2014年辽宁省高考数学试卷文科

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C 【解析】9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x，y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为.15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G分别为AC、DC、AD的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S为底面面积，h为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式． 21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，连接DG并延长交圆于点A，作如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（辽宁卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，或，故．考点：集合的运算．2、【答案】A【解析】试题分析：由已知得，．考点：复数的运算．3、【答案】C【解析】试题分析：因为，，，故.考点：指数函数和对数函数的图象和性质．4、【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5、【答案】A【解析】试题分析：若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．考点：1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．6、【答案】B【解析】试题分析：将一个质点随机投入长方形ABCD中，基本事件总数有无限多个，故可考虑几何概型求概率．由已知得，以AB为直径的半圆的面积为．又长方形ABCD的面积为，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，选B．考点：几何概型．7、【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原几何体，得该几何体是棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体，故体积为，选Ｂ．考点：三视图．8、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．9、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，即，，又，故，从而，选C．考点：1、等差数列的定义；2、数列的单调性．10、【答案】Ａ【解析】试题分析：先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．考点：１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．11、【答案】B【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得到，令，解得，故递增区间为（），当时，得递增区间为，选B．考点：1、三角函数图象变换；2、三角函数的单调性．12、【答案】C【解析】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．考点：利用导数求函数的极值和最值．13、【答案】【解析】试题分析：输入，在程序执行过程中，的值依次为；；；；，程序结束．输出．考点：程序框图．14、【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．考点：线性规划．15、【答案】【解析】试题分析：如图所示，由已知条件得，点分布是椭圆的左、右焦点，且，分别是线段的中点，则在和中，，，又由椭圆定义得，，故．16、【答案】【解析】试题分析：设，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，的最小值为．考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．17、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及向量数量积的定义，得，从而，故再寻求关于的等式是解题关键．由，不难想到利用余弦定理，得，进而联立求；（2）利用差角余弦公式将展开，涉及的正弦值和余弦值．由可求，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求值，代入即可求的值．（1）由得，．又．所以．由余弦定理，得．又．所以．解得或．因为．所以．（2）在中，．由正弦定理得，．因，所以为锐角．因此．于是．考点：1、平面向量数量积定义；2、正弦定理；3、余弦定理．18、【答案】（1）有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）【解析】试题分析：（1）将列联表中的数据代入公式计算，得的值，然后与表格中的比较，若小于，则有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）从5名学生中随机抽取3人，有10种结果，构成基本事件空间，其中“至多有1人喜欢甜品”这个事件包含7个基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可．（1）将列联表中的数据代入公式计算．得．由于．所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，，，．其中表示喜欢甜品的学生，．表示不喜欢甜品的学生，．由10个基本事件组成，切这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则．事件A是由7个基本事件组成．因而．考点：1、独立性检验；2、古典概型．19、【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得，是的中位线，故，则可转化为证明平面BCG．易证，则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，且是中点，故，．从而平面BCG，进而平面BCG；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面平面，利用面面垂直的性质，易作出面的垂线，同时求出点到面的距离，从而可求出点到平面距离，即四面体的高，进而求四面体体积．（1）证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．（2）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．所以．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．20、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．考点：1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．21、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）依题意，只需证明函数在区间上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当时，，故在上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数在区间上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数大致图象，考虑到结论中，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设，则，，根据第一问中的符号，从而可判断函数的单调性，进而判断函数大致图象，确定函数的零点，寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式．证明：（1）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．（2）当时，化简得．令．记．．则．由（1）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．考点：１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．22、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明为圆的直径，只需证明，结合，在和中，只需证明，从而转化为证明，由弦切角定理以及很容易证明；（2）要证明，由（1）得，只需证明为圆的直径．连接，只需证明．只需证明．因为，故，根据同弧所对的圆周角相等得，故，从而．得证（1）因为．所以．由于为切线，所以．又由于，所以．由于，所以，．故为圆的直径．（2）连接．由于是直径，故．在和中，，．从而．于是．又因为，所以．又因为，所以．故．由于，所以，为直角．于是为直径．由（1）得，．考点：1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．23、【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出参数方程；（2）将直线与圆联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．24、【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．（1）当时，由得．故；当时，由得，故．所以的解集为．（2）由得．，故．当时，，故．考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．。

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A ∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴﹣=﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为=﹣．故选：C．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜0【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．【解答】解：∵数列{2}为递减数列，∴＜1，即＜1，∴＜1，∴a1（a n+1﹣a n）=a1d＜0故选：D．10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，，，，，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（）A．[，]∪[，]B．[﹣，﹣]∪[，]C．[，]∪[，]D．[﹣，﹣]∪[，]【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，则πx=，即x=，当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，解得x=，则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）则由f（x）为偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，解得≤x≤或≤x≤，即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，故选：A．11．（5分）（2014•辽宁）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得，．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+ (i)的值，当输入n=3时，跳出循环的i值为4，∴输出T=1+3+6++10=20．故答案为：20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为18．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h=V G﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的是AO长度的一半，利用V D﹣BCG体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，∵G为AD的中点，∴CG⊥AD．同理BG⊥AD，∵CG∩BG=G，∴AD⊥平面BGC，∵EF∥AD，∴EF⊥平面BCG；（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO=ABsin60°=，∴V D=V G﹣BCD==×=．﹣BCG20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，则+=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．则切线的斜率为﹣，故切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．再根据+=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，故此时，点P的坐标为（，）．（Ⅱ）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．由y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•=．由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得b4﹣9b2+18=0，解得b2=3，或b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为+=1．21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x ﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．＜②，分别求得【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．＜②．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．。

普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题（1） 已知全集U R =，{}0|A x x =≤，{}1|B x x =≥，则集合()U AB =ð （A ） {}0|x x ≥ （B ）{}1|x x ≤ （C ）{}1|0x x ≤≤ （D ）{}1|0x x <<（2） 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -（3） 已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>（4） 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m n αα，则//m nB. 若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C. 若,m m n α⊥⊥，则//n αD. 若//,m m n α⊥，则n α⊥（5） 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b =0，b ·c =0，则a ·c =0；命题q ：若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c . 则下列命题中真命题是（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ） ()()p q ⌝∧⌝ （D ） ()p q ∨⌝（6） 若将一个质点随即投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8π（7） 某几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（A ）82π- （B ）8π- （C ）82π- （D ）84π-（8） 已知点A （-2，3）在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（A ）43- （B ） -1 （C ）34- （D ）12- （9） 设等差数列{}n a 中的公差为d ，若数列1{2}n aa为递减数列，则A. 0d <B. 0d >C. 10a d <D. 10a d >（10） 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,0,2()121,,2x x f x x x π⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（A ）1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（B ）3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （C ）1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（D ）3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （11） 将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个长度单位，所得图像对应函数 （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 （12） 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）[]5,3-- （B ）96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3-- 第II 卷二、填空题（13） 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .（14） 已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则目标函数34z x y =+的最大值为（15） 已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .（16） 对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为______________ 三、解答题（17） （本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）()cos B C -的值。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U AB =ð( )（A ）{}|0x x ≥ （B ）{}|1x x ≤ （C ）{}|01x x ≤≤ （D ）{}|01x x <<2．设复数z 满足()()225z i i --=，则z =( )（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i -3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是 ( )（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） （A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8π 7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）84π- （B ）82π-（C ）8π- （D ）82π-8．已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )（A ）4- （B ）1- （C ）34- （D ）12-9．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( )（A ）0d > （B ）0d < （C ）10a d > （D ）10a d <10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()()cos 0122112x x f x x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()112f x -≤的解集为（ ） （A ）1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（B ）3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （C ）1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （D ）3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应函数( ) （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 12．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）[]5,3-- （B ）[]6,98-- （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3--二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = 。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|}B x x =≥1，则集合()UAB =ð（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x ＜＜2．设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ） A ．b a c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．c a b ＞＞4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=，b c 0=，则a c 0=； 命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π87．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π84-B ．π82-C ．8π-D ．82π-8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22ypx =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d ＞B ．0d ＜C ．10a d ＞D ．10a d ＜10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间π7π[,]1212上单调递减B ．在区间π7π[,]1212上单调递增C ．在区间ππ[,]63-上单调递减D ．在区间ππ[,]63-上单调递增12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =________. 14．已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=________.16．对于0c ＞，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a bc++的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c ＞．已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．19．（本小题满分12分）如图，ABC △和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =+交于A ，B 两点.若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．（本小题满分12分）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πxg x x =--. 证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =； （Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0gx =，且对（Ⅰ）中的0x ，有01πx x +＞.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题附：22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+，数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）号下方的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =，求证：AB ED =.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参考方程 将圆221xy +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+．记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）{|AB x x =){|0AB x =【提示】先求A B ，再根据补集的定义求)AB ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以B 运用线面垂直的性质，即可判断；C 运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系A【解析】若0a b =，0b c =，则a b b c =，即()0a c b -=，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题.若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，故命题q 为真命题.则p q ∨，命题，故选A.的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）【解析】等差数列(123)++++++的值，当输入(123i)++++++的值，距最大，即最大.max .，Q数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）【解析】242a ab -不等式得，23232b ⎤⎛⎫⎤=⎥⎦（Ⅰ）由2B A B C =得2cos ac B .2c =232+2sin c B b ⨯=C 1⎛=- 2BA BC =1cos 3B =代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到22（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解.【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式Ⅰ）AB BC =G 为AD 的中点，CG ∴.CG BG G =，BGC .EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG （Ⅱ）在平面，∆.G 6B=11sin1203322BD BC ︒=00014482x y x y =再根据2200x y +=数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）122d AB =，解得()221k ⎡=+⎣2232b b -，代入上式得2231683b b -= 或26b =，所以椭圆方程为：P 00(,)x y 切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基122d AB =，求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题（Ⅰ）()πf x =.()πf x '=上单调递增.（Ⅱ）()(g x =cos (π)1sin x x x --++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点，可得不等式【考点】函数零点的判定定理 ）PD PG PDG PGD PD=∴∠=∠为切线，PDA DBA ∴∠=∠，PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠，NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.（Ⅱ）连接BC ，DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA △与Rt ACB △中，AB BA AC BD ==，， Rt BDA Rt ACB ∴△≌△，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠，DCB CBA ∴∠=∠，DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠，为直角，∴ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB ED ∴=.（Ⅱ）由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P ， 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据与l 垂直的直线的斜率为12， 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪，即3220x y -+=.数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）【提示】（Ⅰ）在曲线C 上任意取一点(,)x y ，再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程.（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤，求得1344x -≤≤，,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦，M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x MN ∈时，()1f x x =-，22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，故要证的不等式成立.【提示】（Ⅰ）由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求.N =30,4⎡⎢⎣MN 时，f ，显然它小于或等于14，要证的不等式。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i −−=，则z = （ ） A ．23i + B ．23i − C ．32i + D ．32i −3．已知132a −=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 7． 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π− B ．8π− C ．82π−D ．84π−8．已知点(2,3)A −在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43−B ．1−C ．34−D ．12−9． 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x −≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343−−C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334−−11．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ−上单调递减D ．在区间[,]63ππ−上单调递增12．当[2,1]x ∈−时，不等式32430ax x x −++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]−− B ．9[6,]8−− C ．[6,2]−− D ．[4,3]−−第II 卷（非选择题）22二、填空题13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14．已知x ，y 满足条件220{240330x y x y x y +−≥−+≥−−≤，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN的中点在C 上，则AN BN += .16．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c −+−=，且使2a b +最大时，345a b c−+的最小值为 .三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()BC −的值.（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：，19．如图，ABC ∆和 BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===， 0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=−−−，2()(1xg x x ππ=−+−.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22．如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED ．23．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +−=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学 (参考答案)1．D 【解析】试题分析：由已知得，{=0A B x x ≤或}1x ≥，故()U C A B ={|01}x x <<．2．A 【解析】 试题分析：5(2)(2)522232z i i z i i z i i−−=∴−==+∴=+− 3．C 【解析】试题分析：因为132(0,1)a −=∈，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，故c a b >>.4．B 【解析】试题分析：若//,//,m n αα则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，故A 错；若m α⊥，n α⊂，，由直线和平面垂直的定义知，m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；若//m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定，故D 错． 5．A 【解析】试题分析：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a b b c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ． 6．B 【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是，故选B ．7．B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，得该几何体是棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体，故体积为2181282V ππ=−⋅⨯⨯=−，选Ｂ． 8．C 【解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为，且过点(2,3)A −，故22p −=−，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k −==−−−，选C ． 9．C试题分析：由已知得，11122nn a a a a −<，即111212n n a a a a −<，1n 1(a )21n a a −−<，又n 1a n a d −−=，故121a d<，从而10a d <，选C ． 10．A【详解】先画出当0x ≥时，函数()f x 的图象，又()f x 为偶函数，故将y 轴右侧的函数图象关于y 轴对称，得y 轴左侧的图象，如下图所示，直线12y =与函数()f x 的四个交点横坐标从左到右依次为3113,,,4334−−， 由图象可知，13134x ≤−≤或31143x −≤−≤−，解得12[,][,]433474x ∈. 故选：A ．11．B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到23sin[2()]3sin(2)233y x x πππ=−+=−，令22k 22k 232x πππππ−≤−≤+，解得12k ππ+712x k ππ≤≤+，故递增区间为7[,]1212k k ππππ++（k z ∈），当0k =时，得递增区间为7[,]1212ππ，选B ．12．C 【解析】试题分析：不等式32430ax x x −++≥变形为3243ax x x ≥−−．当0x =时，03≥−，故实数a 的取值范围是R ；当(0,1]x ∈时，2343x x x a x −−≥，记2343()x x x f x x−−=，2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x −++−−+==>，故函数()f x 递增，则max()(1)6f x f ==−，故6a ≥−；当[2,0)x ∈−时，2343x x x a x −−≤，记2343()x x xf x x −−=，令'()0f x =，得x 1=−或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈−−时，'()0f x <；当(1,0)x ∈−时，'()0f x >，故min ()(1)2f x f =−=−，则a 2≤−．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]−−．【解析】试题分析：输入3n =，在程序执行过程中，,,i S T 的值依次为0,0,0i S T ===；1,1,i S == 1T =；2,3,4i S T ===；3,6,10i S T ===；4,10,20i S T ===，程序结束．输出20T =． 14．18 【详解】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为344zy x =−+，当z 取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线34y x =−向上平移到过点C 时，目标函数取到最大值，240{330x y x y −+=−−=，得(2,3)C ，故max 324318z =⨯+⨯=．15．12 【详解】试题分析：设M,N 的中点坐标为P ，(,),(,),(,),(,),(,)M M N N P P A A B B M x y N x y P x y A x y B x y ,则M A M B x x x x +=−+=0,M A y y +=0,M B y y +=2,2M N P M N P x x x y y y +=+=；由于AN BN +=AN BN +=23⨯=6，所以AN BN +=12. 16．2−【解析】试题分析：法一：判别式法：令2a b t +=，则2b t a =−，代入到224240a ab b c −+−=中，得()()22422420a a t a t a c −−+−−=，即22241840a ta t c −+−=……①因为关于a 的二次方程①有实根，所以()2221842440t t c ∆=−⨯−≥，可得285c t ≤，2a b +取最大值时，或，当时，22345522a b c c −+==−=−≥−， 当时，345550a b c c c −+=+=+>， 综上可知当531,,242c a b ===时，min3452a b c ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭ 17．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=及向量数量积的定义，得cos 2ca B =，从而6ca =，故再寻求关于,a c 的等式是解题关键．由1cos 3B =，3b =不难想到利用余弦定理，得2292213a c +=+⨯=，进而联立求,a c ； （2）利用差角余弦公式将cos()B C −展开，涉及,B C 的正弦值和余弦值．由1cos 3B =可求sin B ，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求sin ,cosA A 值，代入即可求cos()B C −的值．（1）由2BA BC ⋅=得，cos 2ca B =．又1cos 3B =．所以6ca =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =．所以2292213a c +=+⨯=．解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==．因为a c >．所以3,2a c ==． （2）在ABC ∆中，sin 3B ===．由正弦定理得，2sin sin 339c C B b ==⋅=．因a b c =>，所以C为锐角．因此cos C == 79=．于是cos(B )cos cos sin sin C B C B C −=+1723393927=⋅+⋅=． 18．（1）有0095/的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）710【解析】 试题分析：（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算，得24.762χ≈，然后再根据表中所提供的数据，即可得到结论；（Ⅱ）首先将从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果的所组成的基本事件空间列出，得到喜欢甜品的学生和不喜欢甜品的学生的基本事件，然后再利用古典概型即可求出结果． 试题解析：解：（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算，得由于，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异． （Ⅱ）从5名数学系的学生中任取3人的一切肯能结果的所组成的基本事件空间，，，，，，，，，．其中表示喜欢甜品的学生，，表示不喜欢甜品的学生，，由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的， 用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这个事件，则=，，，，，，．事件是由7个基本事件组成，因而．19．（1）详见解析；（2）12【分析】 试题分析：（1）由已知得，EF 是 ADC ∆的中位线，故//EF AD ，则可转化为证明 AD ⊥平面BCG ．易证ABC DBC ∆≅∆，则有AC DC =，则在等腰三角形ADC 和等腰三角形ABD 中，且G 是AD 中点，故CG AD ⊥，BG AD ⊥．从而AD ⊥平面BCG ，进而EF ⊥平面BCG ；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直的性质，易作出面BCD 的垂线，同时求出点A 到面BCD 的距离，从而可求出点G 到平面BCD 距离，即四面体G BCD −的高，进而求四面体体积．（1）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆．因此AC DC =．又G 为AD 中点，所以CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC ．又//EF AD ．所以EF ⊥平面BCG ．（2）在平面ABC 内．作 AO BC ⊥．交CB 延长线于 O ．由平面ABC ⊥平面BCD ．知AO ⊥平面BDC ．又G 为 AD 中点，因此G 到平面 BCD 距离h 是 AO 长度的一半．在AOB ∆中，0sin 60AO AB =⋅=．所以01111sin12033222D BCG G BCD DBC V V S h BD BC −−∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．20．（1）；（2）22163x y +=【解析】试题分析：（1）首先设切点P 00(,)x y 00(0,,0)x y >>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，只需确定00x y 的最大值，由22000042x y x y +=≥结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 在椭圆上，代入点得22221a b+=①，利用弦长公式表示AB ，利用点到直线距离公式求高，进而表示PAB △的面积，与①联立，可确定,a b ，进而确定椭圆的标准方程． （1）设切点坐标为00(,)x y 00(0,,0)x y >>．则切线斜率为00x y −．切线方程为000()x y y x x y −=−−．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时，00x y 有最大值．即S 有最小值．因此点P的坐标为．（2）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．点1122(,),(,)A x y B x y ．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,{x y a b y x +==+得222620b x b ++−=．又12,x x是方程的根，因此1222122{62x x b bx x b +=−−=，由11y x =22y x =+，得122AB x b=−=．由点P 到直线l及2PAB S AB ∆==得429180b b −+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =， 26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=． 21．（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）依题意，只需证明函数()f x 在区间(0,)2π上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当(0,)2x π∈时，'()0f x >，故()f x 在(0,)2π上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数()g x 在区间(,)2ππ上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数cos 2()()11sin x xg x x x ππ=−+−+大致图象，考虑到结论中01x x π+>，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设t x π=−，则(0,)2t π∈，'()()(1sin )f t u t t π=+，根据第一问中()f t 的符号，从而可判断函数()u t 的单调性，进而判断函数()u t 大致图象，确定函数()u t 的零点，寻求函数()g x 的零点与()u t 零点的关系，从而证明不等式． 证明：（1）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+−>，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=−−<．2()4022f ππ=−>．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =． （2）当1(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=−+−+．令t x π=−．记()()u t g t π=−=−t cos 211sin t t t π−++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（1）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()0u t =．设10(,)2x t πππ=−∈．100()()()0g x g t u t π=−== ．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=−，00x t <，所以01x x π+>．22．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明AB 为圆的直径，只需证明090BDA ∠=，结合0=90GFA ∠，在GFA ∆和BDA ∆中，只需证明DBA FGA ∠=∠，从而转化为证明DBA DGP ∠=∠，由弦切角定理以及PG PD =很容易证明；（2）要证明ED AB =，由（1）得，只需证明ED 为圆的直径．连接BC DC 、，只需证明DC EP ⊥．只需证明//DC AB ．因为Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，故DAB CBA ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等得DCB DAB ∠=∠，故DCB CBA ∠=∠，从而．得证 （1）因为PG PD =．所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠．又由于PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠．由于AF EP ⊥，所以090PFA ∠=，090BDA ∠=．故AB 为圆的直径．（2）连接BC DC 、．由于AB 是直径，故090BDA ACB ∠=∠=．在Rt BDA ∆和Rt ACB ∆中，AB BA =，AC BD =．从而Rt BDA Rt ACB ∆≅∆．于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（1）得，ED AB =．23．（1）cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）34sin 2cos ρθθ=−【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即11,2,x x y y =⎧⎨=⎩，反解11,x y 并代入圆221x y +=中，得曲线C 的普通方程．进而写出 参数方程；（2）将直线220x y +−=与圆221x y +=联立，求的交点12,P P 的坐标，从而可确定与l 垂直的直线方程111(x )22y −=−．再利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设11(,y )x 为圆上的点，经变换为C 上点(x,y)．依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得22()12yx +=．即曲线C 的方程为2214yx +=．故C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （2）由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2,x y =⎧⎨=⎩不妨设12(1,0),(0,2)P P ．则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =．于是所求直线方程为111(x )22y −=−．化为极坐标方程为2cos 4sin ρθρθ−3=−，即34sin 2cos ρθθ=−．考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程． 24．（1）403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）不等式()1f x ≤变形为2|1|11x x −+−≤，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）解不等式()4g x ≤，得1344N x x ⎧⎫=−≤≤⎨⎬⎩⎭．故304MN x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x MN∈时，304x ≤≤，此时()1f x x =−．代入22()[()]x f x x f x +中为二次函数，求其最大值即可．（1）33,[1,),()1,(,1),x x f x x x −∈+∞⎧=⎨−∈−∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =−≤得43x ≤．故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =−≤得0x ≥，故01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由2()1681g x x x =−+4≤得1344x −≤≤．1344N x x ⎧⎫=−≤≤⎨⎬⎩⎭，故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x MN ∈时，()1f x x =−，故22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+()xf x =(1)x x =−14=− 211()24x −≤．。

2014·辽宁卷(文科数学)1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}1．D [解析]由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝x |0<x <1}． 2．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i2．A [解析]由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i＝2＋i ，故z ＝2＋3i.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析]因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4．B [解析]由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交，故D 错误．5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A [解析]由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q6．[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π86．B [解析]由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，以AB 为直径的半圆的面积S 1＝12×π×12＝π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝π22＝π4.7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π7．C [解析]根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分，故该几何体体积V ＝23－12×π×12×2＝8－π.8．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－128．C [解析]因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2，0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜09．D [解析]令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以 b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.10．[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，3410．A [解析]由题可知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，函数f (x )单调递减，由cos πx ≤12，得13≤x ≤12；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，函数f (x )单调递增，由2x －1≤12，得12<x ≤34.故当x ≥0时，由f (x )≤12，得13≤x ≤34.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )≤12的解解集为⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34，所以不等式f (x －1)≤12的解满足－34≤x －1≤－13或13≤x －1≤34，解得x ∈⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74. 11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析]将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．12．、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．C [解析]当－2≤x <0时，不等式可转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故函数f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f min (x )＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，不等式恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4，故函数g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥g max (x )＝g (1)＝1－4－31＝－6. 综上，－6≤a ≤－2. 13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-3所示的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________． 13．20[解析]由题意可知，第一步，i ＝1，S ＝1，T ＝1；第二步，i ＝2，S ＝3，T ＝4；第三步，i ＝3，S ＝6，T ＝10；第四步，i ＝4，S ＝10，T ＝20.14．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．18 [解析]不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x＋z4，当直线经过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，故C 点坐标为(2，3)，这时z ＝3×2＋4×3＝18.15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 9＋y4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．15．12 [解析]设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12·|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．16．－1 [解析]因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值．故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－1，其最小值为－1.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋＋，18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.19．、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．19．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC·h ＝13×12·BD ·BC ·sin120°·32＝12. 20．、、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P ((1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎫0，4y 0，其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0. 又x 1，x 2是方程的根，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得|AB |＝4 63|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32|AB |＝2，得|AB |＝4 63，即b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6，从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x 1＋sin x ＋2xπ－1.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π. 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲如图1-6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .因为AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，所以∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．所以ED 为直径．又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＝－3，化为极坐标方程，得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是 x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）把给出的等式两边同时乘以3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）2＜c=log5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）•=0•=0，则••，即（）=0，则•∥，∥，则∥平行，故命题6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）BS=为直径的半圆内的概率是7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）﹣﹣圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面圆柱，×8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为﹣=的斜率为=．9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（）＜}∴＜∴10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（），]∪[，]，﹣]∪[，]，]∪[，]，﹣]∪[，]的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上≤]，即x=x=，时，由，得，x=≤的解为，≤的解为﹣≤，的解为或﹣≤≤或≤，≤或≤，≤{x|≤或≤的11．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图[，][，，]，[，]2x+）的图象向右平移个单位长度，）]﹣当函数递增时，由，得，]12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取，﹣]≥=﹣二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=20．14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y 的最大值为18．作出可行域如图，，解得，为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．，易得，，16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．，转化为=++∴=[][]∴∴++=三、解答题17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2）∵=2cosB=，sinB===由正弦定理=sinB=×==，×+×．18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=≈人，共有名喜欢甜品，有人喜欢甜品的概率19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．====×=20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．．再利用基本不等式求得=1+S=则切线的斜率为﹣••==4=的坐标为（，=1，∴=1，=+|x=•．，y=x+，•时，由+=1+=121．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．，）﹣﹣t+1，，）上为增函数，）﹣，[﹣+﹣﹣]，）时，）上为增函数，））时，，，，，四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．，线的斜率为，，=1=1）由，的中点坐标为（垂直的直线的斜率为1=﹣=0．选修4-5：不等式选讲24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．）由所给的不等式可得，﹣，解②，，求得﹣≤，，]，=﹣。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014辽宁，文1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合U (A ∪B )＝( )． A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D.2．(2014辽宁，文2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )． A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 答案：A解析：∵(z －2i)(2－i)＝5，∴52i 2i 2iz -==+-. ∴z ＝2＋3i.故选A.3．(2014辽宁，文3)已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案：D解析：∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，∴c ＞a ＞b .故选D.4．(2014辽宁，文4)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案：B解析：对A ：m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确．对C ：n 还可能在平面α内，故C 不正确．对D ：n 还可能在α内，故D 不正确．对B ：由线面垂直的定义可知正确．5．(2014辽宁，文5)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )．A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(p )∧(q )D ．p ∨(q ) 答案：A解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.6．(2014辽宁，文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )．A ．π2 B ．π4 C ．π6 D ．π8答案：B解析：所求概率为21π1π2==214S S ⋅⨯半圆长方形，故选B. 7．(2014辽宁，文7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π84-B ．π82- C ．8－π D ．8－2π答案：C解析：由几何体的三视图可知，原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的14圆柱，故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱，即V ＝23－21π122⋅⋅＝8－π.故选C.8．(2014辽宁，文8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )．A ．43-B ．－1C ．34-D ．12- 答案：C解析：由已知，得准线方程为x ＝－2， ∴F 的坐标为(2,0)． 又A (－2,3)，∴直线AF 的斜率为303224k -==---.故选C.9．(2014辽宁，文9)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a}为递减数列，则( )．A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 1d ＞0D ．a 1d ＜0 答案：D解析：∵{12n a a}为递减数列， ∴111111()111222212n n n n a a a a a a a a d n na a a a +===<＋＋－－.∴a 1d ＜0.故选D.10．(2014辽宁，文10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，()1cos π,0,,2121,,,2x x f x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩则不等式1(1)2f x ≤－的解集为( )．A ．1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦答案：A解析：令t ＝x －1.当10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()12f t ≤，即1cos π2t ≤，得πππ32t ≤≤，解得1132t ≤≤. 当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，由()12f t ≤，即1212t ≤－， 解得1324t <≤.综上，t ∈[0，＋∞)时，()12f t ≤的解集为13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.∵f (x )为偶函数，∴f (|x |)＝f (x )．故t ∈R 时，由()12f t ≤可得1334t ≤≤， 即3143t -≤≤-或1334t ≤≤.∴由1(1)2f x ≤－得31143x -≤≤-－或13134x ≤-≤，解得1243x ≤≤或4734x ≤≤.故选A.11．(2014辽宁，文11)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增答案：B解析：由题意知，平移后的函数f (x )ππ3sin 223x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ3sin 2π+3sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令πππ2π22π+232k x k -≤+≤，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5πππ,π+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .令ππ32π+22π+π232k x k ≤+≤(k ∈Z )，解得f (x )的递增区间为π7π+,π+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .从而可判断选项B 正确．12．(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－5，－3]B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案：C解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0＜x ≤1时，由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x =--，则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==.当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x ≤--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014辽宁，文13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝__________.答案：20解析：由程序框图可知，当i ＝0≤3时，i ＝1，S ＝1，T ＝1； 当i ＝1≤3时，i ＝2，S ＝3，T ＝4； 当i ＝2≤3时，i ＝3，S ＝6，T ＝10； 当i ＝3≤3时，i ＝4，S ＝10，T ＝20； 可知i ＝4＞3，退出循环． 故输入n ＝3时，输出T ＝20.14．(2014辽宁，文14)已知x ，y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z ＝3x ＋4y的最大值为__________．答案：18解析：画出x ，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分．由330,240,x y x y --=⎧⎨-+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩∴A 点坐标为(2,3)．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，可知当平移l 0到l (l 过点A )时，目标函数有最大值，此时z max ＝3×2＋4×3＝18.15．(2014辽宁，文15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.答案：12解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|.∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.16．(2014辽宁，文16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，124a b c++的最小值为__________． 答案：－1解析：要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值． ∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋2232a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a ＋b )2取到最大值，即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值．把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，可得c ＝4a 2.∴2221241242111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+- ⎪⎝⎭. ∴当11a =-时，124a b c++取到最小值－1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2014辽宁，文17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA BC ⋅＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．分析：(1)由数量积定义及余弦定理，可列出a ，c 的方程组，解方程组即可求出a ，c 的值．(2)由已知及正弦定理可分别求出B ，C 角的正、余弦值，再利用两角差的余弦公式可求出cos(B －C )的值．解：(1)由BA BC ⋅＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B=由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C1723393927=⨯+=. 18．(本小题满分12分)(2014辽宁，文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：221122122112n n n n n n n n n χ+(-)=.分析：(1)(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数．再由古典概型的概率公式计算即可．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22112212211212n n n n n n n n n χ++++(-)=＝21006010201070308020⨯(⨯-⨯)⨯⨯⨯＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710. 19．(本小题满分12分)(2014辽宁，文19)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积．(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝1111·sin 1203322DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=. 20．(本小题满分12分)(2014辽宁，文20)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =A ，B 两点．若△P AB的面积为2，求C 的标准方程．分析：(1)设出切点P 的坐标，用此坐标表示三角形的面积．又由切点P 在圆上，利用基本不等式求最值的方法，可求出点P 的坐标．(2)设出椭圆C 的标准方程，由点P 在椭圆C 上，及直线l 与C 相交于A ，B 两点且S △P AB ＝2，可求出a ，b 的值．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--， 即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=， 由22000042x y x y +=≥知当且仅当x 0＝y 0x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为．(2)设C 的标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知22221a b+=，并由2222=1=x y a by x ⎧+⎪⎨⎪+⎩，得222620b x b ++-=， 又x 1，x 2是方程的根，因此122122=62=,x x b x x b ⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩由11y x =22y x =得122|AB x x b ==－.由点P 到直线l及S △P AB＝122=得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为22163x y +=. 21．(本小题满分12分)(2014辽宁，文21)已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝2(π1πx x --，证明：(1)存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.分析：(1)利用求导数方法判断函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，再利用函数零点的存在性定理进行判断，证出结论．(2)先化简函数g (x )在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，再用求导法判断函数单调性，结合函数零点的存在性定理，即可证明．证明：(1)当x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0， 所以f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，又f (0)＝－π－2＜0，2ππ4022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，化简得()cos 2(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+. 令t ＝π－x ，记()cos 2(π)11sin πt t u t g t t t =-=--++，t ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()π1sin f t u t t ()'=(+).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0， 当t ∈0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭时，u ′(t )＞0. 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上u (t )为增函数， 由π02u ⎛⎫= ⎪⎝⎭知，当t ∈0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，u (t )＜0，所以u (t )在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0. 于是存在唯一t 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，使u (t 0)＝0. 设x 1＝π－t 0∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， 则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0， 因此存在唯一的x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，使g (x 1)＝0， 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．(本小题满分10分)(2014辽宁，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .分析：(1)证明AB 是直径，即证明∠BDA ＝90°.由∠PF A ＝90°，从而寻求∠BDA ＝∠PF A 就可证明．(2)要证AB ＝DE ，即证DE 为直径，连DC ，即证∠DCE ＝90°，从而只需证明AB ∥DC 即可．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°.于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .23．(本小题满分10分)(2014辽宁，理23)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)． (2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 所求直线斜率为12k =， 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即34sin 2cos ρθθ=-. 24．(本小题满分10分)(2014辽宁，理24)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x ∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可． 解：(1)()[)()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩ 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得43x ≤， 故413x ≤≤； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得1344x -≤≤. 因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭. 故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x·f(x)＝x(1－x)＝2111 424x⎛⎫--≤⎪⎝⎭.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()A B =U U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题p ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π-C ．8π-D ．82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334UB ．3112[,][,]4343--UC ．1347[,][,]3434UD ．3113[,][,]4334--U11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =2()P k χ≥0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，1sin 2()()11sin x xg x x x ππ-=-+-+.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 1815. 1216. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===由正弦定理，得2sin sin 3c C B b ===因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+⋅= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

2014 年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题，每题 5 分）1．（ 5 分）（2014?辽宁）已知全集U=R，A={ x| x≤0} ，B={ x| x≥1} ，则会合 ?U（A ∪B）=（）A．{ x| x≥0}B．{ x| x≤ 1}C．{ x| 0≤x≤1}D．{ x| 0＜x＜1} 2．（5 分）（2014?辽宁）设复数z 知足（ z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5 分）（2014?辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞ c＞ b C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5 分）（2014?辽宁）已知 m，n 表示两条不一样直线，α表示平面，以下说法正确的选项是（）A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n? α，则 m⊥nC．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥αD．若 m∥α， m⊥n，则 n⊥α5．（ 5 分）（ 2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题 p：若，，? =0? =0则 ? =0；命题 q：若∥，∥，则∥，则以下命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢ p）∧（￢ q） D． p∨（￢ q ）6．（5 分）（2014?辽宁）若将一个质点随机投入如下图的长方形ABCD中，其中 AB=2， BC=1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．7．（ 5 分）（ 2014?辽宁）某几何体三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣πD．8﹣2π8．（5 分）（2014?辽宁）已知点 A（﹣ 2，3）在抛物线 C：y2=2px 的准线上，记C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（）A．﹣B．﹣ 1C．﹣D．﹣9．（5 分）（2014?辽宁）设等差数列 { a n} 的公差为 d，若数列 { 2} 为递减数列，则（）A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜010 ．（ 5 分）（ 2014? 辽宁）已知 f （ x ）为偶函数，当 x ≥ 0时， f （ x）=，，，则不等式 f （x﹣1）≤ 的解集为（），，．[， ]∪[， ]B．[﹣，﹣ ]∪[， ]A．[， ]∪[， ]D．[﹣，﹣ ]∪[， ]C11．（5 分）（2014?辽宁）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间 [，] 上单一递加B．在区间 [，] 上单一递减C．在区间 [ ﹣，] 上单一递减D．在区间 [ ﹣，] 上单一递加12．（ 5 分）（2014?辽宁）当 x∈ [ ﹣ 2， 1] 时，不等式 ax3﹣x2+4x+3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ ﹣5，﹣3]B．[ ﹣6，﹣]C．[ ﹣6，﹣ 2]D．[ ﹣4，﹣ 3]二、填空题（共 4 小题，每题 5 分）13．（5 分）（2014?辽宁）履行如图的程序框图，若输入 n=3，则输出 T=．14．（ 5 分）（2014?辽宁）已知 x，y 知足拘束条件，则目标函数z=3x+4y 的最大值为．15．（ 5分）（辽宁）已知椭圆C：+，点M 与 C 的焦点不重合，若2014?=1M 对于 C 的焦点的对称点分别为A、 B，线段MN 的中点在 C 上，则| AN|+| BN| =．16．（ 5分）（辽宁）对于＞，当非零实数a，b知足2﹣ 2ab+b2﹣ c=0 2014? c 04a且使 | 2a+b| 最大时，+ + 的最小值为．三、解答题17．（ 12 分）（ 2014?辽宁）在△ ABC中，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a，b， c，且 a＞ c，已知?，cosB=， b=3，求：=2（Ⅰ） a 和 c 的值；（Ⅱ） cos（B﹣C）的值．18．（ 12 分）（2014?辽宁）某大学餐饮中心为认识重生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样检查，检查结果如表所示：喜爱甜品不喜爱甜品共计南方学生602080北方学生101020共计7030100（Ⅰ）依据表中数据，问能否有95%的掌握以为“南方学生和北方学生在采用甜品的饮食习惯方面有差别”；（Ⅱ）已知在被检查的北方学生中有5 名数学系的学生，此中 2 名喜爱甜品，此刻从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜爱甜品的概率．附： X2=P（x2＞ k）0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635 19．（ 12 分）（ 2014?辽宁）如图，△ABC 和△ BCD 所在平面相互垂直，且AB=BC=BD=2．∠ ABC=∠ DBC=120°，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点．（Ⅰ）求证： EF⊥平面 BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V= Sh，此中 S为底面面积， h 为高．20．（12 分）（2014?辽宁）圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．（Ⅰ）求点 P 的坐标；（Ⅱ）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：y=x+交于A、B两点，若△ PAB的面积为 2，求 C 的标准方程．21．（ 12 分）（2014?辽宁）已知函数f（ x） =π（x﹣cosx）﹣ 2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在独一x0∈（ 0，），使f（ x0）=0；（Ⅱ）存在独一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有 x0+x1＞π．四、选考题，请考生在22-24 三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）（ 2014?辽宁）如图， EP 交圆于 E，C 两点， PD 切圆于 D，G 为 CE上一点且 PG=PD，连结 DG 并延伸交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为F．（Ⅰ）求证： AB 为圆的直径；（Ⅱ）若 AC=BD，求证： AB=ED．选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 2014?辽宁）将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变成本来的2 倍，得曲线 C．（Ⅰ）写出 C 的参数方程；（Ⅱ）设直线 l：2x+y﹣ 2=0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．选修 4-5：不等式选讲24．（ 2014?辽宁）设函数f（x） =2| x﹣ 1|+ x﹣1，g（x）=16x2﹣ 8x+1．记 f（ x）≤1 的解集为 M ，g（x）≤ 4 的解集为 N．（Ⅰ）求 M ；（Ⅱ）当 x∈ M∩N 时，证明： x2f（ x）+x[ f （x）] 2≤ ．。