数学上第三章证明三第二节特殊的平行四边形演示课件
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特殊的平行四边形PPT
特殊的平行四边形PPT1.灵活处理教材对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。
在学生已经对矩形相关知识非常了解的情况下，可以加大课程中的教学容量，加深对学生的要求，把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
2.分后层次教学对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同，一味的提高难度满足有能力的学生和降低难度适应困难学生都不是明智的做法，在教学中选择因材施教，使每个学生都有所得才是课堂教学效果的关键。
在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
3.充份给学生以时间和空间课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
4.应特别注意的问题几何教学有时对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急;此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法;还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。
特定的平行四边形做为平行四边形的一部分，在证明有关四边形的问题中有著很关键的促进作用。
因此，掌控特定平行四边形，例如矩形、菱形、正方形等的性质定理以及认定定理尤为重要，所以教学时如何使学生掌控有关的定理并利用这些定理对有关问题展开证明就是这部分科学知识的教学目的。
所以在教学时必须实行一定的方法，于是我在展开这部分教学时，首先根据每一节的内容，对以前研习过的有关科学知识展开备考，如在谈菱形时，首先通过备考总结使学生回忆起菱形的概念及性质，并使学生自己证明有关的性质定理，若发现错误及时给与制止并得出直观的证明过程，另外再由性质定理总结出来其认定定理。
《特殊的平行四边形》PPT课件5
3、已知菱形的两个邻角的比是1：2，较短的对角线长是 8cm，则菱形的周长为 。4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是 。
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
∴四边形ABCD是菱形
判定方法2：数学语言究用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：
特殊的平行四边形
- .
情景创设
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
三、课堂练习（复习巩固）1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形 的周长 ，面积 。2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 ；边长为 。
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，面积为 。 （2）：菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16 ，此菱形的边长为 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
∴四边形ABCD是菱形
判定方法2：数学语言究用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：
特殊的平行四边形
- .
情景创设
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
三、课堂练习（复习巩固）1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形 的周长 ，面积 。2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为 ；边长为 。
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，面积为 。 （2）：菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16 ，此菱形的边长为 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
《特殊平行四边形》精讲课件
特殊平行四边形精讲课件1. 什么是特殊平行四边形？特殊平行四边形是一个有特殊属性的平行四边形。
它有两对对边平行且相等，同时具有一对对角线相等的特点。
2. 特殊平行四边形的性质2.1 对边平行且相等特殊平行四边形的两对对边都是平行的且相等。
这个性质可以通过观察特殊平行四边形的结构来进行证明。
以平行四边形ABCD为例，假设AB || CD 且 AB = CD，那么可以根据平行线与横截线的性质知道，AD || BC。
同理，如果 AD || BC 且 AD = BC，那么可以得出 AB || CD。
因此，特殊平行四边形的两对对边都是平行的且相等。
2.2 对角线相等特殊平行四边形的对角线也是相等的。
证明这个性质可以借助平行四边形的性质。
以平行四边形ABCD为例，连接AC和BD两条对角线。
如果 AB || CD 且 AD = BC，则可以利用平行线与横截线的性质知道 BD = AC。
同理，如果 AD || BC 且 AB= CD，则可以得出 AC = BD。
因此，特殊平行四边形的对角线也是相等的。
3. 特殊平行四边形的分类有两种特殊平行四边形，即矩形和菱形。
3.1 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它有四个直角。
除了特殊平行四边形的性质外，矩形还有以下特点：•所有内角都是直角（即90度）；•对角线相等且平分彼此；•任意一对相对的边长相等。
3.2 菱形菱形是另一种特殊的平行四边形，它有四条相等的边。
除了特殊平行四边形的性质外，菱形还有以下特点：•所有内角都是锐角（即小于90度）；•所有边长相等；•对角线相等且平分彼此；•对边平行。
4. 特殊平行四边形的应用特殊平行四边形在几何学和实际生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•建筑设计：特殊平行四边形的结构在建筑设计中起着重要作用，如矩形窗户、菱形地板图案等。
•计算几何：特殊平行四边形的性质被广泛用于计算几何中的问题求解，包括求边长、角度、面积等。
•工程测量：特殊平行四边形的性质可以用于工程测量中的矩形地块划分、菱形阵列布局等。
第二节特殊的平行四边形PPT课件
3
【一中名师解答】（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，∴
∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∠BAC＝∠FCO，
∠AOE＝∠COF，AE＝CF，△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）连接
OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF.由（1）可得OA=OC,即点O是AC的中点.
根据矩形的性质，OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，∴在
第二节 特殊的平行四边形
回归教材知识
相垂直 相等
邻边 直角
走进重庆中考
重难点1 特殊平行四边形的性质—202X、202X年未单独考查，之前每年
的18题和24题是常考题型.
〖例1〗如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF， 连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.（1）求 证：OE=OF；（2）若BC=2 ，求AB的长.
(2)求证：AE=EC+CD.
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=4， ∠D=∠C=90°.∵BE=3，∴EC=1.∵F是CD的中点，∴DF=CF=2.在Rt△EFC中， 由勾股定理得EF= （2）过F作FG⊥AE于点G,∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FG⊥AE， ∴∠DAF=∠EAF，∠D=∠AGF，在△AGF与△ADF中，∵AF为公共边， ∠DAF=∠EAF，∠D=∠AGF,∴△AGF≌△ADF（AAS）.∴AG=AD， GF=DF.∴FC=FG，又∵FE为公共边， ∴Rt△FGE≌Rt△FCE.∴GE=CE.∵AE=AG+GE，AG=AD=CD，GE=CE， ∴AE=EC+CD.
BC，
THANK YOU .
18.2特殊的平行四边形总结PPT课件
6
6
7
.
7
三、特殊平行四边形的常用判定方法
平行 (1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等； 四边形 (3)一组对边平行且相等 (4)对角线互相平分；
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
矩 形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 菱 形 （2）四条边都相等的四边形是菱形；
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
18
.
18
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 A 点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)， P 结论应变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
特殊的平行四 边形
.
1
Байду номын сангаас
2
.
2
一、特殊的平行四边形的关系图
矩形
四边形
平行四边形 一角为直角且一组邻边相等 正方形
菱形
3
.
3
一、特殊的平行四边形的关系图
4
.
4
5
.
5
二、几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称 图形
矩形
对边平行 且相等
从中我想到：
平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等 17
.
.
17
6
7
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7
三、特殊平行四边形的常用判定方法
平行 (1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等； 四边形 (3)一组对边平行且相等 (4)对角线互相平分；
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
矩 形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 菱 形 （2）四条边都相等的四边形是菱形；
∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
∴四边形CODP是菱形
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如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于 A 点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，
连结CP，试判断四边形CODP的形状.
D
B
O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)， P 结论应变为什么？
如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又
特殊的平行四 边形
.
1
Байду номын сангаас
2
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2
一、特殊的平行四边形的关系图
矩形
四边形
平行四边形 一角为直角且一组邻边相等 正方形
菱形
3
.
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一、特殊的平行四边形的关系图
4
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二、几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称 图形
矩形
对边平行 且相等
从中我想到：
平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等 17
.
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17
《特殊的平行四边形》公开课教学PPT课件
到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是
菱形.
A
E
D
F
G
B
G
C
如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1，
A1D1交CD于E，A1B1交BC于F，请问四边形
A1FCE是不是菱形？为什么？
D
D1
A
A1形
四条边都相等
菱形
平行四边 形
矩形的性质
边的性质： 矩形的对边平行且相等.
角的性质： 矩形的四个角都是直角.
对角线的性质： 矩形的对角线相等，且互相平分.
想一想
由矩形的对角线性质，我们可以得到直 角三角形的一个性质：直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半.
思考：矩形的两条对角线把矩形分成四个什么三
角形？它们之间有什么关系？
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD 求证： ABCD 是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
A
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD；
B
O
D
∴BA=BC
C
∴ ABCD是菱形
菱形常用的判定方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有四条边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例题讲解： 例2 如图，点P是正方形ABCD的对角线 BD上的一点PM⊥BC，PN⊥CD，垂足 分别为点M，N.求证：AP=MN.
一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形边对角线角菱形的定义菱形的性质菱形的性质菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角
6.3特殊的平行四边形
《特殊的平行四边形》_优秀课件
2 1
2
= 2 AC(BO+DO)
= 1 AC·BD.
2
C 你有什么发现
？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
典例精讲
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝ 12.求菱形ABCD两对边的距离h.
A.18
B.16
C.15
D.14
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
随堂检测
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是 __3_c_m__. （2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ __3_0_°___. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是__5_c_m___.
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
随堂检测
【获奖课件ppt】《特殊的平行四边形 》_优 秀课件1 -课件 分析下 载
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ B ）
平行四边形
邻边相等
菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
2特殊的平行四边形课件
∴AC=DB （矩形的对角线相等）.
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.．
符号语言： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=DC （菱形的四条边都相等）.
菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分 一组对角.．
符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥DB ∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8
3、矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ D ）
A、四条边都相等 B、对角线平分每一组对角
C、对角线互相垂直 D、两条对角线相等
例2、根据图形求出相应的x、y的值（第1、3个图 是矩形，第2个图是菱形；第3个图中的2x、2y+4、 x+3y分别表示矩形对角线5一半的长）
X= 65 Y= 25;
X= 26 Y=
直
有一个角是直角
角
三
角
形
有两条边相等
等 腰 三 角 形
特殊的三角形是从任意三角形的边或角所具有的特征来定义的.
特殊的平行四边形是从平行四边形的边或角所具有的特征来定义的.
矩形
有一个角是直角
菱
有一组邻边相等
形
因为矩形和菱形是特殊的平行四边形,所以矩形和菱形具有平行四边形所有 性质.
角
矩 对角相等 形
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角）.
例1、选择题：
1、下列命题中，属于假命题的是（ D）
A、矩形的四个角相等
B、菱形的四条边相等
C、矩形的对角线相等且平分
D、菱形的对角线相等且垂直
2、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是
（c ）
A、对角线互相平分 B、对角相等
C、对角互补
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.．
符号语言： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=DC （菱形的四条边都相等）.
菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分 一组对角.．
符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥DB ∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8
3、矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ D ）
A、四条边都相等 B、对角线平分每一组对角
C、对角线互相垂直 D、两条对角线相等
例2、根据图形求出相应的x、y的值（第1、3个图 是矩形，第2个图是菱形；第3个图中的2x、2y+4、 x+3y分别表示矩形对角线5一半的长）
X= 65 Y= 25;
X= 26 Y=
直
有一个角是直角
角
三
角
形
有两条边相等
等 腰 三 角 形
特殊的三角形是从任意三角形的边或角所具有的特征来定义的.
特殊的平行四边形是从平行四边形的边或角所具有的特征来定义的.
矩形
有一个角是直角
菱
有一组邻边相等
形
因为矩形和菱形是特殊的平行四边形,所以矩形和菱形具有平行四边形所有 性质.
角
矩 对角相等 形
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角）.
例1、选择题：
1、下列命题中，属于假命题的是（ D）
A、矩形的四个角相等
B、菱形的四条边相等
C、矩形的对角线相等且平分
D、菱形的对角线相等且垂直
2、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是
（c ）
A、对角线互相平分 B、对角相等
C、对角互补
【优秀版】特殊的平行四边形课件PPT
如图，把正方形ABCD的对角线BD分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为S ，正方形ABCD的周长为P，则 S与P的关系式是 。
将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为
．
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
．
D
1、掌握矩形的概念、判定及其性质，了解它们之间的关系。
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和
为（ ）
矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=
Ｆ
Ａ
Ｂ
热身练习
1.如图，把正方形ABCD的对角线BD分成段，以每
一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长
和为S ，正方形ABCD的周长为P，则S与P的关系
式是 。
B
C
A
D
第1题图
热身练习
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，
A则．1nc个m2 这B样．n的cm2正方形重叠部分的面积和为（ ）
为S，则（ ） （3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）
如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ） 如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和
将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为
．
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
．
D
1、掌握矩形的概念、判定及其性质，了解它们之间的关系。
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和
为（ ）
矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=
Ｆ
Ａ
Ｂ
热身练习
1.如图，把正方形ABCD的对角线BD分成段，以每
一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长
和为S ，正方形ABCD的周长为P，则S与P的关系
式是 。
B
C
A
D
第1题图
热身练习
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，
A则．1nc个m2 这B样．n的cm2正方形重叠部分的面积和为（ ）
为S，则（ ） （3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）
如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ） 如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和
特殊的平行四边形课件
线相等且互相平分的性质。
02
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形也是一种特殊的平行四边
形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有四条边都相等、对角
线互相垂直且平分每一组对角的性质。
03
正方形
有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形是一
种特殊的菱形和矩形，它同时具有菱形和矩形的所有性质。
特殊的平行四边形课件
目录
• 平行四边形基础回顾 • 矩形特性及其应用 • 菱形特性及其应用 • 正方形特性及其应用 • 特殊平行四边形之间的转换关系 • 解题思路与技巧分享
01
平行四边形基础回顾
平行四边形的定义与性质
定义
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。
性质
对边相等，对角相等，对角线互 相平分。
04
正方形特性及其应用
正方形的定义与性质
定义
四边相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
性质
正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形在实际生活中的应用举例
建筑
许多古代和现代建筑中都使用了 正方形，如埃及金字塔、希腊神 庙等。正方形的设计使得建筑更
02
矩形特性及其应用
矩形的定义与性质
定义
两组对边分别相等且两组对角都是直 角的四边形叫做矩形。
性质
矩形的四个角都是直角；矩形的对角 线相等且互相平分；矩形是轴对称图 形，对称轴是两条对角线所在的直线 。
矩形在实际生活中的应用举例
01
02
03
建筑
矩形的稳定性和易于计算 的性质使其成为建筑设计 中常用的形状，如门窗、 梁柱等。
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求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.
B
C
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
分析:由矩形的定
义,利用对角相等,
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.邻角互补可使问题
∴∠C=∠A=900,
得证.
∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900.
想一想:正方形的四 个角都是直角吗?
∴四边形ABCD是矩形. 8
1.正方形的四个角都是直角吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,
A
D
∠A=∠B=∠C=900.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来
证明四边形是平行四
边形,可使问题得证.
12
随堂练习P88 5
矩形的判定
驶向胜利 的彼岸
2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
A
D
求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
驶向胜利 的彼岸
定理:三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位,
D
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的 根据.
6
回顾与思考 6
三角形中位线的性质
驶向胜利 的彼岸
模型:连接任意四边形各边中点所成的四边
形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程反映出来 A
BE 1 BD. 2
BE 1 AC. 2
由此可得推论:直角 三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.
10
例题欣赏P864
矩形性质的应用
驶向胜利 的彼岸
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD
相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.
A
D
求矩形对角线的长.
解: ∵四边形ABCD是矩形,
C
∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
分析:要证明□ABCD 是矩形,只要证明有
一个角是直角即可.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
14
做一做P88 7
驶向胜利
直角三角形的判定(习题3.3) 的彼岸
试一试P86 2
矩形的性质
驶向胜利 的彼岸
定理:矩形的两条对角线相等. A
D
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD. 证明:
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
∵BC=CB,
分析:根据矩形的性 质性质,可转化为全等
三角形(SAS)来证明.
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来
证明四边形是平行四
边形,可使问题得证.
13
做一做P88 6
矩形的判定(习题3.3)
驶向胜利 的彼岸
1.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. A
D
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形.
B
B
边
D
性质
判定
C
平行四边形的①两 ①两组对边分别平行的四边形 组对边分别平行② ②两组对边分别相等的四边形 两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等的四边形
角
平行四边形的①对 角相等②邻角互补 两组对角分别相等的四边形
对角线 平行四边形的对角 线互相平分
对角线互相平分四边形
MA
DN
推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
9
议一议P86 3
直角三角形的性质
驶向胜利 的彼岸
议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是
Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
A
D
它与AC有什么大小关系?为什么?
E
BE等于AC的一半.
B
C
∵ AC=BD,BE=DE,
2
回顾与思考 2
还 记
四边形之间的关系
得 它
四边形之间有何关系？
们
平行四边形
与
平
行
能用一张图
四 边
四边形
来表示它们之 间的关系吗?
形
的
梯形
关
系
吗?
驶向胜利 的彼岸
矩形 菱形
等腰梯形 直角梯形
特 殊 正方的形 平 行 四 边 形 之 间 呢？
3
回顾与思考 3
平行四边形的性质与判定
驶向胜利的彼岸
A O
∴AC=BD,且OAOC1AC.
OBOD1BD.
2
2
OA OD .
∵∴∠ ∠AOODDA==1∠20OA0,D=1800 21200 300. ∵∠DAB=900,
O
B
C
你认为例1还可以 怎么去解？
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm). 11
随堂练习P88 4
矩形---?---正方形
驶向胜利 的彼岸
2.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,
那么这个三角形是直角三角形.
九年级数学(上)第三章 证明(三)
2.特殊的平行四边形(1)矩形的性质及 判定
阳泉市义井中学 高铁牛
1
回顾与思考 1
驶向胜利的彼岸
学好几何标志是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证(4”)分; 析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果” 索(5“)依因据”思); 路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出 证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
的规律:对角线的关系是关键.改变四边
形的形状后,对角线具有的关系(对角线 相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)
H
E B
F
决定了各中点所成四边形的形状.
D
G
C
这个定理提供了证明线段平行,和
线段成倍分关系的根据.
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
试一试P86 1
矩形的性质
驶向胜利 的彼岸
定理:矩形的四个角都是直角. A
D
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
PB
CQ
4
回顾与思考 4
等腰梯形的性质与判定
驶向胜利的彼岸
AD
B
C
边
性质
两底平行,两腰 相等
等腰梯形同一底
角
上的两个角相等
A
D
等腰梯形的两
对角线 条对角线相等
B
C
判定
两腰相等的梯 形是等腰梯形
同一底上的两个角相 等的梯形是等腰梯形
两条对角线相等的 梯形是等腰梯形
5
回顾与思考 5
三角形中位线的性质