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第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第26卷 第5期2007年10月理 工 高 教 研 究Journal of Technology College Education Vol.26 No.5 Octember 2007引导学生理解信号频谱的概念和意义国防科学技术大学 刘芸 李宗伯 刘芳摘要: 针对教学难点,就如何引导学生有效理解信号频谱的概念和频域分析的意义,提出信号频域分析的教学思路和方法。
即先用单个正弦信号说明频谱的定义,从信号分解的角度理解频谱与信号的关系,再分析周期信号频谱的特点,进而引导出求非周期信号频谱的傅里叶变换,说明其意义,通过傅里叶变换的性质强调频域分析的实际应用。
在 信号与系统 课程中,连续时间信号与系统的频域分析这部分内容是本课程的重点学习内容,涉及傅里叶级数、傅里叶变换、系统的频域分析和抽样定理等。
从这一章节起,学生开始学习信号与系统的变换域分析方法,为后续复频域分析、离散时间信号与系统的频域分析和复频域分析等内容的学习打好基础。
在学习这部分内容时,学生往往容易陷入到繁琐的数学推导和计算中,而忽视了对概念、公式和结论所含物理意义的理解。
信号频谱是本章节中最重要的概念之一,也是教学的难点。
如何有效地引导学生理解信号频谱的概念和频域分析的意义,以下谈谈我们在实践中总结的教学思路和方法。
一、用单个正弦信号来说明频谱的定义信号的频谱就是信号的频域表示,是关于频率的幅度函数和相位函数,这两个函数分别称为幅度谱和相位谱,它们完全反映了信号的特性。
学生比较容易理解信号的时域表示方式,即用时间函数或波形来描述信号的特性,为了让学生建立起频谱的初步概念,可以用单一正弦信号与其频谱来说明。
例如考虑用余弦函数表示的正弦信号x (t )x (t )=A cos( 1t + 1)=A cos(2 f 1t + 1)(1)x (t )可以用三个参数表示其特征:振幅A 、初相位 1和频率f 1(或角频率 1=2 f 1)。
如果以频率(角频率)作为变量,可以画出作为频率函数的幅度和初相位的波形,如图1所示,它们就是x (t )的幅度谱A (f )和相位谱 (f ),即频谱。
已知信号频谱(图1(b)),可以画出信号的时域波形(图1(a)),或写出信号的时间函数,因此可以说频谱是信号的一种表示方式,称为频域表示。
这里要提醒或强调:频率和频谱是与正弦波对应的。
图1 信号x (t )=4cos[2 (5)t - 3]的波形和图1(b )所表示的是单边谱,它是和余弦函数相对应的。
为了引出双边谱的概念,将式(2)表示为x (t )=A cos( 1t + 1)=A 2e j 1e j 2 f 1t +A 2e -j 1e j (-2f 1)t (2)式(2)说明余弦函数可以表示成两个复指数函数的和,其中复数A 2e j 1与频率f 1有关,A 2e -j 1与频率-f 1有关,即它们是频率的函数。
这些复数的模和辐角分别称为余弦信号的双边幅度谱和相位谱,如图2所示。
余弦函数的幅度值是双边幅度谱在正频率的值的两倍,余弦函数的相位值是双边相位谱在正频率的值,因此,正弦信号的幅度和相位很容易从双边谱确定。
这里要强调:双边谱中的负频率项,并不意味着存在负频率,而是为了用复指数函数表示正弦信号而引入的。
二、从信号分解的角度来理解频谱与信号的关系在以单一正弦信号建立起频谱概念的基础上,我们可以用由多个正弦信号叠加组成的信号波形和其频谱举例,进一步说图2 图1所示信号的双边谱明信号频谱表示的意义。
例如x 1(t )=5cos[2 (5)t ]+cos 2 (10)t - 4+3cos 2 (15)t + 3(3)式(3)表示x 1(t )可以分解为三个不同频率的余弦函数之和,它的波形和频谱如图3所示。
单从x 1(t )的时域波形,看不出信号是由哪些余弦函数叠加而成。
如果已知信号的频谱,则可以很清楚地了解信号所含各频率余弦函数分量的大小和相位,同时,也可以根据频谱写出x 1(t )的时域表达式。
可见,信号的频谱表示与信号的时域函数或波形表示是完全相当的,而且信号频谱所反映的某些特性,如包含不同频率分量的幅度和相位特性,要比时域表示更加清晰有效。
图3 x 1(t )的波形和频谱三、由傅里叶级数分解来分析周期信号频谱的特点周期为T 1、基频为 1=2 f 1=2 T 1的周期函数f (t ),满足狄义赫利条件,可分解为傅里叶级数f (t )=c 0+n =1c n cos(n 1+ n )(4)式(4)为三角形式傅里叶级数,其中c 0相当于频率为0的余弦函数分量。
因此,完全可以在以频率为变量的轴上分别画出每个余弦函数分量(也称为谐波分量)的幅度和相位,即频谱。
通过把余弦函数表示成共轭复指数函数之和,可将f (t )分解为复指数形式的傅里叶级数,即f (t )=n =- F n e j n 1t (5)F n 一般为复数,以频率为变量,可画出F n 的模和辐角的图,当n 取值为负时,相当于负频率项,所得的波形即为f (t )的双边谱。
以上要强调:傅里叶级数是时域周期信号的一种分解方式,不同的信号其傅里叶级数表示形式一样,只是各项系数不同。
这些系数即是信号的频谱,它可以反映信号各谐波分量的幅度和相位特性,已知信号的频谱,则可以按照式(4)或式(5)写出周期信号的时域表示式。
而周期信号频谱的特点,可以用周期矩形脉冲信号为例进行说明。
设该信号的脉宽为 ,周期为T 1,按照傅里叶级数的求解公式求出各项系数c n 或F n ,然后做出频谱图。
通过分析让学生理解以下一些重要结论:(1)幅度谱和相位谱是离散谱线,仅在离散点角频率n 1(或频率nf 1)上有值。
这是因为展开式中的每个谐波分量的频率都是基频 1的整数倍;(2)离散间隔就是基频 1=2 T 1,与周期有关,周期越大,间隔越小,谱线越密;(3)谱线包络为Sa 函数的主要特点,由此引出频带宽度的概念。
四、随傅里叶变换的引出来理解非周期信号频谱的意义傅里叶变换是分析非周期信号频谱的数学工具。
傅里叶变换的引出,许多典型的教科书都是按照这样的思路:将非周期120 刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义信号做周期延拓,求其傅里叶级数,然后令周期为无穷大取极限,从而引出非周期信号的频谱密度函数,即傅里叶变换。
学生在理解了周期信号频谱的特点后,容易理解当周期趋于无穷大时,谱线间隔趋于无穷小,即离散谱变为连续谱。
但由于此时频谱值也趋于无穷小,所以转而用单位频带内的频谱值,即频谱密度函数作为非周期信号的频谱。
频谱密度的概念是模糊的,学生难以理解。
在这个问题的讲解上,我们觉得要强调它作为信号频谱的意义,而淡化对密度的理解。
设f (t )为一非周期信号,f T 1p (t )= n =- f (t -nT 1)为其做周期延拓得到的周期信号,则有f (t )=lim T 1 f T1p (t )(6)将f T 1p 展开成傅里叶级数,其系数为F T1n =1T 1 T 1f T 1p (t )e -j n 1t d t (7)f n =lim T 1F T 1n =lim T 11T 1 T 1f T 1p (t )e -j n 1t d t T 1 0(8)可以这样理解F n :信号必然含有一定的能量,其总能量不会因信号的分解方式而发生改变。
周期增大,谱线增多,即分解的谐波分量增多,相应的幅度值减小,所含的能量减小以保证总能量不变。
当周期增至无穷大时,f (t )将分解为无穷多频率分量之和,此时每一分量的幅度值趋于无穷小,但信号的频谱分布依然存在。
从数学上解释:在极限情况下,无穷多个无穷小量之和,可能等于一个有限值,它取决于信号的能量。
而频谱密度函数为f ( )=lim T 1 F T 1n T 1=lim T 1 2 F T 1n (n 1) 1=lim 102 F T 1n ( ) 1(9)F ( )可以收敛到确定的值。
从式(9)可以看出F ( )仍然反映了F n 的特性,与F n 不同的是它的单位不再是数值的大小,而是密度单位。
用F ( )作为f (t )分解成频率分量的系数,可以得到傅里叶变换式f (t )=12- F ( )e j t d F ( )=- f (t )e -j t d t(10)式(10)可以和傅里叶级数表示式联系起来理解:f (t )分解为无穷多个幅度为F ( )d 2 的复指数函数之和,其幅度大小取决于F ( ),即信号频谱,这就是傅里叶变换的物理意义。
由于频率的间隔为无穷小,所以频率变成连续变量,求和式变成积分式。
离散谱变成了连续谱。
从数学意义上理解:傅里叶变换可以看作是函数的一种变量变换,将以t 为变量的函数变换为以 为变量的函数,而t 为时间变量, 为频率变量,所以傅里叶变换是一种时频变换,它们之间具有一一对应的关系,简记为f (t ) F ( )(11)由这种变换的一一对应关系,可进一步阐明信号的频谱和信号的时间函数表示所包含的信息量是完全相当的,它们可以相互转换。
另外,我们还可以用傅里叶变换对周期信号进行频谱分析,因而将任何信号的频谱分析统一在傅里叶变换的框架之下。
用傅里叶变换和用傅里叶级数求解周期信号的频谱,要注意强调其结果的异同,异:傅里叶变换频谱是离散的冲激函数序列,而傅里叶级数频谱是离散的幅度值。
同:它们都是离散谱,离散间隔相同,频谱包络相同,即所反映的特性一致。
进而还可以得出结论:时域周期 频域离散。
五、通过傅里叶变换的性质来说明频谱分析的实用意义傅里叶变换作为一种数学运算,有许多性质。
在这部分内容的教学中,我们认为要注意数学与物理意义相结合,加强性质的应用举例,强调由性质所揭示出的时域和频域对应关系,挖掘性质在实际中的应用事例。
例如利用性质计算复杂信号的频谱;傅里叶变换可以将时域中的微分运算变换成频域中的乘法运算,这个微分性质为我们分析LT I 系统带来了极大的方便;可以用以不同的速度重放录制好的磁带,听到声音会变化,这一日常生活中大家熟悉的现象为例帮助理解尺度变换性质;频移性质最现实的应用就是通信系统中的调制与解调,等。
通过这些事例的形象说明,使学生进一步加深对信号频谱的认识,学会运用。
总之,信号频谱是建立在用三角函数分解信号基础上的,先用简单的信号分解建立起频谱的概念,再用傅里叶级数分析周期信号的频谱,进而引出傅里叶变换,按此思路开展教学,学生比较容易理解傅里叶变换的意义所在。
另外,信号的频谱分析作为提取信号特征的重要手段,在信号处理领域有着广泛的实际应用,也有不少分析工具,如频谱分析仪、计算机上的软件分析工具等。
我们在教学中,应加强实践性教学环节,例如介绍频谱分析仪的基本原理和使用方法,利用M AT L AB 分析语音信号的频谱特征等,使学生能真正体会信号频谱分析的实用意义,同时也能进一步提高学生的学习兴趣,激发他们不断探索的好奇心和钻研精神。
