2017-2018学年天津市新四区示范校高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年天津市红桥区高一上学期期末考试数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U=R，A={x|x>0}，B={x|x≤1}，则A∩B=（）A. {x|0≤x<1}B. {x|0<x≤1}C. {x|x<0}D. {x|x>1}【答案】B【解析】全集U=R，A={x|x>0}，B=x x≤1，A∩B={x|0<x≤1}.故选B.2. 函数f(x)=lg(x−1)的定义域是（）A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)【答案】D【解析】要使函数f(x)=lg(x−1)有意义，只需x−1>0即可，解得x>1.所以函数f(x)=lg(x−1)的定义域是(1,+∞).故选D.点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．3. 函数y=cosωx(x∈R)最小正周期为π2，则ω=（）A. 4B. 2C. 1D. 12【答案】A【解析】函数y=cosωx(x∈R)最小正周期为2π|ω|=2πω=π2，解得ω=4.故选A.4. 下列函数是奇函数的为（ ）A. y =2xB. y =sin xC. y =log 2xD. y =cos x 【答案】B【解析】奇函数应该满足f x =−f (−x )，显然A,C,不成立， 其中sin x =−sin ⁡(−x ),所以y =sin x 为奇函数， 由cos x =cos ⁡(−x )可知，y =cos x 为偶函数. 故选B.5. sin 150cos 150=（ ） A. 14B. 32C. 12D. 34【答案】A【解析】由二倍角公式可得： sin 150cos 150=sin 3002=14.故选A.6. 将函数y =sin x 的图像上所有点向右平行移动π10个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A. y =sin (2x −π10) B. y =sin (2x −π5) C. y =sin (12x −π10) D. y =sin (12x −π20) 【答案】C【解析】试题分析：将函数y =sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度得到函数y =sin (x −π10)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式为y =sin (12x −π10) 考点：三角函数图像变换7. 设a =0.43，b =log 0.43，c =30.4，则（ ）A. a <c <bB. b <a <cC. b <c <aD. a <b <c 【答案】B【解析】a =0.43∈(0,1)，b =log 0.43<0，c =30.4>1.， 所以b <a <c . 故选B.点睛：比较指对幂形式的数大小的常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y=a x,当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.8. 函数f(x)=|x−2|−ln x在定义域内零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：作出函数与的函数图像，如下所示：由图像可得有两个交点故选C．考点：函数的零点．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. cos1200=__________．【答案】-12【解析】cos1200=cos1800−600=−cos600=−12.故答案为：−12.10. 在ΔA B C中，若B C=3，A C=3，∠A=π3，则∠B=__________．【答案】π6【解析】在ΔA B C中，由正弦定理可得A Csi n B =B Csi n A，即3si n B=32，解得si n B=12.因为A C<B C，所以∠B<∠A，得B=π6.故答案为：π6.11. 已知函数f(x)=log2x,x>03x,x≤0，则f[f(12)]=__________．【答案】13【解析】函数f(x)=log2x,x>0 3x,x≤0，f12=log212=−1.f f12=f−1=3−1=13.故答案为：13.12. 已知tan x=3，则sin x cos x=__________．【答案】310【解析】因为sin2x+cos2x=1，所以sin x cos x=sin x cos xsi n2x+co s2x =t a n xt a n2x+1=39+1=310.故答案为：310.点睛：（1）已知tanθ=m，求齐次式a sinθ+b cosθc sinθ+d cosθ的值时，可在分子、分母同时除以cosθ，得到a tanθ+bc tanθ+d=a m+bcm+d。

数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角 【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（ ） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（ ） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】 【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（ ）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（ ）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】 【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】 【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】 【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 ， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。

2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.sin13π6等于（）A. −32B. −12C. 12D. 322.已知cos（π2+α）=55，且|α|＜π2，则tanα等于（）A. −2B. −12C. 2 D. 123.已知cosα=255，则cos2α的值为（）A. −45B. 45C. −35D. 354.要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数y=sin(2x+π6)的图象（）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度5.下列函数中，周期为π，且在（0，π2）上为增函数的是（）A. y=sin(2x+π2)B. y=cos(2x+π2)C. y=cos(x−π2) D. y=sin(2x−π2)6.已知函数y=3tan x2，x≠（2k+1）π（k∈Z），若y=1，则（）A. x=kπ+π3(k∈Z) B. x=2kπ+π3(k∈Z)C. x=kπ+π6(k∈Z) D. x=2kπ+π6(k∈Z)7.已知平面向量a=（1，-2），b=（-2，m），且a ∥b，则3a+2b等于（）A. (−2,1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (2,−1)8.若向量a，b满足|a|=|b|=2，a与b的夹角为120°，则a（a+b）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 69.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE•BD等于（）A. 1B. 2C. 3D. 410.在△ABC中，若cos A=45，cos B=-35，则cos C的值为（）A. 725B. 1825C. 2425D. −2425二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知cosx1+sinx =-12，则sinx−1cosx=______．12.已知向量a=（2，1），b=（3，4），若向量a与向量λa+b垂直，则λ的值为______．13.函数y=1-8cos x-2sin2x的最大值是______．14.计算cosπ9•cos2π9•cos4π9=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若BD=2DC，BE=λAC-AB，且AD•BE=-4，则λ的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知向量b与向量a=（1，-2）的方向相反，且|b|=35．（1）求向量b的坐标；（2）若c=（2，3），求（c-a）•（c-b）的值．17.若5sinα−cosαcosα+sinα=1．（1）求tanα的值；（2）求cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα的值．18.已知α，β∈（0，π2），cosα=45，cos（α+β）=35．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．19.已知a=（1，3），b=（2，m）．（1）当3a-2b与a垂直时，求m的值；（2）当a与b的夹角为120°时，求m的值．20.已知函数f（x）=4cos x sin（x-π6）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值与最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：由cos（+α）=，得-sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴-，则cosα==，则tanα=．故选：B．由已知求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴．故选D．4.【答案】C【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-]=cos2x的图象，故选：C．已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5.【答案】D【解析】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=-sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x-）=-sin（-2x）=-cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．根据题意，对选项中的函数分析、判断是否满足题意即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．由已知可得，即，k∈Z，则x值可求．本题考查由已知三角函数值求角，考查了三角方程的解法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：向量=（1，-2），=（-2，m），且∥，∴1×m-（-2）×（-2）=0，解得m=4，∴=（-2，4），∴3+2=（3，-6）+（-4，8）=（-1，2）．故选：C．根据平面向量的共线定理求出m的值，再计算3+2．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°-60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2-1=1，故选：A．通过=+，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为+．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=-，得sinB=，∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．由已知利用平方关系分别求得sinA，sinB的值，再由两角和的余弦求得cosC 的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的余弦，是基础的计算题．11.【答案】12【解析】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1-sin2x=cos2x，则（1-sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=-，∴=-=，故答案为：．由同角三角函数基本关系式可得=-，结合已知得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】-2【解析】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=-2；故答案为：-2根据题意，由向量的坐标计算公式可得λ+的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积与向量垂直的关系．13.【答案】9【解析】解：函数y=1-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9，当cosx=-1时，函数y取得最大值是2×（-1-2）2=9．故答案为：9．把函数y化为关于cosx的二次关系，求出函数y的最大值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】18【解析】解：cos•cos•cos====．故答案为：把要化简的式子分子分母同时乘以最小角的正弦，依次利用倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础题．15.【答案】311【解析】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，∵=λ-，∴•=（+）•（λ-）=（-）••-+=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4，解得λ=，故答案为：根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）设b=-λa，λ＞0，则b=（-λ，2λ），则|b|2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=-3（舍去），∴b（-3，6），（2）∵c（2，3）∴c-a=（2，3）-（1，-2）=（1，5），c-b=（2，3）-（-3，6）=（5，-3），∴（c-a）•（c-b）=5-15=-10．【解析】（1）设=-λ，λ＞0根据向量的模即可求出，（2）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模和向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题．17.【答案】解：（1）由5sinα−cosαcosα+sinα=1，得5tanα−11+tanα=1，即5tanα-1=1+tanα，解得tanα=12；（2）cosα+sinαcosα−sinα+sinαcosα=1+tanα1−tanα+sinαcosαsinα+cosα=1+tanα1−tanα+tanαta nα+1=1+121−1+121+1=175．【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．（1）把已知等式化弦为切，求解可得tanα的值；（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tanα得答案．18.【答案】解：（1）∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），又cosα=45，cos（α+β）=35，则sinα=2α=35，sin（α+β）=1−cos2(α+β)=45，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=4 5×45−35×35=725；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=3 5×45−35×45=0，由α，β∈（0，π2），得2α+β∈（0，32π），∴2α+β=π2．【解析】（1）由已知分别求得sinα，sin（α+β）的值，由sinβ=sin[（α+β）-α]，展开两角差的正弦得答案；（2）由cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]，展开两角和的余弦求得cos（2α+β），结合角的范围可得2α+β的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和与差的正弦、余弦，训练了利用已知角的三角函数值求角，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，a=（1，3），b=（2，m），则3a-2b=（-1，33-2m），若3a-2b与a垂直时，则有（3a-2b）•a=-1+9-23m=0，解可得m=433；（2）a=（1，3），b=（2，m），则|a |= 1+3=2，|b |= m 2+4，且a •b =2+ 3m ，又由a 与b 的夹角为120°， 则有cos120°=a ⋅b |a ||b|= 3m 2 m 2+4=-12， 变形可得：2+ 3m + m 2+4=0解可得m =-2 3，故m =-2 3． 【解析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得3-2的坐标，又由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得（3-2）•=-1+9-2m=0，解可得m 的值， （2）根据题意，由向量夹角公式计算可得cos120°=，代入数据可得=-，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量夹角公式的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=4cos x sin （x -π6）+1=4cos x （sin x cos π6-cos x sin π6）+1=2 3sin x cosx-2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x=2（ 32sin2x -12cos2x ） =2sin （2x -π6），所以f （x ）的最小正周期为T =2πω=π；（2）x ∈[π4，2π3]，则2x -π6∈[π3，7π6]；当x ∈[π4，π3]时，2x -π6∈[π3，π2]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递增； 同理，x ∈[π3，2π3]时，2x -π6∈[π2，7π6]，函数f （x ）=2sin （2x -π6）单调递减；又f （π4）=2sin π3=2，f （π3）=2sin π2=2，f （2π3）=2sin 7π6=-1，f（x）在区间[π4，2π3]上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的性质求出它的最小正周期；（2）求出x∈[，]时2x-的取值范围，根据正弦函数的正弦求出它的最大和最小值．本题主要考查了角函数图象和性质应用问题，根据三角恒等变换进行化简是解题的关键．。

2017-2018学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）sin等于（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin=sin（2π+）=sin=．故选：C．2．（4分）已知cos（+α）=，且|α|＜，则tanα等于（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【解答】解：由cos（+α）=，得﹣sinα=，即sinα=，又|α|＜，∴﹣，则cosα==，则tanα=．故选：A．3．（4分）已知cosα=，则cos2α的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=．故选：D．4．（4分）要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：把函数=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，故选：C．5．（4分）下列函数中，周期为π，且在（0，）上为增函数的是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+） C．y=cos（x﹣） D．y=sin（2x﹣）【解答】解：对于A，y=sin（2x+）=cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调减函数，不合题意；对于B，y=cos（2x+）=﹣sin2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y在（0，）不是增函数，不满足题意；对于C，对于y=cos（x﹣）=cos（﹣x）=sinx，周期为T=π，不满足题意；对于D，y=sin（2x﹣）=﹣sin（﹣2x）=﹣cos2x，x∈（0，）时，2x∈（0，π），∴函数y是单调递增区间，且周期为T=π，满足题意．故选：D．6．（4分）已知函数y=tan，x≠（2k+1）π（k∈Z），若y=1，则（）A．x=kπ+（k∈Z）B．x=2kπ+（k∈Z）C．x=kπ+（k∈Z）D．x=2kπ+（k∈Z）【解答】解：由y=tan，且y=1，得tan=1，即，∴，k∈Z．则x=2kπ+（k∈Z）．故选：B．7．（4分）已知平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，m），且∥，则3+2等于（）A．（﹣2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【解答】解：向量=（1，﹣2），=（﹣2，m），且∥，∴1×m﹣（﹣2）×（﹣2）=0，解得m=4，∴=（﹣2，4），∴3+2=（3，﹣6）+（﹣4，8）=（﹣1，2）．故选：C．8．（4分）若向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）等于（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则（+）==4+2×=2．故选：B．9．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，由＜＞=60°，可得＜＞=180°﹣60°=120°．∴•=（+）•=•+•═2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1，故选：A．10．（4分）在△ABC中，若cosA=，cosB=﹣，则cosC的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：在△ABC中，由cosA=，得sinA=，由cosB=﹣，得sinB=，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）已知=﹣，则=．【解答】解：∵sin2x+cos2x=1，∴1﹣sin2x=cos2x，则（1﹣sinx）（1+sinx）=cosx•cosx，∴=，又=﹣，∴=﹣=，故答案为：．12．（4分）已知向量=（2，1），=（3，4），若向量与向量λ+垂直，则λ的值为﹣2．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（3，4），则λ+=（2λ+3，λ+4），若向量与向量λ+垂直，则有•（λ+）=2×（2λ+3）+1×（λ+4）=0，解可得λ=﹣2；故答案为：﹣213．（4分）函数y=1﹣8cosx﹣2sin2x的最大值是9．【解答】解：函数y=1﹣8cosx﹣2sin2x=2cos2x﹣8cosx﹣1=2（cosx﹣2）2﹣9，当cosx=﹣1时，函数y取得最大值是2×（﹣1﹣2）2=9．故答案为：9．14．（4分）计算cos•cos•cos=．【解答】解：cos•cos•cos====．故答案为：15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，若=2，=λ﹣，且•=﹣4，则λ的值为．【解答】解：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，∵=λ﹣，∴•=（+）•（λ﹣）=（﹣）••﹣+=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，解得λ=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共40分）16．（6分）已知向量与向量=（1，﹣2）的方向相反，且||=3．（1）求向量的坐标；（2）若=（2，3），求（﹣）•（﹣）的值．【解答】解：（1）设=﹣λ，λ＞0，则=（﹣λ，2λ），则||2=λ2+4λ2=45，解得λ=3或λ=﹣3（舍去），∴（﹣3，6），（2）∵（2，3）∴﹣=（2，3）﹣（1，﹣2）=（1，5），﹣=（2，3）﹣（﹣3，6）=（5，﹣3），∴（﹣）•（﹣）=5﹣15=﹣10．17．（8分）若=1．（1）求tanα的值；（2）求+sinαcosα的值．【解答】解：（1）由=1，得，即5tanα﹣1=1+tanα，解得tan；（2）+sinαcosα===．18．（8分）已知α，β∈（0，），cosα=，cos（α+β）=．（1）求sinβ的值；（2）求2α+β的值．【解答】解：（1）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），又cosα=，cos（α+β）=，则sin，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（2）cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα=，由α，β∈（0，），得2α+β∈（0，），∴2α+β=．19．（8分）已知=（1，），=（2，m）．（1）当3﹣2与垂直时，求m的值；（2）当与的夹角为120°时，求m的值．【解答】解：（1）根据题意，=（1，），=（2，m），则3﹣2=（﹣1，3﹣2m），若3﹣2与垂直时，则有（3﹣2）•=﹣1+9﹣2m=0，解可得m=；（2）=（1，），=（2，m），则||==2，||=，且•=2+m，又由与的夹角为120°，则有cos120°===﹣，变形可得：2+m+=0解可得m=﹣2，故m=﹣2．20．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在区间[，]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosxsin（x﹣）+1=4cosx（sinxcos﹣cosxsin）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），所以f（x）的最小正周期为T==π；（2）x∈[，]，则2x﹣∈[，]；当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，函数f（x）=2sin（2x﹣）单调递增；同理，x∈[，]时，2x﹣∈[，]，函数f（x）=2sin（2x﹣）单调递减；又f（）=2sin=2，f（）=2sin=2，f（）=2sin=﹣1，f（x）在区间[，]上的最大值是2，最小值是﹣1．。