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带有饱和发病率的离散SIR传染病模型的稳定性及分支问题许立滨;李冬梅;董在飞【摘要】考虑了饱和型发病率对SIR传染病模型的影响,建立了一个具有饱和型发病率的离散SIR传染病模型,利用Jury准则对线性化系统的特征根进行分析,并获得了平衡点的局部稳定性及分支点,通过选取适当的参数,运用Neimark-Sacker分支存在理论,讨论了模型的分支问题.%A discrete SIR model with saturation incidence is established to study the effect of saturation incidence.Local stability of the equilibrium and bifurcation points are obtained by using Jury criteria and investigating the linearized characteristic equation.Then bifurcation scenario is discussed by choosing the appropriate parameter and using the theory of Neimark-Sacker bifurcation.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2017(022)003【总页数】5页(P117-120,126)【关键词】饱和发病率;离散模型;阈值;稳定性;分支【作者】许立滨;李冬梅;董在飞【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O175许多学者针对连续时间下的SIS， SIR，SIRS传染病模型，给出了有关疾病传播规律的诸多研究结果[1-3] 。
传染病传播模型中的随机性因素分析随着科技的进步和人类社会的发展，传染病的传播问题逐渐引起了人们的关注。
传染病传播模型作为研究传染病传播规律的一种工具，被广泛地应用于传染病控制和预防策略的制定中。
在传染病传播模型中，随机性因素起着至关重要的作用。
本文将从传染病传播模型的随机性因素分析入手，以期加深我们对传染病传播机制的理解，为疾病的防控提供理论依据。
一、传染病传播模型传染病传播模型是用数学方法表达传染病在个体之间的传播过程，并对传播规律进行建模和分析的工具。
常见的传染病传播模型有SIR模型、SEIR模型等。
SIR模型将人群划分为易感染者 (Susceptible)、传染者 (Infectious) 和康复者/免疫者 (Recovered) 三类，通过建立微分方程，描述了个体在这三种状态之间变化的动力学过程。
传染病传播模型的建立旨在分析传播过程中的关键因素，为传染病的控制和预防提供科学依据。
二、随机性因素分析然而，传染病的传播过程并非完全受到确定性的规律所控制，随机性因素也会对传播过程产生重要影响。
随机性主要表现在以下几个方面：1. 人口移动性：人群的移动性是影响传染病传播的重要随机性因素。
人群的迁入和迁出，旅游活动，通勤行为等都会导致传染病的扩散。
人口迁徙的不确定性，使得传染病传播模型中的初始条件不确定，进而对传播结果产生影响。
2. 个体接触网络：个体之间的接触方式和频率是传染病传播模型中的另一个重要随机性因素。
个体之间的接触网络难以完全测量，其拓扑结构和网络特性的变化会使得传染病传播过程更具随机性。
3. 传染过程：传染病的传播过程本身也存在随机性。
传染的概率、传播路径和传染周期均受到随机性因素的影响。
个体之间的接触传染概率、病毒的变异等都会引入随机性，影响传播模型的准确性。
三、随机性对传播模型的影响传染病传播模型中的随机性因素会对传播过程的模拟和预测产生重要影响。
具体来说，随机性会在以下几个方面对传播模型产生影响：1. 模型准确度：传播模型的准确性受到随机因素的限制。
传染病的传播模型与传播速率选择分析随着全球化进程的加速，传染病的传播成为一个全球性的问题。
了解传染病的传播模型和传播速率对于制定有效的防控策略至关重要。
本文将针对传染病的传播模型进行分析，并研究不同传播速率对疾病传播的影响。
一、传染病的传播模型传染病的传播模型通常采用流行病学模型进行描述。
其中最常用的是SIR模型，即易感者(susceptible)、感染者(infected)和康复者(recovered)。
该模型假设人群中的个体可以划分为这三个状态，并且通过接触而进行疾病传播。
SIR模型的基本方程可以表示为：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，β表示传染率，γ表示康复率。
通过该模型，我们可以预测传染病在人群中的传播趋势以及最终的传播结果。
二、传播速率的选择传播速率是指传染病在人群中的传播速度。
传播速率与传染率、康复率以及人群的接触频率等因素有关。
在选择传播速率时，应该考虑以下几个方面：1. 传染性：不同传染病的传染性有差异，应该根据具体疾病的特点来确定传播速率。
例如，传染性较高的疾病可能需要较大的传播速率，以便更准确地预测疫情。
2. 应对能力：传播速率的选择还与人群对疾病的应对能力相关。
如果人群的医疗资源有限，传播速率应该适当调整，以减轻医疗系统负担。
在此基础上，还应考虑传播速率对社会经济发展的影响。
3. 预测准确性：传播速率与传染病的预测准确性密切相关。
较高的传播速率可能意味着更准确的预测结果，从而帮助决策者更好地制定防控策略。
三、传染病传播模型与传播速率的选择分析实例以流行性感冒为例，假设流感的传播周期为5天，传染率为0.03，康复率为0.1。
则选择传播速率为β=0.03可以较好地预测流感的传播情况。
如果将传播速率增加至β=0.05，则预测结果可能会更准确，但这同时也增加了防控的难度。
在选择传播速率时，还需要考虑疾病的传播方式和特点。
例如，空气传播的疾病可能需要较高的传播速率，而通过接触传播的疾病则可以选择适度的传播速率。
一类具有饱和传染率的SVEIR传染病r模型的定性分析吴梦媛;孙法国;陈瑶【摘要】建立带有接种的SVEIR传染病模型,得到基本再生数R 0,并讨论平衡点的存在性.通过构造Lyapunov函数及利用LaSalle不变原理,研究连续接种对传染病传播的影响.发现传染病模型的全局稳定性由基本再生数R 0决定,当R 0<1时,无病平衡点全局渐近稳定.当R 0>1时,地方病平衡点全局渐近稳定.接种是控制疾病传播的有效途径.%The SVEIR infectious disease model with vaccination is established,the basic repro-duction number is obtained,and the existence of the equilibrium point is discussed.The effects of continuous vaccination on infectious diseases by constructing Lyapunov function and the La-Salle's invariance principle.It is pointed out that the basic reproduction number R 0 determines the global stability of the epidemic model.When R 0 <1,the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable.When R 0 > 1,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. The results show that continuous vaccination is an effective way to control the disease.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2017(031)005【总页数】7页(P706-712)【关键词】连续接种;饱和发生率;基本再生数;全局稳定性【作者】吴梦媛;孙法国;陈瑶【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048【正文语种】中文【中图分类】O175利用数学模型来描述传染病的发展动态是一种应用广泛的方法,其中接种是预防和控制疾病传播最有效的方法之一[1-4].文献[5-7]假设个体接种后会具有终身免疫,即终生不会被感染.但对于麻疹、风疹、百日咳等疾病,个体接种后获得的免疫力会逐渐下降,且随着免疫力的丧失,接种者会再次成为易感者,因此需要对个体进行连续接种.文献[8-10]均考虑到免疫丧失这一因素，研究了简单的SIV传染病模型,文章考虑的免疫丧失率为常数.考虑到免疫完全丧失是个逐渐积累的过程,在此基础上,文献[11-15]把免疫的丧失看作一个连续变化的函数进行研究.文献[11]研究了带有接种的SIS传染病模型,结果表明在有限的医疗设施情况下,通过免疫接种来降低阈值R0的值,对未曾接种的易感者以及接种失败者会带来较高的危险.因为随着医疗的发展,对人群进行连续接种也变得普遍,所以在较大程度上解决了文献[11]提出的风险,故考虑连续接种是有必要的.因为人群的密集及疾病的传染力不同,其用到的传染率系数也会发生变化.双线性和标准型是两种典型的传染率,双线性发生率一般针对于人口数量较小、传染性很强的疾病,例如H5N1、SARS、手足口病等,考虑到单位时间内一个病人所能接触到的人口数目是有限的,这样与人口成正比的接触率就不符合实际情况,所以文献[16-18]分别运用不同类型的发生率来建立模型.文献[19]研究了具有接种的SVEIR模型的传染病,由于其未考虑免疫丧失的连续性这一条件,故在以上文献的启发下,本文研究了一类具有饱和发生率的SVEIR传染病模型,并且把免疫的丧失看作一个连续变量来考虑.假设把总人口N(t)分为易感者、接种者、潜伏者、感染者和恢复者5个仓室,分别用S,V,E,I,R表示.在t时刻易感者、接种者、潜伏者、感染者以及恢复者人群的数量分别用S(t),V(t),E(t),I(t)和R(t)表示.根据疾病的传播机理建立式(1)的SVEIR传染病模型：其中:在模型中,Λ表示该人群的常数输入率,且假设输入的都是易感者;μ表示个体的自然死亡率;ξ表示易感者的接种率;V(θ,t)表示在t时刻接种仓室内接种年龄的密度分布,即t时刻接种者仓室里的接种总人口是V(θ,t)dθ.α(θ)表示免疫丧失率,α(θ)=0时表示接种完全有效,这里假设0<α(θ)<1,也就是说接种不是完全有效的,进而需要对接种者进行连续接种;δ表示潜伏者成为感染者的转化率;pγ表示感染者因病毒导致的死亡率;(1-p)γ表示感染者的恢复率,其中0<p<1,其它各项参数均为正常数.利用Volterra积分方程,令系统(1)的第二个方程沿着特征线t-θ=c(c为常数)积分,得其中：考虑到实际意义,只对t>θ≥0进行研究.由文献[20]知系统(1)中的第一个方程式可写为其中：Γ(θ)=ξα(θ)Γ0(θ).模型(1)的动力学性态等价于为了在后面的讨论中方便,做以下的记号:Γ0的生物学意义是接种者在V仓室里的平均时间.接种者以两种方式离开V仓室:自然死亡μ Γ0和免疫力完全丧失1-μΓ0,其中ξ(1-μ Γ0)是由于免疫力丧失进入易感者仓室的人均比率.令N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+V(θ,t)dθ,则满足条件(2)时有≤A-dN,且由此知模型(5)的正向不变集为以下的讨论都是在可行域W中进行.由文献[21]可以求出模型(5)的基本再生数R0=.定理1 模型(5)始终存在一个无病平衡点P0(S0,0,0);当R0>1时,模型(5)在W的内部还存在唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*).证明很容易看出,模型(5)总存在一个无病平衡点P0=(S0,0,0),其中S0=;地方病平衡点P*(S*,E*,I*)满足方程组由方程组(7)的第2和第3个方程式,得把式(8)带入模型(7)中第1个方程记由表达式知g(I)在[0,+∞)关于I单调递减,且有所以R0<1时,g(I)<0,方程(9)无正解,从而模型(5)仅存在无病平衡点P0;R0>1时,g(I)存在唯一的正解I*.结合式(11)和(12)可知模型(5)在区间上有唯一正平衡点P*=(S*,E*,I*).定理2 当R0<1时,模型(5)的无病平衡点在W上全局渐近稳定;当R0>1时,模型(5)的无病平衡点在W上不稳定.证明方程组(5) 在无病平衡点处的雅克比矩阵为其特征方程为记由根与系数的关系知:当R0>1时,二次函数H(λ)=0至少有一个正实根,故无病平衡点P0不稳定;当R0<1时,二次函数H(λ)=0只存在负实根.假设λ+μ+ξ-exp(-λθ)Γ(θ)dθ=0有正实根.由Γ(θ)和Γ0(θ)的表达式知：这是矛盾的,故式(13)的所有特征根均具有负实部.因此当R0<1时,在W中是局部渐近稳定的.假定(S(t),E(t),I(t))是满足方程组(5)以及初始条件的任意解.考虑函数由g(x)=x-1-lnx≥0(x∈R+)知,则在P0处是正定的.构造Lyapunov函数利用等式则L1关于式(5)的全导数为把Λ=(μ+ξ)S0-Γ(θ)S0dθ带入,得因为ln-+1≤0(当且仅当S(t-θ)=S(t)时等式成立),所以当R0<1时<0,且在其最大不变集W内有唯一解{P0}.由LaSalle不变原理知无病平衡点是全局渐近稳定的. 定理3 当R0>1时,模型(5)的地方病平衡点P*(S*,E*,I*)在W上全局渐近稳定.证明设(S(t),E(t),I(t))是系统(5)的任意正解.考虑正定函数:构造Lyapunov函数:θ.L2关于式(5)的全导数为其中：Λ=+(μ+ξ)S*-Γ(θ)S*dθ, =(μ+δ)E*, δE*=(μ+pγ)I*.由>,+·++≥4和1+lnx-x≤0可知,当且仅当S(t)=S*,E(t)=E*,I(t)=I*和θ=0时等式成立.综上可知≤0,且只有在地方病平衡点P*(S*,E*,I*)处等式成立.在中P*(S*,E*,I*)是唯一的正平衡点,由LaSalle不变原理知在R0>1时地方病平衡点P*是全局渐近稳定的.取疾病的饱和发生率中m=0.001,对此模型进行数值模拟.首先取参数Λ=1,μ=0.02,ξ=0.95,Γ0=0.1,β=0.000 003,δ=0.01,α=1.01,γ=0.000 4.由定理2可知,无病平衡点全局渐近稳定.在图1中,取不同初始值做数值模拟,不难看出无病平衡点是全局渐近稳定的.令β=0.000 3,μ=0.046,ξ=0.05,δ=0.001,其他参数不变,由定理3可知,地方病平衡点全局渐近稳定.在图2中,取不同初始值做数值模拟,易看出地方病平衡点是全局渐近稳定的.本文讨论了接种以及免疫丧失对传染病的影响,给出了基本再生数R0的具体表达式,并且证明当R0<1时无病平衡点全局渐近稳定;当R0>1时地方病平衡点全局渐近稳定.无接种时基本再生数RNV=,通过比较可知R0<RNV.因为基本再生数代表着一个病人在平均患病期内所传染的人数,由两者的大小关系可知接种能够有效减小基本再生数,所以接种是控制疾病传播的有效途径.数值实验说明,通过适当的调整参数,可以得到无病平衡点和地方病平衡点的稳定性.E-mail:****************WU Mengyuan,SUN Faguo,CHEN Yao.An analysis of a SVEIR epidemic model with saturation incidence rate[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2017，31(5)：706-712.【相关文献】[1] HABER M,LONGINI I M,HALLORAN M E.Measures of the effects of vaccination in a randomly mixing population[J].International Journal of Epidemiology,1991,20(1):300-10.[2] SHULGIN B,STONE L,AGUR Z.Pulse vaccination strategy in the SIR epidemicmodel[J].Bull Math Biol,1998,60(6):1123-1148.[3] IANNELLIA M,MARTCHEVAB M X.Strain replacement in an epidemic model with super-infection and perfect vaccination[J].Mathematical Biosciences,2005,195(1):23-46.[4] COUTINHOABREU I V,RAMALHOORTIGAO M.Transmission blocking vaccines to control insect-borne diseases-a review[J].Memorias Do Instituto OswaldoCruz,2010,105(1):1-12.[5] PEI Y Z,LIU S Y,CHEN L S.Two different vaccination strategies in an SIR epidemic model with saturated infections force[J].International Journal of Biomathematics,2012,1(2):147-160.[6] BUONOMO B,D′ONOFRIO A,LACITIGNOLA D.Global stability of an SIR epidemic model with information dependent vaccination[J].Mathematical Biosciences,2008,216(1):9-16. 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SIR传染病模型1.SIR传染病模型是⼀种常微分⽅程模型。
⽤于描述可治好，且治好之后不再感染的传染病的情况。
如⿇疹，疟疾等。
2.具体假设：它把⼀定封闭区域的全部⼈分成3种，分别是S,I,R。
S是易感种群，他们是没有感染的⼈，但易被感染。
I是已感种群，他们是当前感染的⼈，可成为康复者。
R是已愈种群，他们是之前感染，现已康复的⼈。
⽅程组1：S'=-bSI （1）I'=bSI-vI （2）R'=vI （3）（1）说明S减⼩的速率S'与S成正⽐，也就是易感种群更⼤，感染疾病的可能性更⼤。
⽽与I成正⽐这是显然的，另外b是感染系数，与疾病本⾝有关。
（2）bSI可以看成是输送到I的速率，vI可是看成从I输送到R的速率。
（3）R增⼤的速率与I成正⽐，这与实际也是⼀样的，v是康复系数，与治疗⽔平有关。
于是这⾥有(S+I+R)'=0,从⽽N=S+I+R是⼀个常数，它是区域⼈⼝的⼤⼩。
由⽅程组1，我们得到如下式⼦：I'/S'=-1+v/(bS)于是⼜有dI/dS=-1+v/(bS)从⽽有I=I(S)=-S+v/b*lnS+C(C是常数)通过求出I(S)的导数我们得到I(S)的稳定点是S=v/b3编程我们⽤matlab画出I(S)的图像：%先给出3个数据v0=.1;b0=.1;C0=3;I=@(S,v,b,C)-S+v/b*log(S)+C;%这⾥创建函数fplot(@(S)I(S,v0,b0,C0),[0 5])%这⾥画主图xlabel S% x轴ylabel I% y轴hold on; %还画其它fplot(@(x)0,[0 5])%画I=0这⼀直线x=[v0/b0;v0/b0];y=[0;I(v0/b0,v0,b0,C0)];line(x,y)%画S=v/b这⼀直线4分析由图像可以看出3个染病阶段，⼀开始S很⼤，I=0;然后S变⼩，I上升到峰值;最后S再变⼩，I回到0;可以看出，稳定点S=v/b的数值对传染病的蔓延程度肆虐与否起了⾄关重要的作⽤。
传染病的传播模型与分析传染病是指通过接触、空气传播、飞沫传播等途径从一个人传播到另一个人的疾病。
了解传染病的传播模型以及相应的分析方法对预防与控制传染病具有重要意义。
本文将探讨传染病的传播模型以及常用的分析方法。
一、传染病的传播模型1. SIR模型SIR模型将人群分为易感者(Susceptible)、感染者(Infectious)和康复者(Recovered)三个互不重叠的类别，描述了传染病在人群中的传播过程。
在这个模型中，一个人从易感者状态转变为感染者状态后再转变为康复者状态，整个过程是一个动态的流程。
2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了一个潜伏期状态(Exposed)，即感染者已经被病原体感染但尚未表现出明显症状。
该模型可以更准确地描述某些疾病的传播特征，例如新冠病毒。
3. 网络传播模型网络传播模型基于人与人之间复杂的联系，将人与人之间的接触关系表示为网络结构，从而可以更好地研究疾病在社交网络中的传播过程。
该模型为防控传染病提供了新的思路和方法。
二、传染病的分析方法1. 流行病学调查流行病学调查是研究传染病传播规律的核心方法之一。
通过对患者、病原体、传播途径等进行全面的调查，可以了解感染源、传播途径、传染力大小等信息，从而为疫情防控提供科学依据。
2. 数学模型数学模型是传染病研究中常用的工具之一。
基于传染病的传播机理以及传染力大小等参数，可以建立相应的数学模型，并通过模型推导出预测结果，如疫情的发展趋势、传播速度等。
常用的数学模型包括微分方程模型、积分方程模型、格点模型等。
3. 统计分析统计分析是对大量传染病数据进行处理和分析的重要手段。
通过对病例数据进行整理、汇总和统计，可以得到病例分布、死亡率、复发率等重要指标。
同时，还可以运用统计学方法对数据进行建模和预测。
4. 传播网络分析传播网络分析是一种基于网络结构的方法，可以研究传染病在社交网络中的传播特征。
通过分析网络拓扑结构、节点特征以及传播路径等信息，可以发现传播的薄弱环节和高风险群体，并制定有针对性的防控策略。
一类具饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型的分析杨俊仙;闫萍【摘要】A delayed SEIR epidemic model with saturation incidence rate is proposed and analyzed,and the basic reproductive number R0 is defined.By analyzing the corresponding characteristic equations,the local stability of a disease-free equilibrium P0 and an endemic equilibrium P* are discussed.Further,by the comparison principle and constructing Lyapunov functions,it is found that if R0 <1 ,the disease free equilibrium P0 is globally asymptotically stable,and ifR0 >1 ,the endemic equilibrium P* is permanent.%提出并分析了一类具有饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型，定义了基本再生数 R0。
通过分析系统对应的特征方程，得到了无病平衡点 P0和地方病平衡点 P*的局部渐近稳定性。
进一步，通过比较原理和构造李雅普诺夫函数，得出：当 R0＜1时，无病平衡点 P0是全局渐近稳定的；当 R0＞1时，地方病平衡点 P*是持久的。
【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P51-55)【关键词】SEIR 传染病模型;饱和发生率;时滞;基本再生数;全局稳定性【作者】杨俊仙;闫萍【作者单位】安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O175.13传染病是危害人类身体健康，威胁人类生命安全的重要疾病[1]。
具有饱和接触率和垂直感染的SIR模型全局分析作者：胡新利， 孙法国， 王彩霞作者单位：西安工程大学理学院,陕西,西安,710048刊名：纺织高校基础科学学报英文刊名：BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTILE UNIVERSITIES年，卷(期)：2010，23(1)被引用次数：0次1.KERMARK M D,MCKENDRICK A G.Contributions to the mathematical theory of epidemics[J].Proc Roy Soc A:Part I,1927,115(5):700-721.2.马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.3.LI M Y,MULDOWNEY J S.Global stability for the SEIR model in epidemiology[J].Mathematical Biosciences,1995,125:155-168.4.ZHANG Juan,MA Zhien.Global dynamics of an SEIR epidemic model with Saturating contactrate[J].Mathematical Biosciences,2003,185:15-32.5.马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.1.期刊论文岳宗敏.李莉.YUE Zong-min.LI Li具Holling功能反应的食饵—捕食者两种群模型的极限环的唯一性-西安科技大学学报2007,27(1)研究了一类具有Holling功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性问题,其中模型中的食饵具有非线性的密度制约.通过分析平衡点以及构造Dulac函数给出了系统不存在极限环的条件,最后运用张芷芬唯一性定理的证明了该系统极限环的存在唯一性.2.期刊论文岳宗敏.胡志兴.YUE Zong-min.HU Zhi-xing一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的极限环的唯一性-生物数学学报2005,20(2)考虑具有功能反应的食饵-捕食者两种群模型:x=x(a-bx1/2-h(x))-cyx1/2,y=y(-d+ecx1/2).对该系统给出了完整的定性分析,证明了该系统极限环的存在与唯一性.3.期刊论文刘启宽.张兆强.陈冲一类具有功能反应的食饵-捕食模型的定性分析-重庆理工大学学报（自然科学版）2010,24(1)研究一类具有功能反应的食饵-捕食者系统平衡点及极限环的定性行为,得到正平衡点的稳定性,并且利用Dulac函数讨论极限环的存在性,得到此系统没有极限环的结论,进一步获得食饵种群密度与捕食者种群密度的依赖关系.4.期刊论文米晓丽.贾建文.MI Xiao-li.JIA Jian-wen一类含脉冲接种且总人口在变化的传染病模型的渐近分析-苏州科技学院学报（自然科学版）2009,26(1)讨论了一类具有比例接种和脉冲接种的传染病模型的渐近性态,给出了对疾病传播有重要影响的基本再生数.在连续预防接种下,利用广义的Dulac函数的方法证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性,对脉冲接种下的SISV传染病模型,证明了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性.5.期刊论文李益群.任谨慎.李建全.LI Yi-qun.REN Jin-shen.LI Jian-quan一类带有一般出生率的SIS传染病模型的全局分析-数学的实践与认识2009,39(23)将一般出生率系数引入SIS传染病模型,得到了种群灭绝和疾病灭绝的阈值条件.分别借助stokes定理和Dulac函数对染病者的数量模型和染病者在种群中所占比例的模型进行了讨论,得到了相应模型的全局动力学行为.6.期刊论文郑冬梅.鲁世平.ZHENG Dong-mei.LU Shi-ping一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析-杭州师范大学学报（自然科学版）2009,1(1)研究一类具有功能反应的食饵一捕食者系统平衡点及极限环的定性行为,得到正平衡点的稳定性,并利用Dulac函数讨论系统极限环的存在性,得到系统有无极限环的充分条件,进一步获得食饵种群密度与捕食者种群密度依赖关系.7.期刊论文杨秀香.YANG Xiu-xiang生态环境受污染的单种群持续生存的研究-科学技术与工程2008,8(15)利用微分方程的定性与稳定性理论以及种群动力学理论建立了在污染环境中单种群的数学模型.利用Dulac函数方法推断了模型在地方病平衡点的全局稳定性充分条件,并从生态学的角度对模型进行了生物解释.8.学位论文董霖具有非线性传染率的传染病模型研究2008本文研究了具有非线性传染率的四类传染病模型：首先，研究了一类易感者、潜伏者和染病者均有常数输入，且传染率是非线性传染率βf(S)I的SEIR传染病模型．研究表明此时系统不存在无病平衡点，只存在唯一一个地方病平衡点．利用Hurwitz判别法证明了地方病平衡点的局部稳定性，进一步利用Li和Muldowney[1]所发展的几何方法证明了地方病平衡点的全局稳定性．其次，研究了两类SIQR传染病模型，第一类为各仓室均有常数输入(除了隔离仓室)，且传染率为一般形式非线性饱和传染率的SIQR模型，第二类为具有强非线性传染率的SIQR模型．对第一个模型，当不考虑隔离者的因病死亡时，引入变量代换将四维模型转化为二维渐近自治系统，而后利用Dulac函数和极限方程理论证明了地方病平衡点的全局稳定性．对第二个模型，运用Hurwitz判别法分析了各平衡点的局部稳定性，发现了在一定的条件下，该模型会发生Hopf分支产生周期解，进一步我们应用Dulac函数和极限方程理论证明了当0<p≤1时地方病平衡点的全局稳定性．最后，研究了一类易感者和染病者均有常数输入，疾病具有垂直传染，且传染率是一般形式非线性饱和传染率的SIRI传染病模型．结果表明此时系统不存在无病平衡点，只存在唯一一个地方病平衡点．利用Hurwitz判别法证明了地方病平衡点的局部稳定性．当传染率为双线性传染率和标准传染率时，利用广义Bendixson-Dulac定理排除了三维系统的周期解，从而证明了地方病平衡点的全局稳定性．9.期刊论文李建全.杨有社.杨国平一类SIS流行病传染模型的全局分析-空军工程大学学报(自然科学版)2002,3(5)对一类具有非常数输入的SIS流行病传染模型进行分析,得到该模型解的性态和各类平衡点存在的阈值条件,通过分析各平衡点的局部稳定性和构造Dulac函数,证明了各类平衡点的全局稳定性.10.学位论文梁志清Leslie捕食者-食饵模型的进一步研究2008近年来，捕食关系是数学与生态学界研究的一个主要课题。
具有饱和发生率的随机SEIRS传染病模型的遍历性与灭绝性热木孜亚·热布哈提;张学良;滕志东【摘要】文章研究了一类具有总人口数变化的且具有饱和发生率的随机SEIRS传染病模型,并且得到了该模型的灭绝性和存在独立的平稳分布的充分条件.%The present paper studies a stochastic SEIRS epidemic model with saturated incidence rate in a population of varying size.Sufficient conditions for the extinction and the existence of a unique stationary distribution are obtained.【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(034)002【总页数】6页(P146-151)【关键词】SEIRS传染病模型;Lyapunov函数;随机扰动;随机稳定性【作者】热木孜亚·热布哈提;张学良;滕志东【作者单位】新疆医科大学医学工程技术学院,新疆乌鲁木齐830011;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆医科大学医学工程技术学院,新疆乌鲁木齐830011;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O175.140 IntroductionMathematical epidemiology is the study of the spread and control of infectious diseases with the objective of tracing factors that contribute to their dynamics.In the natural world,for some diseases(for example,tuberculosis,in fluenza,measles)on adequate contact with an infective,a susceptible individual becomes exposed,that is,infected but not infective.This individual remain in the exposed class for a certain latent period before becoming infective[1-3].Hence,it is realistic to introduce an extra class,the class of exposed hosts to the system.The resulting model is calledSEIR(susceptible,exposed,infectious,recovered)model.The SEIR infectious disease model is very important and has been studied by manyauthors[4,5].We assume that average duration of the latent state is,and that transmission of the infection is governed by a saturated incidence rateThen the basic SEIR model is described by the following ordinary differential equations:where λ is the birth rate,dS,dE,dIand dRare the natural death rates of S,E,I and R,respectively. δ is the additional disease-caused rate suffered by the infectious individuals,and γ is the recovery rate of infectious individuals.Throughout this paper,we assume that the parameters are all positive.Since the dynamics of R has no effects on the transmission dynamics,the last equations of model(1)can be omitted in analysis.Obviously,model(1)has only two kinds of equilibria:the infection-free equilibrium E0=(,0,0,0)and the endemic equilibrium E∗=(S∗,E∗,I∗,R∗).Global behavior of these equilibrium crucially depends on the basic reproduction number,that is an average number of secondary casesproduced by a single infective introduced into an entirely susceptible population.(see[6])In this paper,we assume that model(1)is stochastically disturbed by environmental white noise.The random disturbance causes the data change of the variables S,E,I,R and those intensities of the noise are proportional to the number of S,E,I,R.Therefore,from model(1)we can obtain the following multigroup stochastical SEIR type epidemic modelwhere B1(t),B2(t),B3(t),B4(t)and B5(t)are independent standard Brownian motions and σi ＞0(i=1,2,… ,5)a re nonnegativeandreferredastheir intensitiesofstochasticnoises which are used to describe the volatilityof perturbation.In this paper,we firstly will study the existence of global positive solutions of model(2)with any positive initial value in probability meaning.Next,by using the Lyapunov functions method,Itˆo’s formula and the theory of stochastic analysis,we will study the asymptotic behaviors of positive solutions of model(2)around the disease-free equilibrium and endemic equilibrium of corresponding deterministic model(1).Finally,by using the theory of stationary distributions of stochastic process we will study the existence of the stationary distribution of model(2).The paper is organized as follows.In Section 1,we introduce some necessary de finitions and several useful lemmas which will be used.In Section 2,we show that model(2)has a unique positive solution de finedon[0,∞)for any positive initial values.In Sections 3 and 4,the sufficient conditions on the asymptotic behavior of positive solutions ofmodel(2)around the disease-free equilibrium and endemic equilibrium of the corresponding deterministic model are stated and proved.Finally,in Section 5 we close the paper with a discussion.1 PreliminariesNext,we introduce some nations and results of graph theory(see[4]).A directed graph g=(V,E)contains a set V={1,2,...,n}of vertices and a set E of arcs(k,j)leading from initial vertex k to terminal vertex j.A subgraph H of g is said to be spanning if H and g have the same vertex set.A directed digraph g is weighted if each arc(k,j)is assigned a positive weight akj.Given a weighted digraph g with n vertices,de fine the weight matrixA=(akj)n×nwhose entry akjequals the weight of arc(k,j)if it exists,and 0 otherwise.A weighted digraph is denoted by(g,A).A digraph g is strongly connected if for any pair of distinct vertices,there exists a directed path from one to the other and it is well known that a weighted digraph(g,A)is stronly connected if and only if the weight matrix A is irreducible[6].The Laplacian matrix of(g,A)is de fined byFurther,let ck(1≤k≤n)denote the cofactor of the k-th diagonal element of LA.The following lemmas are classical results of the graphtheory(See[4,5])which will be used later.Lemma 1 Let A is nonnegative and irreducible.Then spectral radius ρ(A)of A is a simple eigenvalue of A,and A has a positive left eigenvector ω=(ω1,… ,ωn)corresponding to ρ(A).Then the following statements hold:(1)When R0≤1,model(1)has a unique disease-free equilibriumE0(S0,0,0,0)which is globally stable.(2)When R0 ＞ 1,model(1)has a unique endemic equilibriumE∗(S∗,E∗,I∗,R∗)which is globally stable,where E∗satis fies the following equationFor deterministic model(1)we haveLemma 2 (See[6,7])The basic reproduction number is2 Existence of the global and positive solutionIn this section,using Lyapunov method([8-10]),we show the solution of system(2)is positive and global.Theorem1 ForanyinitialvalueX0=(S0,E0,I0,R0)∈,model(2)hasauniquesolution X(t)=(S(t),E(t),I(t),R(t))de fine for all t≥ 0 and the sol ution will remain in ℜ4+with probability 1. ProofSincethecoefficientsofsystem(1)arelocallyLipschitzcontinuous,foranyinitialv alue X0=(S0,E0,I0,R0)∈R4+,there is a unique local solutionX(t)=(S(t),E(t),I(t),R(t))on[0,τe),where τeis the explosion time(Mao[8]).To show that this solution is global,we need only to prove that τe= ∞ a.s.Let k0＞0 be enough large such that each component of X0is no large than k0.For each integer k≥k0,de fine the stopping timewhere throughout this paper we set infØ=∞.Obviously,τkis increasing as k→∞.Set τ∞ =limk→∞τk,then,we have τ∞≤τea.s.De fine C2function V:Using Ito’s Formula,we getwhereFor any k≥k0,there exists T＞0 such that τk∈(0,T∧τk].By the generalized Itˆo’s formula,we get for any t∈(0,T∧τk]Let k→∞,then t→∞,it follows that limk→∞P(τk≤T)=0,therefore,P(τ∞≤T)=0.Since T ＞0 is arbitrary,it results inand the theorem is proved.3 Asymptotic behavior around disease-free equilibrium of model(1) Theorem 2 Let X(t)=(S(t),E(t),I(t),R(t))be the solution of the system(2)with initial value X0=(S(0),E(0),andProof Considering positive de finite C2-function V:R4+→R+such thatwhereBy the Itoˆ’s formula,we getwhereBy integration and taking expectation on both sides of(4),from(5)we obtainHenceThis completes the proof.Remark 1 From Theorem 2,we see that under some conditions the solution of model(2)will oscillates around the disease-free equilibrium of deterministic model(1),and the intensity of fluctuation is only relation to the intensity of the white noise Bk(t),k=1,2,but do not relation to the intensities of the other white noises.In a biological interpretation,as the intensity of stochastic perturbations is small,the solution of model(2)will be close to the diseasefree equilibrium of model(1)most of the time. Remark 2 Be sides,if σ1=0,σ5=0,then model(2)becomes intoObviously,E0is also the disease-free equilibrium of model(6).From the proof of Theorem 2,we getwhich is negative de finite ifTherefore,as a consequence of Theorem 2 we have the following result.Corollary 1 If R0≤1 and condition(7)holds.Then disease-free equilibriumE0of model(6)is globally stochastically asymptotically stable.4 A sufficient condition for the stationary distributionFor model(2),we see that there is not any endemic equilibrium.Therefore,in order to study the persistence of disease in model(2),we need to study the asymptotic behavior of the endemic equilibrium of model(2)which is surrounding the deterministic model(1),we obtain the following result: Theorem 3 Let(S(t),E(t),I(t),R(t))be the solution of the system(2)with initial value(S(0),E(0),I(0),R(0))∈andwhereThen there exists stationary distributionµ,and solution(S(t),E(t),I(t),R(t))of model(2)is ergodic.Remark 3 We havebesidesThereby,condition(9)is verified for sufficiently small environmental noises. Proof De fine positive functionwhereBy the Itˆo’s formula,we getmultiplying appropriately by coefficients of(11)determined in(10),we obtainTherefore,by[11],model(2)has a unique stationary distributionµin R4+.5 Concluding remarksThis paper presented a mathematical study describing the dynamical behavior of an SEIRS epidemic model in computer network.Our purpose was based on analyzing this behavior using both a deterministic model and a stochastic one.In[7]author proved that the deterministic model has unique endemic equilibrium which is globally stable if the reproduction number R0is greater than one;this means that the disease will persist at the endemic equilibrium level if it is initiallypresent.Furthermore,concerning the stochastic model,we obtained sufficient conditions for stochastic stability of the endemic equilibriumE∗by using a suitable Lyapunov function and other technics of stochastic analysis.The investigation of this stochastic model revealed that the stochastic stability of E∗depends on the magnitude of the intensity of noise as well as the parameters involved within the model system.Our work shows the stochastic differential equations give another insight into modeling epidemic dynamics.It displays a different perspective to this particular problem.Especially,we obtain the ergodicity of stochasticsystems which is usually used in statistical inference of unknown parameters in stochastic differential equation.Thus,it gives us the motivation to investigate the stability of stochastic systems. 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