(辽宁省)2014年高考真题数学(理)试题

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项

是符合题目要求的.

1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A

B =（ ）

A ．{|0}x x ≥

B ．{|1}x x ≤

C ．{|01}x x ≤≤

D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知13

2

a -=，2

1211

log ,log 33

b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥

5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若

//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）

A ．p q ∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ⌝∧⌝

D ．()p q ∨⌝

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24

7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-

D ．84

π

-

8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a

为递减数列，则（ ）

A ．0d <

B ．0d >

C ．10a d <

D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3

y x π

=+的图象向右平移

2

π

个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,

]1212ππ

上单调递减 B ．在区间7[

,

]1212ππ

上单调递增

C ．在区间[,]63

ππ

-上单调递减 D ．在区间[,]63

ππ

-

上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．

12 B ．23 C ．34 D ．43

11.当[2,1]x ∈-时，不等式3

2

430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9

[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--ZXXK 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；

②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1

|()()|||2

f x f y x y -<

-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．

12 B ．14 C ．12π D ．18

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . ZXXK

14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .

15.已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . ZXXK

16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足22

4240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345

a b c

-

+的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1

cos 3

B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()B

C -的值. 18. （本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .

19. （本小题满分12分）

如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0

120ABC DBC ∠=∠=，E 、

F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；

（2）求二面角E BF C --的正弦值.

20. （本小题满分12分）

圆2

2

4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P

（如图），双曲线22

122:1x y C a b

-=过点P 且离心率为3.

（1）求1C 的方程；

（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.