特殊平行四边形：证明题

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE 是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22AB AE-=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22AB OA-=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．102B．53C5103D1053【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．201421）（B．201521）（C．201533）（D．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22AB OA=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P的坐标为方程组3(13)1y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（03），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．2C．3D． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．3B． 3 3C．3D93【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=26，则MF的长是（）A15B15C．1 D．15【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x，则3-3，3-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x）2，解得3，∴⊙O的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B 作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． 2．（2015连云港）已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（ ） A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确； 故选B ．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD ，∵E 为AD 边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A ．考点：菱形的性质． 4．（2015柳州）如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG=CE ，AE ⊥EF ，AE=EF ，现有如下结论：①BE=12GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD=45°；④△GBE ∽△ECH其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（2015南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ． 【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴BE=22AB AE -=1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22AB OA -=3（cm ），∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ） A ．25 B ．35 C ．5 D ．6【答案】C ．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53C 5103D 1053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）A ．201421）（B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015广安）如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB=6cm ，∠ABC=60°，则四边形EFGH 的面积为 cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC ，BD ，相交于点O ，如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF=12AC=HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OB=22AB OA =33，∴BD=63，∵EH=12BD ，EF=12AC ，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． 11．（2015凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P 的坐标为方程组3(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P 的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题． 12．（2015潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（03，动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为 ．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，∴∠BAC=45°，AB ∥DC ，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC ﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt △ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8． 考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…nS ，则nS 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB1交直线l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l 于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A 、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，垂足为Q ，过E 作EH ⊥AB 于H ． （1）求证：HF=AP ；（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题． 19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，连接AG 、CE ． （1）求证：AG=CE ； （2）求证：AG ⊥CE ．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析． 【解析】 试题分析：（1）由ABCD 、BEFG 均为正方形，得出AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，得出∠ABG=∠CBE ，从而得到△ABG ≌△CBE ，即可得到结论；（2）由△ABG ≌△CBE ，得出∠BAG=∠BCE ，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN ，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，∴AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，∴∠ABG=∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，∵AB=CB ，∠ABG=∠CBE ，BG=BE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ；（2）如图所示：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG=∠BCE ，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN ，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG ⊥CE ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8．（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ．①求EFAK 的值；②设EH=x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；（2）若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x =-， S 的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF ∥BC ，∴AK EF AD BC =，∴EF BC AK AD ==128=32，即EF AK 的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题． 21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F ． （1）PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE ． 【解析】 试题分析：（1）先证出△ABP ≌△CBP ，得到PA=PC ，由PA=PE ，得到PC=PE ；（2）由△ABP ≌△CBP ，得到∠BAP=∠BCP ，进而得到∠DAP=∠DCP ，由PA=PC ，得到∠DAP=∠E ，∠DCP=∠E ，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2014年题组】 1．（2014·宜宾） 如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A ．nB ．n ﹣1C ．（14）n ﹣1D ．14n【答案】B ． 【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n ﹣1）=n ﹣1． 故选B ．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质． 2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ． 2【答案】C ．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质． 3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC ，则边BC 的长为（ ）A ．3B ． 33 C ．3 D 93【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形 D ． 正方形 【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（ ）A 15B 15C ．1D ． 15【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵AE=13AB ，∴BE=2AE ．由翻折的性质得，PE=BE ，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP ）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE ．故①正确． ∵BE=PE ，∴EF=2PE ．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【例3】如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A ． 甲乙丙B ． 甲丙乙C ． 乙丙甲D ．丙甲乙【答案】B ．考点：正方形的性质． ☞1年模拟 1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D ． 【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A 、B 、C 选项均正确，而D 不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D ．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质． 2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】B ．考点：正方形的判定．7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算． 8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为 ．【答案】3【解析】试题分析：过O 点作GH ⊥BC 于G ，交BE 于H ，连接OB 、OE ，∴G 是BC 的切点，OE ⊥BH ，∴BG=BE ，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x ，则3-3，3-x ，在RT △OEH 中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x ）2，解得3，∴⊙O 的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质． 9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是 ．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；（2）连接EF 交于点O ，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF 的面积． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点，∴AE=CE=12BC ． 同理，AF=CF=12AD ．∴AF=CE ．∴四边形AECF 是平行四边形． ∴平行四边形AECF 是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形． 13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求sin ∠ABC 的值；（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE=163，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE ∽△DAO ．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值； （2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为¼CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。

八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。

图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。

特殊平行四边形-证明题(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF=，求证：四边形BNDM 为菱形．DBCAENMOA BCDEF D ′ADGCBFE6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE .（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△．（1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．8．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．C DE MAB FNAQ DEBCOCB AD A 'C '（第19D ' A DM10．如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ． （1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．11、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (3) (4)(特别提醒:表示角最好用数字)12、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．13、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．FDOCB EA14、如图8，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．15、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【解析】首先根据菱形的菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAD的度数，再根据菱形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，再代入所求的∠BAD的度数即可算出答案．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】由折叠可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故选C．4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．5.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解析】∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，∴AE=EC．∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）．7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=5，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】根据矩形性质求出OC=OD，根据菱形判定得出四边形DECO是菱形，求出OD=OC=EC=DE=，即可求出答案．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB∥CD，且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF【答案】D【解析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是______cm．【答案】4【解析】根据菱形的性质，BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．11.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．【答案】18【解析】求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．13.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是_______cm．【答案】48【解析】∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．16.如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BOC，∥GOC的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点时，四边形AECF是矩形，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．17.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【解析】（1）由四边形ABCD为菱形，可以说明ΔNDE≌ΔMAE，得到ND=MA和ND∥AM，推出四边形AMND是平行四边形．（2）若四边形AMDN为矩形，则∠AMD为直角，此时AM=1．19.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．【解析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．20.已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．。

平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。

1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD=21AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论.2、已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE=DF ，连接CE ，AF.求证：AF=CE.3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠C=60°，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD=3MN.4、如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. (1)求∠APB的度数；(2)如果AD=5 cm，AP=8 cm，求△APB的周长.5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF.6、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC 上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.7、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF.8、如图3-34所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．10、如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D 延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC；⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积. 11、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF 分别与AC、AD交于点E、F.(1) 求证：AB＝AF；(2)当AB＝3，BC＝5时，求的值．12、已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN；(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．13、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF，求证：AE=CF．14、已知：如图，在△ABC中，，D是BC 的中点，，CE∥AD．如果AC=2，CE=4．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求四边形ACEB的周长；（3）直接写出CE和AD之间的距离．15、如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF ⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．16、如图9，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠DAC、∠BCA，则四边形AFCE是平行四边形吗？为什么？17、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD 的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ，且AF=BD，连结BF（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．18、如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF 于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．19、如图，在□ABCD中，为边上一点，且．（1）求证：;（2）若平分，，求的度数．20、如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，（14分）（1）若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm，求：CD的长．（2）若平行四边形的周长为36cm，AE=4cm，AF=5cm，求平行四边形ABCD的面积．21、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD, CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：四边形AECF是平行四边形．22、如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．23、已知,如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,FC 与BE 交于点G.求证:GF=GC.24、已知,如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.25、如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC 的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．26、如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.(1) 求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.27、已知：如图，在□ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE＝CF．求证：（1）△ABE ≌△CDF；（2）BE∥DF．28、如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB、AD的延长线于点E、F.。

初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学 特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。

1．如图,已知E,F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形；（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；(3）当满足条件四边形EFGH是正方形．2已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角,AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2)当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．3如图，根据图形解答下列问题（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．(2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形?（3)△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形?4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点．(1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1)问的结论是否仍然成立（不用证明）；（3）在图(2)中，试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3)问中,试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．5如图1,正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．（1)试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD"改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB,其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系,并给出证明．6如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形"中的哪一种，并写出证明过程．7如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE,垂足分别为F，H．(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC,BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD 上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．（1）求∠AGD的度数；（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点,E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD:AB= ：时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明)．10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB,PE交CD于点F，连接DE．(1）请判断△PDE的形状，并给予证明;（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②）,若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证：四边形OEMF是菱形．做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD',如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．”请给予证明；（2)小芳同学说：“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点'，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论，并说明理由．12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°,P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明)（2)如图2，当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想，并给与证明；（3)如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．13(1）如图,正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°,延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°,若BM=1，CN=3,求MN的长．14已知:如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC,EF∥BC交AD于点F，求证:四边形CDEF是菱形。