九年级数学第27章相似的性质学案

27.2.1相似三角形的判定（3）学案40
课型：新授课 编者： 彭东飞 审定：初三数学组 学习目标：1.理解两个对应角相等的相似三角形判定；2.认识直角三角形相似的判定； 学习重难点：1.理解两个对应角相等的相似三角形判定； （一）基础我梳理
1.如下左图所示，在△ABC 和△'''C B A 中，∠A=∠A ’，∠B=∠B ’ 求证：△ABC∽△'''C B A
探究：在A ’B ’上截取 A ’D=AB ，过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E ∴△A ’DE ∽ ，∠A ’DE=∠B ’ 又∠B ’ =∠B ，∴∠A ’DE=∠B 又∵∠A ’ =∠A ，A ’D=AB
∴ ≌△ABC ，∴△ABC∽△'''C B A
归纳：（相似三角形判定定理4） 两个三角形相似；
应用此定理常用的方法①对顶角相等；②平行线间内错角、同位角相等；③等角加上同角后相等；④同角或等角的余角、补角相等；⑤全等三角形的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等。

例题讲解:例1（教材P35例2）．
C
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL ”判定他们全等，那么满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?
2. 如上右图所示，在Rt △ABC 和Rt △'''C B A 中，∠C=∠'C =90°，'
'''C A AC
B A AB =
求证：Rt △ABC ∽Rt △'''C B A
探究：要证Rt △ABC ∽Rt △'''C B A ，可求证'
'''C A AC
B A AB =
= ； 设
'
'''C A AC
B A AB =
=k ，只需证明''C B BC = ，则根据所设可有AB=kA ’B ’，AC=kA ’C ，由勾股定理可有BC=
22AC AB -= =22''''C A B A k -= ；则
''C B BC = ；所以'
'''C A AC
B A AB == 。

即Rt △AB
C ∽Rt △'''C B A 归纳： 的比等于一组 的比的两个直角三角形相似； （二）新知我尝试
1. 如图1所示，在△ABC 中D 是AB 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，则应添
加的条件 图
1图2
2.如图2所示，D ，E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上移动，DE 与BC 不平行，当满足 条件时，有△ABC ∽△ADE ；
3. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，Rt △DEF 中，∠F=90°，DE=5，DF=3，则这两个三角形的关系是（ ） A.不相似 B.相似 C.全等 D.不能确定
4.下列各组图形有可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是50°的两个等腰三角形
B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.各有一个角是50°的两个直角三角形
D.两个等腰直角三角形
5.已知△ABC 、△DEF 中，点A 、B 、C 与点D 、E 、F 相对应，且∠A=70°，∠B=34°，∠D=70°，则当∠F= 时，△ABC ∽△DEF （三）达标我能行
1.如图3所示，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论
2.如图4所示，AB 是⊙O 的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC （1）求证：△ABC∽△POA ；（2）若OB=2，OP=2
7
，求BC 的长
(四)学有余力，能力拓展。

1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．
3.已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证：FD
EF
BF AF
．
4．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高,（1）求证：AC •BC=BE •CD
；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．
27.2.3 相似三角形的性质 学案41
课型：新授课 编者：续丽伟 审定：初三数学组 学习目标
1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2． 能用三角形的性质解决简单的问题． 一、预习检测案：
如图，已知Rt ABC ∆ ∽ '''Rt A B C ∆，且'90C C ∠=∠=︒,3AC =,4BC =,''
6AC =, ''
8B C = B
（1）计算出两个三角形的周长以及周长之比。

（2）计算出两个三角形的面积以及面积之比。

’ （3）两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系？ 总结：相似三角形周长的比等于 。

用类似的方法，还可以得出：相似多边形周长的比等于 。

二．合作探究案：
探究1：如图，ABC ∆∽△'''C B A ，相似比为1K ，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
归纳 ：相似三角形对应的高的比等于 相似三角形对应中线之比等于 相似三角形对应角平分线之比等于 一般的，我们有：相似三角形对应对应线段的比等于相似比。

探究2：如上图，相似三角形面积的比与相似比有什么关系？（自己完成探究并总结）
归纳：相似三角形面积的比等于
例1 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，AB=2DE,AC=2DF,A D ∠=∠,ABC ∆的周长为24，面
积是DEF ∆的面积与周长？
分析：根据已知可以得到2
1
AC DF AB DE ==，又有夹角∠D=∠A ，由相似三角形的判定定理3 可以得到这两个三角形相似，且相似比为2
1
，故△DEF 的周长和面积可求出．
四、达标测验1．填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比
为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为4:9 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于
______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，
面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2
．
2．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．
3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若3
2
EC AE =， ① 求AC AE 的值；
② 求ABC
ADE S S
∆∆的值；
③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；
（2）若S S ABC =∆，3
2
EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；
（3）若k EC
AE
=， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积
(第3题
)。