枚举法(一)

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。

枚举搜索一、枚举算法For x:=1 to 18 doFor y:=1 to 31 doBeginZ:=100-x-y;If X*5+y*3+z*1/3=100 then write()End;二、枚举的优化枚举算法的效率一般都比较低，程序的适应性也比较差，在使用枚举算法时，一般都要对枚举算法进行优化。

优化的基本思路是：尽量避免生成无意义的状态结点，以缩小搜索的空间。

最常用的优化方法是：将约束条件从筛选规则中转移到结点的生成规则中。

例：八皇后问题在一个8*8的方格的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后。

要求任意两个皇后都不在同一行、同一列、同一对角线上。

求所有满足要求的摆法。

分析一：若在构造搜索空间和状态结点时不考虑任何约束条件，则每个皇后都可以在尝试摆在64个方格中的任意一个里面。

因此，该系统的状态结点共有648个。

程序如下：For p1:=1 to 64 doFor p2:=1 to 64 do……For p8:=1 to 64 doIf 任何两个皇后不位于同行、同列、同对角线then输出该摆法。

假设计算机每秒能够执行100万次最内层循环体，则该程序需要运行9年时间。

分析二：实际上，题目已经规定了任意两个皇后不能位于同一行，那么就可以假定第1个皇后位于第1 行，第2个皇后位于第2行……第8个皇后位于第8行。

题目中的8个皇后是没有区别的，因此这样的假定并不会影响解的正确性和解的数量。

这样，每个皇后只需要在8个列的位置中进行选择，程序职下：For p1:=1 to 8 doFor p2:=1 to 8 do……For p8:=1 to 8 doIf 任何两个皇后不位于同列、同对角线then输出该摆法。

这个程序只需要执行88次循环，若计算机每秒能够执行100万次最内层循环体，则该程序只需运行17秒。

分析三：根据题目的约束条件可知，若第i个皇后已经位于第k列，则第i+1个皇后就没有必要再尝试第k列了。

根据这个思路，程序编写如下：For p1:=1 to 8 doFor p2:=1 to 8 do if p2<>p1 thenFor p3:=1 to 8 do if p3<>p2 then……If 任何两个皇后不位于同列、同对角线then输出该摆法。

枚举法的特点
1枚举法的介绍
枚举法是一种用穷举的方式来求解某一问题的解的算法。

它的特点是通过连续不断地分析所有可能的解法，来求出某一问题的最佳解或满足要求的解。

该算法可以用于有确定求解范围的有限问题，其优点是求解结果通常精确，但它的缺点是求解时间较长。

2特点
（1）枚举法是一种暴力求解技巧，只要有明确求解范围，就可以使用枚举法进行求解。

（2）枚举法涉及到全部搜索，穷尽每种情况，从而得到最优解的一种算法。

（3）枚举法对于有确定求解范围的有限问题，求解结果通常是精确的。

（4）枚举法存在计算量大和运行较慢的缺点，有时会遇到无解的情况。

3应用
枚举法主要应用于优化类的问题，常见的有求函数的最值和求网络流的最大流等。

此外，枚举法也可以用于求解一些密码和密码算式，例如密码解密、图形密码和游戏密码等。

4总结
综上所述，枚举法是一种可以用来求解某一特定问题的最佳解或满足要求的解的算法，它的特点就是可以将问题中可能的解穷举出来，并依次枚举，从而达到求解最优解或最大值的目的。

它主要用于优化类问题和密码算式求解等，但是存在着计算量大、求解慢的缺点。

枚举法是一种通过列举所有可能情况来解决问题的方法。

对于1到100的数字，我们可以使用Python的for循环来枚举所有的数字。

以下是一个简单的Python程序，使用枚举法找出1到100之间的所有奇数：python复制代码for i in range(1, 101):if i % 2 != 0:print(i)这个程序会打印出1到100之间的所有奇数。

range(1, 101)函数生成一个从1到100的数字序列，然后for 循环遍历这个序列。

在循环中，我们使用if语句检查当前的数字是否是奇数（即除以2的余数不等于0），如果是，就打印出来。

如果你想找出1到100之间的所有素数，你可以使用一个稍微复杂的算法，比如埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

这个算法的基本思想是，从2开始，把所有的偶数都标记为合数，然后找出所有的未被标记的数字，这些数字就是素数。

以下是一个使用Python实现的埃拉托斯特尼筛法的例子：python复制代码def sieve_of_eratosthenes(n):primes = [True] * (n+1)primes[0] = primes[1] = Falsefor i in range(2, int(n**0.5)+1):if primes[i]:for j in range(i**2, n+1, i):primes[j] = Falsereturn [p for p in range(2, n+1) if primes[p]]print(sieve_of_eratosthenes(100))这个程序会打印出1到100之间的所有素数。

枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。

在数学和计算机科学理论中，一个集的枚举是列出某些有穷序列集的所有成员的程序，或者是一种特定类型对象的计数。

这两种类型经常（但不总是）重叠。

特点将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。

例如：找出1到100之间的素数。

需要将1到100之间的所有整数进行判断。

枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。

3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。

4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。

结构枚举算法的一般结构：while循环。

首先考虑一个问题：将1到100之间的所有整数转换为二进制数表示。

算法一：for i:=1 to 100 do begin将i转换为二进制，采用不断除以2，余数即为转换为2进制以后的结果。

一直除商为0为止。

end;算法二：二进制加法，此时需要数组来帮忙。

program p;var a:array[1..100] of integer; {用于保存转换后的二进制结果} i,j,k:integer;beginfillchar(a,sizeof(a),0); {100个数组元素全部初始化为0}for i:=1 to 100 do begink:=100;while a[k]=1 do dec(k); {找高位第一个为0的位置}a[k]:=1; {找到了立刻赋值为1}for j:=k+1 to 100 do a[j]:=0; {它后面的低位全部赋值为0}k:=1;while a[k]=0 do inc(k); {从最高位开始找不为0的位置}write('(',i,')2=');for j:=k to 100 do write(a[j]); {输出转换以后的结果}writeln;end;end.枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。

基础算法（一）枚举（穷举）法无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。

在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。

一、枚举法的基本思想:从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。

这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。

二、枚举法解题思路：1、对命题建立正确的数学模型；2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。

三、枚举法的特点：算法简单，但运算量大。

对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。

1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。

2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。

打算从中选出一个大王。

经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。

要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。

参考程序：7、变形猴子选大王：有M个人围成一圈，每人有一个编号，从编号为1的人开始，每隔N个出圈，按出圈次序排成一列，其编号刚好按顺序从1到M。

要求：从键盘输入M，N，编程计算并输出这M个人原来在圈中的位置。

枚举法所谓枚举法，指的是从可能的解集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是无用的，哪些是有用的，能使命题成立，即为其解。

一般思路：①对命题建立正确的数学模型；②根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；③利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明；枚举法的特点：算法简单，有时运算量大。

对于可能确定解的值域又一时找不到其他更好的算法时可以采用枚举法。

下面我们举个简单例子来看看。

[例题]：求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1-3之间的整数。

分析：本题非常简单，即枚举所有情况，符合表达式即可：for A:=1 to 3 dofor B:=1 to 3 dofor C:=1 to 3 doif A+B=C thenwriteln(A,'+',B,'=',C);上例采用的就是枚举法。

本例中的A、B、C为“1-3”之间的整数，如果给的范围过大，比如1-100 ，则在编写程序时可能由于涉及的运算量太大，而导致要么死机，要么程序通不过编译，那么枚举法也就不能用了，具体情况应视情况而定。

从枚举法的定义可以看出，枚举法本质上属于搜索。

但与隐式图的搜索有所区别，读者在学杨老师的搜索算法时可以比较着学。

在采用枚举法求解的问题时，必须满足两个条件：①预先确定解的个数n；②对每个解变量A1，A2，……，An的取值，其变化范围需要预先确定：A1∈{X11,……，X1p}……A1∈{X11,……，X1p}……An∈{X11,……，X1p}本例中的解变量有3个：A，B，C。

其中A解变量值的可能取值范围：A∈{1，2，3}B解变量值的可能取值范围：A∈{1，2，3}C解变量值的可能取值范围：A∈{1，2，3}则问题的可能解有27个（A，B，C）∈{（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3）（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3）……………………………………（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）}在上述可能解集合中，满足题目给定的检验条件的解元素，即为问题的解。

排列组合问题(一) 枚举法枚举法导言：当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里）解析：按使用砝码的个数进行分类列举（1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体（2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量（3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量（4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？解析：可从小到大依次思考① 1+10② 2+9，2+10③ 3+8，3+9，3+10④ 4+7，4+8，4+9，4+10⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10⑦ 7+8，7+9，7+10⑧ 8+9，8+10⑨ 9+10所以，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同的取法例4、在1—400的自然数中，数字“2”出现了多少次？解析：在1—400这400个数中，“2”可能出现在个位、十位、百位上，我们就按这个来分类列举在个位上：2、12、、、92；102、112、、、192；202、212、、、292；302、312、、、392，共10×4=40次在十位上：20、21、、、29；120、121、、、129；220、221、、、229；320、321、、、329；共10×4=40次在百位上：200—299，共100次所以，“2”总共出现了40+40+100=180次思考：仔细思考下题，看看与例4有何区别：在1—400的自然数中，含有数字“2”的数字有多少个？例5、下图中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，沿差某条线段爬到C点，行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法解析：从A点出发有三种路可以走，我们就按这个进行分类列举A E DB F C(注示:上图中,AF间有一连线,EC间也有一连线)①A—E—D—C；A—E—C；A—E—F—C，有三种爬法②A—F—E—D—C；A—F—E—C；A—F—C，有三种爬法③A—B—F—E—D—C；A—B—F—E—C；A—B—F—C，有三种爬法所以，共有9种不同的爬法例6、从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路，小明从学校步行到少年宫（只许向东或向南行步），最多有多少种走法？学校 A B少年宫解析：在图形ABCD中，到B只有一种走法，到C也只有一种走法，到D有两种走法在图形CDEF中，到E只有一种走法，到D有两种走法，到F有三种走法我们可以发现规律：通过任何一个交叉点的路线总数等于该点左、上方的两邻交叉点的路线的总和，例如，通过点F的路线总和，会等于F点左方的点E、上方的点D通过路线的总和，1+2=3种按这个规律，我们依次计数下去，到少年宫应有6+4=10种不同的走法小结：在计数时，不遵循数序规律，东举一个，西举一个，不按顺序列举，往往会出现遗漏或重复，有序的思考、合理的分类，才是解决这类问题最关键的思维。