专题突破(四)

专题四几何测量——2023届中考数学热点题型突破1.重庆轨道5号线正在如火如荼地建设中.如图工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A处时,测得档案馆C在A北偏西方向的600米处,再铺设一段距离到达B 处,测得档案馆C在B北偏西方向.（1）请求出A,B间铺设了多远的距离;(结果保留整数,参考数据:,)（2）档案馆C周围米内要建设文化广场,不能铺设轨道,若工程队将轨道线路铺设到B处时,沿北偏东的BE方向继续铺设,请问这是否符合建设文化广场的要求,通过计算说明理由.2.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O 距地面AC的高度为，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为，楼CD上点E 处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到.参考数据：，，，).3.周末，小刚和爸爸一起到某湿地公园进行数学实践活动.如图，在爸爸的协助下，小刚在河的南岸点A处观测到北岸的一棵大树P在北偏东方向上，他沿北偏东方向走了到达点B处，此时他发现这棵大树在自己的正北方向上.请你帮小刚求出点B和大树P之间的距离.(结果精确到.参考数据：，，，)4.某数学小组的同学利用两个高度相同的测角仪和一把卷尺测量路杆AB顶端巨型广告牌的高度AN，如图，他们在路杆AB两侧的点C和点D处分别放置测角仪CE和DF(点C，B，D在同一直线上，点A，N与点C，B，D在同一平面内)，测角仪CE测得点N处的仰角为，测角仪DF测得点A处的仰角为.已知两个测角仪相距，测角仪CE与AB之间的距离为.(1)求广告牌的高度AN.(结果精确到.参考数据：，，，)(2)利用测角仪测角度时，有哪些注意事项?(写出两条即可)5.如图是某地铁出站口扶梯侧面设计示意图，起初工程师计划修建一段坡度为，高度为32米的扶梯AB，但这样坡度太陡容易引发安全事故.现工程师对设计图进行了修改：修建AC，DE两段扶梯，并在这两段扶梯之间修建5米的水平平台CD，其中，，扶梯AC长米，点B，E在同一水平线上.求修改后扶梯底部E与原来扶梯底部B之间的距离.(结果精确到0.1米.参考数据：，，，)6.为测量某机场东西两栋建筑物A,B之间的距离.如图,勘测无人机在点C处,测得建筑物A的俯角为,CA的距离为千米,然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处,测得建筑物B的俯角为.(参考数据:,,, ,,).（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米?（2）求该机场东西两栋建筑物A,B之间的距离.(结果精确到0.01千米)7.“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏.”美丽的昭君博物院作为著名景区，现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地.如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为，测得底部B的俯角为.已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高.(用非特殊角的三角函数及根式表示即可)8.中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合之作.如图,某桥面建造古典楼阁和廊道,主跨顶部建造双层楼阁.数学兴趣小组的同学为测量桥面上楼阁AB的高度,从D处观测到楼阁顶部点A的仰角为,观测到A点的正下方楼阁底部点B的仰角为,已知桥面高BC为50米,则楼阁AB的高度约为多少米(参考数据:,,)9.如图，由飞行高度为2000米的飞机上的P点测得到大楼顶部A处的俯角为，到大楼底部B处的俯角为，问大楼AB的高度约为多少米？(结果保留整数.参考数据：，)答案以及解析1.答案：（1）220（2）见解析解析:（1）解:如图,过点C作,交AB的延长线于点F,根据题意可知,,,,（2）符合建设文化广场的要求,理由如下,如图,过点C作根据题意可得符合建设文化广场的要求.2.答案：AC的长约为解析：分别延长AB，CD与直线OF交于点G，点H，如图，则.又，四边形ACHG是矩形，.由题意，得，，，，.在中，，，.是的外角，，，.在中，，，，.答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为.3.答案：解析：如图，过点B作于点F，过点P作于点E，则四边形EFBP 是矩形，，.在中，，，，.在中，，，.故点B和大树P之间的距离约为.4.答案：(1)(2)见解析解析：(1)如图，连接EF交AB于点G，则，，，.在中，，.在中，，，.答：广告牌的高度AN大约为.(2)①测量时，测角仪要与地面垂直；②需测量多次，取平均值.(答案不唯一，合理即可)5.答案：修改后扶梯底部E与原来扶梯底部B之间的距离约为20.7米解析：如图，分别过点A，D作EB的垂线，垂足分别为点F，H，延长DC交AF于点M，则四边形DMFH是矩形，，，.，.在中，，，.，的坡度为，，，.在中，，，.答：修改后扶梯底部E与原来扶梯底部B之间的距离约为20.7米.6.答案：（1）无人机距离地面的飞行高度约是1.54千米（2）该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米解析:（1）过点A作于点E,过点B作于点F.,在中,,,(千米)答:无人机距离地面的飞行高度约是1.54千米;（2）在中,(千米),四边形AEFB是矩形,千米,,在中,,,解得(千米),(千米)(千米)答:该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米.7.答案：雕像AB的高为米解析：如图，过点C作于H，则.在中，.在中，，则.答：雕像AB的高为米.8.答案：楼阁AB的高度约为9.5米解析:由题意得:,在中,米,,(米),在中,,(米),(米),楼阁AB的高度约为9.5米.9.答案：大楼AB的高度约为541米解析：解：根据题意构建数学模型，如图，过点P作AB的垂线，交BA的延长线于点D.飞机的飞行高度为2000米，米.在中，，.在中，，(米)，(米).答：大楼AB的高度约为541米.。

专题突破(四)一元二次方程综合一元二次方程的综合运用，一元二次方程的二次项系数不为零及整数根问题是一元二次方程综合题中的热点考查内容．—北京中考知识点对比题型年份题型一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数综合一元二次方程综合一元二次方程综合一次函数与反比例函数综合1．[·北京]已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．2．[·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．1．[·西城一模]已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x－m(m＋2)＝0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x＝－2是此方程的一个根，求实数m的值．2．[·海淀二模]已知关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a 为正整数，求方程的根．3．[·朝阳一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．4．[·西城二模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋3k －6＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．[·海淀] 已知关于x 的一元二次方程mx 2－()m ＋2x ＋2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 2<0，且x 1x 2>－1，求整数m 的值．6．[·海淀一模] 已知关于x 的方程kx 2－x －2k＝0(k ≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．7．[·石景山二模]已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋(2k－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．8．[·怀柔一模]已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值．参考答案北京真题体验1.解：＝(m ＋2)2－4×2×m＝m 2＋4m ＋4－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0.∴方程总有两个实数根． (2)由公式法解方程可得：x ＝－b ±Δ2a ＝（m ＋2）±（m －2）2m∴x 1＝1；x 2＝2m. 由题意得方程的两个实数根均为整数，∴x 2必为整数．又∵m 为正整数， ∴m ＝1或2.2．(1)k <52(2)k ＝2 北京专题训练1.解：(1)证明：Δ＝[]－2（m －1）2＋4m (m ＋2)＝4m 2－8m ＋4＋4m 2＋8m＝8m 2＋4.∵8m 2≥0，∴8m 2＋4＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x ＝－2是此方程的一个根，∴(－2)2－2×(－2)(m －1)－m (m ＋2)＝0.整理得m 2－2m ＝0.解得m 1＝0，m 2＝2.2．解：(1)∵关于x 的方程x 2－4x ＋3a －1＝0有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4(3a －1)≥0.解得a ≤53. ∴a 的取值范围为a ≤53. (2)∵a ≤53，且a 为正整数， ∴a ＝1.∴方程x 2－4x ＋3a －1＝0可化为x 2－4x ＋2＝0.∴此方程的根为x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.3．解：(1)Δ＝(－6)2－4(k ＋3)＝36－4k －12＝－4k ＋24.∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k ＋24>0.解得k <6.(2)∵k <6且k 为大于3的整数，∴k ＝4或5.①当k ＝4时，方程x 2－6x ＋7＝0的根不是整数．∴k ＝4不符合题意．②当k ＝5时，方程x 2－6x ＋8＝0的根为x 1＝2，x 2＝4均为整数．∴k ＝5符合题意．综上所述，k 的值是5.4．解：(1)由题意，得Δ＝4－4(3k －6)>0.∴k <73. (2)∵k 为正整数，∴k ＝1或2.当k ＝1时，方程x 2＋2x －3＝0的根x 1＝－3，x 2＝1都是整数；当k ＝2时，方程x 2＋2x ＝0的根x 1＝－2，x 2＝0都是整数．综上所述，k ＝1或k ＝2.5．解：(1)由已知，得m ≠0且Δ＝()m ＋22－4×2m ＝m 2－4m ＋4＝()m －22>0， ∴m ≠0且m ≠2.(2)原方程的解为x ＝()m ＋2±()m －22m .∴x ＝1或x ＝2m. ∵x 2<0，∴x 1＝1，x 2＝2m<0.∴m <0. ∵x 1x 2>－1，∴m 2>－1.∴m >－2. 又∵m ≠0且m ≠2，∴－2<m <0.∵m 是整数，∴m ＝－1.6．解：(1)证明：∵k ≠0，∴kx 2－x －2k＝0是关于x 的一元二次方程． ∵Δ＝(－1)2－4k (－2k)＝9>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得x ＝1±92k .∴x 1＝2k ，x 2＝－1k. ∵方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴k ＝－1或k ＝1.7．解：(1)证明：∵Δ＝(k ＋2)2－4(2k －1)＝(k －2)2＋4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)根据题意得1－(k ＋2)＋(2k －1)＝0，解得k ＝2，则原方程为x 2－4x ＋3＝0，解得另一个根为x ＝3.①当该直角三角形的两直角边长是1、3时，由勾股定理得斜边的长为10，该直角三角形的周长为4＋10；②当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2 2，该直角三角形的周长为4＋2 2.8．解：(1)证明：Δ＝(4k ＋1)2－4k (3k ＋3)＝(2k －1)2.∵kx 2－(4k ＋1)x ＋3k ＋3＝0是一元二次方程，∴k ≠0，∵k 是整数，∴k ≠12，即2k －1≠0， ∴Δ＝(2k －1)2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解方程得x ＝（4k ＋1）±（2k －1）22k. ∴x ＝3或x ＝1＋1k. ∵k 是整数，方程的根都是整数，∴k ＝1或k ＝－1.。

专项突破卷四古诗文阅读专题(90分钟 100分)一、古文阅读(64分)(一)阅读下面的文言文,完成1~5题。

(22分)秦败魏于华,魏王且入朝于秦。

周讠斤谓王曰:“今王之事秦,尚有可以易入朝者乎愿王之有以易之,而以入朝为后。

”魏王曰:“子患寡人入而不出邪许绾为我祝曰:‘入而不出,请殉寡人以头。

’”周讠斤对曰:“如臣之贱也今人有谓臣曰入不测之渊而必出不出请以一鼠首为女殉者臣必不为也今秦不可知之国也,犹不测之渊也;而许绾之首犹鼠首也。

内王于不可知之秦,而殉王以鼠首,臣窃为王不取也。

且无梁孰与无河内急”王曰:“梁急。

”“无梁孰与无身急”王曰:“身急。

”曰:“以三者,身上也,河内其下也。

秦未索其下,而王效其上,可乎”王尚未听也。

支期曰:“王视楚王,楚王入秦,王以三乘先之;楚王不入,楚、魏为一,尚足以捍秦。

”王乃止。

王谓支期曰:“吾始已诺于应侯矣,今不行者,欺之矣。

”支期曰:“王勿忧也。

臣使长信侯请无内王,王待臣也。

”支期说于长信侯曰:“王命召相国。

”长信侯曰:“王何以臣为”支期曰:“臣不知也,王急召君。

”长信侯曰:“吾内王于秦者,宁以为秦邪吾以为魏也。

”支期曰:“君无为魏计,君其自为计。

且安死乎安生乎安穷乎安贵乎君其先自为计,后为魏计。

”长信侯曰:“楼公将入矣,臣今从。

”支期曰:“王急召君,君不行,血溅君襟矣。

”长信侯行,支期随其后。

且见王,支期先入,谓王曰:“伪病者乎而见之,臣已恐之矣。

”长信侯入见王,王曰:“病甚奈何!吾始已诺于应侯矣,意虽道死,行乎。

”长信侯曰:“王毋行矣!臣能得之于应侯,愿王无忧。

”(摘编自《战国策·魏策三》)1.下列对文中画波浪线部分的断句,正确的一项是(3分) ( )A.如臣之贱也今人/有谓臣曰/入不测之渊而必出/不出/请以一鼠首为女殉者/臣必不为也/B.如臣之贱也今人/有谓臣曰/入不测之渊而必出/不出/请以一鼠首为女/殉者臣必不为也/C.如臣之贱也/今人有谓臣曰/入不测之渊而必出/不出/请以一鼠首为女/殉者臣必不为也/D.如臣之贱也/今人有谓臣曰/入不测之渊而必出/不出/请以一鼠首为女殉者/臣必不为也/2.下列对文中加点的词语及相关内容的解说,不正确的一项是(3分) ( )A.寡人,意为寡德之人,文中是魏王自称,中国古代的君主常以此谦称自己。