初中数学分式方程学案 含答案

15.3分式方程专题一 解分式方程 1．方程32x 31-x 1+=的解是 ． 2．解分式方程：3x 911x 3x 32-=-+．3．解分式方程：32x ++1x ＝242x x+．专题二 分式方程无解4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D ．–25．若关于x 的方程2222x m x x ++=--无解，则m 的值是______． 6．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为__________． 专题三 列分式方程解应用题7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A ．60702x x=+ B ．60702x x =+Ｃ．60702x x =- Ｄ．60702x x =-8．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？39．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由．状元笔记【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:1．x=6 解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，经检验x＝6是原方程的解．所以，原分式方程无解．3．解：方程两边乘x(x+2)，得3x+x+2=4，解得x=21．经检验：x=21是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m ，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x ，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35．经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意． 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

数学：23.1《分式方程》学案（冀教版八年级下）一、教学目标1．经历在实际问题中运用分式方程的过程，了解分式方程的意义，体会分式方程的模型思想.2．会解可化为一元一次方程的分式方程.3．了解分式方程增根产生的原因，会检验分式方程的根.4．通过学习分式方程的解法，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，体会数学中的转化思想．二、重、难点重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．难点：增根产生的原因三、学习过程(一)复习并引入新课1、什么叫方程？什么叫方程的解？2、阅读课本P76页“交流与发现”，完成课本上的填空。

并思考所列方程有怎样的特点？(二)探究新知1、总结分式方程的定义： 中含有求知数的方程，叫做分式方程. 巩固练习：判断下列方程中，哪些是分式方程．为什么？（1）2x ＋x －15 =10 （2）x － 1x=2 （3） 12x ＋1 －3=0 （4） 2x 3 ＋ x －12=0 2、阅读课本P77—78例1、例2并思考：（1）与解一元一次方程有什么异同点？解分式方程必需要 .（2）总结解分式方程的步骤：巩固练习：解下列分式方程：（1）132+=x x （2）13132=-+--x x x3、自学课本P78—79页例3、例4，进一步熟练解分式方程的步骤.巩固练习： （1）21－x ＋1= x 1＋x[（2） 61－x 2 = 31－x四、当堂小结：本节课你的收获是：不足有：五、当堂测试：解下列方程（1）x x 413=- （2）x x x 215.11122-=+--（3）11112-=-x x （4）312132++=+-x x x。

人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。

21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

15．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法学习目标1．理解分式方程的意义．2．掌握分式方程的基本思路和解法．3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究1．填空：(1)分母中________有未知数的方程叫做整式方程(2)分母中__________的方程叫做分式方程．2．判断下列说法是否正确：①2x ＋32=5是分式方程；②34－4x =4x ＋3是分式方程； ③x 2x =1是分式方程；④1x ＋1=1y －1是分式方程． 3．解分式方程的一般步骤：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________． 自学反馈1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x －22=x 3；②4x ＋3y =7； ③1x －2=3x ；④x （x －1）x =－1； ⑤3－x π=x 2；⑥2x ＋x －15=10； ⑦x －1x =2；⑧2x ＋1x＋3x=1.2．解方程：12x =2x ＋3.活动1 小组讨论例1 解方程：2x －1=4x 2－1. 解：方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得2(x ＋1)=4.解得x=1.检验：当x=1时，(x ＋1)(x －1)=0.∴x=1不是原分式方程的解．∴原分式方程无解．例2.解方程：(1)x x ＋1=2x 3x ＋3＋1； (2)5x 2＋x －1x 2－x=0.解：(1)x=－32.(2)x=32. 活动2 跟踪训练1．解分式方程：(1)x x －1=32x －2－2； (2)x －3x －2＋1=32－x ； (3)2x 2x －1=1－2x ＋2.课堂小结解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根第2课时 分式方程的实际应用学习目标能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题．预习阅读教材，完成预习内容．知识探究1．列方程解应用题的一般步骤是(1)________________；(2)________________；(3)________________；(4)________________；(5)________________．2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是(1)________________；(2)________________；(3)________________；(4)________________；(5)________________；(6)________________．重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖________________，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖________；两台挖土机一天共挖__________；两台一天完成另一半．所以方程为________________；解得x=________.经检验：x=________是原分式方程的解． 答：乙单独挖需________天．探究：1．甲乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？等量关系：t 甲=t 乙．解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．根据题意，列方程得18＋1×2x ＋0.5=18x.解得x=4.5. 检验：当x=4.5时，x(x ＋0.5)≠0.所以，x=4.5是原方程的解．则x ＋0.5=5. 答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．点拨：等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．2．A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，小汽车的速度为5x 千米/小时．根据题意，列方程得135－2x ×52x =135－12×（5x ）5x.解得x=9. 检验：当x=9时，10x ≠0.所以，x=9是原方程的解．则2x=18，5x=45.答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．点拨：等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间．课堂小结1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系．3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．4．注意不要遗漏检验和作答．一、选择题 1.方程12123=-+-xx 的解为（ ） A.-1 B.1 C.4 D.5 2.分式方程xx 325=-的解是（ ） A.﹣3 B.2 C.3 D.﹣2 3.分式方程123-=x x 的解为（ ） A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=44.某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A.= B. = C. = D. =5.为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A 、B 两类玩具,其中A 类玩具的进价比B 类玩具的进价每个多3元,经调查：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.设A 类玩具的进价为m 元/个,根据题意可列分式方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6.张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x 个，则下面列出的方程正确的是（ ）A.= B. = C. = D. =7.分式方程1x －1－2x ＋1=4x 2－1的解是( ) A ．x=0 B ．x=－1 C ．x=±1 D ．无解8.关于x 的方程=2+无解，则k 的值为（ ）A.±3B.3C.﹣3D.无法确定9.对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b=.若2⊕（2x ﹣1）=1，则x=（ ）A. B. C. D.10.已知关于x的分式方程﹣2=的解为正数，则k的取值范围为( )A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 二、填空题11.当x=________时，2x－3与54x＋3的值互为倒数.12.．已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．13.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程．14.A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用1.5小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为．15.2013年4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，青岛市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？设原计划每小时抢修道路x米，则根据题意列出的方程是．参考答案1.C2.A3.C；4.D5.C6.B7.D；8.B9.A10.答案为：B.11.答案为：312.答案为：m>6且m≠-4；13.答案为：﹣=15．14.答案为：﹣=．15.答案为:﹣=2．。

八年级数学上册 15.3 分式方程学案（新版）新人教版15、3分式方程一、知识点梳理1、分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

2、确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程。

由此可知：有理方程包含整式方程和分式方程，分式方程可以转化整式方程。

解分式方程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。

3、解分式方程的方法：（1）在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程（2）解分式方程的解的两种情况：①所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根，是原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

（3）产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零。

（4）验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。

使最简公分母值为零的根是增根。

4、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整（2）解这个整式方程；――解整（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

验根5、列分式方程解决实际问题的方法和步骤审设列解验答注:解分式方程应用题必须双检验：检验方程的解是否是原方程的解； 检验方程的解是否符合题意。

6、工程问题：____________。

行程问题：基本公式：____________。

二、典例讲解例1、判断下列各式哪个是分式方程。

例2、在方程①=8+，②=x，③=，④x-=0中，是分式方程的有（）。

A、①和②B、②和③C、③和④D、①和④例3、解方程：（1）；（2）。

例4、如果关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围。

例5（课本152例3）两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。

八年级数学上册 15.3.1 分式方程学案(含解析)(新版)新人教版一、新课导入1、同学们还记得一元一次方程的定义和解一元一次方程的步骤吗？2、如果未知数出现在分母的位置，这个方程还是一元一次方程吗？二、学习目标1、掌握分式方程的定义；2、掌握解分式方程的方法，并能把求出的解代入方程的最简公分母检验是否增根。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：了解分式方程的定义，能判断出哪些方程是分式方程，哪些方程是整式方程。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,设江水的流速为 v 千米/时，则顺水速度为_(30+v)_千米/时；逆水速度为_(30-v)_千米/ 时；根据所用的时间相等可以列出方程；2、分母中含有未知数的方程叫分式方程；3、下列方程分式方程有(2)、(3)、(4)、(7)、(8)，整式方程有(1)、(5)、(6)、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)、注意：π代表一个数，不是字母，所以是整式方程而不是分式方程研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，了解分式方程的解法；问题探究：(1)、解方程就是利用等式的基本性质把方程转化为x=a的形式，分式方程的未知数在分母中，应如何转化呢？、怎样求出方程中v的值呢？解：方程两边同时乘以(30+v)(30-v)，得到：90(30-v)=60(30+v)，解得：v=6，把v=6代入方程中，得到：左边=右边=，所以v=6是原分式方程的解、结论：解分式方程应首先通过去分母把分式方程转化为整式方程、研读三、分式方程中未知数的取值与分母有关系吗？解分式方程时去掉分母这个限制还存在吗？解方程：解：方程两边同时乘以，得到：x+5=10，解得：x=5，把x=5代入，得到：，原分式方程无意义，所以原分式方程无解、结论：解分式方程时，如果求出的根使分式方程的最简公分母为0，则求出的解是原方程的增根注意：1、解分式方程的第一步应首先把分式方程转化为整式方程；2、求出的解一定要代入分式方程的最简公分母进行检验，如果最简公分母的值不为0，则求出的解是原分式方程的解，如果最简分分母为0，则求出的解是原分式方程的增根，原分式方程无解、检测练习二、4、解方程(1)；(2)解：(1)，去分母得：2x=3x-9，移项得：3x-2x=9，合并同类项得：x=9，把x=9代入x(x-3)，得到：x(x-3)=54≠0，所以x=9是原分式方程的解；(2)解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3，解得：x=1，当x=1时，(x-1)(x+2)= 0，所以x=1是原分式方程的增根，原分式方程无解、注意：解分式方程一定要把求出的解代入最简公分母进行检验、研读四：解分式方程的步骤是什么？1、去分母把分式方程转化为整式方程；2、解整式方程，求出整式方程的解；3、把求出的解代入分式方程的最简公分母进行检验、检测练习三、5、分式方程有增根，求m的值、解：，去分母得：x-3=m，把x=1代入x-3=m，得到：m=1-3，解得：m=-2，当m=-2时，分式方程有增根、6、k为何值时，方程有增根、解：方程两边同时乘以x-2，得到k+3(x-2)=x-1，把x=2代入 k+3(x-2)=x-1，得到：k=1，所以当k=1时方程有增根、7、已知与互为相反数，求x的值、解：因为与互为相反数，所以，解得：x=7，把x=7代入(x-1)(x+1)，得到：(x-1)(x+1)≠0，所以当x=7时，与互为相反数、四、完成跟踪训练(PPT)五、归纳小结（一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？六、作业布置：完成课后练习、。

15．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法1．理解分式方程的意义．2．掌握分式方程的基本思路和解法．3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．阅读教材P 149～151，完成预习内容．知识探究1．填空：(1)分母中________有未知数的方程叫做整式方程(2)分母中__________的方程叫做分式方程．2．判断下列说法是否正确：①2x ＋32＝5是分式方程；②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程；④1x ＋1＝1y －1是分式方程． 3．解分式方程的一般步骤：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________． 自学反馈1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x －22＝x 3；②4x ＋3y＝7； ③1x －2＝3x ；④x （x －1）x ＝－1； ⑤3－x π＝x 2；⑥2x＋x －15＝10； ⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x＋3x ＝1.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．2．解方程：12x ＝2x ＋3.活动1 小组讨论例1 解方程：2x －1＝4x 2－1. 解：方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x ＋1)(x －1)＝0.∴x ＝1不是原分式方程的解．∴原分式方程无解．例2 解方程：(1)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1；(2)5x 2＋x －1x 2－x＝0. 解：(1)x ＝－32. (2)x ＝32. 活动2 跟踪训练1．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2－2； (2)x －3x －2＋1＝32－x； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2.方程中分母是多项式，要先分解因式，再找公分母．活动3 课堂小结解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根【预习导学】知识探究1．(1)不含 (2)含有未知数 2.①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数． 3.(1)去分母 (2)解整式方程 (3)验根 (4)小结自学反馈1．①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数． 2.x ＝1.【合作探究】活动2 跟踪训练1．(1)方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76.检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以，x ＝76是原方程的解．(2)方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x －2≠0.所以，x ＝1是原方程的解．(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．解得x ＝0.检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0.所以，x ＝0是原方程的解．。

题型一：化简求值题1、已知0152=+-x x，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x ,(3) 44-+x x 的值.2、先化简后求值（1） 已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2） 已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3） 已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+. 已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.已知：21=-x x ，求221x x +的值.若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241-的值.若0106222=+-++b b a a ，求b a ba 532+-的值.题型二：求待定字母的值 若111312-++=--x N x M xx，试求N M ,的值.若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型三：解含有字母系数的方程解关于x 的方程： )0(≠+=--d c d c x b a x b x a 211+=)2(a b ≠提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型四：用常规方法解分式方程解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型五：特殊方法解分式方程解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .分式方程的应用解分式方程的步骤：①去 ，化 方程为 方程;②解 方程;③验 ;④写结论.2．列方程应用题的步骤是: ①审； ②设； ③列； ④解； ⑤答．3．行程问题中路程、速度、时间的关系是： .4. 工程问题中工作量、工作时间时、工作效率的关系是 ． 例题讲解1、两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。

分式方程是数学中的一个重要概念，它是由有理函数与一个未知数构成的等式。

在解分式方程时，我们需要遵循特定的步骤和方法，以确保得出正确的答案。

本学案将帮助学生复习分式方程的重要概念、解题方法和相关例题。

第一部分：基础知识回顾1. 什么是分式？怎样表示一个分式？分式是两个整数的比值，由分子和分母组成，分子在上，分母在下，用横线分开。

2. 什么是分式方程？分式方程是一个包含分式的方程，其中未知数出现在分式中。

3. 分式方程的解法步骤是什么？步骤一：清理分母，将分式方程化为无分母的方程。

步骤二：整理方程，将未知数合并在一边，常数合并在另一边。

步骤三：消去未知数的系数，得出方程的解。

第二部分：解分式方程的方法1. 方法一：通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。

首先，找到方程中所有分母的最小公倍数，然后用最小公倍数去分别乘以分式方程的两边，从而消去分母。

2. 方法二：消元法消元法是解决分式方程的另一种方法。

首先，将方程中的分式转化为等值的整式，然后利用解线性方程组的方法求解。

3. 方法三：取倒数法取倒数法也是解决分式方程的一种常用方法。

首先，将方程两边取倒数，然后将倒数化为整式方程，最后利用解线性方程的方法求解。

第三部分：例题分析1. 例题一：求解方程(3/x) + (4/x^2) = 7/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数x^2，得到方程6(3x + 4) = 7x^2。

整理后得到7x^2 - 18x - 24 = 0，通过解二次方程得到x = 6和x = -24/7。

2. 例题二：求解方程(2/(x-1)) - (3/(x+2)) = 5/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数(x-1)(x+2)，得到方程12(x+2) - 10(x-1) = 5(x-1)(x+2)。

整理后得到5x^2 - 9x - 34 = 0，通过解二次方程得到x ≈ 4.326和x ≈ -1.526。

第四部分：总结与反思分式方程在数学中扮演着重要的角色，掌握解分式方程的方法对提高数学能力至关重要。

5.4分式方程课题八年级下册5.4分式方程（第3课时）学习目标1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．2、经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程．学习重点1、审清题意，寻找等量关系，将实际问题转化为分式方程的数学模型。

2、根据实际意义检验解的合理性。

学习难点将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．教学流程学校年级组二备教师课前备自主学习尝试解决1.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？2.列一元一次方程解下列应用题:某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件?3.解方程：xx1803120=+交一、阅读课本129页，回答以下问题：2、列分式方程解实际问题的关键是什么？零件，求甲、乙每小时各做多少个？工作总量工作效率工作时间甲乙根据题意列方程得：______________________答：__________________________________________例5:某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少?(参考上例列表格分析)课堂达标训练1某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）A．xx1803120=+B.xx1803120=-C.3180120+=xxD.3180120-=xx2．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为（）A215.210210+=+xxB.5.02105.210-=-xxC5.025.21010-=-xxD.5.025.21010+=-xx3.甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字.问：甲、乙每分钟各打多少字？4.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？学习小结1、本节课你有哪些收获？2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若一次函数(3)y a x a =--的图象经过第二、三、四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠3B ．a ＞0C ．a ＜3D ．0＜a ＜32．如果关于x 的分式方程131k x x=+有增根，则增根的值为（ ） A ．0B ．-1C ．0或-1D ．不存在3．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只有0.0000007（毫米2），数据0.0000007用科学记数法表示为（ ） A ．6710-⨯B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．87010-⨯4．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则△CEF 的面积是（ ）A ．2B 2C ．32D ．25．已知2416x mx ++是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±6．若(x-9)(2x-n)=2x 2+mx-18，则m 、n 的值分别是( ) A ．m=-16，n=-2 B ．m=16，n=-2C ．m=-16，n=2D ．m=16，n=27．在函数23y x =-中x 的取值范围是（ ） A ．3x >B ．3x >-C ．3x ≠D ．3x ≠-8．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A ．()2019,2020- B ．()2019,2020C ．()2019,2020--D ．()2019,2020-9．正比例函数y= -2x 的图象经过（ ）A ．第三、一象限B ．第二、四象限C ．第二、一象限D ．第三、四象限10．下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…则第⑥个矩形的周长为（ ）① ② ③④A．42 B．46 C．68 D．72二、填空题11．如图，已知∠EAD=30°，△ADE绕点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE=_________°.12．一次跳远中，成绩在4.05米以上的人有8人，频率为0.4，则参加比赛的运动员共有____人.13．计算：23⨯=______．14．分解因式：34x x-=______．15．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．16．若代数式132x-的值大于﹣1且小于等于2，则x的取值范围是_____．17．若二次根式4x-有意义，则实数x的取值范围是__________.三、解答题18．如图，在ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在BC上，且AB AE=，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）求证：DF BE=；（2）若45ACB∠=︒．①求证：BAG BGA∠=∠；②探索DF与CG的数量关系，并说明理由．19．（6分）某校学生会调查了八年级部分学生对“垃圾分类”的了解程度（1）在确定调查方式时，学生会设计了以下三种方案，其中最具有代表性的方案是________；方案一：调查八年级部分男生； 方案二：调查八年级部分女生；方案三：到八年级每个班去随机调查一定数量的学生．（2）学生会采用最具有代表性的方案进行调查后，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，如图①、图②.请你根据图中信息，回答下列问题： ①本次调查学生人数共有_______名；②补全图①中的条形统计图，图②中了解一点的圆心角度数为_______；③根据本次调查，估计该校八年级500名学生中，比较了解“垃圾分类”的学生大约有_______名.20．（6分）为保护环境，我市公交公司计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆．若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？21．（6分）先化简，再求值：（1﹣11a -）÷2244a a a a-+-．其中a 从0，1，2，﹣1中选取．22．（8分）已知1y -与23x +成正比例， （1）y 是关于x 的一次函数吗？请说明理由；（2）如果当53x =-时，0y =，求y 关于x 的表达式.23．（8分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来 （1）1123+->x x（2）3(3)55 3115x xxx-<-⎧⎪+⎨≥-⎪⎩24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+图像经过点A(-2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数3y x=的图像相交于点C，点C的横坐标为1.（1）求,k b的值；（2）请直接写出不等式30kx b x+->的解集.25．（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵一次函数(3)y a x a=--的图象经过第二、三、四象限，∴300a a -<⎧⎨-<⎩，解得：0＜a ＜1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 2．A 【解析】 【分析】先把分式方程化成整式方程，再解整式方程求出x 的值，根据方程有增根得出3113kk=--或3013kk=-，解出k 的值即可得出答案. 【详解】131k x x=+ ()31x k x =+33x kx k -=()133k x k -=313kx k=- 又方程有增根 ∴3113k k =--或3013kk=- 无解或k=0 ∴k=0∴增根的值为0 故答案选择A. 【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，属于基础题型，解题关键是根据增根得出整式方程有解，而分式方程无解，即整式方程求出的解使得分式方程的分母等于0. 3．C 【解析】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．本题0.000 000 1＜1时，n 为负数． 【详解】0.000 000 1=1×10-1． 故选C ． 【点睛】此题考查的是电子原件的面积，可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ， ∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ， ∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=∴=2， ∴AE=2AG=4；∴S △ABE =12AE•BG=142⨯⨯= ∵BE=6，BC=AD=9， ∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3， ∴BE ：CE=6：3=2：1， ∵AB ∥FC ， ∴△ABE ∽△FCE ，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．5．C【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知2416x mx++=x²+4mx+4²是完全平方式，∴4m=±8m=2或m=-2，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．6．A【解析】【分析】先利用整式的乘法法则进行计算，再根据等式的性质即可求解.【详解】∵(x-9)(2x-n)=2x2-nx-18x+9n=2x2-(n+18)x+9n=2x2+mx-18，∴-(n+18)=m, 9n=-18∴n=-2，m=-16故选A.【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则.7．C 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解. 【详解】根据题意得,30x -≠, 解得3x ≠. 故选C. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 8．D 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案． 【详解】第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负， 只有选项D ()2019,2020-符合条件， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于1，纵坐标小于1． 9．B 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象和性质，k>0，图象过第一，三象限，k<0，图象过第二，四象限，即可判断． 【详解】∵正比例函数y= -2x ，k<0，所以图象过第二，四象限，故选:B．【点睛】考查了正比例函数的图象和性质，理解和掌握正比例函数的图象和性质是解题关键，注意系数的正负号决定了图象过的象限．10．C【解析】试题分析：观察图形：第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，通过计算第④矩形的周长为26，前4个矩形的周长有这样的一个规律，第③个的矩形的周长=第①个矩形的周长+第②个矩形的周长，即16=6+10；第④个的矩形的周长=第③个矩形的周长+第②个矩形的周长，即26=10+16；第⑤个的矩形的周长=第③个矩形的周长+第④个矩形的周长，即=26+16=42；第⑥个的矩形的周长=第④个矩形的周长+第⑤个矩形的周长，即=26+42=48考点：矩形的周长点评：本题考查矩形的周长，通过前四个2的周长找出规律是本题的关键，考查学生的归纳能力二、填空题11．20【解析】【分析】利用旋转的性质得出∠DAB=50°，进而得出∠BAE的度数.【详解】解：∵∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠DAB=50°，则∠BAE=∠DAB-∠DAE=50°-30°=20°.故答案为：20.【点睛】此题主要考查了旋转的性质，得出旋转角∠DAB的度数是解题关键.12．20【解析】【分析】根据频率的计算公式即可得到答案.【详解】÷=解：80.420所以可得参加比赛的人数为20人.故答案为20.【点睛】本题主要考查频率的计算公式，这是数据统计的重点知识，必须掌握.13．6． 【解析】 解：23⨯=6；故答案为：6．点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则a b ab ⋅=是本题的关键．14．x （x +2）（x ﹣2）．【解析】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．15．1．【解析】 ∵ABCD 的周长为33，∴2（BC+CD ）=33，则BC+CD=2．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=12，∴OD=OB=BD=3． 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD ．∴OE=BC ．∴△DOE 的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD ）=3+9=1，即△DOE 的周长为1． 16．﹣1≤x ＜1．【解析】【分析】先根据题意得出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得：13121322x x -⎧>-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩①② 解不等式①，得：x ＜1，解不等式②，得：x≥-1，所以-1≤x ＜1，故答案为：-1≤x ＜1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．4x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-4≥0，再解即可．【详解】由题意得：x−4⩾0，解得：x ⩾4，故答案为：x ⩾4【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于二次根式有意义的条件得到x-4≥0三、解答题18．（1）见解析；（2）①见解析，②DF =，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE ，证明△OAF ≌△OCE ，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）①过A 作AM ⊥BC 于M ，交BG 于K ，过G 作GN ⊥BC 于N ，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA ；②证明△AME ≌△BNG ，根据全等三角形的性质得到ME=NG ，根据等腰直角三角形的性质得到，根据（1）中结论证明即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴OAF OCE ∠=∠，在OAF ∆和OCE ∆中，OAF OCE OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()OAF OCE ASA ∆≅∆∴AF CE =，∵AD BC =，∴DF BE =；（2）①过A 作AM BC ⊥于M ，交BG 于K ，过G 作GN BC ⊥于N ，则90AMB AME BNG ∠=∠=∠=︒，∵45ACB ∠=︒，∴45MAC NGC ∠=∠=︒，∵AB AE =， ∴12BM EM BE ==，BAM EAM ∠=∠， ∵AE BG ⊥，∴90AHK BMK ∠=︒=∠，又AKH BKM ∠=∠，∴MAE NBG ∠=∠，设BAM MAE NBG α∠=∠=∠=，则45BAG α∠=︒+，45BGA GCN GBC α∠=∠+∠=︒+，∴BAG BGA ∠=∠； ②2DF CG =，理由如下：∵BAG BGA ∠=∠，∴AB BG =，∴AE BG =，在AME ∆和BNG ∆中，AME BNG MAE NBG AE BG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME BNG AAS ∆≅∆，∴ME NG =，在等腰Rt CNG ∆中，NG NC =， ∴2222GC NG ME BE ===， ∴2BE GC =，∵DF BE =，∴2DF CG =.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．19．（1）方案三；（2）①120；②216；③150.【解析】【分析】（1）由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；（2）①由不了解的人数和所占的比例可得出调查总人数；②先求出了解一点的人数和所占比例，再用360°乘以这个比例可得圆心角度数；③用八年级学生人数乘以比较了解“垃圾分类”的学生比例可得答案。