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2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出．【详解】全集，集合，或，，，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A. B.C. D. 2【答案】C【解析】【详解】∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝=1＋i.∴|z|＝＝.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.4.已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值．【详解】函数的最小值为8，可得，显然时的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设，在递增，，，可得，故选：B．【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．A. B. C. D.5.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．7.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．∵，∴，即或，解得或．∴实数的取值范围为．选D．8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应满足继续循环的条件，故；当时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是，故选C．【名师点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对函数求导得到因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故得到x=1是唯一的极值，此时故答案为：B.10.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D. 11.已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：当时，在上是增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立，故选A．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数与不等式．12.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设，则，故：，即，由函数的解析式可得函数的最小值为.若时，恒成立，则，整理可得：，求解关于实数的不等式可得：.本题选择D选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当P为真命题时，恒成立，所以，，当Q为假命题时，为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则，即。
2019～2019学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()2311i z =-，则z 为（ ）A ．12B C D 3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．244.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝． 则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4C ．163D ．66.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7.阅读右面的程序框图，运行相对应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．1388.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞9.若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值 为（ ）AB ．2C ．D ．810.已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存有210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ） A．12⎫⎪⎪⎭ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎫⎪⎪⎭D．12⎫⎪⎪⎭11.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-12.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存有曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．14.函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．15.已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．18.（本小题满分12分） 函数21()ln 22f x x ax x =--． （1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值．20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）． （1）若函数()y f x =存有极大值和极小值，求ba的取值范围； （2）设m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若存有实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()e xx g x =． （1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由； （2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为10,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=． （1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． （1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值； （2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。
河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-3，-1，0，1}，B={x|（x+2）（x-1）＜0}，则A∩B=（）A. B.C. 0，D. 0，2.复数的虚部为（）A. iB.C. 1D.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有当甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为（）A. 3丈B. 6丈C. 8丈D. 丈4.已知α∈（，π），且cos2α=-，则tanα=（）A. B. 2 C. D.5.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为（）A. B. C. D.6.函数f（x）=cos x+sin（x-）的最大值为（）A. 1B.C. 2D.7.下列函数中，其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是（）A. B. C. D.8.函数y=（x≠0）的图象大致是（）A. B.C. D.9.已知抛物线C：y2=4x，过焦点且倾斜角为的直线和C交于A，B两点，则过A，B两点且与C的准线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.10.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，a+b+c=3，且c sin A cos B+a sin B cos C=a，则△ABC的面积为（）A. 或B.C.D.11.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（x＞0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x2+y2=16上的点，若存在x轴上的定点N（t，0）（t＞4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|，则λ=（）A. 1B.C.D.12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于半球O，且底面ABCD落在半球的底面上，底面A1B1C1D1的四个顶点落在半球的球面上，若半球的半径为3，AB=BC，则该长方体体积的最大值为（）A. B. C. 48 D. 72二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（-2+1），=（3，2），若 ⊥（+k），则k=______．14.近几年来移动支付越来越普遍，不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15-75岁的人群进行随机抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样，系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是______．15.设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为______．16.设函数f（x）=x-，若对于∀x∈[1，]，f（ax-1）＞f（2）恒成立，则实数a的取值范图是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}是递增数列，且a1+a4=0，a2a3=-1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3+4，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在常数λ，使得λT n-b n+1恒为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.2014年1月25日，中共中央办公厅，国务院办公厅专门发布了《关于创新机制扎实推进农村扶贫开发工作的意见》，对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署，提出建立精准扶贫工作机制，某乡镇根据中央文件精神，在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，从（1）根据2015-2018年的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）利用（1）中求出的线性回归方程，试估计到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫．附：=，=-．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，∠PAB=120°，DC=PC=2．PA=AB=BC=1．（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）求四棱锥P-ABCD的体积．20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别E的左、右焦点，过E的右焦点F2作x轴的垂线交E于A，B两点，△F1AB的面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C，D两点，且弦CD的垂直平分线过E的右焦点F2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=x lnx．（1）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；（2）当a＞1时，求证：存在c∈（0，），使得对任意的x∈（c，1），恒有f（x）＞ax（x-1）．22.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，β），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin B，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为，求B的值及此时直线OM将曲线C分成的两段弧长之比．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2a|（a∈R），g（x）=|x|+1．（1）当a=1时，在下面的平面直角坐标系内作出函数f（x）与g（x）的图象，并由图写出不等式f（x）＞g（x）的解集；（2）若对任意的x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，则A∩B={-1，0}，故选：B．求出集合B的等价条件，结合交集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件以及利用交集的定义是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵==-1+i．故复数的虚部为1．故选：C．利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：几何体的直观图如图：由题意可得侧视图的腰长为：=（丈）．所以侧视图的周长为：3+2×=8（丈）．故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的有关知识，侧视图的周长的求法，画出直观图是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵α∈（，π），且cos2α=-=2cos2α-1=1-2sin2α，∴cosα=-，sinα=，则tanα==-2，故选：A．利用二倍角公式求得cosα 和sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：5选2共有n==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有=6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有=1种结果，∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为：p==．故选：C．5选2共有n==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有=6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有=1种结果，由此能求出在历史与地理两科中至少选一科的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：f（x）=cosx+sin（x-），=cosx+，=，所以函数的最大值为1，故选：A．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q （x，2-y）．由题意知点Q（x，2-y）在函数y=log2x的图象上，则2-y=log2x．即y=2-log2x=log2．故选：B．根据函数的对称性，利用代入法进行求解即可．本题主要考查函数图象的应用，利用对称性是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：函数y=（x≠0）是奇函数，排除C，D．当x=时，y=＜0．排除B，故选：A．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=-1，过焦点且倾斜角为的直线AB的方程为y=x-1，代入抛物线方程可得x2-6x+1=0，可得A（3+2，2），B（3-2，2-2），|AB|==8，设所求圆的圆心为（a，b），可得a=3，半径r=3+1=4，则AB为直径，b=a-1=2，可得所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16．故选：D．求得抛物线的焦点和准线方程，以及直线AB的方程，联立抛物线方程解得A，B的坐标和弦长，设圆的圆心为（a，b），半径为r，由直线和圆相切的条件可得r，进而得到a，b的值，可得圆的方程．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求弦长和中点坐标，考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵csinAcosB+asinBcosC=a，∴sinCsinAcosB+sinAsinBcosC=sinA，∵sinA≠0，∴sinCcosB+sinBcosC=，即sin（B+C）=sinA=，∴A=或A=．若A=，则a＞b，a＞c，故2a＞b+c，与a=1，b+c=2矛盾．∴A=，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc=1，∴bc=1，∴S=bcsinA=×=．故选：D．根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，如图，A、B两点为圆与x轴的两个交点，圆x2+y2=16上任意一点P都满足|PM|=λ|PN|，则A、B两点也满足该关系式，又由A（-4，0），B（4，0），M（2，0），N（t，0），则有λ====，解可得t=8，λ=；故选：B．根据题意，作出圆的图形，设A、B两点为圆与x轴的两个交点，分析可得圆x2+y2=16上任意一点P都满足|PM|=λ|PN|，则有λ====，解可得t、λ的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，关键是理解题意中关于圆的轨迹的叙述，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2r=a，所以，r=a．由勾股定理得h2+r2=32，即h2+a2=9，得a2=18-2h2，其中0＜h＜3，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（18-2h2）h=-2h3+18h，其中0＜h＜3，构造函数f（h）=-2h3+18h，其中0＜h＜3，则f′（h）=-6h2+18，令f′（h）=0，得h=．当0＜h＜时，f′（h）＞0；当＜h＜3时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（）=12．因此，该正四棱柱的体积的最大值为12．故选：A．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径r=a，利用勾股定理h2+r2=9，得出a2=18-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．13.【答案】【解析】解：；∵；∴；解得k=．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k．考查向量垂直的充要条件，以及向量坐标的加法、数乘和数量积的运算．14.【答案】分层抽样【解析】解：不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，因此应该按照年龄进行分层抽样，故答案为：分层抽样由于不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，结合抽样的定义进行判断即可．本题主要考查分层抽样的应用，利用不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同是解决本题的关键．15.【答案】5【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：z=的几何意义是可行域内的点与直线3x+4y+3=0的距离，显然A到直线的距离最大，最大值：．故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.【答案】（，）∪（3，+∞）【解析】解：f（x）是奇函数，且在区间（-∞，0），（0，+∞）递增，∵f（-）=f（2），故ax-1＞2或-＜ax-1＜0在x∈[1，]上恒成立，即a＞或＜a＜在x∈[1，]上恒成立，故a＞3或＜a＜，故实数a的范围是（，）∪（3，+∞），故答案为：（，）∪（3，+∞）．根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数恒成立问题，考查常见函数的性质以及转化思想，是一道常规题．17.【答案】解：（1）设公差为d的等差数列{a n}是递增数列，且a1+a4=0，a2a3=-1．则：，解得：a1=-3，d=2．所以：a n=2n-5，（2）由于b n=3+4，所以：．数列{b n}是以3为首项，9为公比的等比数列．则：，所以：λT n-b n+1=，=．当，即λ=8时，λT n-b n+1恒为定值-3．【解析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用前n项和公式的应用和参数的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，参数在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）∵，，=1×55+2×69+3×71+4×85=746，=1+4+9+16=30．∴=．=-=70-9.2×2.5=47．因此，所求线性回归方程为=9.2x+47；（2）根据（1）中求得的线性回归方程可估算出2019年脱贫户数：，2020年脱贫户数：．∵2015-2018年实际脱贫280户，2019年和2020年估计共脱贫195户，∴280+195=475＞473，即到2020年底该乡镇的473户贫困户估计能够全部脱贫．【解析】（1）由已知表格中的数据求得的值，则线性回归方程可求；（2）根据（1）中求得的线性回归方程可估算出2019年脱贫户数与2020年脱贫户数，与2015-2018年实际脱贫户数作和，再与473进行大小比较得答案．本题考查线性回归方程，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）证明：在△PAB中，由PA=AB=1，∠PAB=120°，得PB=，因为PC=2，BC=1，PB=，所以PB2+BC2=PC2，即BC⊥PB；因为∠ABC=90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB=B，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC；（2）在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示；由（1）知BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥∩平面ABCD=AB，又PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，因为在Rt△PEA中，PA=1，∠PAE=60°，所以PE=；因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P-ABCD的体积为V P-ABCD=××（1+2）×1×=．【解析】（1）由余弦定理求得PB的值，再根据PB2+BC2=PC2证得BC⊥PB，由∠ABC=90°得出BC⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PBC；（2）过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，证明PE⊥平面ABCD，在Rt△PEA中求出PE的值，再计算四棱锥P-ABCD的体积．本题考查了空间中垂直关系的应用问题，也考查了四棱锥体积的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（1）令x=c，可得+=1，解得y=±，∴|AB|=，∴△F1AB的面积S=×2c×==，∵e==，∴b=1，∵a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆E的方程方程为+y2=1．（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+m，k≠0，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4km+2（m2-1）=0，∴△=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，即2k2+1＞m2，∴x1+x2=-，设CD的中点坐标为M（x0，y0），∴x0=-，∴y0=kx0+m=，∴M（-，），∴直线CD的垂直平分线的方程为y-=-（x+），∵弦CD的垂直平分线过E的右焦点F2，∴1-=-•=-∴m=-（1+2k2）∴直线l的方程为y=kx-（1+2k2）．【解析】（1）根据三角形的面积可得=，根据离心率可得=，即可求出b=1，再求出a，可得椭圆方程，（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+m，k≠0，设C（x1，y1），D（x2，y2），根据韦达定理和直线与直线垂直的关系可得直线l的方程为y=kx-（1+2k2）本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．21.【答案】（1）解：由f（x）=x lnx，得f′（x）=ln x+1，∴f（1）=0，f′（1）=1，故所求切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0；（2）证明：由f（x）＞ax（x-1），得x lnx＞ax（x-1），考虑到x＞0，可得ln x＞a（x-1），设g（x）=ln x-a（x-1），则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．由g（x）在区间（，1）内是减函数及g（1）=0，得当x∈（，1）时，g（x）＞0，①又g（e-a）=ln e-a-a（e-a-1）=-ae-a＜0，则存在x0∈（，），即x0∈（0，），使得g（x0）=0．又g（x）在区间，内是增函数，∴当x∈（，）时，g（x）＞0．②由①②可知，存在c∈（，），使g（x）＞0恒成立，即存在c∈（0，），使得对任意的x∈（c，1），恒有f（x）＞ax（x-1）．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），再求得f（1），利用直线方程点斜式得答案；（2）由f（x）＞ax（x-1），得xlnx＞ax（x-1），即lnx＞a（x-1），设g（x）=lnx-a（x-1），得g′（x ），利用导数研究其单调性，可得g （x ）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，再由g （x ）在区间（，1）内是减函数及g （1）=0，得当x ∈（，1）时，g （x ）＞0，又g （e -a ）=lne -a -a （e -a -1）=-ae -a ＜0，则存在x 0∈（），即x 0∈（0，），使得g （x 0）=0，结合g （x ）在区间内是增函数，可得当x ∈（）时，g （x ）＞0．由此可得存在c ∈（0，），使得对任意的x ∈（c ，1），恒有f （x ）＞ax （x-1）．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2-2y =0．（2）过极点O 和点M 的直线与曲线C 相交所得弦长为 ， 即： ， 故：ρ=2sinβ，解得： 或所以曲线C 的圆心的极坐标为（1，）， 所以：，所以：直线OM 将曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2． 同理：当时，曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a =1时，f （x ）=|x +a |+|x -2|= ， ＜，，＞，g（x）=|x|+1=，，＜，作出函数f（x）与g（x）的图象如图：从图中可知f（x）＞g（x）的解集为{x|x≠0}．（2）若对任意的x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，∵f（x）=|x+a|+|x-2a|≥|x+a-（x-2a）|=|3a|=3|a|，g（x）=|x|+1≥1，∴3|a|≥1得|a|≥，即a≥或a≤-，即实数a的取值范围是a≥或a≤-．【解析】（1）当a=1时，将f（x），g（x）转化为分段函数性质，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．（2）若对任意的x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立等价为{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，结合绝对值不等式的性质求出函数的值域进行求解即可．本题主要考查绝对值的应用，以及函数与方程的关系，结合绝对值的意义将函数转化为分段函数是解决本题的关键．。
绝密★启封前2019届河北衡水中学高考猜题（六）试题数 学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，则|z |＝( )A.14B.12 C ．1 D ．22.设P={y|y=-x 2+1,x ∈R},Q={y|y=2x ,x ∈R},则( )(A)P ⊆Q(B)Q ⊆P (C)∁R P ⊆Q (D)Q ⊆∁R P3.已知命题p:∀x ∈R ,x+≥2;命题q:∃x ∈[0,π2],使sin x+cos x=2.则下列命题中为真命题的是( )(A)(⌝p)∧q (B)p ∧(⌝q) (C)(⌝p)∧(⌝q) (D)p ∧q 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132 C ．－78 D.785.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为-5,则输出的y 值是( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)146. 若曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2＋1)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝( )A. －2B. －1C. 1D. 27. M 、N 是曲线y=πsin x 与曲线y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)2π8. 将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为( )(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π29. 如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ10. 对实数a 与b,定义新运算“⊗”:a ⊗b=,1,, 1.a ab b a b -≤⎧⎨->⎩设函数f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),x ∈R.若函数y=f(x)-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围是( ) (A)(-∞,-2]∪（-1,32） (C)（-1,14）∪（14,+∞）(B)(-∞,-2]∪（-1,-34） (D)（-1,-34）∪[14,+∞）11.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④12.设函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=x 3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-12,32]上的零点个数为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 1sin10°－3sin80°的值为________．14.由曲线y=x,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为_____15.函数f(x)=sin 2x+23cos 2x-3,函数g(x)=mcos(2x-π6)-2m+3(m>0),若存在x 1,x 2∈[0,π4],使得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数m 的取值范围是_________16. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为________三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)：求值（1）sinπ+ cos+）（2）已知锐角α、β满足sin α＝35，cos(α＋β)＝－513，求sin β18（12分）：设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值并画出函数在上的图像；（Ⅱ）若将向左平移个单位,得到的图像,求使成立的的取值范围.19（12分）: 已知函数f(x)=b －(2b+1)+6x+a (b>0)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 设b=1，若方程f(x)=0有且只有一个实根，求a 的取值范围.20（12分）:如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α1) 找出矩形ABCD 的面积S 与角α之间的函数关系. 2) 求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？ 并求出这个最大面积.21（12分），已知函数f(x)=(a+1a )ln x+1x -x. (1)当a>1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当a>0时,求f(x)的极值;(3)当a ≥3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x 1,f(x 1)),Q(x 2,f(x 2)),使得曲线y=f(x)在P 、Q 两点处的切线互相平行,证明:x 1+x 2>65.22（12分）:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9)2cos 45(2=-θρ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为)43,2(π，求PAB ∆的面积.。
2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题 （一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+， 故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ． 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ． （方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ． 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． 以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===． 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）． 联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+． 设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-． 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++． 因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立． 所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>． 设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数， 所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点， 即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===． 设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=． 当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0． 所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数， 所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点， 即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1． 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=． 由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1， 由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}． （2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2． 所以k≥3． 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==， 又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥， 即65k k +≥．。
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2019年河北高中数学竞赛试题参考解答与评分标准注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
【一】选择题〔本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多项选择、不选、错选均不得分，每题5分，共50分〕1.53[,]42ππθ∈D 〕A 、2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+2cos θ=。
正确答案为D 。
2、如果复数()()21a i i ++的模为4，那么实数A 的值为〔 C 〕2 B. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
那么P 是Q 的〔B 〕A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件解答：P 是Q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4.过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，那么AB 为〔C 〕A.B.C.3D.解答：椭圆的右焦点为〔1，0〕，那么弦AB为1,y x=-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB-=⇒==⇒==。
正确答案为C。
5.函数150()510xxxf xx-⎧-≥=⎨-<⎩，那么该函数为〔A〕单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
