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第十五章二次根式1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简.3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.1.借助二次根式的化简与运算,提高运算能力.2.能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则.3.能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解“从特殊到一般”,再“从一般到特殊”的探究事物规律的方法.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.引导学生适时地运用“逆向思维”和“类比思维”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.(1)在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.【重点】1.二次根式的加减运算.2.二次根式的乘除运算.【难点】二次根式的化简与计算.1.注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义.2.鼓励学生探索与交流.教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件;再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系.在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系.二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用.15.1二次根式1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解,()2,(其中a≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念与性质.【难点】二次根式基本性质的灵活应用.第课时1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念和简单性质.【难点】二次根式的简单性质.【教师准备】课件1~7.【学生准备】复习平方根与算术平方根的知识.导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】填空.(1)的平方根是;(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是;(3)若正方形的面积为a-4,则边长为.学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察,总结共同特征并表述意见.[设计意图]唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是.2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)[设计意图]让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a≥0)还有一个名字,你知道吗?[设计意图]通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.活动一:二次根式的概念思路一【课件2】(教材第90页一起探究)1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1),,,. (2),,-.2.解:,.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,-,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展](1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.[设计意图]让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.【课件3】判断下列各式是二次根式吗?;②6;-;-(m≤0);x,y异号);;+1;.学生快速回答,共同分析.[设计意图]通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式) 概念深化:提问:+1是不是二次根式?呢?议一议:二次根式表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号;(2)被开方数不能小于0.[设计意图]通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.活动二:二次根式的简单性质思路一【课件4】(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】做一做:=;=;=;=;=.教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?学生讨论得出,一般地,a(a≥0).【课件6】(教材第91页做一做)化简.(1)()2;(2);(3);(4).教师指名回答,公布答案.解:(1)()2=3. (2). (3)=5. (4).思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).1.性质1:()2=a(a≥0).(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时, a.[设计意图]通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:=a(a≥0).(1)提问:等于什么?(2)举例:=2;-=2;=3;-=3……(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.(4)归纳:-3.比较()2和的区别.学生讨论,回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.[知识拓展]理解()2和时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.[设计意图]通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】化简.(1);(2).〔解析〕0.04=0.22,,可以利用a(a≥0)化简.解:(1)=0.2. (2)=12=1.[设计意图]尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.1.二次根式的定义一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.1.下列各式中,不是二次根式的是 ()A. B.- C. D.解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为-的被开方数小于零,故B错误.故选B.2.如果-是二次根式,那么a应满足()A.a≥0B.a≠3C.a=3D.a≥3解析:∵-是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.3.若a为实数,则化简()A.-aB.aC.a2D.|a|解析:∵当a<0时,=|a|=-a.当a≥0时,=|a|=a.故选D.4.下列四个等式:-=4;②(-)2=16;③()2=4;-=-4.其中正确的是()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:-=4,正确;②(-)2=4≠16,不正确;③()2=4,符合二次根式的意义,正确;-=4≠-4,不正确.①③正确.故选D.5.如果-=2-x,那么x的取值范围是()A.x≤2B.x<2C.x≥2D.x>2解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故选A.6.计算--的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:--=-=-3.故选A.7.探究发现.(1)完成下列填空:=,=,-=,④-=.(2)利用(1)中发现的规律计算:①若x>2,则-=;-=.解析:根据-即可得解.答案:(1)①3②0.5③6(2)①x-2②π-3.148.当x取何值时,下列各式为二次根式?(1)-;(2)--.解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时,-是二次根式.(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时,--是二次根式.9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?,-,,-,(a≥0),.解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指数是3,故不是二次根式;-的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式.10.根据材料回答问题.x为何值时,-有意义?解:根据题意得x(x-1)≥0,由乘法法则得-或-解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时,- 有意义.体会解题思想后,求当x为何值时,-有意义.解析:根据题目信息进行解答.解:要使-有意义,则-≥0,所以-或-解得x≥2或x<-,即当x≥2或x<-时,-有意义.11.已知y=---3,求(x+y)4的值.解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.解:∵-与-有意义,∴--解得x=2,∴y=-3,∴(2-3)4=1.第1课时活动一:二次根式的概念活动二:二次根式的简单性质活动三:例题讲解例题一、教材作业【必做题】1.教材第91页练习.2.教材第92页习题A组第1,2题.【选做题】教材第92页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.化简,正确的结果是 ()A.±72B.72C.432D.以上答案都不是2.下列各式中不是二次根式的是 ()A. B.-C. D.-3.下列各式:;;;-;.其中二次根式的个数有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知是二次根式,则a的值可能是()A.-2B.-1C.2D.-75.要使二次根式-有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤6.要使代数式-有意义,则x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是【能力提升】7.实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则+a的化简结果为()A.2a+bB.-bC.bD.2a-b8.下列各式哪些一定是二次根式?(1);(2);(3)-;(4)-;(5)-.9.当x是怎样的实数时,下列各式有意义?(1)-;(2) --;(3)(4) -;(5)-;(6)-.【拓展探究】10.化简--.11.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简+2---.【答案与解析】1.B(解析:=72.故选B.)2.B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而-的被开方数是负数,所以不是二次根式.故选B.)3.B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故选B.)4.C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确.故选C.)5.B(解析:依题意得3-2x≥0,解得x≤.故选B.)6.A(解析:∵代数式-有意义,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值为.故选A.)7.B(解析:由数轴可知b<0<a,|b|>|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故选B.)8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式. (2)∵a2≥0,∴是二次根式. (3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时,-才是二次根式,故不一定是二次根式. (4)当a-2≥0时是二次根式,当a-2<0时不是二次根式,即当a≥2时是二次根式,当a<2时不是二次根式,故不一定是二次根式. (5)当x-y≥0时是二次根式,当x-y<0时不是二次根式,即当x≥y时是二次根式,当x<y时不是二次根式,故不一定是二次根式.>0,解得x<. (3)x2≥0,x取全体实数. (4)-1≥0,解得x≥3. (5)(x-2)2≥0,x 9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤. (2)--取全体实数. (6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4.10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a;②当3≤a≤7时,原式=4;③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10.11.解:由数轴可知-2<a<-1,1<b<2,b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程,体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程.1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促.2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺.3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流.1.在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设.2.在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习.练习(教材第91页)解:(1)2. (2)0.04. (3)0.8. (4).习题(教材第92页)A组1.解:(1). (2)11. (3)15.2.解:(1). (2)169. (3).B组1.解:设镜框的宽为2x cm,则长为3x cm.由题意得3x·2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:镜框的宽为10cm.2.解:设大正方形的边长为x cm.由题意得x2=a2+b2,取正值解得x=.当a=3,b=4时,x=5.答:大正方形的边长为5 cm.对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:(1)从形式上看,二次根式必须含“”.(2)二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数;若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数.也就是说当a≥0时,才是二次根式;当a<0时,无意义.对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数.为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可.先化简a+,然后再分别求出a=-2和a=3时,原代数式的值.解:a+=a+=a+|a+1|.当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.[解题归纳]本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值.已知a,b,c均为实数,且+a=0,=1,=c,化简----.〔解析〕首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定a+b,a-c,c-b的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解.解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,则a,b同号,∴a<0,b<0.∵c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0.∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b.[解题归纳]本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键.实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义?;(3)-.(1);(2)-〔解析〕根据二次根式有意义的条件进行解答.解:(1)若有意义,则3x+7≥0,解得x≥-.有意义,则2x-1>0,解得x>.(2)若-(3)若-有意义,则解得-1≤x≤2.-[解题归纳]本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于0.第课时1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质.2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简.3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质.2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦.【重点】1.积(商)的算术平方根的性质.2.最简二次根式的概念.【难点】能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.【教师准备】课件1~13.【学生准备】二次根式的简单性质.导入一:【课件1】一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?[设计意图]学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境.导入二:教师提问:【课件2】(1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件?(2)我们学过二次根式的哪些简单性质?学生回答.[设计意图]简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系.活动一:一起探究——二次根式的性质思路一探究点1:积的算术平方根问题1:【课件3】计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?(1)与(2).学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.问题2:【课件4】猜想:与有什么关系?组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以.问题3:【课件5】当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·2=()2·()2=a·b,所以·.引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).[知识拓展]积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).[设计意图]尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.探究点2:商的算术平方根问题1:【课件6】与是否相等?与呢?学生经过计算得出两个式子均相等.问题2:【课件7】对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.学生不难猜想得到(a≥0,b>0).引导学生根据刚才的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b>0时,,,所以.问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(a≥0,b>0)[设计意图]培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.思路二问题1:【课件8】计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.问题2:【课件9】根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.问题3:【课件10】猜想:(1)当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?(2)当a≥0,b>0时,和有什么关系?请你说明理由.引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.[设计意图]引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质.活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念【课件11】化简.(1);(2)(3);(4).〔解析〕(1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).【课件12】观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:(1)化简前,被开方数是怎样的数?(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?为什么?把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.出示“做一做”.【课件13】(教材第94页做一做)化简.(1);(2);(3);(4).解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).[设计意图]巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力.。
《二次根式》本节课主要学习二次根式的概念和性质，是在算术平方根的基础上对式子的一种再研究，再认识，是整式知识的发展，对后续学习二次根式的运算，研究计算的本质有着重要的作用，是学习方程，函数的必备知识，因此起承上启下的作用.【知识与能力目标】1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解，(其中a ≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.【过程与方法目标】1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般，由简单到复杂.2.经历二次根式概念的形成过程，体会用类比的思想研究二次根式及其性质.【情感态度价值观目标】1.为学生创造操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程.2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，激发学生应用数学的热情.3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】 二次根式的概念与性质.【教学难点】 二次根式基本性质的灵活应用.【学生准备】 复习平方根与算术平方根的知识. 教学过程新课导入)0a (a ≥a )a (2=导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】填空.(1)的平方根是；(2)一个圆的面积为S，这个圆的半径是；(3)若正方形的面积为a-4，则边长为.学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察，总结共同特征并表述意见.[设计意图]唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆，使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳，为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a，则正方形的边长是.2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题)[设计意图]让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子，一方面复习了旧知识，另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入，调动了学生的积极性.导入三:在第十四章，我们学习了平方根及算术平方根，知道当a≥0时，表示非负数a的算术平方根，±表示非负数a的平方根；，±都表示非负数a的开平方，中“”表示一种运算，因此，(a≥0)还有一个名字，你知道吗?[设计意图]通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义，引出的另一个名称，引起学生思考，激发学生的学习热情.自主探究，构建新知活动一:二次根式的概念[过渡语]我们已经学习了数的开平方，并用(a≥0)表示非负数a的算术平方根.现在，我们首先来学习二次根式的定义.思路一【课件2】(教材第90页一起探究)1.(1)2，18，，的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池，它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1)，，，.(2)，，.2. 解:，.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中，我们得到了，，，，，，，，等式子，它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展](1)二次根式的被开方数a可能为整式，也可能为分式，因此要分清a所代表的式子类型.(2)本身作分母时，要注意只能大于0，不能等于0.(3)要注意，等，这时无论a取何值都有意义.[设计意图]让学生通过自己思考，得出表示这些数的一般形式，体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的，进而给出二次根式的概念.【课件3】判断下列各式是二次根式吗?；②6；；(m≤0)；(x，y异号)；；+1；.学生快速回答，共同分析.[设计意图]通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握，二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像，这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式) 概念深化:提问:+1是不是二次根式?呢?议一议:二次根式表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式，如果无法判断被开方数是非负数，那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正，也可能为负，所以不能说这个式子是二次根式，中的a+1也可能为正，也可能为负，所以也不能说这个式子是二次根式. 【反思小结】教师总结:从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号；(2)被开方数不能小于0.思路一【课件4】(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根，所以根据算术平方根的意义，有≥0.小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根，所以根据算术平方根和被开方数的意义，有()2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数，即具有双重非负性，一是被开方数是非负数，二是它的结果是非负数；(2)()2=a(a≥0)，即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】做一做:=；=；=；=；=.教师点评:根据算术平方根的意义，我们可以得到:=2；=0.01；；；=0.想一想:根据上面的计算，你能得到什么结论?学生讨论得出，一般地，=a(a≥0).【课件6】(教材第91页做一做)化简.(1)()2；(2)；(3)；(4).教师指名回答，公布答案.解:(1)()2=3.(2).(3)=5.(4).思路二我们知道非负数有算术平方根，所以根据算术平方根的意义，我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数，即≥0(a≥0).1.性质1:()2=a(a≥0).(1)观察:22=4，即()2=4；32=9，即()2=9……(2)提问:观察上述等式的两边，你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时，=a.[设计意图]通过观察、思考、解答，培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:=a(a≥0).(1)提问:等于什么?(2)举例:=2；=2；=3；=3……(3)发现:当a≥0时，=a；当a<0时，=-a.(4)归纳:3.比较()2和的区别.学生讨论，回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.[知识拓展]理解()2和时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数，而()2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:，而()2=a，也就是说当a≥0时，=()2.[设计意图]通过比较、讨论、试做的教学方式，加深学生对两个性质的认识，同时，也关注了学生学习方式的个性化，做到既着眼于共同发展，又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】化简.(1)；(2).〔解析〕0.04=0.22，，可以利用=a(a≥0)化简.解:(1)=0.2.(2)=12=1.[设计意图]尽管问题相对简单，但规范的解答还是非常有必要的，要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度，这样对于概念才会认识得更深更透.活动四：探究点1:积的算术平方根问题1:【课件10】计算下列各式，并观察结果，你能发现什么规律?(1)与；(2)与.学生计算，得出(1)(2)中两式均相等.问题2:【课件10】猜想:与有什么关系?组织学生计算，验证猜想:(分组尝试，讨论交流)方法一:事实上，根据积的乘方法则，有()2=()2×()2=2×5，并且>0，所以是2×5的算术平方根，即.方法二:因为()2=()2×()2=2×5，()2=2×5，且>0，>0，所以.问题3:【课件11】当a≥0，b≥0时，对和·的关系提出你的猜想，并说明理由.指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.解:因为当a≥0，b≥0时，()2=a·b，(·)2=()2·()2=a·b，所以·.引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即·(a≥0，b ≥0).[知识拓展]积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0).[设计意图]尽管学生能够猜想出结果，但还是缺乏必要的说理，再次引出问题，让学生交流讨论，碰撞出火花，体会数学的严谨性与科学性.探究点2:商的算术平方根问题1:【课件11】与是否相等?与呢?学生经过计算得出两个式子均相等.问题2:【课件11】对照刚才得到的结论，当a≥0，b>0时，与有什么关系?并说明理由. 学生不难猜想得到(a≥0，b>0).引导学生根据刚才的证明过程加以证明.解:因为当a≥0，b>0时，，，所以.问题3:对照积的算术平方根的性质，你能总结出商的算术平方根的性质吗?引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即(或)(a≥0，b>0)[设计意图]培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.思路二问题1:【课件11】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?(1)=；=.(2)=；=.(3)=；=.(4)=；=.师:出示问题，引导学生观察计算结果，总结式子的规律.生:学生计算、观察、分组讨论，发现上述每组中的两个式子相等.问题2:【课件11】根据上面的探究，下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.(1)=；=.(2)=；=.(3)=；=.(4)=；=.学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.问题3:【课件12】猜想:(1)当a≥0，b≥0时，和·有什么关系?(2)当a≥0，b>0时，和有什么关系?请你说明理由.引导学生小组讨论，利用算术平方根的简单性质进行证明.[设计意图]引导学生体会知识的形成过程，通过观察、猜想、证明、归纳，让学生得到积(商)的算术平方根的性质.活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念【课件13】化简.(1)；(2)；(3)；(4).〔解析〕(1)(2)直接利用·(a≥0，b≥0)进行化简；(3)(4)利用(a≥0，b>0)进行化简.解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).【课件14】观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化，请思考:(1)化简前，被开方数是怎样的数?(2)化简后，被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.提出问题:在，3，，，，3，中，哪些是最简二次根式?为什么?把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.指一名同学到黑板上板书，其他学生在练习本上完成.出示“做一做”.【课件15】 (教材第94页做一做)化简.(1)； (2)； (3)； (4).解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).课堂总结1.二次根式的定义 一般地，把形如的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“”，即根指数是2；(2)被开方数不小于零.)0a (a第11页/共11页 只有同时满足上述两个特征，才是二次根式，如果不满足其中任何一个特征，就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a ≥0时，(2)当a ≥0时， 检测反馈，巩固提高，同步练习填空题布置作业【必做题】1.教材第91页练习.2.教材第92页习题A 组第1，2题.【选做题】教材第92页习题B 组第1，2题.a )a (2=|a |a 2=。
