九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案

第一章一元二次方程小结与复习学案（湘教版九上）学习目标：1、通过对本章的复习与小结，使学生熟练掌握解一元二次方程的四种方法，并会根据具体方程的特点选择适当的方法。

2、进一步运用建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。

学习重点：能灵活运用四种方法解一元二次方程。

学习难点：建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。

学习过程：复习引入：1、回顾本章的主要数学思想和方法.本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决.如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法.2、理清本章的知识结构图（课本P.29的知识结构图）.请同学们带着以下问题用5分钟的时间自学教材 P28 -P29复习题一前的内容，并自学思考题：自学思考题：1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是、一次项系数是常数项。

例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。

2．解一元二次方程的一般解法有：（1）____________法，适用于能化为（x+m)2=n(n≥0）的一元二次方程。

（2） 法，适用于能化为（x+a )（x+b ）=0的一元二次方程。

（3） 法，关键是 ________________________（4）求根公式法，求根公式是 ________________________3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。

一元二次方程【学习目标】1．进一步理解一元二次方程的有关概念．2．能灵活运用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程．3．进一步提高建一元二次方程模型解决实际问题的能力．【学习重点】一元二次方程的解法与应用．【学习难点】一元二次方程的应用。

情景导入 生成问题【本章知识结构】【基础知识梳理】1．一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程． 一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．2．一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思路是降次(即转化为解两个一元一次方程)．一元二次方程的解法有：配方法，公式法，因式分解法等．(2)一元二次方程的求根公式是x ＝2a(b 2－4ac≥0)．其中b 2－4ac 叫作一元二次方程根的判别式． 当b 2－4ac>0时，它有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，它有两个相等的实数根；当b 2－4ac<0时，它没有实数根．(3)若设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两实根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a． 3．一元二次方程的应用(1)解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答．(2)平均增长率(降低率)问题的常用公式：a(1±x)n＝b.自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的定义及一般形式【例1】 (1)方程(m ＋1)xm 2－2m －1＋7x －m ＝0是一元二次方程，则m ＝3．(2)若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0教师提示：紧扣一元二次方程的定义．知识模块二 一元二次方程的解法【例2】 选择恰当的方法解下列方程：①(2y －3)2＝5； ②(x＋3)2＝2x ＋6；解：原方程可化为 解：原方程可化为2y －3＝±5， (x ＋3)2－2(x ＋3)＝0，y ＝3±52， (x ＋3)(x ＋3－2)＝0， ∴y 1＝3＋52，y 2＝3－52. ∴x 1＝－3，x 2＝－1. ③2x 2－3(x －1)2＝1; ④x 2－5x －14＝0.解：原方程可化为 解：原方程可化为x 2－6x ＝－4, b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(－14)＝81，(x －3)2＝5, x ＝5±812＝5±92， ∴x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5. ∴x 1＝7，x 2＝－2.教师点拨：解一元二次方程时要注意：先观察方程的特点，再选择恰当的解法，一般情况下：①首先看能否用平方根的意义或因式分解法；②不能用以上方的可考虑配方法；③最后考虑公式法．知识模块三 一元二次方程的应用【例3】 某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得(40＋x －30)(600－10x)＝10000.即x 2－50x ＋400＝0.解得x 1＝10，x 2＝40.所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求． 答：每个台灯售价应是50元．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的定义及一般形式知识模块二 一元二次方程的解法知识模块三 一元二次方程的应用检测反馈 达成目标1．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．02．用适当的方法解一元二次方程．(1)x 2＝3x; (2)(x －1)2＝3；(3)2x 2＋5x －3＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝3.(2)x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(3)x 1＝12，x 2＝－3. 3．某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个，市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个，若销售利润不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得(40＋x －30)(600－10x)＝10000，即x 2－50x ＋400＝0，解得x 1＝10，x 2＝40.∴每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润将为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求．所以台灯的售价应定为50元。

第2章 一元二次方程小结与复习复习目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。

4、进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。

5、能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。

教学过程：一、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根。

如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a +=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系4.用方程解决实际问题：略二、基础训练1．解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） 02722=--x x （配方法）（3）()()2322+=+x x （因式分解法） （4）2260x x +-=（公式法）1.一元二次方程2210x x -+=的解是 ．2．方程(1)x x x -=的解是 ．3.一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=，则另一个一次方程是 ．4.用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=5.下列方程中，有两个不相等实数根的是Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-= 6．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．7.关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 。

第23章《一元二次方程》小结与复习教学案（1课时）（华东师大版初三上）doc 初中数学初三数学备课组第13课时：本章小结与复习 课型：复习一、学习目标：⒈把握一元二次方程的差不多概念及其解法。

⒉灵活运用一元二次方程知识解决一些实际咨询题。

二、学习重难点：⒈重点：一元二次方程的应用；⒉难点：一元二次方程的应用；三、学习过程：㈠创设情境回忆本章学过哪些知识点？㈡点拨矫正⒈关于x 的方程〔 a+3〕x a 2-1+(a-1)x-1=0⑴当m 为何值时，它是一元二次方程；⑵当m 为何值时，它是一元一次方程；⒉解以下方程⑴5(x-1)2=54 ⑵(1-2)x 2=(1+2)x⑶3x 2-7x-10=0 ⑷(21x-1)(x+2)=163.假设关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m 的值。

4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)⑴当a 、c 异号时，试讲明该方程必有两个不相等的实数根；⑵当a 、c 同号时，该方程要有实数根，还需滿足什么条件？请你找出一个a 、c 同号，且有实数根的一元二次方程，然后解那个方程。

㈢规律总结解一元二次方程时，一样情形下，先考虑能否用直截了当开平方和因式分解法，假设不能，再考虑用公式法，配方法不常用。

㈣尝试练习⒈方程(k 2-1)x 2+kx-5=0是一元二次方程，那么k 的值不能是〔 〕A. 0B. 1C. –1D. ±1⒉假设(x+y)(1-x-y)+6=0，那么x+y 的值为〔 〕A. 2B. 3C. –2或3D. 2或-33．关于x 的方程2x 2+(8k+1)x+8k=0两个不相等的实数根,那么k 的取值范畴为_______。

4．α和β是x 2+2x-2001=0的两个实数根，那么α2+3α+β=___________________.5.a 、b 是实数，且62 a +(b-2)=0，解关于x 的方程(a+2)x 2+b 2=(a-1)x 。

第22章一元二次方程小结与复习教学内容本节课主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．教学目标知识技能理解一元二次方程概念，灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．重难点、关键重点：运用知识、技能解决问题难点：解题分析能力的提高．关键：引导学生参与解题的讨论与交流教学准备教师准备：制作课件，精选习题教学过程一、回顾交流【教学方略】∙知识网络图表∙一元二次方程解法直接开平方法配方法公式法因式分解法判别式应用列方程或方程组解应用题【师生共识】1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．范例点击例1：教师巡视、指导，并选取4名学生上台书写解答过程 点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．二、 随堂巩固导学案P41 第1、题补充练习学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取4名学生上台书写解答过程【设计意图】为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.三、 小结作业1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？2.作业：导学案P41 第2、3、4题【活动方略】教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．解方程：（2x-3)2=x2。

《一元二次方程全章复习与小结（二）（应用问题）》导学案一、学习目标：1.进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，2.通过对实际问题的解题过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在二、学习重、难点重点：利用一元二次方程解决实际问题难点：如何正确找到相等关系，列出方程三、学习与交流：1.数与数字方面的应用题例：两个连续偶数的积是168，求这两个偶数。

2.增长率问题例:某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。

设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是_________________。

3. 销售利润问题例：苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？4. 几何问题例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.四、例题教学（循环赛制类应用题）2014年某地区的超级足球联赛，赛制采取主、客场的循环比赛，如果所有比赛场次共有240场，那么2014年共有多少个队参加这个超级联赛？6．如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。

在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？7.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。

点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。

湘教版九年级上册数学导学案第二章小结与复习【学习目标】1.通过画知识网络图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系.2.通过对典型例题，易错题的整理，抓住本章的特点，突破学习的难点.3.通过灵活运用解方程的方法，进一步熟练根据方程特征找出最优解法.4.通过实际问题的解决，进一平熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的运用.重点：理解并掌握一元二次方程的概念及解法，解决与一元二次方程根的判别式有关的问题，会运用方程模型解决实际问题.难点：1.根与系数关系的应用；2.对于背景较复杂，等量关系不太明显的实际问题的解决. 【预习导学】1.什么样的方程是一元二次方程？它的一般形式是什么？2.一元二次方程的解法有哪几种？3.如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否有实根？4.一元二次方程的根与系数之间有什么关系？5.利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？【探究展示】（一）合作探究学生自主学生自主交流讨论，形成知识网络图.一元二次方程的有关概念一元二次方程的解法配方法一元二次方程一元二次方程根的判别式公式法一元二次方程根与系数的关系因式分解法一元二次方程的运用(二）探究展示1.当m为何值时，关于X的方程（m-2）X2+（m+2）X+3m+2=0.2.解下列方程：（1）49X2-144=0；（2）X（7-X）=4X2；（3）2X2-6X-3=0；（4）（X+3）2+2X（X-3）=0；（5）X（X+1）+2（X-1）=0；（6）X2+8X+16=0.3.已知关于X的方程X2-（b+2）X+2K=0.（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根.（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的根，求三角形的周长.4.将进货单件为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少元？【知识梳理】以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.【当堂检测】 1.如果关于X 的方程（m-2）X m2-2-X+3=0是一元二次方程，则m 的值是 . 2.已知X 1，X 2是方程X 2-2X-1=0的两实数根，那么2112x x x x 的值为 . 3.若关于X 的一元二次方程X 2+6X+212=0有两个实数根，求K 的取值范围及K 的非负数整数值.4.北京奥运会的主会场“鸟巢”给世人留下了深刻的记忆，据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过两次优化，鸟巢的结果用钢量从最初的54000t 减少到42000t ，求年均每次用钢量降低的百分率X （精确到1%）.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。

九年级数学上册第二十二章一元二次方程复习教课设计新人教版【教课设计】
第 22 章一元二次方程小结与复习
教课内容
本节课主假如对一元二次方程进行系统复习，稳固所学知识，提高应用能力．
教课目的
知识技术
灵巧运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实质问题．
数学思虑
经历运用知识、技术解决问题的过程，发展学生的独立思虑能力和创新精神．解决问题
认识数学解题中的方程思想、转变思想、分类议论思想和整体思想．
感情态度
培育学生对数学的好奇心与求知欲，养成怀疑和独立思虑的学习习惯．
重难点、要点
要点：运用知识、技术解决问题
难点：解题剖析能力的提高．
要点：指引学生参加解题的议论与沟通
教课准备
教师准备：制作课件，优选习题
学生准备：写一份本单元知识构造图．
教课过程
一、回首沟通
【教课方略】
将学生疏成四人小组，?沟通各自书写的“单元知识构造图”进行归纳总结．知识网络图表
专心爱心专心
1 / 1。

第二十二章一元二次方程一、教材分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念，一元二次方程的解法，运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习作好准备。

数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。

知识清单(一)一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念1、一元二次方程概念一元二次方程是(1)都只含一个未知数x(2)它们的最高次数都是2次的(3)?都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程一般式及有关概念一般地，任何一个关于x的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a^ 0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a^0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法解形如x2=p (p >0)，那么x=± J p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n) 2=p (p>0)，那么mx+n=± J p，达到降次转化之目的.若p v0则方程无解。

2、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1; (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q》0，方程的根是x=-p±V q;如果q v 0,方程无实根。

3、公式法一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=C，当b2-4ac>0时，？将a b、c代入式子x^b b 4ac就得到方程的根.(公式所出现的运2a算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。