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第二章例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如下列图。
：水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=, z 2=, z 3=m, z 4=m, 水银密度 3/13600m kg ρ='，水的密度3/1000m kg ρ= 。
试求水面的相对压强p 0。
解：ap z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100)()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴例2：用如下列图的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。
该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。
测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ，倾角θ=30∘，试求压强差p 1 – p 2 。
解： 224131)()(p z z γz z γp =-+-- θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差〔如下列图〕。
两个U 形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接收充以酒精，密度为ρ1 。
如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、z 4 ，试求压强差p A – p B 。
解： 点1 的压强 ：p A )(21222z z γp p A --=的压强：点)()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强：点 B A p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224 )()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴例4：用离心铸造机铸造车轮。
求A-A 面上的液体总压力。
解： C gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2221ωρ a p gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2221ωρ在界面A-A 上：Z = - ha p gh r p +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴2221ωρ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=∴⎰2420218122)(ghR R rdr p p F a Rωπρπ例5：在一直径d= 300mm ，而高度H=500mm 的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。
流体⼒学课程教学⼤纲《流体⼒学》课程教学⼤纲⼀、课程基本信息1、课程代码：03300102、课程名称（中/英⽂）：流体⼒学/Fluid Dynamics3、学时/学分：48/64、先修课程：⾼等数学 (上、下)、理论⼒学，1110011/1110012/06100405、⾯向对象：热能与动⼒⼯程专业和机械设计制造及其⾃动化专业的本科⽣6、开课院（系）：航海学院机械⼯程与⾃动控制系7、教材、教学参考书：教材:《流体⼒学》、景思睿张鸣远编著、西安交通⼤学出版社、2001年7⽉;教学参考书：《⼯程流体⼒学》、归柯庭等编著、科学出版社、2003年7⽉;《流体⼒学》、吴望⼀主著、北京⼤学出版社、1983年3⽉。
⼆、课程性质和任务《流体⼒学》为⾮流体⼒学专业的机械制造、动⼒⼯程、能源、环境与化学⼯程等类专业的重要技术基础课。
通过本课程讲述将使学⽣掌握基础的流体⼒学知识,并对后续专业课程的学习及相关专业⼯作的开展奠定初步的流体⼒学理论基础。
三、教学内容和基本要求《流体⼒学》课程在内容设置上既着眼于本科⽣未来⼯作和⾼技术发展的需要，也兼顾到本科⽣急需掌握的基础理论和基础专业知识。
主要讲述内容包括：流体及其物理性质，流体静⼒学、流体运动⼒学基础、流体动⼒学基础、相似原理与量纲分析、理想不可压缩流体的定常流动、通道内的粘性流动、粘性不可压流体绕物体流动等。
本课程讲述总计需48学时,具体教学内容和基本要求如下: 第⼀章流体及其主要物理性质（4）主要内容：1、流体与连续介质模型；2、流体的黏性；3、流体的可压缩性；4、作⽤在流体上的⼒。
基本要求：掌握流体的基本物理性质；理解连续介质模型的含义。
第⼆章流体静⼒学（6）主要内容：1、流体静压强及其特性；2、静⽌流体平衡微分⽅程式；3、重⼒场中静⽌流体内的压强分布及压强测量；4、作⽤在平⾯上的流体静压⼒；5、作⽤在曲⾯上的流体静压⼒及浮⼒。
基本要求：掌握流体静压强的基本特性；掌握流体静⼒学的基本原理；了解压强常⽤的测量⽅法；掌握平⾯及曲⾯上流体静压⼒的计算。
第五章 势流理论5-1流速为u 0=10m/s 沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。
已知驻点位于(0，-5)，试求： (1)点涡的强度；(2)(0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。
答：（1）求点涡的强度Γ：设点涡的强度为Γ，则均匀流的速度势和流函数分别为：x u 01=ϕ，y u 01=ψ；点涡的速度势和流函数为：xy arctg πϕ22Γ-=，r y x ln 2)ln(221222ππψΓ=+Γ=； 因此，流动的速度势和流函数为：θπθπϕϕϕ2cos 20021Γ-=Γ-=+=r u x y arctg x u ， r y u y x y u ln 2sin )ln(202122021πθπψψψΓ+=+Γ+=+=；则速度分布为：2202y x yu y x u +⋅Γ+=∂∂=∂∂=πψϕ， 222yx x x y v +⋅Γ=∂∂-=∂∂=πψϕ； 由于)5,0(-为驻点，代入上式第一式中则得到：0)5(052220=-+-⋅Γ+πu ， 整理得到：ππ100100==Γu 。
（2）求)5,0(点的速度：将π100=Γ代入到速度分布中，得到：222222050102100102y x y y x y y x y u u ++=+⋅+=+⋅Γ+=πππ，2222225021002yx x y x x y x x v +=+⋅=+⋅Γ=πππ； 将0=x 、5=y 代入上述速度分布函数，得到：201010505501022=+=+⨯+=u （m/s ），05005022=+⨯=v （m/s ）；（3）求通过)5,0(点的流线方程：由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程C =ψ，则流线方程为：C y x y u =+Γ+21220)ln(2π；将0=x 、5=y 代入，得到：5ln 5050)50ln(21005102122+=+⨯+⨯=ππC ；则过该点的流线方程为：5ln 5050)ln(2100102122+=++y x y ππ，整理得到：5ln 55)ln(52122+=++y x y5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m 3/s ，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m 3/s ，已知流体密度为ρ=1.8kg/m 3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。
第五章理想流体流动•欧拉运动方程•伯努利方程及其应用•开尔文涡线定理•能量守恒定律•速度势函数与流函数什么是理想流体？为什么要研究理想流体？第一节理想流体的欧拉运动方程式完整的求解一个流动问题有几个未知数？：p压力u：r速度zy x u u ：u ,,速度完整的描述此流动问题需要有几个方程？:=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u zy x 质量守恒方程动量方程个分量有矢量方程3,欧拉运动方程柯西方程()()()()T div g v v t v dt v d ρ1+=∇⋅+∂∂=v v v vv ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u u y u u x u u tu zx yx xx x x z x y x x xτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zy yy xy y yz yy yx yτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zz yz xz z z z z y z x z τττρ1矢量形式()()()p grad g v v tv ρ1−=∇⋅+∂∂v v v v⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x ρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y p f zu u y u u x u u t u y yz y y y x yρ1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z xz ρ1矢量形式剪应力全部=0压应力=压强即正应力=-p根据牛顿第二定律得x 方向的运动方程式为()dt du dxdydzdydz x p p dydz p dxdydz X x ρρ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−+上式简化后得同理zoyx微元六面体A A1A2dx xPp ∂∂−21dxxP p ∂∂+21pdtdu x p X x=∂∂−ρ1dtdu z p Z dt du y p Y zy =∂∂−=∂∂−ρρ11111xy z du p X x dt du p Y y dt du p Z z dtρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂对静止流体的欧拉平衡方程式和理想流体的欧拉运动方程式进行对比101010p X x p Y y p Z zρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂把上式的三个方程依次乘以i、j、k后相加可得理想流体运动方程的矢量形式，即：1d p dt ρ=uf -∇(,,)d dx dy dz dt dt dt dt==r u dz dtdu dy dt du dx dt du dz zpdy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x++=∂∂+∂∂+∂∂−++)(1)(ρ由于稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线运动，由流线上微元矢量（dx,dy,dz）与时间间隔dt所构成的导数便是流体质点的速度，即将欧拉拉运动微分方程式中各式分别乘以dzdy dx ,,相加得（4-4）伯努利方程的推导——分量方法式（4-4）等号右端可变为222211()()22y x z x x y y z z x y z du du du dx dy dz u du u du u du d u u u d u dt dt dt++=++=++=因此)(21)()(1)(2u d dp Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x pZdz Ydy Xdx =−++=∂∂+∂∂+∂∂−++ρρ1()()y x z du du du p p pXdx Ydy Zdz dx dy dz dx dy dzx y z dt dt dt ρ∂∂∂++−++=++∂∂∂•思考一下什么情况下左端的项可以消去？–静止流体–稳定流，且沿流线积分–稳定流，且沿涡线积分–稳定流，且为无旋流动•右端三项分别为：重力势能，动能和压力能•可以写成水头的形式，即单位重量流体的能量•利用伯努利方程，如何通过测压力来测量流速？CvpU E =++=22ρ伯努利方程的适用条件第三节开尔文涡线定理•开尔文涡线定理的表述–理想正压流体在有势力场中运动时，连续流场内沿封闭流体线的速度环量不随时间变化–如果理想流体初始状态静止或绕任意封闭流体线的速度环量为0，则流体运动必然是无旋运动–如果理想正压流体在势力场中运动时，如某一时刻无旋，则流场始终无旋。
中国石油大学（北京）远程教育学院工程流体力学复习题答案一判断题（1）当温度升高时液体的动力粘度系数μ一般会升高。
×（2）连续性假设使流体的研究摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。
√（3）对于静止流体来说，其静压力一定沿着作用面内法线方向。
√（4）N-S方程适于描述所有粘性流体的运动规律。
×（5）欧拉法是以研究个别流体质点的运动为基础，通过对各个流体质点运动的研究来获得整个流体的运动规律。
×（6）流线和迹线一定重合。
×（7）通常采用雷诺数作为判断流态的依据。
√（8）欧拉数的物理意义为粘性力与惯性力的比值×（9）在牛顿粘性流体的流动中p x+p y+p z=3p√（10）长管指的是管线的距离较长×（11）流体和固体的显著区别在于当它受到切力作用时，就要发生连续不断的变形即流动。
√（12）压力体中必须充满液体。
×（13）流体总是从高处流向低处。
×（14）不可压缩流体的平面流动一定具有流函数。
√（15）正确的物理公式一定符合量纲合谐性（齐次性）原理的√（16）理想流体即使在运动中其所受的剪切应力也为0√（17）串联管路各管段的流量相等√（18）理想不可压均质量重力流体作定常或非定常流动时，沿流线总机械能守恒。
×（19）从层流过渡到湍流和从湍流过渡到层流的临界雷诺数是相同的×（20）尼古拉兹曲线是利用人工粗糙管得到的实验数据绘制的√（20）发生水击现象的物理原因主要是由于液体具有惯性和压缩性√（21）并联管路各管段的水头损失不相等×（22）流体质点是指微观上足够大，宏观上足够小，且具有线性尺度效应的分子团。
( ×) （23）气体的粘度一般随着温度的升高而增大。
( √)（24）达西公式既适用于层流，也适用于紊流。
( √)二单选题（1）动力粘度系数的单位是 AA：Pa.s B：m2/s C：s/m2（2）静止流体的点压强值与 B 无关A：位置B：方向C：流体的密度（3）在缓变流的同一有效截面中，流体的压强分布满足 AA．CZgp=+ρB．P＝CC．C2gvgp2=+ρD．C2gvZgp2=++ρ（4）串联管路AB有3段组成，设水头损失hf1>hf2>hf3，摩阻系数相等，管线长度也相等，中间无流体引入引出，则三段管线的流量之间的关系是 BA：Q1<Q2<Q3B：Q1=Q2=Q3C：Q1>Q2>Q3（5）动量方程不可以适用于 CA：粘性流体的的流动B：非稳定流动C：以上两种说法都不对（6）N-S方程不可以适用于 DA：不可压缩粘性流体的流动B：不可压缩理想流体的非稳定流动C：不可压缩理想流体的稳定流动D：非牛顿流体的运动（7）下列说法中正确的是 BA：液体不能承受压力B：理想流体所受的切应力一定为0C：粘性流体所受的切应力一定为0（8）己知某管路截面为正方形，边长为12cm，其水力半径为 CA：12cm B：6cm C：3cm（9）其它条件(流体和管材，管径和管壁厚度等)均相同的情况下，当管路中液体流速增加，则水击压力会 AA ：增加B ：减小C ：不变（10）单位时间内，控制体内由于密度变化引起的质量增量等于从控制面 D 。
流体力学
——理想不可压缩流体的平面势流
内容
¾基本方程组，初始条件及边界条件
¾速度势函数及无旋运动的性质
¾平面流动及其流函
¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动
¾有势流动叠加
P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有
一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性
对于定常流：
则由伯努利方程
得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：
边界条件
静止固壁上
自由面上：P = Pa 无穷远处：
速度势函数及无旋运动的性质
在无旋流中有
若已知函数，则可求出
若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数
上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实
质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样
φ涉及到单值和多值问题
在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)
内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质
¾ ¾
平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加
¾ ¾
平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即
适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等
研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为
只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：
速度势函数的性质我们已经讨论过了
流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为
称为流函数
知道了流函数 •若
与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场
已知，可由
• 若 ux ，uy 已知，可用积分
速度势与流函数 平面流动
垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动
速度势函数 速度势函数存在的条件
∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y
此条件称 柯西—黎曼条件
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使
udx + vdy + wdz
全微分的充要条件，即
成为某一个函数
ϕ(x ,y ,z ,t )
d ϕ = udx + vdy + wdz
而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
比较两式有
∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z
∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z
把
ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
故理想流体无旋流也称势流 用势函数表示速度矢量：
V = ui + v j + w k r ∂ϕ u r ∂ϕ r ∂ϕ u i + j + k = ∇ϕ = ∂x ∂y ∂z
r
r
u r
u r
势函数的性质 （1）流线与等势面垂直 证：令 ϕ(x ,y ,z ) = const 为等势面，在其上任取一微 r uu r uu r 元线段 ds ， ds 上的速度为 V ,求两者点积
u r uu r r r r r r r V ⋅ ds = (ui + v j + wk ) ⋅ (dxi + dy j + dzk )
= udx + vdy + wdz ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = dϕ
ϕ =c
V
ds
uu r
r
u r uu r 在等势面上，ϕ = c 故 dϕ = 0 即 V ⋅ ds = 0
速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等 势面垂直。
2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的 分量
∂ϕ = Vl ∂l
3）φ与Γ之间的关系
Γ AB = = =
∫A
B
udx + vdy + wdz
B
∫A
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = ϕB − ϕA
∫A d ϕ
B
由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端 点势函数的差，与曲线的形状无关 若φ函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零
Γk =
∫k
udx + vdy + wdz =
∫k
dϕ = 0
4）在不可压流体中，势函数是调和函数 由连续性方程
∂u ∂v ∂w + + = 0 ∂x ∂y ∂z 有 ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = + + = 0 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z
满足拉普拉斯方程的函数是调和函数
流函数ψ 流函数的定义 在不可压流体的平面流中，应满足
由高数知识可知，此式是使 −vdx + udy 成为某一个函 数 ψ(x ,y ) 全微分的充要条件，即
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
即
∂u ∂v = − ∂x ∂y
dψ = −vdx + udy
而
ψ(x ,y ) 的全微分又可表示为：
∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy ∂x ∂y
而
dψ = −vdx + udy
∂ψ ∂y ∂ψ v = − ∂x
极坐标
比较两式有 u =
1 ∂ψ Vr = r ∂θ ∂ψ Vθ = − ∂r
ψ
称为流函数 只要流动存在，无论是否有旋，是否为理想流体，都必定 存在流函数
流函数的特性 流函数 ψ 与流线的关系
ψ = const
的等值线是平面上一条流线
证明：由流线方程：
dx dy = u v
而
− vdx + udy = 0
即
∂ψ u = ∂y ∂ψ v = − ∂x
∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y
∴
ψ =c
故 ψ 流线
= c
时 , c 是流线方程的解，它是平面上一条
注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中 流函数ψ 与流量Q的关系
dψ = 0
B
流线
流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差
Q = ψB − ψA
V A
ψB
ψA
由此结果可知 两流线之间流量保持不变 与曲线AB的起始点无关 若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零 若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零
流函数ψ与势函数φ的关系 对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是 a:
∂ϕ ∂ψ u= = ∂x ∂y
等φ线与等ψ线垂直
∂ϕ ∂ψ v= =− ∂y ∂x
ϕ =c ψ =c
b:
前已证明，流线与等势面垂直， 而
ψ = const 的线是流线
流网
故等φ线与等ψ线垂直
在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数 对平面无旋流 将
ωz = 0
∂ψ v=− ∂x
∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y
代入
∂ψ u= ∂y
有：
∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0 2 2 ∂x ∂y
满足拉普拉斯方程，故
ψ
是调和函数
势流叠加原理ϕϕϕϕϕϕϕ∇=∇++=∇+∇+∇=2
2
1232
2
2
123()
=++123
V V V V 势函数
速度
ϕϕϕϕ=++123。
