专题突破一

专题突破1 测物体密度试验（6种方法总结+例题讲解）一、测质量： 1.天平：①放：水平桌面（台面）②游码归零：镊子（不能用手指）、标尺、零刻度线③平衡螺母（调节：左偏右调，右偏左调；例如指针左偏，平衡螺母向右调节）； ④左物右码：砝码不能用手直接拿砝码；⑤读数：m 物 = m 砝 + m 游 ；m 物 = m 砝 - m 游 （物与砝码放反） 2.弹簧测力计：gFg G m ==（竖直悬空） 二、测体积：【方法1】量筒：V 物 = V 2 - V 1 1.步骤：（1）用天平（电子秤）测出物体的质量，记为m ； （2）量筒装适量水，读出体积记为V 1；（3）用细线挂住物体，将物体缓慢浸入水中，读出体积记为V 2； 2.计算：V 物 = V 2 - V 1 3.注意及说明：（1）视线：与凹液面相平；（2）适量水：能完全浸没物体、且不超过量程； （3）物体用细线挂住：避免水溅出；避免损坏量筒；【例题1】在测量石块密度的实验中，同学们选取的器材有：石块、量筒、天平（带砝码）、烧杯、水、细线。

（1）将托盘天平放在水平桌面上，游码移到标尺的零刻度处，若天平的指针静止在如图（甲）所示位置，则应将平衡螺母向 调节，使天平横梁在水平位置平衡； （2）将石块放入左盘，在右盘中加减砝码，并移动游码使天平重新平衡；所用的砝码和游码的位置如图（乙）所示，则石块质量为 g ；（3）将石块放入盛水的量筒中，量筒中前后液面如图（丙）所示，则石块的密度为 kg/m 3。

【答案】（1）右；（2）27.4；（3）2.74×103。

【解析】（1）图甲中天平指针左偏，故平衡螺母应向右调； （2）图乙中石块的质量m=20g+5g+2.4g=27.4g ；（3）图丙中水的体积50cm 3，水和石块的总体积为60cm 3，∴石块的体积：V=60cm 3-50cm 3=10cm 3； ∴石块的密度：33/74.210g 4.27cm g cmV m ===ρ。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

专题突破练一人类社会发展的进程与趋势一、选择题(共15小题,每小题3分,共45分)1.经历几百万年漫长的历史阶段后,原始社会最终走向解体。

下列对原始社会解体原因的分析正确的是( )①共同劳动取代个体劳动②私有制的产生导致贫富分化③生产资料转归氏族公有④贫富分化导致氏族成员地位不平等A.①③B.②④C.①④D.②③2.在奴隶社会存在着奴隶主阶级和奴隶阶级两大对立阶级,奴隶主阶级为了维护自身利益,建立了军队、法庭、监狱等机关,形成了奴隶制国家。

这说明奴隶制国家( )①是协调阶级矛盾的机构②是对奴隶阶级进行统治的工具③是阶级压迫的暴力机关④脱离了当时生产力发展水平A.①③B.①④C.②③D.②④3.商鞅变法规定“为田开阡陌封疆”,废除井田制,国家承认土地私有,确立了土地私有制,这是历史的进步。

对此认识正确的是( )A.封建制生产关系与较低的生产力水平相适应B.封建制生产关系的出现是生产力发展的结果C.封建制生产关系的出现是历史的必然D.封建制生产关系是在奴隶社会后期出现的4.“印子钱,一还三;利滚利,年年翻;一年借,十年还;几辈子,还不完”和“爷娘妻子走相送,尘埃不见咸阳桥。

牵衣顿足拦道哭,哭声直上干云霄”分别体现的地主阶级剥削农民的方式是( )①榨取地租②向农民放高利贷③强迫农民缴纳苛捐杂税④从事各种徭役A.①④B.②③C.②④D.①③5.在资本主义社会,矿上的工人,一个人一天生产五斤矿砂,矿主至少赚十五块钱,而矿工的工钱,每天却只有两角。

这揭露了( )①资本家为工人提供了就业机会②资本家在生产过程中占有工人创造的剩余价值③资本家与工人之间存在着剥削关系④生产社会化与资本主义私人占有之间的矛盾A.①②B.①③C.②③D.②④6.20世纪30年代,英国某经济学家曾把上街购物的家庭主妇称作爱国者。

他认为,现在我们所需要的,不是勒紧裤腰带过日子,而是需要一种发展扩张、积极活跃的精神,要多干一些实事,多买一些东西,多制造一些商品。

重、难点考点07—框式推断题专题突破（一）框式推断题常见解题思路：一：根据物质的颜色对物质做出判定：常见物质的颜色：红色的固体——Cu、Fe2O3、P（红磷）黑色的固体——C、CuO、Fe3O4、FeO、MnO2、铁粉白色的固体——MgO、P2O5、P（白磷）、CuSO4（无水硫酸铜）、KCl、NaCl等黄色的固体—— S蓝色的固体——CuSO4•5H2O蓝色絮状沉淀——Cu（OH）2红褐色絮状沉淀——Fe（OH)3常见不溶于酸的白色沉淀——BaSO4、AgCl溶于酸并二氧化碳气体的白色沉淀——BaCO3、CaCO3等不溶性碳酸盐的沉淀溶于酸但不产生气体的白色沉淀——Mg(OH)2、Al(OH)3等不溶性碱的沉淀蓝色的溶液—— CuSO4、CuCl2、Cu(NO3)2等含Cu2＋溶液浅绿色的溶液——FeSO4、FeCl2、Fe(NO3)2等含Fe2＋溶液黄色的溶液——FeCl3、Fe2(SO4)3、Fe(NO3)3等含Fe3＋溶液二：根据物质的状态进行推断：1：具有刺激性气体的气体：NH3、SO2、HCl（皆为无色）2：无色无味的气体：O2、H2、N2、CO2、CH4、CO（剧毒）三：根据物质的特点进行推断：1．使带火星木条复燃的气体是O22．使澄清石灰水变浑浊的气体是CO2，但通入CO2 后变浑浊的溶液不一定是澄清石灰水，也可以是Ba(OH)2溶液。

3．最简单的有机物是甲烷CH44．天然最硬的物质是金刚石（C）5．吸水后由白变蓝的是无水CuSO46．最常见的液态物质是H2O、相对分子质量最小的氧化物是H2O7．常用的食品干燥剂是生石灰CaO8．常用的食品脱氧剂是Fe 粉9．与酸反应有CO2产生的物质是碳酸盐（或NaHCO3）10．与碱反应（研磨）有NH3产生的物质是铵盐（铵态氮肥）11．常温下唯一有氨味的铵态氮肥是NH4HCO3（碳铵）四：根据物质的俗称及用途对物质进行推断：1：一些物质的俗称NaOH-烧碱、火碱、苛性钠；Na2CO3-纯碱、苏打；NaHCO3-小苏打；Hg-水银；CO2-干冰；CaO-生石灰；Ca(OH)2-熟石灰、消石灰；CaCO3-石灰石、大理石；CH4-沼气、瓦斯、天然气；C2H5OH-酒精:2：一些重要物质的主要用途：NaOH：是一种重要的化工原料：可用于造纸、纺织、印染等，生活上可用作炉具清洁剂，实验室中可用于做某些气体的干燥剂，其溶液可用于吸收CO2；可用于制作“叶脉书签”。

专题突破练一价格波动与居民消费一、选择题(共16小题,每小题3分,共48分)1.疫苗属于公共产品,价格由企业依据成本确定,根据使用规模大小进行调整。

在我国,新冠疫苗由政府按程序购买,为全民免费提供。

对此,下列认识正确的是( )①疫苗属于公共产品,其交易不是商品交换②疫苗价格由企业定价,符合价值规律的要求③由政府免费提供新冠疫苗接种,难以反映市场需求④全民免费接种新冠疫苗,可以更好实现其使用价值A.①②B.①③C.②④D.③④2.某手机创始人的直播带货“首秀”斩获颇丰,“宇宙首单”在直播间成交,伴随“OMG”“买它买它买它”的魔性语录,直播带货正在成为电商在新时代的新产业,呈现出极强的爆发性。

结合这一现象,下列说法正确的是( )①直播带货的聚众效应可以促使商品价值快速实现②主播通过提高消费者对商品品牌的认可实现带货③消费者通过直播购物改善消费结构,提高消费水平④直播带货模式将成为当下商品营销的主要渠道A.①②B.①③C.②③D.③④3.目前,六大国有银行已经开始推广数字人民币货币钱包。

获得授权的消费者可以在央行数字人民币App中设立银行子钱包,使用数字人民币钱包支付购买各类商品。

有市民感慨“使用数字人民币支付很简单,扣款时,手机里的一张电子版人民币就会嗖的一下飞出去,有现场付款的爽快感觉”。

由此可见,数字人民币( )①可以丰富消费体验,提高居民的购买能力②能够代替纸质人民币充当商品交换的媒介③丰富了货币形式,增加了货币实际供应量④能提高购物支付的便捷性,降低交易成本A.①③B.①④C.②③D.②④4.2021年4月的某一天,人民币对美元汇率的中间价为654.63元;一个多月前,人民币对美元汇率的中间价为647.95元。

这一变化表明( )A.人民币贬值,有利于中国居民赴美留学B.美元贬值,不利于美国进口中国的商品C.人民币升值,不利于中国商品出口美国D.美元升值,有利于美国企业在中国投资5.商品价格是价值的货币表现,货币的变化对商品价格有重要影响。

五种方法攻克文言实词理解一、字形推断法汉字是表意文字，一般情况下根据其构成可推导字义。

形声字的形旁表义，揭示这个字的意思或表明这个字与什么有关，是参透一个汉字的“关窍”所在。

据此规律，再加上语境提示，我们可以直接从字形推导出字义，至少可以据字形推断其意义范围，从而“解锁”词义。

例如：骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。

（《荀子·劝学》）词义推断：“骐”和“骥”的偏旁都是“马”，马字旁的字大多和马有关，推测这可能是一种“马”，再结合语境推测，“骐骥”在这里应是“骏马”的意思。

【课文链接】1．方其系燕父子以组，函梁君臣之首，入于太庙，还矢先王，而告以成功，其意气之盛，可谓壮哉！（欧阳修《五代史伶官传序》）丝带，丝绳，这里泛指绳索解析：“组”的偏旁是“纟”，而用“纟”作偏旁的字大多与“丝织品、绳索”等有关，再结合前文的“系”，可推断“组”在此是“绳索”的意思。

译文：当庄宗用绳索捆绑着燕王父子，用木匣装着后梁君臣的首级，走进祖庙，把箭交还到晋王的灵座前，告诉他生前报仇的志向已经完成，他那神情气概，是多么威风！2．引壶觞以自酌，眄庭柯以怡颜。

（陶渊明《归去来兮辞并序》）看解析：“眄”的偏旁是“目”，目字旁的字大多和眼睛有关。

再根据“眄”的对象“庭柯”可知，其大致是“看”的意思。

译文：我端起酒壶酒杯自斟自饮，看看院子里的树木，觉得很愉快。

3．后召诣安福殿言政事，拜尚书郎，数陈得失，赏赉增加。

（节选自《后汉书》）赏赐解析：“赉”的上面是“来”，下面是“贝”，含“贝”的字大多与金钱有关，故有“金钱到来”之意。

再结合前面的“赏”可知，这里是“赏赐”的意思。

译文：后来又召到安福殿谈政事，受尚书郎，多次陈述朝廷得失，朝廷增加对他的赏赐。

4．泾流之大，两涘渚崖之间，不辨牛马。

（节选自《庄子·秋水》）水边解析：“涘”的偏旁是三点水（氵），带三点水（氵）的字大多跟水有关，或表示水流、水域的名称，或表示与水有关的动作或活动。

专题突破一 三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 解 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.反思感悟 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就可以．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，第三边上的中线AD ＝x ，则x 的取值范围是 ． 答案 (1,7)解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，则BE ＝AC ＝8.AE ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6＞8，2x ＋8＞6，6＋8＞2x ，解得1＜x ＜7.∴x 的取值范围是(1,7)． 隐含条件2.三角形的内角范围例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是 ． 答案 23或 3解析 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积是23或 3.反思感悟 利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错． 跟踪训练2 在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝ . 答案 π6或56π解析 由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0. ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝12，sin(A ＋C )＝12，sin(π－B )＝12.sin B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝56π.例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．解 由tan A tan B ＝a 2b 2和正弦定理，得sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，又A ，B ∈(0，π)，∴cos B cos A ＝sin Asin B，即sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°.跟踪训练3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c －a ＝2a cos B ，则B －2A ＝ . 答案 0解析 由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C －sin A ＝sin(A ＋B )－sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A ＝2sin A cos B ，∴sin B cos A －cos B sin A ＝sin A ，sin(B －A )＝sin A . ∵A ，B ∈(0，π)．∴B －A ＝A 或B －A ＝π－A (舍)． ∴B －2A ＝0.例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .B ＝3A ，求ba 的取值范围．解 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A ，∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°，∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<ba<3.反思感悟 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败． 跟踪训练4 若在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则A 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π6，π4解析 由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝2A ＜π2，0＜C ＝π－A －B ＝π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.例5 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由正弦定理及a ＝2b sin A 得，a sin A ＝b sin B ＝2b ，sin B ＝12，又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴B ＝π6.(2)由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝π6＜π2，0＜C ＝5π6－A ＜π2，解得π3＜A ＜π2，cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∵2π3＜A ＋π3＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32.∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.反思感悟 事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A 的范围都有影响，故C ＝π－A －B ＝56π－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由此得A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. 跟踪训练5 锐角△ABC 中，B ＝60°，b ＝3，求△ABC 面积S 的取值范围． 解 由正弦定理，a ＝b sin B sin A ＝332sin A ＝2sin A .同理c ＝2sin C ，∴S ＝12ac sin B ＝12·2sin A ·2sin C ·sin 60°＝3sin A sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .又∵A ，C 为锐角， ∴0<2π3－A <π2，π6<A <π2，∴S ＝3sin A sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3sin A ⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A cos A ＋32sin 2A ＝34sin 2A ＋32·1－cos 2A 2 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34， ∵π6<A <π2，∴π6<2A －π6<56π， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6≤1，∴32<32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34≤334. 即S 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，334.1．在△ABC 中，必有( ) A ．sin A ＋sin B ＜0 B ．sin A ＋cos B ＜0 C ．sin A ＋cos B ＞0 D ．cos A ＋cos B ＞0答案 D解析 在△ABC 中，A ＋B ＜π，0＜A ＜π－B ＜π. ∴cos A ＞cos(π－B )＝－cos B . ∴cos A ＋cos B ＞0.2．在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝ .答案1665解析 若A 为钝角，由sin A ＝35＜32，知A ＞2π3.又由cos B ＝513＜12.知B ＞π3.从而A ＋B ＞π.与A ＋B ＋C ＝π矛盾． ∴A 为锐角，cos A ＝45.由cos B ＝513，得sin B ＝1213.∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫45×513－35×1213 ＝1665. 3．在△ABC 中，C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是a b . 答案 ＞解析 方法一 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得cos 120°＝a 2＋b 2－(2a )22ab ，整理得a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b .方法二 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a sin A ＝2a sin 120°，整理得sin A ＝64＞12＝sin 30°.∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，∴A ＞30°，B ＜30°，∴a ＞b . 4．在△ABC 中，若b 2＝ac ，则ba 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1＋52解析 设b a ＝q ，则由b 2＝ac ，得b a ＝cb ＝q .∴b ＝aq ，c ＝aq 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＞aq 2，a ＋aq 2＞aq ，aq ＋aq 2＞a ，解得－1＋52＜q ＜1＋52.5．在钝角△ABC 中，2B ＝A ＋C ，C 为钝角，ca ＝m ，则m 的取值范围是 ．答案 (2，＋∞)解析 由A ＋B ＋C ＝3B ＝π，知B ＝π3.又C ＞π2，∴0＜A ＜π6，∴1tan A ∈(3，＋∞)．c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin A ＝12sin A ＋32cos A sin A＝12＋32tan A ＞12＋32·3＝2， ∴m ∈(2，＋∞)．6．在△ABC 中，若c ＝2，C ＝π4，求a －22b 的取值范围．解 ∵C ＝π4，∴A ＋B ＝34π，∴外接圆直径2R ＝c sin C ＝222＝2.∴a －22b ＝2R sin A －22·2R sin B ＝2sin A －2sin B ＝2sin A －2sin ⎝⎛⎭⎫34π－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4. ∵0＜A ＜34π，∴－π4＜A －π4＜π2，∴－22＜sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜1. －1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜ 2. 即a －22b ∈(－1，2).一、选择题1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6 答案 C解析 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B 等于( )A ．±53 B.23 C ．－53 D.53答案 A解析 由正弦定理得sin B ＝23，如图所示．过C 作CD ⊥AH ，D 为垂足，在Rt △ACD 中，得CD ＝AC ·sin 30°＝20×sin 30°＝10， ∵10<15<20，∴以C 为圆心，以15为半经作弧，该弧与AH 交于两点，即B 有两解． ∴cos B ＝±1－sin 2B ＝±1－⎝⎛⎭⎫232＝±53. 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.5．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534 答案 B解析 ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534. 6．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ，sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B ＝π4. ∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝2⎝⎛⎭⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0，∵C ∈(0，π)，C ＝π2.∴A ＝π－B －C ＝π4.∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C.7．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知，C 为锐角，故C ＝π6.故选B.二、填空题8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或5π6.又因为C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又因为a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为 ． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.10．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；c a的取值范围是 ． 答案 π3(2，＋∞)解析 由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . ∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π3.又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2， 即ca＞2. ∴ca 的取值范围是(2，＋∞)． 三、解答题11．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋ 3. ∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a ＜c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 13．(2018·河北省衡水中学调研)如图，在△ABC 中，B ＝π3，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且AE ＝8，AC ＝410，∠CED ＝π4.(1)求CE 的长；(2)若CD ＝5，求cos ∠DAB 的值． 解 (1)由题意可得∠AEC ＝π－π4＝3π4，在△AEC 中，由余弦定理得AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos ∠AEC ， 所以160＝64＋CE 2＋82CE ， 整理得CE 2＋82CE －96＝0， 解得CE ＝4 2. 故CE 的长为4 2.(2)在△CDE 中，由正弦定理得CE sin ∠CDE ＝CD sin ∠CED ，即42sin ∠CDE＝5sin π4，所以5sin ∠CDE ＝42sin π4＝42×22＝4，所以sin ∠CDE ＝45.因为点D 在边BC 上，所以∠CDE >B ＝π3，而45<32， 所以∠CDE 只能为钝角， 所以cos ∠CDE ＝－35，所以cos ∠DAB ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠CDE －π3＝cos ∠CDE cos π3＋sin ∠CDE sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310.14．(2018·福建省三明市第一中学月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( )A.π6B.π4或3π4C.3π4D.π4 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ， ∴c 2＋bc ＝3bc ，∴c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ，∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4，故选D.15．锐角△ABC 中,内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3,6] B ．(3,5) C ．(5,6] D ．[5,6] 答案 C解析 因为(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4()sin 2B ＋sin 2C ＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2，可得b 2＋c 2∈(5,6]．。