概率统计2
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概率统计2-4
X pk 3
-1
1 8
0
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1
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2
1 2
Ch2-92
1 8
1 0
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1
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4
1 2
1 2
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0
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1
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3 8
1 2
Ch2-93 例2 已知 X 的概率分布为 P( X = k ) = pqk , k = 0,1,2,⋯ 2 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 ∞ ∞ π p 2m 解 P(Y = 0) = ∑ P( X = 2m⋅ ) = ∑ pq = 2 1− q2 m=0 m=0
y =1− x
3
在R上是单调的，且 x = h(y) = (1 - y)3
x′ = 3(1− y)2
fY ( y) = f X (x)⋅ | x′ | = f X [(1− y)3 ]⋅ | 3(1− y)2 |
3(1− y)2 = ,−∞ < y < +∞ 6 π[1+ (1− y) ]
Ch2-99
∫
f X ( x ) d x ] ′ = f X [h( y)] ⋅ h′( y)
当y≥β时，F(y)=P(Y≤y)=1 所以结论成立
f ( y) = F′( y) = 0
例5 设 求 f Y (y) 解
1 f X (x) = , 2 π (1+ x )
Ch2-98
− ∞ < x < +∞
Y =1− 3 X
Ch2-94
0 F ( y) = * Y 1
概率统计第二章答案
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第二章 随机变量及其分布教学要求：一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律1．填空、选择(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量⎩⎨⎧=，，出现正面，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间]221，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果{}81801=≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i其中0>c 是常数，则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）11+=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.解：从1～5中随机取3个共有1035=C 种取法.以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3{}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则{}1013==X P ; {}4=X 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有323=C 种取法,故{}10343523===C C X P ;{}5=X 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有624=C 种取法,故{}5310653524====C C X P .{}5=X P 也可由{}{}431=-=-X P X P 得到.3．设X 为随机变量，且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 (1)判断上面的式子是否为X 的概率分布； 解：令 ,2,1,21)(====k k X P p kk ， 显然 ① 10≤≤k p ，② 1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p ；所以 ,2,1,21)(===k k X P k 为随机变量X 的概率分布。
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
2概率统计第二讲
∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布 一维离散型 的几个常用分布
1. 退化分布 单点分布) 退化分布(单点分布 单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中 为常数。 ～ 为常数。 ＝ ＝ ，其中a为常数 2. (0－1)分布 两点分布 － 分布 两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ － － ＝ 4. 二项分布 二项分布B(n, p) － － X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～ ＝ ＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布 则 服从参数为λ 一 三 四一 服从参数为 的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的 三 四二 与 分别为 分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 是某一r.v.的分布函数 分布函数 为使 − 是某一 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理 设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝ 则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝
概率统计2-2
Ch2-16
作业 P 70习题二 1、2、4、6、
例3 某人独立射击，若每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), X表示首次击中目标时已射击的次数，求 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次没击中，第 k 次击中目标) k −1 P(X = k) = ( − p) 1 ⋅ p 通常称此分布为 几何分布 例4 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), 且 各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求 所需轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，第 k 次击中目标)
应用 场合 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 分布描述, 如产品是否合格、人
口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.
Ch2-19
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
P (k) = P( X = k) = C p (1− p) n
k!
,
k = 0,1 2,⋯ ,
证 记 npn = λn k n−k λn ) ) k k n−k n(n −1 ⋯(n − k +1 λn Cn pn (1− pn ) = 1− k! n n n n−k − ⋅(−λ ) k λ n 1 k −1 λn λn
问题 如何计算？P( X ≥ 2500) Possion定理 若 X n ~ B( n, pn ), 定理 设 npn = λ > 0 , 则对固定的 k λk k k limCn pn (1− pn )n−k = e−λ ,2, k = 0,1 ⋯ n→∞ k! Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 np = λ 适中, 则可以用近似公式
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率统计2-3
0.08 0.06 0.04 0.02
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t
x
(t )2 2 2
e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t
x
(t )2 2 2
e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
全国自学考试概率论与数理统计(二)历年真题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题课程代码:02197一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分.1．设A 、B 为两事件，已知P （B ）=21，P （A ⋃B )=32，若事件A ,B 相互独立，则P (A )=（ ) A ．91B ．61C ．31D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ） A ．如果A ，B 互不相容，则A ，B 也互不相容 B ．如果A ⊂B ，则B A ⊂ C ．如果A ⊃B ，则B A ⊃D ．如果A ,B 对立，则A ，B 也对立3．每次试验成功率为p （0〈p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为( ) A ．(1-p ）3 B ．1—p 3C ．3（1—p ）D ．（1-p ）3+p (1-p ）2+p 2（1—p ）4．已知离散型随机变量X则下列概率计算结果正确的是（ ） A ．P （X =3)=0 B ．P (X =0)=0 C ．P (X >—1）=1D ．P （X 〈4)=1 5．已知连续型随机变量X 服从区间[a ,b ］上的均匀分布，则概率P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X （ ）A ．0B ．31C ．32 D ．1A ．（51，151) B ．(151，51) C ．(101，152） D ．(152，101) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为f (x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤≤≤+,,0,10,20),(其他y x y x k 则k =（ ）A ．31B ．21 C ．1D ．38．已知随机变量X ～N (0,1），则随机变量Y =2X +10的方差为（ ) A ．1 B ．2 C ．4D ．149．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P （｜X -2|≥3）≤( )A ．91B ．92C ．31D ．94 10．由来自正态总体X ～N (μ，22）、容量为400的简单随机样本，样本均值为45，则未知参数μ的置信度为0。
《概率论与数理统计(二)》 复习题
概率论与数理统计（二）复习题之一一、单项选择题1. 设A ，B 是互不相容事件，则=+)(B A P【 】A. )(1A P -B. )(1B P -C. )()(1B P A P --D. )()(B P A P ⋅2. 某种规格的电子元件正常使用200小时的概率是0.8，正常使用250小时的概率为0.6，现有一个该种元件已经正常使用了200小时，则能够使用250小时的概率为【 】A. 0.48B. 0.6C. 0.8D. 0.753. 设随机变量ξ的分布律为22()0123!kP k k e k ξ===⋅⋅⋅⋅，，，，，，则(2)D ξ=【 】A. 2B. 4C. 6D. 84. 设12n X X X ⋅⋅⋅，，，是取自总体2~X N μσ（，）的样本，则对任意0>ε，下列各式成立的是【 】A. {}22n P X n σμεε-<≥B. {}221P X n σμεε--≥≥C. {}22P X n σμεε-≥≤D. {}22P X n n σμεε-≥≤5. 设随机变量X Y （，）的联合分布为则X Y （，）的协方差covX Y =（，）【 】A. 0B. 1C.81D. 81-6. 设随机变量X Y ，同分布，概率密度为 2120()0x x f x θθ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他，， 若[]1(2)E C X Y θ+=，则C 的值为【 】A.21B.31 C. 221θD. θ327. 123X X X ，，都服从[02]，上的均匀分布，则123(32)E X X X -+=【 】A. 1B. 3C. 4D. 28. 随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充分必要条件为【 】A. ()()E X E Y =B. 2222()()()()E X E X E Y E Y -=-C. 22()()E X E Y =D. 2222()()()()E X E X E Y E Y +=+9. 某生产线的产品合格率为0.85，使用某种仪器作产品的抽样检测，仪器检查结果的正确率为0.90，现任取一件产品经仪器检查为合格，而该件产品确实合格的概率为 【 】A. 0.85B. 1C. 0.98D. 0.9410. 设总体2~X N μσ（，），统计假设为0H ：0μμ=对1H ：0μμ≠，若用t 检验法，则在显著水平α的拒绝域为【 】A. 12(1)t tn α--＜ B. 12(1)t tn α-≥-C. 1(1)t t n α-≥-D. 1(1)t t n α---＜ 二、填空题11. 将3人以相同的概率分配到4间房的每一间中，则恰好3间房中各有1人的概率是________。
概率统计第二章练习
第二章 练习1. 设X 为一离散型的随机变量，其分布律为求：（1）q 的值；（2）X 的分布函数. 2. 设随机变量X 的分布律为求：)21(≤X P ；)2523(≤<X P ，)32(≤≤X P .3.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<=其他02110)(x b ax x xx f ，且87)230(=≤<X P ，求：（1）常数b a ,的值；（2）求分布函数)(x F .4. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(，求：（1）)2(<X P ，(2))250(≤<X P ,(3)求X 的密度函数)(x f .5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=其他021210)(x x x x x f ，求)5.1(≤X P .6. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2120sin 00)(ππx x x a x x F ,求a 的值.7.从发芽率为0.999的一大批种子里，随机抽取500粒，进行发芽试验，计算500粒中没有发芽的比例不超过1%的概率. 8.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为.0051)(5⎪⎩⎪⎨⎧<=-其他x ex f xX 某顾客在窗口等待服务，若超过10(min),他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他一个月内未等到服务而离开窗口的次数，求)1(≥Y P . 9.从某地到火车站有两条路线，一条路程短但阻塞多， 所需时间1X 服从分布)100,50(N ，另一条路程长但阻塞少，所需时间2X 服从分布)16,60(N ， 要在70分钟内赶到火车站走哪条路保险？ 10.设随机变量X 在区间)1,0(服从均匀分布， 求Xe Y =的概率密度.11.设)1,0(~N X ，求X Y =的概率密度.思考题：某企业招聘330人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有1000人报名，而报名者考试成绩),(~2σμN X ，已知90分以上有36人，60分以下有115人，问被录用者最低分数是多少？。
概率统计实验指导书2,3
概率统计实验指导书理学院实验中心数学专业实验室编写2009.12实验二 统计分析1 引1. 问题：湖中有鱼，其数不知。
现在请你想一个办法，能将湖中的鱼数大致估计出来。
2. 分析：有两种方法。
[方法一] 设湖中有N 条鱼。
先捕出r 条鱼，做上记号后放回湖中（设记号不会消失）。
让湖中的鱼充分混合后，再从湖中捕出s 条鱼，设其中有T 条鱼标有记号，则T 是随机变量，且服从超几何分布{}(0)t s tr N rsNC C P T t t r C --==≤≤。
应用极大似然估计思想，寻找N,使{}P T t =达到最大，得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
于是取sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作为湖中鱼数的一种估计，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
[方法二] 用矩估计法.因为T 服从超几何分布，其数学期望是()srE T N=，此即捕s 条鱼得到有标记的鱼的总体平均数。
而现在只捕一次，出现t 条有标记的鱼。
由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即srt N =，也得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
3. 问题的解决：由上面的分析，要想估计出湖中的鱼数，首先需要取到样本数据，然后利用样本数据，采用统计中的点估计法对总体进行估计，其属于统计分析中的一部分。
本节重点进行与统计分析相关的实验。
2 实验目的1、利用常用的统计量描述样本数据的集中和分散程度，并对总体特征进行归纳和分析。
2. 学习用MATLAB 对总体均值、方差进行估计。
3. 学习用MATLAB 处理假设检验的相关问题。
4. 解决“引”中的实际问题。
3 实验内容1.使用MATLAB 对样本数据进行处理MATLAB 提供了若干对数据进行统计分析的命令，这些命令作用到一个矩阵上会对各列分别作用，得到一个行向量，现将这些命令列举如下：max 最大分量； mean 平均值； std 标准差； sum 分量和； product 分量积； cumsum 元素累和； min 最小分量； median 中位数； sort 按不增次序排序； hist 直方图； diff 差分函数； cumprod 元素累计积此外，命令corrcoef计算相关系数矩阵，格式为R=corrcoef(X),X为输入矩阵，它的行元素为观测值，列元素为变量，返回相关系数矩阵R，矩阵R的元素为R(i,j);命令cov计算协方差矩阵，格式为C=cov(X)，X若为单个向量，cov(X)返回包含方差的标量；X若为矩阵，X的每一列表示一个变量而行元素为观测值。
概率论与数理统计(二) 自考试题及答案
概率论与数理统计(二) 自考试题及答案一、填空题（共14题，共28分）1.一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=2.丢一颗骰子.A：出现奇数点，则A=（）；B：数点大于2，则B=（）3.一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A=（）；B：两次出现同一面，则=（）；C：至少有一次出现正面，则C=（）4.一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=5.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A 、B、C都不发生表示为：6.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A与B都发生,而C不发生表示为：7.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A与B都不发生,而C发生表示为：8.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中最多二个发生表示为：9.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中至少二个发生表示为：10.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件，A、B、C中不多于一个发生表示为：11.设S{x:0x5},A{x:1x3},B{x:24}：则12.设S{x:0x5},A{x:1x3},B{x:24}：则AB=13.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是14.已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则二、问答题（共9题，共54分）15.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
16.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。
17.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求正好有2个女同学的概率18.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求最多有2个女同学的概率19.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求至少有2个女同学的概率20.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。
《概率统计》第二章习题解答
解 ，可认为进行5次独立试验，设Y为寿命大于1500小时的只数,Y~b(5,2/3), 至少有2只寿命大于1500小时的概率是
23．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以小时计算）服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求概率。
解 离开的概率为
=0.5167
24．设k在(0,5)上服从均匀分布,求方程
有实根的概率。
解 当 时，方程有实根，即或时，有实根，则有实根的概率为
当x[-1,1]时;
当x时,F(x)=1, 即
F(x)=
(2)利用分段积分可求F(x)
21．（1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从马克思韦尔分布，其概率密度为
f(x)=
其中为常数，T为绝对温度，m是分子的质量,试确定常数A。
3/10
6/10
2． 一颗骰子抛掷两次，以X表示两次得到的点数之和，以X表示两次中得到的小的点数，
试分别求X的分布律。
解：两颗骰子相互独立，利用古典概型的算法可求出结果如下
（1）
2
3
4
5
6
7
8
9
10
111
解 （1）可视为古典概型问题，总挑法种数为，则成功一次的概率为
(2)设成功次数为X,则X~b(10,1/70)
因为能成功次的概率特别小所以可认为他确有区分的能力。
10．有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某时段内出事
p
(3) 参数为,=0.918
经管类概率统计2
正态分布: X ~ N()
f ( x) ( x )2 exp , x 2 2 2 2 1
13
例子
例2.5 (1) 某人向同一目标独立重复射击，每次命中 率为 p, 则此人第四次射击恰好第二次命中的概率为 ( ). (A) 3p(1 – p)2 (B) 6p(1 – p)2 (C) 3p2(1 – p)2 (D) 6p2(1 – p)2 (注: 负二项分布) (2) 设随机变量 X ~ U(–1, 1), A = {0 < X < 1}, B = {|X| < 1/4}, 则( ). (A) P(AB) = 0 (B) P(AB) = P(A) (C) P(A) + P(B) = 1 (D) P(AB) = P(A)P(B)
15
例子
例2.6 设 X ~ P(X = k) = –k – 1, k = 1, 2, …, 若 P(X ≤ 2) = 5/9, 则P(X = 3) = _____, P(X > 4|X > 2) = ____. (注: 几何分布的无记忆性) 例2.7 设随机变量 X 服从泊松分布, 已知 P(X = 4) = 2P(X = 5) , 则 (1) P(X = 0) = _____; (2) 随机变量 X 的众数(即概率达到最大的点)是____. (注: 众数, 中位数, 均值等统计概念)
14
例子
(3) 设随机变量 X 服从正态分布N(1, 12), Y 服从正态分布 N(2, 22), 且
P (| X 1 | 1) P (| Y 2 | 1)
则必有( ). (A) 1 < 2 (B) 1 > 2 (C) 1 < 2
(D) 1 > 2
概率统计习题2
第三章 数字特征一、选择题1。
随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ,则（ ) A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 22。
X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ) A ．DX EX ==3 B ．DX EX ==31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =913. 随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ，协方差12=XY σ，则)()(=-Y X DA ．1B ．37C ．61D ．854。
设X ～B （10, 31), 则=)X (E )X (D （ ）A 。
31B 。
32 C.1D.310 5．已知随机变量X 的分布函数为F （x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ )A.E （X ）=2， D （X)=4B 。
E （X ）=4， D(x ）=2C 。
E （X)=41,D （X)=21 D.E （X ）=21， D （X ）=41 6则E （XY ）=( ) A ．91- B ．0C ．91 D ．31 7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ) A ．-2 B ．0 C ．21D ．28．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ~B （6，21)，则E(X-Y)=（ ）A ．25- B ．21 C ．2D ．5 9．设二维随机变量（X ,Y ）的协方差Cov(X ，Y ）=61，且D （X )=4，D （Y ）=9,则X 与Y 的相关系数XY ρ为( ）A ．2161B ．361 C ．61 D ．1二、填空题1. 设X 服从二项分布),(p n B ,则=-)12(X D2。
总体X 服从)2,2(2N ，则=2EX3．设二维随机变量),(Y X 的分布律为则=)(XY E4．设随机变量X，则)(2X E = 5。
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概率统计模拟题 2
一、 填空题：
.____2
1
)1,0(.1的概率为两数之差小于中随机地取两个数，则在区间
.________),()(),2,6(~.22=<=≥k k X P k X P N X 则常数且设
.
__________)1(_________,)(,0,
00
,1)(.32=≤=⎩⎨⎧≤>-=-X P x f X x x e x F X x 的密度函数则
的分布函数为设 .
__________),,0(.42==+=ξηρηξσ的相关系数－和
则分布相互独立且都服从正态和设随机变量bY aX bY aX N Y X
当___________________,==βα时，X 和Y 相互独立。
二、 选择题：
23
,21)(23,21)(32
,32)(52,53)(_________
)()()(.)()(.1212121-
===-==
=-==-=b a D b a C b a B b a A x bF x aF x F X X x F x F 布函数，则也是某一随机变量的分若的分布函数与分别为随机变量与设
2
12
121212122)()()()(____
__________}3{},2{)3,(),2,(~.2p p D p p C p p B p p A Y P p X P p N Y N X =><=-≤=+≥==的个别值，有对，有对任意实数，有对任意实数，有对任意实数则，
，记设随机变量μμμμμμμμ9
.18)D (2
.15)C (8.14)B (6.12)A (__
__________)2(4.0,10(~),3.0,10(~,.32=-Y X E B Y B X Y X ），则
相互独立，且设随机变量
3
)(5
1
)D ()
53
()C ()
(5)B ()
35()A (______)(35)(.4++-=y F y F y F y F y F X Y x F X X X X X Y X 为的分布函数－，则的分布函数为已知随机变量
三、 计算题：
多少？
那他乘火车来的概率是？如果他确实迟到了，问他迟到的概率是多少，而乘飞机则不会迟到，，为车来，迟到的概率分别如果乘火车、轮船、汽，，，机的概率分别为火车、轮船、汽车、飞有朋友自远方来，他乘.
12
13141.4.01.02.03.0.1,
.2的分布律如下已知X
.
2的分布律求X Y =
X
2- 1- 0 1 2
P a 2a
41 4
1
2a |13.()0,1
(1);(2)(||)(3).
2
x X f x A P X X <=⎩
≤设随机变量的密度函数为
其它求：常数；的分布函数 ).(tan )2
,2(.4y f X Y X Y 的概率密度变量上的均匀分布，求随机服从设随机变量=-
π
πe ,05.()(,)0,(1)();
(2)(1)
y Y x y X Y f x y Y f y P X Y -⎧<<⎪
=⎨
⎪⎩+≤设二维随机变量，的概率密度为其他
求随机变量的边缘密度求概率
解：
2
111x
21
1
e
2e 1d e d d d ),(}1{)2(0,00
ye )()1.(5---≤+-+===
≤+⎩⎨
⎧≤>=⎰
⎰⎰⎰－，－x y y x y Y y x y x y x f Y X P y y y f
6.某保险公司由10000人参加保险，每人一年付12元保险费。
设在一年内一个人出意外的概率为0.006，出意外时保险公司付给家属2500元保险金。
问保险公司亏本的概率是多少？（用()x Φ表示） 解：
)
55.1()48(),72.7,60()006.0,10000(~.62Φ≈>≈X P N X B X 亏本由中心极限定理
7. 设随机变量 X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x ,
求X e Y 2-= 的数学期望.
解：⎰⎰+∞--+∞∞--==022)()(dx e e dx x f e Y E x x x 3103
1
3=∞-=-x e
8．设总体X 的概率密度为
.1,1,
0,
),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ
其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求： (1)β的矩估计量；(2)β的极大似然估计量. 解：（1） 1
);(1
1
-=⋅
==⎰⎰+∞
++∞
∞
-βββ
ββdx x
x dx x xf EX ，
令
X =-1
ββ，解得 β的矩估计量为 .1
ˆ-=X X
β
（2）似然函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n n
n
i i ββββ
当),,2,1(1n i x i =>时，
∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)
(ln =β
βd L d ， 可得 ∑==
n
i i
x
n
1
ln β，故β的最大似然估计量为 .ln ˆ1
∑==n
i i
X
n
β。