整式的乘除知识点整理
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初中整式乘除知识点总结一、整式的定义整式是由字母和数字(称为系数)以及加法、减法、乘法运算符号组成的,满足代数性质的式子。
其中,整式可以是单项式、多项式或者是已知系数的表达式。
1. 单项式单项式是只有一个项的代数式,如3x、-5y、2a²b等。
2. 多项式多项式是由若干个单项式相加(减)而成的代数式,或者说多项式是由多个单项式通过加法和减法连接得到的表达式,例如3x²+2x-5、-4a³-6a²b+8ab²-2b³等。
3. 已知系数的表达式已知系数的表达式可以像一般的多项式一样运算,只不过它们代表的是系数是有限个数且确定的。
二、整式的加减运算整式的加减运算是指将同类项进行相加或相减。
同类项是指: 同一变量的幂相同的几项。
1. 加法a. 直接相加: 将各同类项的系数累加,而变量和幂不变。
b. 化简: 当几个整式相加时,将同类项相加,并按照数字的大小规则化简。
2. 减法a. 减法等于加法的逆运算: 减去一个数a等价于加上一个数-a。
b. 减法的性质: 同类项相减的结果等于同类项的系数相减,变量和幂不变。
三、整式的乘法运算1. 单项式与单项式的乘法两个单项式相乘,直接将它们的系数相乘,变量相乘后写成原来变量的乘方。
2. 单项式与多项式的乘法将单项式的每一项与多项式相乘,再将所得的各项相加。
3. 多项式的乘法多项式的乘法可以看做一种按分配律的运算。
先将多项式乘数的各项与被乘数的各项分别相乘,再将乘积相加。
四、整式的除法运算1. 同一或者不等式除: 当含有同一变量的各同类项可以整除时,将它们的系数分别相除,再将变量合并。
2. 非同类项之间的除法在含有多项式的各项中,当各项不能整除时,可以将它有理地展开,再进行系数相除,变量幂相减。
所以,非同类项之间的除法基本是按高斯位别定理——整除法则。
以上是关于初中整式乘除的知识点总结,希望能对同学们的学习起到一定的帮助。
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式,包含了整数、变量和基本运算符(加、减、乘、除)。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积,也可以包含指数。
例如,3x^2是一个单项式,其中3和x表示系数和变量,2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如,2x^2 + 3xy + 5是一个多项式,其中2x^2,3xy和5分别是单项式,+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则:1.乘积的交换法则:a×b=b×a,即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则:(a×b)×c=a×(b×c),即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则:a×(b+c)=(a×b)+(a×c),即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时,要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如,(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中,被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则:1.除法的整除法则:若a能被b整除,则a/b为整数。
例如,6除以3得到22.除法的商式法则:若x为任意非零数,则x/x=1、例如,2x^2/2x^2=13.除法的零律:任何数除以0都是没有意义的,即不可除以0。
例如,5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时,要注意约分和消去的原则。
例如,(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时,需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下:1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式,可以通过以下步骤进行因式分解:1.先提取其中的公因式。
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算,它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算,其规则如下:1.单项式相乘:两个单项式相乘时,按照数字相乘,字母相乘,再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如:(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘:将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘,然后将所得的结果相加。
例如:(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘:根据一些常见公式和特殊公式,可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如:(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算,其规则如下:1.简单整式的除法:当被除式是单项式,除式也是单项式,并且除式不为零时,可以进行简单整式的除法运算。
例如:12x^3/4x=x^32.整式长除法:当被除式是一个整式,除式也是一个整式,并且除式不为零时,可以进行整式长除法运算。
例如:(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法:分式的除法可以利用倒数的概念进行处理,将除法问题转化为乘法问题。
例如:(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律:整式的乘法满足交换律,即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算,使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律:整式的乘法满足结合律,即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序,简化计算过程。
3.乘法分配律:整式的乘法满足分配律,即a×(b+c)=a×b+a×c。
整式乘除知识点整式是由常数和变量按照代数运算的规则经过加、减、乘、除等基本运算得到的式子。
整式乘除是代数学中的重要内容,掌握整式乘除的知识点对于解决代数问题和化简式子非常有帮助。
下面将介绍整式乘法和整式除法的要点和方法。
一、整式乘法整式乘法是指将两个整式相乘得到一个新的整式。
整式乘法的基本思想是利用分配律和合并同类项的原则进行运算。
1. 分配律分配律是整式乘法的基本运算定律,即对于任意的整式a、b、c来说,有:a × (b + c) = a × b + a × c这个定律表示乘法可以分别作用于加减运算中的每一项。
2. 合并同类项在整式乘法中,对于相同的字母次幂,只需要将系数相乘即可。
例如:3x × 4x = 12x²,3a² × 2a² = 6a^4。
二、整式除法整式除法是指将一个整式除以另一个整式,得到商和余数的运算过程。
整式除法的基本思想是通过长除法的方式进行计算。
整式除法的步骤如下:1. 对除数和被除数的次数进行降幂排列,确保被除数和除数的次数次幂之间存在对应关系。
2. 从被除数中选择一个项作为被除数,与除数的首项进行除法运算,得到一个商和余数。
3. 将商乘以除数,并减去这个乘积。
4. 重复步骤2和步骤3,直到被除数的次数次幂小于除数的次数次幂为止。
5. 将所有的商相加,并将余数放在最后。
例如,计算整式 (3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) 的步骤如下:(3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) = 3x² + 4x + 13 + 25/(x - 2)通过以上步骤,我们可以得到商和余数。
三、整式乘除综合运算在实际应用中,整式的乘法和除法常常需要综合运算。
在进行整式乘除综合运算时,需要根据分配律以及合并同类项的原则,进行逐步计算。
整式乘除知识点总结为了让大家更好的迎接中考,那么,整式的知识点是必不可少的。
下面是小编与大家分享的整式乘除知识点总结,欢迎大家参考借鉴!整式乘除知识点总结(一)1.单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
2.单项式与多项式相乘单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;③在混合运算时,要注意运算顺序。
3.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;②多项式相乘的结果应注意合并同类项;③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到整式乘除知识点总结(二)单项式相乘,它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:a)积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除:1、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.例如:_______3=-a a ;________22=+a a ;________8253=+-+b a b a__________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则:a m ·a n =a m+n (m ,n 是正整数).同底数幂相乘,底数不变,指数相加.例如:________3=⋅a a ;________32=⋅⋅a a a注:此性质可以逆用,即a m +n =a m ×a n 。
如:已知2a =5,2b =7,则2a +b =2a 2b =5×7=35。
另外三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即a m ·a n ·a p =a m +n +p (m 、n 、p 都是正整数)3、幂的乘方法则:(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.例如:_________)(32=a ;_________)(25=x ;()334)()(a a = 注:注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆,前者是指数相乘,后者是指数相加。
还要注意逆向运用。
4、积的乘方的法则:(ab)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.例如:________)(3=ab ;________)2(32=-b a ;________)5(223=-b a注:在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误,所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项,然后将这几项全都乘方,再将结果相乘。
还要注意逆向运用。
例如:。
5、同底数幂的除法法则:a m ÷a n =a m-n (a ≠0,m ,n 都是正整数,并且m >n).同底数幂相除,底数不变,指数相减. 规定:10=a 例如:________3=÷a a ;________210=÷a a ;________55=÷a a注:根据同底数幂除法的运算性质a m ÷a n =a m -n (a ≠0, m,n 为正整数,并且m >n),当指数相同时,则有a n ÷a n =a n -n =a 0=1,从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的道理,同时,又将同底数幂除法的运算性质中m >n 的条件扩大为m ≥n ;而当m <n 时,仍然使用a m ÷a n =a m -n ,则m -n <0,便出现了负指数幂a -p = ( a ≠0, p 为正整数);至此,同底数幂除法的运算性质a m ÷a n =a m -n 的适用范围已不必再过分的强调m 、n 之间的大小关系,m 、n 的值也由正整数扩大到全体整数了.6、单项式乘法法则单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。
整式乘除知识点总结归纳一、整式的基本定义1. 整式的定义:整式是由多项式相加(减)得到的式子。
多项式是一个或多个单项式的和。
整式可以包含有限个数的变量,并且变量的次数为非负整数。
2. 整式的分类:整式可以根据变量的次数和系数的种类进行分类,分为一元整式和多元整式;再细分为单项式、多项式和混合式。
二、整式的乘法整式的乘法是代数学中的基本运算之一,它涉及到多项式之间的相乘。
在进行整式的乘法时,主要需要掌握以下几个要点:1. 单项式相乘:同底数的单项式相乘,指数相加;不同底数的单项式相乘,底数相乘,指数相加。
2. 多项式相乘:多项式相乘时,需要用分配律(乘法分配律)进行展开,然后对每一对单项式进行乘法运算。
3. 多项式的乘法规则:多项式相乘的规则与单项式相乘的规则一致,同底数指数相加,底数相乘。
需要注意的是,展开乘法时,需要对每一对单项式进行乘法运算,并将得到的结果进行合并。
例题:(1)计算:(3x+4y)*(2x-5y)解:按照乘法分配律,展开得到:6x^2-15xy+8xy-20y^2合并同类项,得到最终结果:6x^2-7xy-20y^2三、整式的除法整式的除法是代数学中的难点之一,它涉及到多项式之间的相除。
在进行整式的除法时,主要需要掌握以下几个要点:1. 用辅助线将被除式和除数进行排列,然后进行长除法计算。
2. 长除法计算过程:(1)确定被除式中的最高次项,选择一个除数,使得除数的最高次项与被除式中的最高次项相同。
(2)将除数乘以一个常数倍数,使得乘积的最高次项与被除式中最高次项的系数相同。
(3)将得到的乘积与被除式相减,得到一个新的多项式。
(4)重复以上步骤,直至新的多项式的次数小于除数的次数。
(5)最终得到商式和余数。
例题:(2x^2+7xy-3y^2)÷(x-2y)解:按照长除法步骤,得到商式和余数为:2x+11y-5 和 -21y+12所以,商式为2x+11y-5,余式为-21y+12。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)1.知识系统总结2.重点难点易错点归纳(1)几种幂的运算法则的推广及逆用例1:(1)已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习:1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z(2)46×0.256= (-8)2013×0.1252014 =(2)同底数幂的乘除法:底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底:判断底数是否互为相反数:看成省略加号的和,每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形:例2:(1)-x7÷(-x)5·(-x)2 (2)(2a-b)7·(-b+2a)5÷(b-2a)8(3)区分积的乘方与幂的乘方例3:计算(1)(x3)2 (2) (-x3)2 (3)(-2x3)2(4)-(2x3)2(4)比较法:逆用幂的乘方的运算性质求字母的值(或者解复杂的、字母含指数的方程)例4:(1)如果2×8n×16n=28n ,求n的值(2)如果(9n)2=316,求n的值(3)3x=,求x的值(4)(-2)x= -,求x的值(5)利用乘方比较数的大小指数比较法:833,1625, 3219底数比较法:355,444,533乘方比较法:a2=5,b3=12,a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小(6)分类讨论思想例6:是否存在有理数a,使(│a│-3)a =1成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由整式的乘法(1)计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则,尤其注意符号的问题,结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式,通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算:(1)(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) (3)(-x+2)(x3-x2)练一练:先化简再求值:[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题:②系数类问题:【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中,x3项项,求m与n的值的系数为—5,x2项的系数为-6,求a,b的值(3)新定义题【例4】现规定一种新运算:a*b=ab+a-b,其中a,b为有理数,则(a*b)+[(b-a)*b]=练一练:现规定一种新运算:a※b=ab+a-b,其中a,b为有理数,计算:[(m+n)※n]+[(n-m)※n] 课后提升:1.(-0.7×104)×(0.4×103)×(-10)=2.若(2x-3)(5-2x)=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若(-2x+a)(x-1)的结果不含x的一次项,则a=4.计算:(1)(-5x-6y+z)(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式(1)公式:(a+b)(a-b)=a2-b2注意:公式中的a,b既可以是具体的数字,也可以是单项式或多项式,只要不是单独的数字或字母,写成平方的差时都要加括号公式的验证:根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式:(1)(-5x+2y)(-2y-5x)= (2)(2a-1)(2a+1)(4a2+1)=(3)20132-2012×2014 =练一练:1、(2y-x-3z)(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×(22+1)×(24+1)×(28+1)×…×(232+1)+1=(3)平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练:已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,求(a+b)3(a-b)3的值.课后提升:1.已知下列式子:①(x-y)(-x-y);②(-x+y)(x-y);③(-x-y)(x+y);④(x-y)(y-x).其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)(a+0.5),那么k=4.为了美化城市,经统一规划,将一正方形的南北方向增加3米,东西方向缩短3米,将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比()A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程:(3x+4)(3x-4)=9(x-2)26.计算:(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(22014+1)完全平方公式(1)公式:(a±b)2=a2±2ab +b2首平方,尾平方,2倍乘积放中央,同号加,异号减注意:公式中的a,b既可以是具体的数字,也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式:(2x-5y)2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=(2)完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算(a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值(3)利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是()A.-9B.1C.9或-11D.-9或11(4)利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算:(1)1992 (2)3.012(5)完全平方公式的变形应用【例6】(1)已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值(2)已知(x+y)2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升:1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是()A.(m+n)2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a(x-1)+b的形式,则a+b的值是5.计算:(2x-y)2(2x+y)2整式的除法(1)计算法则整式乘法的逆运算,可以互相验证。
一、知识点归纳: (一)幂的四种运算:1、同底数幂的乘法:⑴语言叙述:同底数幂相乘,底数不变,指数相加; ⑵字母表示:a m ·a n = a m+n ;(m ,n 都是整数) ;⑶逆运用:a m+n = a m ·a n2、幂的乘方:⑴语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘; ⑵字母表示:(a m ) n = a mn ;(m ,n 都是整数); ⑶逆运用:a mn =(a m )n =(a n )m ;3、积的乘方:⑴语言叙述:积的乘方,等于每个因式乘方的积; ⑵字母表示:(ab)n = a n b n ;(n 是整数); ⑶逆运用:a n b n = (a b)n ;4、同底数幂的除法:⑴语言叙述:同底数幂相除,底数不变,指数相减;⑵字母表示:a m ÷a n = a m-n ;(a≠0,m 、n 都是整数); ⑶逆运用:a m-n = a m ÷a n .(二)整式的乘法:1、单项式乘以单项式:⑴语言叙述:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
⑵实质:分三类乘:⑴系数乘系数;⑵同底数幂相乘;⑶单独一类字母,则连同它的指数照抄; 2、单项式乘以多项式:⑴语言叙述:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。
⑵字母表示:c)=ma +mb +mc ;(注意各项之间的符号!) 3、多项式乘以多项式:(1)语言叙述:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;(2)字母表示:=mn +mb +an +ab ;(注意各项之间的符号!) 注意点:⑴在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号,确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项,则要 合并同类项(三)乘法公式: 1、平方差公式:(1)语言叙述:两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差。
整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘;底数不变;指数相加. a m·a n=a m+n m;n都是正整数同底数幂相除;底数不变;指数相减. a m÷a n=a m-n a≠0;m;n都是正整数;且m>n任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1a≠0; 00无意义a mn表示n个a m相乘;a 的m n幂表示m幂的乘方;底数不变;指数相乘. a mn=a mn m;n都是正整数积的乘方;等于把积的每一个因式分别乘方;再把所得幂相乘.ab n=a n b n n为正整数注:不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘;把它们的系数;相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母;则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=a·b·c5·c2=abc5+2=abc7 注:运算顺序先乘方;后乘除;最后加减单项式相除;把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;只在被除式里含有的字母;则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘;就是用单项式去乘多项式的每一项;再把所得的积相加;ma+b+c=ma+mb+mc注:不重不漏;按照顺序;注意常数项、负号 .本质是乘法分配律..多项式除以单项式;先把这个多项式的每一项除以这个单项式;再把所得的商相加.多项式与多项式相乘;先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项;再把所得的积相乘a+bm+n=am+an+bm+bn乘法公式:平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积;等于这两个数的平方差.a+ba-b=a2-b2完全平方公式:两数和或差的平方;等于它们的平方和;加或减它们积的2倍.a±b2=a2±2ab+b2因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式;也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法.关键:找出公因式公因式三部分:①系数数字一各项系数最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意;提取完公因式后;另一个因式的项数与原多项式的项数一致;这一点可用来检验是否漏项.注意:①提取公因式后各因式应该是最简形式;即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的;一般要提出“-”号;使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法.①a2-b2=a+ba-b两个数的平方差;等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=a±b2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍;等于这两个数的和或差的平方.③x3-y3=x-yx2+xy+y2立方差公式3、十字相乘x+px+q=x2+p+qx+pq因式分解三要素:1分解对象是多项式;分解结果必须是积的形式;且积的因式必须是整式2因式分解必须是恒等变形;3因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;因式分解是把和差化为积的形式;而整式乘法是把积化为和差添括号法则:如括号前面是正号;括到括号里的各项都不变号;如括号前是负号各项都得改符号..用去括号法则验证。
整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。
整式有不同的运算法则,包括乘法、除法和因式分解。
以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳:1.整式的乘法:整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
在整式相乘时,需注意以下几点:-两个或多个常数相乘,结果仍是常数;-两个或多个同类项相乘,结果是它们的系数相乘,指数相加的同类项;-不同类项相乘时,按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项;-乘法运算中可以运用分配率,将一个整式乘以一个括号内的整式,再将结果分别与括号内的各项相乘,最后合并同类项得出结果。
2.整式的除法:整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式相除时,需要注意以下几点:-除法的定义:对于两个整式f(x)和g(x),若存在整式q(x)和r(x),使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x),且r(x)是0或次数低于g(x)的整式,则称g(x)是f(x)的除式,q(x)是商式,r(x)是余式;-除法的步骤:进行长除法运算,从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除,得到商式的最高次项;-对除式乘以商式后减去得到的结果,继续进行除法计算,重复以上步骤;-最后得到的商式即为整式的商,最后得到的余式即为整式的余式。
3.整式的因式分解:因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。
在进行因式分解时,需要注意以下几点:-提取公因式:当一个整式的各个项都有相同的因子时,可以提取出该因子作为公因式;-分解差的平方:对于形如a^2-b^2的差的平方,可以分解成(a+b)(a-b)的乘积;-分解一些特殊形式的整式,如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等;-假设原式可分解成两个较简单的整式,然后根据求解思路进行分解。
整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作,有广泛的应用。
在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中,都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点:1.整式的乘法:整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律:a×b=b×a-乘法的结合律:(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法:整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0,即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式:被除式=除数×商+余数3.次数与次项:整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项,次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则:-乘法规则:乘法运算时,将整式中的每一项依次相乘,然后将结果相加即可。
-除法规则:除法运算时,可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀:乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘,结果为正数。
-两个负整数相乘,结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘,结果为负数。
二、因式分解知识点:1.因式分解:因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式:提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来,分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法:配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘,通过变换形式,使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式:差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如:a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式:完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如:a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法:根据特定的公式,将整式进行因式分解。
7.分组法:将整式中的项分为两组,分别提取公因式,然后进行配方法或其他操作,将整式进行因式分解。
整式的乘除知识点1.整式的乘法(1)单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例题: (1)计算①()()=-y x xy 2232 ②()=⋅⋅-y x xy n 35 ③()2102⨯()=⨯⨯61015(2)单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。
(1)计算①()222y xy x xy ++ ②()c b a a a 54323+-- (2)已知()()26312523=-+-⋅a a a a ,则a= 。
(3)多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+b )(m+n)=am+bm+an+bn(1)计算①(2x-3y )(4x+5y)= ②2(2a-5)(1232+-a a )= (2)化简()()()()3134-----a a a a ,并计算当31=a 时的值。
(3)如果12=+a a ,那么(a-5)(a-6)= 。
2.乘法公式(1)平方差公式:两数和乘以这两数的差,等于这两个数的平方差。
()()22b a b a b a -=-+(1)计算①(4x+5y)(4x-5y) ②(-4x-5y)(-4x+5y) ③(m+n+p)(m+n-p)④ m+n-p)(m-n+p) ⑤()()2222b a b a -+ ⑥()()()()4422b a b a b a b a ++-+ ‘(2)用简便方法计算①103×97 ②31153214⨯(2)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)这两数积的2倍。
()2222b ab a b a ++=+ ()2222b ab a b a +-=-(1)计算① ()223y x + ②()223b a --③()2c b a -+ ④()()b a b a +--(2)用简便方法计算① 2299 ②2101(3)填空① ()()()+-=+22b a b a ② ()()()-+=-22b a b a③ ()()+⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+2222111a a a a a a3.整式的除法(1)单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
整式乘除知识点整式的乘除是初中数学中的重要内容,它为后续学习代数、函数等知识奠定了基础。
接下来,让我们详细地了解一下整式乘除的相关知识点。
一、整式乘法(一)同底数幂的乘法同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即:$a^m×a^n =a^{m+n}$($m$、$n$都是正整数)。
例如,$2^3×2^4 = 2^{3+4} = 2^7$。
(二)幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即:$(a^m)^n = a^{mn}$($m$、$n$都是正整数)。
例如,$(2^3)^4 = 2^{3×4} = 2^{12}$。
(三)积的乘方先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
即:$(ab)^n = a^n b^n$($n$为正整数)。
比如,$(2×3)^2 = 2^2×3^2 =4×9 = 36$。
(四)单项式乘以单项式系数与系数相乘,同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例如,$3x^2y × 5xy^2= 15x^3y^3$。
(五)单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
即:$m(a +b + c) = ma + mb + mc$。
例如,$2x(x + 2y 3) = 2x^2 + 4xy 6x$。
(六)多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
即:$(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn$。
比如,$(x + 2)(x 3) = x^2 3x + 2x 6 = x^2 x 6$。
二、整式除法(一)同底数幂的除法同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即:$a^m÷a^n = a^{m n}$($a ≠ 0$,$m$、$n$都是正整数,且$m > n$)。
例如,$2^5÷2^3 = 2^{5 3} = 2^2 = 4$。
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a (m 、n 都是正整数)②=n m a )( (m 、n 都是正整数)③=n ab )( (n 是正整数) ④=÷nm a a (a ≠0,m 、n 都是正整数,且m>n ) ⑤=0a (a ≠0)⑥=-p a (a ≠0,p 是正整数) 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
积的乘方法则:积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
例:在下列运算中,计算正确的是( )(A )326a a a ⋅= (B )235()a a =(C )824a a a ÷=(D )2224()ab a b =练习:1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是( )A .336x y x =;B .235()m m =;C .22122x x-=; D .633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是( )A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中,正确的有( )①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有( )A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1:巧妙变化幂的底数、指数 例:已知:23a =,326b =,求3102a b+的值;1、 已知2a x =,3bx =,求23a bx-的值。
知识点1:幂的运算
(1)同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即,n m n m a a a +=⋅
(2)幂的乘方法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即,mn n m a a =)(
(3)积的乘方法则:
积的乘方,等于把积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
即,n n n b a ab =)(
(4)同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即,n m n m a a a -=÷
知识点2:整式的乘法运算
(1)单项式与单项式相乘法则:
单项式与单项式相乘,只要将系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式
(2)单项式与多项式相乘法则:
单项式与多项式相乘,先用单项式分别乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。
(3)多项式与多项式相乘法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
知识点3:整式的除法运算
(1)单项式与单项式相除法则:
单项式除以单项式,只要将系数、相同字母的幂分别相除,对于只在一个被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式
(2)多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先用多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
知识点4:乘法公式
(1)两数和乘以这两数的差公式(又叫做:平方差公式):22))((b a b a b a -=-+
(2)两数和的平方公式(又叫做:完全平方和公式):2222)(b ab a b a ++=+
(3)两数差的平方公式(又叫做:完全平方差公式):2
222)(b ab a b a +-=- 知识点5:因式分解
因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式,也叫分解因式。
因式分解最终结果特别注意以下几点:
第一,必须分解成积的形式;
第二,分解成的各因式必须是整式;
第三,必须分解到不能再分解为止。