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三、解答题１.设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ,求A 、C B 、至少出现一个的概率。
解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知,0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ,所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=8581341=-⨯= ２.设有10件产品,其中有３件次品,从中任意抽取５件，问其中恰有2件次品的概率是多少?解：设A 表示:“任意抽取的5件中恰有2件次品”。
则510)(C n =Ω。
５件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。
于是所求概率为P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/35510=C3．一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个(有放回)。
求:(1）第二次取出的是次品的概率；（2)两次都取到正品的概率;（3）第一次取到正品,第二次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”（i =１,2)，则（1）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P 611221221221210=⨯+⨯= (2)两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =362512101210=⨯=(3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为)(21A A P 3651221210=⨯= 4.一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个（不放回）。
求：(1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率;(3）恰有一次取到次品的概率。
解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”(i =1，2）,则(1）至少取到一个正品的概率)(121A A P -)|()(1121A A P A P -=66651111221=⨯-=(２）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=611111221121210=⨯+⨯=（３)恰有一次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=331011101221121210=⨯+⨯=5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件,求：(1)两件都是正品的概率；(2）恰有一件次品的概率；(3）至少取到一件次品的概率。
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
中职数学概率统计练习题
练一：概率计算
1. 某班级有50名学生，其中30人擅长篮球，20人擅长足球，10人既擅长篮球又擅长足球。
从该班级中随机选一个学生，请计算该学生擅长篮球或足球的概率。
练二：条件概率
2. 一家电子产品公司生产电视机和电冰箱两种产品。
该公司的统计数据显示，电视机的次品率是5%，而电冰箱的次品率是3%。
另外，该公司生产的电视机和电冰箱的比例为3:2。
从该公司中随机选一个产品，请计算该产品是电视机的概率，且是次品的条件概率。
练三：二项分布
3. 一枚硬币正面向上的概率是0.6。
现在进行5次抛硬币的实验，请计算恰好有3次正面朝上的概率。
练四：正态分布
4. 某市一所高中的学生成绩服从正态分布，其平均分为80分，标准差为10分。
请计算学生中成绩大于90分的比例。
练五：抽样与估计
5. 某公司的员工数量为1000人。
为了对该公司员工的平均年
龄进行估计，从中随机抽取了100人并统计了他们的年龄。
请计算
在95%的置信水平下，对于该公司员工平均年龄的置信区间。
练六：相关与回归
6. 一个研究人员想要了解身高和体重之间的关系。
他在200名
成年男性中测量了他们的身高（单位：厘米）和体重（单位：千克）。
请计算身高和体重之间的相关系数，并解释其意义。
概率统计高二练习题及答案一、选择题1. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A={2, 4, 6}，事件B={3, 4, 5}，则事件A∪B的元素个数是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C2. 将两个硬币抛掷，它们的结果可以分别是正面（正）、反面（反）。
S表示随机试验“抛掷两个硬币，观察正反面”，事件A表示“至少有一个正面朝上”，则事件A的对立事件是：A. 两个硬币都是反面朝上B. 两个硬币都是正面朝上C. 两个硬币正反面朝上D. 至少有一个反面朝上答案：A3. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5}，事件A={1, 2}，事件B={1, 3, 4}，则事件A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：14. 设随机试验S的样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5}，事件A={1, 2}，事件B={3, 4}，则事件A∪B的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：45. 在某次抽查中，2人中至少有1人精通英语的概率为0.8，两人都不精通英语的概率为0.1，则恰有1人精通英语的概率为：A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4答案：C二、填空题1. 样本空间为Ω={1, 2, 3, 4, 5}的随机试验，以P表示概率函数，则P(Ω)=____。
答案：12. 设随机试验S可有n个结果，而其样本空间的元素个数为m个，则事件A发生的可能性大小为 ________。
答案：m/n3. 在某乡村学校的学生中，男生占40%，女生占60%，男生与女生都占的概率是______。
答案：04. 把两颗骰子分别投掷一次，事件A表示两颗骰子的点数和为8，则事件A发生的概率为________。
答案：5/365. 在两人赛马中，甲、乙、丙三匹马参赛，任一马获胜的概率均为1/3，则甲、乙、丙三匹马同时获胜的概率为______。
答案：0三、计算题1. 有n个袜子，有黑、白两种颜色，从中任取3只，问至少有1只黑袜子的概率是多少？答案：1 - (C(n, 3)/C(n, 3 - 0))*(C(n - 2, 3)/C(n, 3))2. 某商场推出一种新产品，调查发现客户购买此产品的概率为0.25，连续3个客户中至少有一个购买此产品的概率是多少？答案：1 - (1 - 0.25)^33. 一批零件中有5个次品，从中任取4个进行抽样，假设各个零件取得的概率相同，计算抽到至少1个次品的概率。
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
1一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ⊂ _____________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___)3,0(N________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。
二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独立 C 、X 与Y 可能服从二维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来自总体X ，,)(,)(2σμ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是μ的无偏估计 B 、X 是μ的无偏估计 C 、)1(2n i X i ≤≤是2σ的无偏估计D 、2X 是2σ的无偏估计4、设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、μ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验水平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共32分，每小题各4分）1.已知离散型随机变量X 的分布函数为0,10.3,13()0.5,341,4x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ,则{1|3}P X X >≠=（ ）。
A.57 ; B.58； C.78； D.710 。
2.设321,,X X X 为来自总体X 的一个简单样本, 总体均值EX μ=，总体方差2DX σ=，下列几个总体均值μ的无偏估计量中，方差最小的是 。
A.123131ˆ5102X X X θ=++；B. 123111ˆ326X X X θ=++； C.123111ˆ333X X X θ=++； D. 123131ˆ3412X X X θ=+- 。
3.设随机变量),(~2σμN X , 则=-||μX E 。
A. 0 ； B μ. ； C. σ ； D.σπ22。
4.设总体2~(,)X N μσ，其中2σ 未知；12,,,n x x x 为来自总体X 的样本，给定01α<<， 下列表述中正确的结论是 。
A ．1122{((1P x tn x t n ααμα----≤≤+-=-；B.1122{((1P x tn x t n ααμα---≤≤+=-；C.22{((P x tn x t n ααμα--≤≤+-=；D. 1122{1P x z x z ααμα---≤≤+=-。
5. 设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z >= 。
A.1(,)F z z - ；B. {}{}P X z P Y z >+>；C. (,)F z z ；D. {,}P Xz Y z >>。
6. 设随机变量Y X ,的二阶矩22,EX EY 存在，下列不等式中正确的结论是 。
A. 122|()|()E X EX >； B.111222222(||)()()E X Y EX EY +≥+；C.|(,)|Cov X Y ≥112222|()|()()E XY EX EY ≤⋅。
《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案1、一报童卖报, 每份元,其成本为元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.2、设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k a K X P k.试确定常数a .解 依据概率分布的性质：,1}{0}{⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∑k k X P k X P欲使上述函数为概率分布应有,0≥a ,1!0==∑∞=k kae K a λλ 从中解得.λ-=e a 注: 这里用到了常见的幂级数展开式.!0∑∞==k kK e λλ3、X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解 将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F)2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤=)3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当 4、设随机变量X 的概率分布为 4/12/14/1421i p X -, 求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P 5、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π 求其分布函数)(x F .解 ⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )(}{)( 当,1-<x ;0)(=x F当,11≤≤-x ⎰⎰--∞--+⋅=x dt t dt x F 121120)(π21arcsin 112++-=x x xππ 当,1>x ,1)(=x F 故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-++--<=.1,111,21arcsin 111,0)(2x x x x x x x F ππ 6、设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f }.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数解 (1) 由⎰+∞∞-=,1)(dx x f 得,1224330=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dx x kxdx 解得,6/1=k 于是X 的概率密度为.,043,2230,6)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它x x x x x f(2) X 的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰4,143,22630,60,03030x x dt t dt t x dt t x x x .4,143,4/2330,12/0,022⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=x x x x x x x (3) ⎰=≤<2/71)(}2/71{dx x f X P ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2/73312261dx x xdx 2/73231242121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ,4841= 或)1()2/7(}2/71{F F X P -=≤<.48/41=7、设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少解 设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x)(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=x 即,9.010650=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78分. 8、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.解 引入事件=1A {电压不超过 200 伏},=2A {电压不超过 200~240 伏},=3A {电压超过240伏}; =B {电子元件损坏}.由条件知),25,220(~2N X 因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=2522020025220}200{)(1X P X P A P ;212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= }240200{)(2≤≤=X P A P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=8.0252208.0X P .576.01)8.0(2=-Φ= }240{1}240{)(3≤-=>=X P X P A P .212.0)8.0(1=Φ-=(1) 由题设条件,,1.0)|(1=A B P ,001.0)|(2=A B P 2.0)|(3=A B P于是由全概率公式, 有.0642.0)|()()(31===∑=i i i A B P A P B P α (2) 由贝叶斯公式, 有 .009.0)()|()()|(222≈==B P A B P A P B A P β 9、已知某台机器生产的螺栓长度X (单位:厘米)服从参数,05.10=μ06.0=σ的正态分布. 规定螺栓长度在12.005.10±内为合格品, 试求螺栓为合格品的概率.解 根据假设),06.0,05.10(~2N X记,12.005.10-=a ,12.005.10+=b 则}{b X a ≤≤表示螺栓为合格品. 于是}{b X a P ≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b )2()2(-Φ-Φ= )]2(1[)2(Φ--Φ=1)2(2-Φ=19772.02-⨯=.9544.0=即螺栓为合格品的概率等于.10.已知)5.0,8(~2N X ，求(1) );7(),9(F F(2) }105.7{≤≤X P ; (3) };1|8{|≤-X P (4) }.5.0|9{|<-X P11.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于, x 至少为多少12、设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.解 记Y 的分布函数为),(x F Y 则}.{}{)(2x X P x Y P x F Y ≤=≤=显然, 当0<x 时，;0}{)(2=≤=x X P x F Y当0≥x 时, }{)(2x X P x F Y ≤=.1)(2}{-Φ=<<-=x x X x P从而2X Y =的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-Φ=0,00,1)(2)(x x x x F Y 于是其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=0,00),(1)()(x x x x x F x f Y Y ϕ.0,00,212/⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-x x e x x π注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2χ分布, 它是一类更广泛的分布)(2n χ在1=n 时的特例. 关于)(2n χ分布的细节将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.解 根据已知结果, X 的分布函数⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x X λ Y 的分布函数}}2,{min{}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=}}2,{min{1y X P >-=}.2,{1y y X P >>-= 当2<y 时，),(}{}{1)(y F y X P y X P y F X Y =≤=>-=当2≥y 时，.1)(=y F Y代入X 的分布函数中可得.2,120,10,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-y y e y y F y Y λ注：在本例中, 虽然X 是连续型随机变量, 但Y 不是连续型随机变量, 也不是离散型 随机变量, Y 的分布在2=y 处间断.14、设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.解 在区间 (0,1) 上, 函数,0ln <x 故,0ln 2>-=x y 02<-='xy 于是y 在区间),0(+∞上单调下降, 有反函数2/)(y e y h x -==从而 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=---其它,010,)()()(2/2/2/y y y X Y e dy e d e f y f 已知X 在在(0,1)上服从均匀分布,⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X代入)(y f Y 的表达式中, 得⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,21)(2/y e y f y X即Y 服从参数为1/2的指数分布.15. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X - 试求: (1) 2X 的分布律; (2) 2X 的分布律.16. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f 求X Y sin =的概率密度.。
《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案真-报童卖报，每份元，英成本为元.报馆每天给报童1000份报，并规泄他不得把卖不 出的报纸退回.设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表 达式表示・2、设随机变量X 的概率分布为：¥P {X = K} = a —. A=a 1. 2,…，久 >0.R!试确定常数解依据概率分布的性质: [P[X=k}>G 工 P{X=k} = l ・w欲使上述函数为概率分布应有心。
j 忒宀，从中解得"•3、X 具有离散均匀分布，即P(X =A ；) = !/n,/ = 12—?,求X 的分布函数.解 将X 所取的”个值按从小到大的顺序排列为切<“2> <・・•<*（和 贝Ijxvx ⑴时，F(x) = P{X<x} = 0. ・*1)<X< 斗2)时，F(x) = P{X < A } =l/zh •¥(2)< X < 兀⑶ H4 ♦ F(x) = P{X <x} = 2/八,•V (灯 <尤<兀(*祕)时，F(x) = P{X <x} = k/n. 入•>兀如时，F(x) = P{X<x} = \0,^x<min （召，…‘丿k/n,当力> min （M 斗）且大,（y =1,2,…屮恰好有k 个不头于;V U当X vmax （X],…，兀 J求X 的的分布函数，并求* 3*注：这里用到了常见的暮级数展开式宀Y 务Jt-O故 Fg ・4.设随机变量X 的概率分布为X Pi-1241/4 1/2 1/4’P{X<l/2}, P {3/2vX<5/2}, P{2<X<3}・5、设随机变量X 的密度函数为0.求苴分布函数F(x)・解 F(x) = X<x} = ［：/ ⑴由 当 xv-h F(x) = 0;当-l<x<l, F(x)= fo-Jz+ f' —Jl-rt/f =—y/l-x- +—arcsinx+-J-x J ・i 〃 只 n 26.设随机变量X 具有概率密度kx ・V/U)= 2-|, 3<X<4, 0, 苴它(2)求X 的分布函数F(x): ⑶求PU<X<7/2}・ 丫 2--b=i, 八2/(2) X 的分布函数为「7/2 朴 1 「7/2/ X(3) P{l<X<7/2}・“U)d2| 評讨 12-- 或 P {l<X<7/2} = F(7/2)-F(l)=41/4&7、设某项竞赛成绩X 〜N (65,100),若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少 解 设获奖分数线为则求使P{X>x^} = OA 成立的心・其它当 X>1・ F(x) = 1,故 F(x)n0, A f --- 7 1 1—Vl-f +—arcsinx + — XV-12’A->1⑴确泄常姒；解⑴由 J f(x)dx = l* 得解得k = \©于是X 的概率密度为/Cv) =X6*2 ■丄20<x<33<x<4・尖它F(x)=<0,Jo 6x<0 0<x<33<x<4 x>4a X-/12. —3 + 2x ■x<00<x<33<x<4 x>4P{X >x^} = \-P{X <x^} = i-F(x^) =1-0筈竺) = 09査表得斗浮= 1.29,解得丸= 77.9,故分数线可宦为78分.I IU / 1U8、在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏 的概率分别为，和.假设电源电压X 服从正态分布N(22O, 25 2).试求：(1) 该电子元件损坏的概率a ；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率0. 解引入事件州=｛电压不超过200伏｝"2=｛电压不超过200-240伏｝/3=｛电斥超过240伏｝;B = ｛电子元件损坏｝• 由条件知X ~N(22O ・252),因此 < 笃严} = 54 8)= 1-0(0.8) = 0.212;Y _ Rf)]P“2)= P(2{)O<X<24O}=件-0・8<^^^^^^<0・8} =250.8)-1=0.576. P(州)=P{X >240| = 1-P(X<240} = 1-0(0,8) = 0.212・ (1)由题设条件,P(BIA)= 0丄 P(BIA2)= O ・OO1・ P(BI/V)= °・2于是由全概率公式，有3a = P(B) = ZP(A)P(BI A)= 0・0642・j-i⑵由贝叶斯公式，有0 = P(A,\B) = P"2)P"IA2)丸0.009. 卩 - P(B)9、已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米)服从参数// = 10.05, <7 = 0.06的正态分布.规定螺栓长度在10・05±0」2内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.解 根据假设X ~ N(IO ・050062)・P{«<X<”}=©(匕勺一❻= e(2)-[l-e(2)] =252)-1 =2 x 0.9772-1 =0.9544. 即螺栓为合格品的概率等于.10•已知 X~N(&O ・52),求 {1) F(9),F(7); (2) P{7.5<X<10}; {3) P{IX-8K1};(4) P{IX-9lv0・5)・10P(A)= P{X<200} = P记“ =10・05-0・12 b = lQ05 + 0」2则{a<X<h}表示螺栓为合格品.于是q<)=(I>(2)-◎(-2)11•某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布N(2).已知其寿命在250小时以上的 槪率和寿命不超过350小时的概率均为％,为使其寿命在“-兀和“+K 之间的概率不小于, X 至少为多少12.设X ~N(0,l),求y = X-的密度函数.解记r 的分布函数为 F Y (X ).则 Fy(x) = P{Y<x} = P{X-<x}. 显然，当丄yO 时，Ey(x) = P{X-<x} = 0;当x>o 时，Fy(x)= p{x- <x} = P {-5/7<X <5/7}・2e(頁)一1・注：以上述函数为密度函数的随机变量称为服从z'(l)分布，它是一类更广泛的分布 r ⑺)在"I 时的特例.关于Z-00分布的细将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为几的指数分布，求r = min{X.2|的分布函数•解根据已知结果，X 的分布函数I-严 x>0 0,x<0y 的分布函数Fy(y) = P{Y<y} = P{mn{X.2}<y}=l-P{min{X.2}>y} =1-P{X >”2>卅・当)Y 2 时，Fy(y) = \-P{X>y} = P{X<y} = Fx(yl 当 y>2 时，Fy(y) = \.注：在本例中，虽然X 是连续型随机变量，但Y 不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量「的分布在y = 2处间断.从而y = X^的分布函数为Fy(x)h2<1>( 77)-1, %>0%<0于是其密度函数为fy(X)=F}(X)= -石倾仮)' 0,x>0.<o=r丄严，*>0JDC 0, x<0代入X 的分布函数中可得F 心)=1-宀0.y<Q"刘,0<yv2・h y>214s 设随机变量X 在（04） h 服从均匀分布"求r=-2In X 的概率密度. 9解 在区间（0,1） ±,函数InxvO,故y = -21nx>0・ / = --<0X 于是y 在区间（0・+8）上单调下降，有反函数x ・h （y ）*F2已知X 在在（61）上服从均匀分布即门股从参数为仇的指数分布. 15.设X 的分布列为X -1 0 I 2 5/2Pi 1/5 1/10 1/10 1/10 3/10试求：（1） 2X 的分布律；（2） X2的分布律.16•设随机变量X 的概率密度为lxl7l~, Q<x< 仏0. 其它.求y = sinX 的概率密度•从而/r （y ）=严2<1其它代入/V （y ）的表达式中，得Zv （y ）h 2^・ 0. 1, 0<x<l 0.苴它-v/2 y>Q 其它f(x) = <。
概率统计练习2——决策问题1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试））某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：Ⅰ）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y大于零的概率．4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.5.（2012安徽理）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量. （1）求的概率;（2）设,求的分布列和均值(数学期望).A AB B n m +n A m B X A 2X n =+m n =X6．（2012湖北理）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm )对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求: （1）工期延误天数的均值与方差;（2）在降水量X 至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.Y 3007．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望．8．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？9．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.）的函数解析（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n N式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求()E X ； （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？。
概率论与数理统计练习题21⼀、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满⾜1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ? _____________。
2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。
3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。
4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，则~Y X Z -=___)3,0(N________。
5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。
⼆、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄⾖随机地放⼊4个杯⼦，则杯⼦中盛黄⾖最多为⼀粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独⽴ C 、X 与Y 可能服从⼆维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来⾃总体X ，,)(,)(2σµ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是µ的⽆偏估计 B 、X 是µ的⽆偏估计 C 、)1(2的⽆偏估计4、设n X X X ,,,21 来⾃正态总体),(2σµN 的样本，其中µ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、µ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验⽔平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成⽴，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成⽴，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成⽴，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成⽴，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。
概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
习题是学习这门学科的重要方式之一，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将针对概率论与数理统计习题二给出详细的答案解析。
1. 设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.4。
求P(A并B)和P(A或B)。
解析：由于事件A和事件B是相互独立的，所以P(A并B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12。
而P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A并B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58。
2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求恰好有3个次品的概率。
解析：设事件A为恰好有3个次品，事件B为抽取的5个产品中有3个次品。
根据二项分布的概率公式，P(B) = C(5, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081。
因此，恰好有3个次品的概率为0.0081。
3. 一批产品的质量服从正态分布，已知平均值为μ，标准差为σ。
从中随机抽取一个样本，样本容量为n。
求样本均值的期望值和方差。
解析：样本均值的期望值为总体均值μ，样本均值的方差为总体方差除以样本容量n。
因此，样本均值的期望值为μ，方差为σ^2/n。
4. 设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X, Y) = 5，方差分别为Var(X) = 9，Var(Y) = 16。
求随机变量Z = 2X + 3Y的方差。
解析：根据随机变量的性质，Var(Z) = Var(2X + 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y) +12Cov(X, Y) = 4 * 9 + 9 * 16 + 12 * 5 = 36 + 144 + 60 = 240。
5. 设X服从参数为λ的指数分布，即X ~ Exp(λ)。
第二章 练习1. 设X 为一离散型的随机变量，其分布律为求：（1）q 的值；（2）X 的分布函数. 2. 设随机变量X 的分布律为求：)21(≤X P ；)2523(≤<X P ，)32(≤≤X P .3.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<=其他02110)(x b ax x xx f ，且87)230(=≤<X P ，求：（1）常数b a ,的值；（2）求分布函数)(x F .4. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(，求：（1）)2(<X P ，(2))250(≤<X P ,(3)求X 的密度函数)(x f .5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=其他021210)(x x x x x f ，求)5.1(≤X P .6. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2120sin 00)(ππx x x a x x F ,求a 的值.7.从发芽率为0.999的一大批种子里，随机抽取500粒，进行发芽试验，计算500粒中没有发芽的比例不超过1%的概率. 8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为.0051)(5⎪⎩⎪⎨⎧<=-其他x ex f xX 某顾客在窗口等待服务，若超过10(min),他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他一个月内未等到服务而离开窗口的次数，求)1(≥Y P . 9.从某地到火车站有两条路线，一条路程短但阻塞多， 所需时间1X 服从分布)100,50(N ，另一条路程长但阻塞少，所需时间2X 服从分布)16,60(N ， 要在70分钟内赶到火车站走哪条路保险？ 10.设随机变量X 在区间)1,0(服从均匀分布， 求Xe Y =的概率密度.11.设)1,0(~N X ，求X Y =的概率密度.思考题：某企业招聘330人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有1000人报名，而报名者考试成绩),(~2σμN X ，已知90分以上有36人，60分以下有115人，问被录用者最低分数是多少？。
0 1
-1 10.3 0.3 0.3
概率论与数理统计练习（二）
一、填空题
1、A、B是两个随机事件，已知，则
(1) 若互斥，则 ;
(2) 若独立,则 ;
(3) 若,则 .
2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再
取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： .
3、设随机变量X服从泊松分布，则 .
4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则___ , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则=____，_ 。
5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 __ ，成绩超过85分的学生占比为 __。
其中标准正态分布函数值.
6、设二维随机向量的分布律是有
则__，的数学期望_________，的相关系数
_______。
7、设及分别是总体的容量为16，8的两个独立样本，分别为样本均值，
分别为样本方差。
则：， __，= ，
____，。
此题中
8、设是总体的样本，下列的统计量中，__ 是的无偏统计量，的无偏统计量中统计量最有效。
A. B. C. D.
9. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布,为总体的样本，的矩估计量为____，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则的矩估计值为
10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：____,也称为_____错误。
二、已知随机变量X的密度函数
求：（1）常数，（2）（3）X的分布函数F（X）。
三、设随机变量X，Y的概率密度分别为：
，且随机变量X，Y相互独立。
（1）求（X，Y）的联合概率密度为：
（2）计算概率值。
(3)求概率密度
四、从总体~中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：，
求u的置信度为0.95的置信区间和的置信度为0.95的置信区间。
五、设总体X服从均匀分布,是X的一个样本，求的矩估计量
六、某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布,该校校长声称学生平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平下，检验该校长的断言是否正确。
（此题中）七、设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克, 现检验了一组16只数显称重器,得标准差12克，试检验制造商的言是否正确（取），此题中。
八、某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。
（已知，提示用中心极限定理）。
