程根与系数的关系列出12x x +，12x x 的值，再利用10·3AF BF =求出a ，b ，c 的值.确定点A ，B ，F 的坐标，再利用待定系数法求三角形的外接圆.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒22221212220x x y y a b --+=⇒()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=又1243x x +=，1223y y +=-，所以2122122y y b x x a -=-，又2221b a =⇒()222222a b a c ==-⇒e=2c a =.【小问2详解】直线l 方程为1y x =-，椭圆C 的方程可写为：22222x y b +=.联立方程，消去y 得：()2234210x x b-+-=则：1243x x +=，()212213b x x -=，()()22221212124132·9bx x x x x x ++=+-=.又(),0F b -所以：()()2222221122··AF BFx b y x b y ⎡⎤⎡⎤=++++⎣⎦⎣⎦()()()()222211221·1x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()()()2222212121212124412141x x b x x x x b x x b x x =+-+++++-+()()()()222122111b b x x b -++++()()()22241214441··933b b b --=⨯+-()()()()22224132121·41·93b b b b +-+++-()()()2224100211·139b b b +-+++=解得：21b =故可令12x x >得143x =，20x =.所以41,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B -，()1,0F -.设过这三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=由：1010161409933E F D F ED F ⎧⎪-+=⎪-+=⎨⎪⎪++++=⎩解得：1343D E F ⎧==-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.故所求圆的方程为：221140333x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：解析几何的题目，关于字母的有关运算非常的麻烦，一定要认真、仔细的计算.22.已知函数()e 1x f x x-=．（1）证明：当0x <时，()1f x <；当0x >时，()1f x >．（2）正项数列{}n x 满足：()1e n x nf x +=，11x =，证明：（i ）数列{}n x 递减；（ii ）11122nin i x-=≥-∑．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）先证明e 10x x -->，继而可得结论.（2）（i ）要证数列{}n x 递减，只证1e en nx x +<，即证e 1e nnx x nx -<，换元后，利用导数证明即可；（ii ）先证()()2e 1e ,0xx f x x x-=>>，继而得12n n x x +>，则11122n n n x x -->>，根据条件，求和即可.【小问1详解】设()()e 10xg x x x =--≠，则()e 1x g x '=-，令()e 10x g x '=->得0x >，令()e 10x g x '=-<得0x <，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g x g >=，即e 10x x -->，则当0x <时，e 11x x-<即()1f x <；0x >时，e 11x x->即()1f x >.【小问2详解】（i ）因为数列{}n x 各项为正，要证数列{}n x 递减，只需证明10n n x x +<<，即证1e e n n x x +<，又()1e 1en n x x n nf x x +-==，所以即证e 1e n nx x nx -<，令0n t x =>，不等式化为()e 110tt ⋅-+>，设()()e 11,0tg t t t =⋅-+>，则()e 0t g t t ='⋅>，恒成立，故()()e 11tg t t =⋅-+在()0,∞+上单调递增，则()(0)0g t g >=恒成立，即()e 110tt ⋅-+>在()0,∞+上恒成立，则原命题得证.（ii ）先证明：()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>，即证2e 10xx xe -->，设2()=e e 1,0x x h x x x -->，则22()=e e e 2x x xx h x ⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭222=e e 1e (e 1)022x x x x x x ⎛⎫-+=⋅--> ⎪⎝⎭，()e 10x x -->所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()(0)0h x h >=，则所证不等式()()2e 1e ,0x x f x x x-=>>成立.又0n x >，()12e e nn x x n f x +=>，所以12n n x x +>，11x =，所以12122x x >>，2321,22x x >>⋅⋅⋅11122n n n x x -->>，则当2n ≥时，11111112222n i n n i x --=>++⋅⋅⋅+=-∑，又当1n =时，1111212x -=-=，故11122n i n i x -=≥-∑成立.【点睛】本题第一问的关键点是：先证明e 10x x -->，继而分0x >和0x <，变化不等式，可得到结论；本题第二问的关键是（i ）：构造不等式1e e n n x x +<，不等式化为e 1e n n x x n x -<，利用换元法，设n t x =，构造函数()()e 11t g t t =⋅-+，利用导数证明；（ii ）先证明()()2e 1e ,0x x f x x x -=>>，继而得到()12e e n n x x n f x +=>，12n n x x +>，再结合等比数列的前n 和求解.。