随机多种群易感者、感染者和移出者传染病模型的阈值

传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字:传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。

但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。

20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。

还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。

长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，病人人数的增加，就有到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx==λ方程（1）的解为 )2()(0te x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律,建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。

本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述,且针对甲流,SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。

本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系,并在此基础上建立方程求解算法。

然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果,从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。

同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作.关键词：传染病模型,简单模型，SI,SIS，SIR,微分方程，Matlab。

一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型,利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究,以期对其传播蔓延进行必要的控制,减少人民生命财产的损失。

考虑如下的几个问题,建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望.1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病,而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系,并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭)进行预测.二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决.2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？问题分析：关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。

但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。

20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。

长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

数学建模模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，增加，就有病人人数的到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx ==λ方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

具移民输入和时空时滞的非局部扩散传染病模型的行波解张丽娟; 王福昌【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2019(034)004【总页数】13页(P429-441)【关键词】移民输入; 非局部扩散; 行波解; Schauder不动点定理; 传染病模型【作者】张丽娟; 王福昌【作者单位】防灾科技学院河北三河 065201【正文语种】中文【中图分类】O175.14§1 引言传染病的数学模型研究从经典的“仓室”模型开始,已有大量的研究成果,许多传染病随着种群人员流动而扩散,故需要考虑空间因素的影响[1-3].最近很多学者采用积分算子来描述物种或疾病的扩散现象[4-5].Yang[5-6]等考虑了带有非局部扩散的传染病模型的行波解.Kendall[7]考虑了依赖空间的积分微分方程,即将模型中的线性发生率βSI换成具有积分形式的发生率:βSI(x,y)K(x−y)dy,其中核函数K(x−y)≥0表示位置y处染病个体对位置x处的易感个体的影响,且满足K(x−y)dy=1.另外,时滞的影响在分析传染病传播过程中也不可忽视[8-11].综合考虑上述因素结合文献[6]和文献[12],本文考虑一个更一般形式的具有移民输入和时空时滞的非局部扩散传染病模型:模型中传染力用βI/(1+αI)表示,这种传染率的重要性在于感染者和易感者的有效接触率将随着种群的拥挤作用或易感者采取保护措施而趋于饱和.di(i=1,2,3)表示三种状态人群的扩散系数,A表示种群输入率,β表示疾病的传染力,µ为种群自然死亡率,†为患病者因病死亡率,γ表示感染者的恢复率,G∗I(x,t)=,H>0是疾病的潜伏时间,表示易感者受到感染后变为感染者的最长潜伏时间[13-14],G(y,s)表示位置y处t−s时刻的感染者对位置x处t时刻易感者的影响.假设核函数J(x),G(x)满足下面条件:A1 J∈C1(R),J(x)=J(−x)≥0,J(x)dx=1且J具有紧支集.A2对∀(y,s)∈R×[0,H],G(y,s)是非负可积函数,且关于变量y是Lipschitz连续的.满足受文献[12]的启发,当R0=Aβ/µ(γ + µ+ †)>1,c>c∗ (c∗定义见引理1),通过在有界区域上构造一个初始函数的不变锥,利用Schauder不动点定理证明在该锥上存在不动点,得到行波解的存在性.§2 行波解的存在性本节给出系统(1)行波解存在性证明,即寻找形如(S(x+ct),I(x+ct),R(x+ct))的解.令x+ct,得系统(1)的行波方程:其中假设初始平衡点为(S0,0,0),其中S0>0.考虑模型(2)满足以下边界条件的非负解:另外,若R是有界的,则R(ξ)存在且R(+∞)=首先,对∀λ,c>0,定义函数通过计算可得∀c>0,另,对给定的λ>0有引理1 设R0=>1,则有c∗>0 和λ∗>0,使得 =0 且f(λ∗,c∗)=0成立,并且有下列结论:A1 当c>c∗时,方程f(λ,c)=0 有两个实根λ1(c),λ2(c),且0<λ1(c)<λ∗<λ2(c)<+∞.当λ1∈ (λ1(c),λ2(c))时,f(λ,c)<0;当λ1∈ (0,λ1(c))∪ (λ2(c),+∞)时f(λ,c)>0.A2 当0<c<c∗时,对∀λ>0,都有f(λ,c)>0.定理1 假设条件(A1)(A2)成立,且R0>1成立.(i) 对∀c>c∗,方程 (1) 存在一个行波解(S(ξ),I(ξ),R(ξ)),满足(ii) 若limsupξ→+∞R(ξ)<+∞,则R(ξ)=(iii) 若 c>max{c∗,d3m1},其中 m1:=J(y)|y|dy,则limsupξ→+∞R(ξ)<+∞.构造另一个函数:因为则可得存在λ0>0,当λ∈ (0,λ0)时,∆(λ,c)>0.接下来总是假设R0>1,c>c∗,记λi表示λi(c)(i=1,2), 定义连续函数S+(ξ)=S0,S−(ξ)=max{S0−σeα1ξ,ε1e−α2ξ},R+(ξ)=M1eηξ,R−(ξ)=0.I+(ξ)=min{eλ1ξ,,I−(ξ)=max{eλ1ξ(1 −Meηξ),0}. 其中σ,α1,α2,η,M和M1是待定的正常数,η∈ (0,λ0)足够小,且满足η<max{λ1,λ2−λ1}.成立.由J,G,I+(ξ)定义可知引理3 函数R+(ξ)满足证因为η∈(0,λ0),则∆(η,c)>0,取 M1足够大且满足由R+的定义可知:对∀ξ>ξ0,只需证明成立即可.故只要M1满足则(5)式成立.当ξ<ξ0时只需证明引理4 假设α1<λ1且α1是足够小的正数,σ>S0为足够大的正数,α2=,ε是相当小的正数使得S0−σeα1ξ = εe−α2ξ有负实数,令ξ1是较大的一个负实数根,ξ 6= ξ1时函数S−(ξ)满足证若ξ<ξ1则S−(ξ)=S0−σeα1ξ,I+(ξ)≤ eλ1ξ,从而只需证明由S−及I+定义可知只需证整理可得由α1<λ1,ξ<ξ1可知,只需证明对于任意的(φ(·),ϕ(·),χ(·))∈ΓX,定义考虑下面的初值问题:其中S(−X)=S−(−X),I(−X)=I−(−X),R(−X)=R−(−X). 由微分方程理论可知上述问题存在满足SX(·),IX(·),RX(·) ∈C1([−X,X]) 的唯一解.定义算子F=(F1,F2,F3):ΓX→C([−X,X])满足引理6 算子F:ΓX→ΓX是全连续的.证由上述(8)-(10)式可知结论成立.F1(φi,ϕi,χi)=SX,i(ξ),F2(φi,ϕi,χi)=IX,i(ξ),F3(φi,ϕi,χi)=RX,i(ξ),i=1,2,3.简单计算可得和则可得同理得为得到模型的行波解,下面给出(ξ)的估计,为方便将记为SX(.),IX(.),RX(.). 引理7(1)存在常数>0,对∀X>max{lnM,−ξ1},满足更有(2) 给定Y>0,则存在常数C(Y)>0当∀X>max{lnM,−ξ1}和X>Y+R1,有其中R1是J的支撑半径.证由上述(8)-(10)式可知结论成立.显然SX(·),IX(·),RX(·)满足现给出(1)的证明,对上面两边从−X到X积分得继续做积分运算,对式两边从−X到X积分可得同理可得存在常数C0>0(独立于X)使得下面证明(2).由(1)可得对∀ξ,η∈[−Y,Y],都存在常数L1>0使得利用上面第一个公式得因为J是Lipschitz连续的,令Lj是相应的Lipschitz常数,因此可得定理1(i)的证明取满足Xn>max{(1/η)lnM,−ξ1},Xn>Y+R1且limn→+∞Xn=+∞的序列{Xn}.对∀n存在(SXn,IXn,RXn)∈ΓXn满足引理7.由引理7知,存在满足下列条件的子序列{Xnk}:当k→+∞时,Xnk→+∞且Snk→S,Ink→I,Rnk→R在(R)中成立. 根据核函数的假设,有勒贝格控制收敛定理可得从而可得(S,I,R)满足系统并且S−(ξ)≤S(ξ)≤S0,I−≤I(ξ)≤I+(ξ),0 ≤R(ξ)≤R+(ξ)和由S−(ξ),R+(ξ)的定义得S(−∞)=S0,R(−∞)=0. 又由于I(ξ)dξ,+∞且I'(ξ)一致有界.从而可得I(±∞)=0.下证: ξ→ +∞时,S(ξ)的极限存在. 由于S(ξ) ≤S0则有limsupξ→+∞S(ξ)=S0,则有limsupξ→+∞S(ξ)≤S0,可以断言limsupξ→+∞S(ξ)<S0.否则limsupξ→+∞S(ξ)=S0.则对式的第一个方程从−X到X积分可得令ξ→∞,则产生矛盾.要证S→ +∞的极限存在,只需证liminfξ→+∞S(ξ)=limsupξ→+∞S(ξ).设liminfξ→+∞S(ξ)<limsupξ→+∞S(ξ)成立,则存在点列{ξn}和{ηn}满足且limn→+∞S(ξn)=limsupξ→+∞S(ξ):= σ1≤S0,S'(ξn)=0,limn→+∞S(ηn)=limsupξ→+∞S(ξ):= σ2≤σ1,S'(ηn)=0,limn→+∞J∗S(ξn)≤σ1,limn→+∞J∗S(ηn)≥σ2>0.由于I(+∞)=0和则limn→+∞J∗S(ξn)= σ1.令Sn(y)=S(ξn+y),取很小的正数ε,令其中Ω:=suppJ,可得则m(ε)=0,其中m表示测度.所以Sn(y)→σ1在Ω上处处成立.即对任意y∈Ω,都有Sn(y)→σ1.因为J∈Cl,故必存在R'≥δ'>0,使得[R'−δ',R'+ δ']∪ [−R'−δ',−R'+ δ']⊆Ω成立.令=ξn±R',则对任意y∈Ω当n→+∞时,有S(ξ±n+y)→σ1.特别的,对任意y∈[−δ',δ'],当n→ +∞时,有S(ξn+y)→σ1.重复上面过程可得:对任意y∈[−R1,R1],当n→∞时,有S(ξn+y)→σ1.其中Rl表示Ω的半径.另一方面,因为I(+∞)=0且则limn→+∞J∗S(ηn)= σ2.同理可得y∈ [−R1,R1],当n→∞时,有S(ξn+y)→σ1.对式从ηn到ξn积分可得产生矛盾,所以liminfξ→+∞S(ξ)=limsupξ→+∞S(ξ):=S∞<S0,证毕.定理1(ii)的证明若limsupξ→+∞R(ξ)<+∞,先证存在正数R∞使得limξ→+∞R(ξ):=R∞. 假设limsupξ→+∞R(ξ)>liminfξ→+∞R(ξ),同前一步方法类相同,可得存在正数R∞使得limξ→+∞R(ξ)=R∞.对式(8)-(10)的第一个方程两边从−∞到+∞积分可得由式(8)-(10)的第二个方程可得由式(8)-(10)的第三个方程可得定理1(iii)的证明由上可得系统的渐进行波解得渐进行为.知limsupξ→+∞R(ξ)<+∞是模型的存在行波解得一个充分条件,目的是确保R(+∞)存在.但并不能排除limsupξ→+∞R(ξ)=+∞这种情况.事实上当波速c相当时,可得出R(+∞)是有接的.具体证明可参考文献[5].§3 讨论本文考察一个具有时空时滞的非局部扩散的传染病模型,并对其行波解的存在性做了论述,临界条件与微分方程结论相同,因此可以说疾病的传播不依赖于个体之间的非局部扩散和非局部反应.由=0可得所以传染者的扩散能力越大,疾病传播的最小波速越小,也可以看出移民输入比率越大,最小波速越小,移民比率的快速增长是疾病传播中比较重要的因素,这与实际吻合.另外,可以通过设定特殊的核函数来研究潜伏期对最小波速的影响,从而实现更好的对疾病的控制.参考文献:【相关文献】[1] Li Jing,Zou Xingfu．Modeling spatial spread of infectious disesses with a fixed latent period in a spatially continuous domain[J]．Bulletin of MathematicalBiology,2009,71(18):2048-2079．[2] Hosono Y,Llyas B．Traveling waves for a simple diffusive epidemicmodel[J]．Mathematical Models&Methods in Applied Sciences,1995,5(7):935-966．[3] Wu Chufen,Weng Peixuan．Asymptotic speed of propagation and traveling wave fronts for a SIR epidemic model[J]．Discrete and Continuous Dynamical 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[8] Diekmann O．Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection[J]．Journal of Mathematical Biology,1978,6(2):109-130．[9] Thieme H R ．A model for the spatial spread of an epidemic[J]．Journal of Mathematical Biology,1977,4(4):337-351．[10]ThiemeH R．Theasymptoticbehaviourofsolutionsofnonlinearintegralequations[J]．Mathematische Zeitschrift,1977,157(2):141-154．[11]Huang G,Takeuchi Y．Global analysis on delay epidemiological dynamic models with nonlinear incidence[J]．Journal of Mathematical Biology,2011,63(1):125-139．[12]Yang Feiying,Li Yan,Li Wantong,et al.Traveling waves in a nonlocal dispersal Kermach-Mckendrick epidemic model[J],2013,18(7):1969–1993.[13]Beretta E,Takeuchi Y.Global stability of an SIR epidemic model with timedelays[J].Journal of Mathematical Biologym1995,33(3):250-260.[14]Bai Zhenguo,Zhang Shengli.Traveling waves of a diffusive SIR epidemic model with a class of nonlinear incidence rates and distributed delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2015,22(1/3):1370-1381.。

SARS传染扩散的动力学随机模型一、本文概述本文旨在探讨SARS（严重急性呼吸综合症）传染扩散的动力学随机模型。

通过对SARS疫情传播过程的分析，构建符合其传播特性的动力学随机模型，以揭示其传播规律，预测疫情发展趋势，并为制定有效的防控策略提供科学依据。

本文将首先回顾SARS疫情的历史背景和传播特点，然后介绍动力学随机模型在传染病传播研究中的应用，接着阐述SARS传染扩散动力学随机模型的构建过程，包括模型的假设、参数设定、方程推导等。

本文将通过实际疫情数据的拟合和模型预测结果的对比分析，评估模型的准确性和实用性，并探讨模型在公共卫生应急管理中的应用前景。

二、SARS传染扩散动力学基础SARS（严重急性呼吸综合征）是一种由SARS冠状病毒引起的传染病，其传染扩散的过程涉及多个动力学因素。

理解这些动力学基础对于建立有效的防控策略和预测疾病传播趋势至关重要。

SARS的传染过程遵循一定的流行病学规律。

其基本再生数（R0）描述了在没有外界干预的情况下，一个感染者平均能够传染给多少人的数量。

R0值的大小直接决定了疾病传播的速度和范围。

SARS的R0值较高，表明其具有较强的传播能力。

SARS的传播途径主要是通过短距离飞沫、接触患者呼吸道分泌物及密切接触传播。

这意味着在密闭、通风不良的环境中，SARS病毒的传播风险会显著增加。

因此，控制环境因素，如提高室内通风、减少人群聚集等，对于阻断SARS传播至关重要。

个体的易感性也是影响SARS传播的重要因素。

年龄、性别、基础疾病等因素都会影响个体对SARS病毒的抵抗力。

老年人和患有慢性疾病的人群通常更容易感染并出现严重症状。

因此，针对这些高风险人群采取特殊防护措施，如接种疫苗、提供医疗救助等，是控制SARS传播的关键。

社会行为因素也会对SARS的传播产生影响。

例如，公众对疾病的认知程度、防控措施的遵守情况、医疗资源的配置等都会直接或间接地影响SARS的传播动态。

因此，加强公众教育、提高防控意识、优化医疗资源分配等社会层面的措施也是控制SARS传播的重要手段。

几类仓室非自治传染病基本再生数R0的计算1 简介在传染病动力学中，基本再生数R0的研究是个非常重要的课题。

基本再生数是感染者在单位时间内产生新的下一代的数量。

简言之，是指一个病人在平均患病期内所传染的人数。

它被用来度量流行病的传染潜力，所以，基本再生数为判断疾病在种群中的流行与消亡提供了重要依据。

以流感为例，如果基本再生数是4，则在平均患病期内，每个患者将感染4个易感染者，由此我们推断流感将在该种群中持续存在。

一般来说，R0的值越大，疾病将越难控制。

由R0定义容易看到，如果R0 > 1，则染病者数量是增加的；如果R0 < 1，则染病者数量是减少的。

则根据结论，如果R0 > 1，那么疾病在种群中持续存在；反之，疾病将会消亡。

关于仓室传染病模型基本再生数R0的研究，van den Driessche 和Watmough [14]给出了自治情况下仓室流行病模型(compartmental epidemic models)中基本再生数R0的计算公式。

W ang 和Zhao [15]刻画了周期仓室传染病模型(periodic compartmental epidemic models) 的基本再生数R0 并且证明它是无病周期解局部稳定的阈值参数。

W ang 和Zhao [15]给出了几乎周期传染病模型(ODE)的基本再生数的定义和计算公式，研究了基本再生数R0和指数增长界之间的关系，并把相关结论应用到两个人口中心的片状传染病模型中。

最近，Thieme [12]发展了无穷维人口结构和时间非齐次方程的谱界和再生数理论。

本文主要介绍一类仓室传染病模型(非自治情况下)基本再1生数R0的发展，包括基本再生数R0的定义。

以此为基础，得到有关疾病持久和消亡理论，并由此推断出对于此类传染病的可能的预防措施。

本文通过相关研究，总结了基本再生数的定义，并用实例证明基本再生数是衡量某种仓室传染病能否传播开来的阈值。

传染病模型在传染病模型里，一般把总人口N分为易感者类S，染病者类I和恢复者类R。

一个SIRS类模型，它表示易感者被染病者传染成为染病者个体，染病者具有免疫后，从感染者类移出变为恢复者，恢复者渐渐失去免疫力后又变为易感染者类。

假设在t时刻易感者类、染病者类和移出者类数量分别为S(t)，I(t)和R(t)，三者之和等于总人口N(t)，即S(t)+ I(t)+ R(t)= N(t)，易感者、染病者和恢复者是均匀分布。

传染率的一般形式：)。

)称为接触率，单位时间内一个染病者与他人接触的次数C(N)=N乘以每次接触被传染的概率。

当C(N)=N，总人口数量不大时适合，传染率为，称之为：双线性传染率。

单位时间内一个染病者与他人接触的次数C(N)=常数性病中的性伙伴接触情形，记=)，此时的传染率为，称之为标准传染率。

经典的仓室模型是SIR模型，适用于康复后获得终生免疫的传染病:-引入参数，(其含义为一个感染者在感染期间平均有效接触人数)。

如果,当时 , 减小到0，即传染病消失。

如果，首先逐渐增加到峰值,然后逐渐减小为0.具有常数出生和指数死亡，传染率是双线性且无垂直传染有因病死亡的SIRS，模型框图为：其动力学模型为：=A--+-A:单位时间内出生的人数，即自然出生率；:死亡率系数；：失去免疫率；：传染率系数；：传染率，即单位时间内的发病人数；：染病者在单位时间内恢复到恢复者的恢复系数；：因病死亡系数；：恢复率，即单位时间内有染病者到移除者的人数；：失去免疫力系数；：失去免疫力人数；：单位时间内易感者的死亡人数；参考文献：[1]靳祯,孙桂全,刘茂省著,网络传染动力学建模与分析,科学出版社,2014,3-6[2]张发,李璐,宣慧玉. 传染病传播模型综述[J]. 系统工程理论与实践,2011,09:1736-1744.。

传染病动力学‎模型简介摘要：应用传染病动‎力学模型可描‎述疾病发展变‎化的过程和传‎播规律，预测疾病发生‎的状态，评估各种控制‎措施的效果，为预防控制疾‎病提供决策依‎据。

本文介绍传染‎病动力学的最‎基本模型――SIR模型，综述了各种传‎染病模型在医‎学领域的应用‎，探讨传染病动‎力学模型的发‎展进程和研究‎动向。

关键词：传染病；动力学模型；SIR模型A brief introd‎uction‎ to dynami‎c s model of infect‎i ousdiseas‎esAbstra‎c t:The dynami‎c s models‎ of infect‎i ous diseas‎e s can be used to descri‎b e the spread‎ charac‎t ers of infect‎i ous diseas‎e s, predic‎t the status‎ of the infect‎i on and evalua‎t e the effica‎c y of contro‎l strate‎g ies, which are useful‎ t ool s in diseas‎e s contro‎l decisi‎o n making‎. A brief introd‎u ction‎to the basic dynami‎c s model SIR was made, and we also review‎e d the applic‎a tion of severa‎l dynami‎c models‎ and discus‎s e d its future‎ direct‎i on in the paper.Key words: epidem‎i c; dynami‎c model; SIR model传染病和新出‎现的疫病严重‎危害人类健康‎与社会经济发‎展。